ÜBUNGSAUFGABEN. zur Lehrveranstaltung. "STATISTIK für Prozesswissenschaften"

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1 Übungsaufgaben- Serie 1 ÜBUNGSAUFGABEN zur Lehrveranstaltung "STATISTIK für Prozesswissenschaften" 1. Klassifizieren Sie folgende Merkmale: - Masse von Broten - Anzahl angeschlagener Äpfel in einer Kiste - Ausbeute eines Stoffes bei einer chem. Reaktion - Biersorten - ph- Wert von Rindfleisch - Eiweißgehalt von Joghurt - Aroma verschiedener Weinsorten - Stammwürzegehalt von Bier - Anzahl der Stillstände einer Flaschenabfüllanlage im Monat 2. Der Wassergehalt von Butter wurde gemessen und ergab folgende Werte (%): 15,05 15,52 15,44 15,35 15,24 14,89 15,47 15,28 15,18 15,39 15,08 15,26 14,78 15,19 15,78 15,02 14,91 15,80 15,26 15,07 15,09 15,24 15,23 15,01 14,99 15,29 a) Man stelle eine sekundäre Häufigkeitstabelle auf (y0 = 14,7 und d = 0,2)! b) Man stelle die rel. Häufigkeit und die empirische Verteilungsfunktion graphisch dar! c) Man bestimme den arithm. Mittelwert, den Median, das untere und obere Quartil, die Spannweite, die empir. Varianz, die Standardabweichung, den Quartilsabstand und den Variationskoeffizienten! 3. Umbagopflanzen wurden bei 2 verschiedenen Hell- Dunkel- Rhythmen aufgezogen: A (12 h Licht, 12 h Dunkelheit) B (24 h Licht, 24 h Dunkelheit) Nach einer bestimmten Zeit wurde die Höhe [cm] der Einzelpflanzen bestimmt: A: B: Vergleichen Sie die unteren und oberen Quartile, die Mediane, die Quartilsabstände und Spannweiten, zeichnen Sie die Box- Whisker- Plots und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! Übungsaufgaben- Serie 2 1. Bei der quantitativen spektrometrischen Bestimmung von Zinn wurden in einer Probe folgende Gehalte (%) ermittelt: x1 = 0,192 x2 = 0,243 x3 = 0,157 x4 = 0,255 x5 = 0,319 Man bestimme den mittleren Zinngehalt und die Standardabweichung bei Verwendung der Transformation lg 10 xi!

2 2. In einer bestimmten Kultur erhöhte sich in 3 Tagen die Zahl der Bakterien pro Einheit von 100 auf 500. Geben Sie die durchschnittliche tägliche Zunahme in % an! 3. In einem Lebensmittelbetrieb wurden in vier aufeinanderfolgenden Jahren Produktionssteigerungen von 2%, 11%, 4% und 7% erreicht. Wie groß ist die durchschnittliche Produktionssteigerung? 4. Bei 12 Milchproben wurden folgende Keimzahlen [in 10**3] gemessen: Bestimmen Sie das geometrische Mittel und vergleichen Sie dieses mit dem arithmetischen Mittel! Übungsaufgaben- Serie 3 1. Das Vorhandensein von Milben zweier Spezies A und B auf jeweils 227 Ratten wurde untersucht. Es ergaben sich folgende Vierfeldertafeln: a) A vorh. A n.vorh. B vorh B n.vorh Summe b) A vorh. A n.vorh. B vorh B n.vorh Summe Summe Summe - Gibt es einen stat. Zusammenhang zwischen dem Vorkommen von A- bzw. B- Milben in den vorliegenden zwei Fällen? - Geben Sie das Assoziationsmaß von CRAMER, sowie die Kontingenzkoeffizienten von PEARSON an und interpretieren Sie diese! 2. Bei Versuchstieren wurde der Zusammenhang zwischen den Merkmalen Nahrungsaufnahme X (in Einh. von 10 cal) und Massezunahme Y (in g) untersucht. Folgende Meßwerte wurden ermittelt: xi: yi: Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie:

3 a) ein Streudiagramm b) die Mittelwerte und Varianzen c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten d) die Regressionsgleichung - Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! - Bestimmen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten von SPEARMAN und vergleichen Sie ihn mit dem Maßkorrelationskoeffizienten! 3. Es soll geprüft werden, ob zwischen dem Natrium- und dem Lithiumgehalt von Wasserproben ein statistischer Zusammenhang besteht. Folgende Werte wurden ermittelt: xi [mg Na/l]: yi [mg Li/l]: 0,8 1,6 1,1 1,8 1,0 3,1 1,8 2,7 2,1 1,0 - Prüfen Sie die Voraussetzungen für eine Zusammenhangsanalyse und ermitteln Sie: a) ein Streudiagramm b) die Mittelwerte und Varianzen c) die Kovarianz und den Maßkorrelationskoeffizienten d) die Regressionsgleichung - Zeichnen Sie die Regressionsfunktion in Ihr Streudiagramm und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! Übungsaufgaben- Serie 4 1. Aus einer Tabelle von Zufallszahlen werde willkürlich eine Zahl herausgeschrieben. Das Ereignis A bedeute, daß die ausgewählte Zahl durch 5 teilbar ist, B bedeute, daß die Zahl mit einer Null endet. Was bedeuten die Ereignisse: a) A - B b) A und B? 2. Man bestimme für die folgenden Ereignisse ihre Komplementärereignisse: A - das Erscheinen zweier Wappen beim Werfen zweier Münzen B - beim Ziehen einer Kugel aus einer Urne, die 2 weiße, 3 schwarze und 4 rote Kugeln enthält, wird eine weiße Kugel gezogen C - bei 3 Schüssen werden 3 Treffer erzielt D - bei 5 Schüssen wird mindestens 1 Treffer erzielt E - bei 5 Schüssen werden nicht mehr als 2 Treffer erzielt F - bei einem Schachspiel gewinnt der erste Spieler 3. Auf ein Ziel werden 3 Schüsse abgegeben. Sei Ai das Ereignis "der i-te Schuß ist ein Treffer (i=1,2,3). Man stelle die folgenden Ereignisse als Vereinigung und Durchschnitt der Ereignisse Ai und ihrer komplementären Ereignisse 'nicht Ai' dar: A - alle 3 Schüsse treffen das Ziel B - alle 3 Schüsse verfehlen das Ziel C - wenigstens 1 Schuß trifft das Ziel D - wenigstens ein Schuß verfehlt das Ziel E - der 1. Treffer erfolgt beim 3. Schuß 4. Das Ereignis A liege vor, wenn von 3 geprüften Geräten mindestens eines fehlerhaft arbeitet,

4 das Ereignis B liege vor, wenn alle 3 Geräte einwandfrei arbeiten. Was bedeuten die Ereignisse: a) (A oder B) b) (A und B) 5. Eine Leitung, die 2 im Abstand von 200 m befindliche Punkte A und B miteinander verbindet, sei an einer unbekannten Stelle gerissen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich die Schadensstelle nicht weiter als 45 m vom Punkt A befindet? 6. Ein Fahrgast wartet auf die Straßenbahn Nr.18 oder 17 an einer Haltestelle, an der 4 Linien vorbeikommen: Nr.14, 11, 17, 18. Wir setzen voraus, daß alle Linien gleich oft verkehren. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die erste an der Haltestelle haltende Straßenbahn eine vom Fahrgast benötigte Linie ist! 7. Man zerlege einen Würfel, dessen sämtliche Seitenflächen gleichartig gefärbt sind, in 1000 kleine Würfel einheitlicher Größe und mische diese. Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, daß ein zufällig ausgewählter Würfel genau 2 gefärbte Seitenflächen besitzt! 8. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man eine beliebig ausgewählte natürliche Zahl nicht durch 2 oder nicht durch 3 teilen kann! 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln eine '2' oder eine gerade Zahl zu würfeln? 10.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel im ersten Wurf keine '6', aber im zweiten Wurf eine '6' zu würfeln? 11. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Würfeln mit zwei unterscheidbaren Würfeln mit dem 1. Würfel eine Augenzahl i<=3 und mit dem 2. Würfel die Augenzahl j=6 zu würfeln? 12. Von 30 Stillständen einer Flaschenabfüllanlage entstehen 15 beim Auswechseln der Anpreßkonusse, 6 durch einen Defekt des Antriebes und 2 durch die nicht rechtzeitige Lieferung von Flaschen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für einen Stillstand der Flaschenabfüllanlage aus anderen Ursachen! Übungsaufgaben- Serie Kisten enthalten je 10 Gläser Obst. In der 1. Kiste sind 8, in der 2. Kiste 7, in der 3. Kiste 9 qualitätsgerechte Gläser. Aus jeder Kiste wird zufällig ein Glas ausgewählt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, daß alle 3 ausgewählten Gläser qualitätsgerecht sind! 2. 5 Körbe enthalten jeweils 25 Äpfel. Im 1. Korb sind ein, im 2. Korb kein, im 3. Korb zwei, im 4. Korb ein und im 5. Korb ein angeschlagener Apfel. Aus jedem Korb wird zufällig ein Apfel ausgewählt. a) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle 5 ausgewählten Äpfel nicht angeschlagen sind! b) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß alle 5 ausgewählten Äpfel angeschlagen sind!

5 c) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der ausgewählten Äpfel angeschlagen ist! 3. Die Wahrscheinlichkeit, eine defekte Milchflasche zu entnehmen, sei 0,2. Man wählt so lange Milchflaschen aus, die man jeweils wieder zurücklegt, bis man eine defekte Milchflasche findet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man viermal wählen muß? 4. 2 Schützen schießen unbeeinflußt voneinander auf eine Zielscheibe. Es ist bekannt, daß der 1. Schütze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7 und der 2. Schütze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 trifft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens einer der Schützen die Zielscheibe trifft? 5. Ist es wahrscheinlicher, in 4 Würfen mindestens einmal die '6' zu würfeln oder daß in 24 Würfen mit 2 Würfeln beide Würfel mindestens einmal gleichzeitig die '6' zeigen? 6. Ein Arbeiter bedient 2 unabhängig voneinander arbeitende Maschinen. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Maschine im Laufe einer Stunde die Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert, sei für die 1. Maschine P(A) = 0,4 und für die 2. Maschine P(B) = 0,3. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß im Laufe einer Stunde keine der beiden Maschinen die Aufmerksamkeit des Arbeiters erfordert? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß wenigstens eine der beiden Maschinen die Aufmerksamkeit des Arbeiters nicht erfordert? 7. In einer Gemeinde werden drei Brotsorten A, B und C verzehrt, den folgenden Wahrscheinlichkeiten entsprechend: P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(C) = 0,3 P(A und B) = 0,2, P(A und C) = 0,15 ; P(B und C) = 0,1 ; P(A und B und C) = 0,05 Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten, daß ein Bewohner dieser Gemeinde a) die Sorten A oder B oder C verzehrt b) keine dieser Brotsorten verzehrt c) nur A verzehrt d) weder A noch C verzehrt e) B und C nur gemeinsam verzehrt f) höchstens zwei der Brotsorten verzehrt 8. In einer Brauerei erwiesen sich 96% der hergestellten Bierflaschen als genießbar (Ereignis B). Von jeweils 100 genießbaren Bierflaschen konnten im Durchschnitt 75 in die Güteklasse 1 (Ereignis A) eingeordnet werden. Es ist die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, daß eine in dieser Brauerei hergestellte Bierflasche genießbar ist und zur Güteklasse 1 gehört. 9. In 2 Käsereien werden Käseecken hergestellt. Die 1. Molkerei liefert 70% und die 2. Käserei 30% der Gesamtproduktion. Im Mittel sind von je 100 Käseecken der 1. Käserei 83 und von je 100 Käseecken der 2. Käserei 63 qualitätsgerecht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine qualitätsgerechte Käseecke aus der 2.

6 Käserei stammt? 10. Unter Zuverlässigkeit eines Aggregates versteht man die Wahrscheinlichkeit des ausfallfreien Arbeitens in einer Zeitperiode. A1,A2,A3 und A4 seien Aggregate, die mit gleicher Zuverlässigkeit p arbeiten. Die Ai sollen unabhängig voneinander ausfallen. Wir betrachten 2 Systeme: S1: A1, A2 und A3 seien in Reihe geschaltet: (A1 unda2 unda3) S2: A1 und A2 seien in Reihe geschaltet, dann folgen die parallelgeschalteten A3 und A4 : [A1 und A2 und (A3 oder A4)] p1 und p2 seien die Wahrscheinlichkeiten des ausfallfreien Arbeitens von S1 bzw. S2. Berechnen Sie p1 und p2 für a) p = 0,9 und b) p = 0,7 11. Ein Kartenspiel enthält 32 Karten. Sind die Ereignisse H - eine Herzkarte wird gezogen und D - eine Dame wird gezogen voneinander unabhängig? 12. Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine Karo- Karte oder ein As gezogen wurde! 13. Aus einem Kartenspiel von 32 Karten werden 3 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein As unter den 3 Karten ist? 14. Ein Bauer hat 3 Hühner (Erna, Lisa und Moni). Erna ist seine Lieblingshenne, denn sie liefert im Durchschnitt pro Jahr 40% des gesamten Eieraufkommens, während Lisa und Moni nur je 30 % schaffen. Da die Eier ein Mindestgewicht haben müssen, gibt es einen gewissen Ausschuß K. Bei Erna und Lisa beträgt er jeweils 3% und bei Moni 5%. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes Ei von Lisa stammt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes Ei Untergewicht hat? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein zufällig entnommenes untergewichtiges Ei von Lisa stammt? Übungsaufgaben- Serie 6 1. In einem Korb sind 32 weiße und 4 bräunliche Eier. Es werden 3 Eier entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß a) genau ein braunes Ei entnommen wurde? b) mindestens ein weißes Ei entnommen wurde? 2. In einem Korb von 100 Eiern befinden sich 5 schlechte. Alle 100 Eier können abgenommen werden, wenn sich unter 50 zufällig herausgegriffenen Eiern höchstens ein schlechtes befindet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß alle 100 Eier vom Käufer abgenommen werden? 3. Was ist bei der Auswahl von guten Pfirsichen (p = 0,8) wahrscheinlicher: a) genau 7 gute Pfirsiche von 8 oder b) genau 9 gute Pfirsiche von 11 auszuwählen?

7 4. In einer Käserei sind 5% der hergestellten Käseecken nicht qualitätsgerecht. Die Käseecken werden zu je 6 Stück verpackt. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Packung mindestens eine nicht qualitätsgerechte Käseecke ist! 5. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Abfüllmaschine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet, beträgt 0,2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von 3 Abfüllmaschinen a) genau eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet? b) höchstens eine länger als 1000 h einwandfrei arbeitet? 6. Bei einem Schachturnier ist die Zahl der Spiele auf 150 begrenzt. Wieviel Personen können höchstens teilnehmen, wenn jeder gegen jeden spielen soll? Übungsaufgaben- Serie 7 1. Die Masse M [g] von gewissen Früchten gleicher Art und gleichen Reifegrades sei normalverteilt mit my = 106 g und sigma = 3,2 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebig herausgegriffene Frucht a) eine Masse unter 98 g hat? b) eine Masse im Intervall (100; 120] g hat? c) genau 98 g wiegt? 2. Die tägliche Nachfrage an Brot in einer bestimmten Kaufhalle sei eine normalverteilte Zufallsgröße X ~N(500;100) [ME]. Wie groß muß das Angebot an Broten [ME] mindestens sein, damit die Nachfrage zu 95% befriedigt werden kann? 3. Die Länge bei der Messung von Käsescheiben sei normalverteilt mit my = 150 mm und sigma = 8 mm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig gemessener Wert a) um weniger als 10 mm von my abweicht? b) um mehr als 10 mm von my abweicht? 4. Eine Maschine füllt Tüten. Die Masse der Tüten sei eine normalverteilte Zufallsgröße X ~ N(31,4 ; 0,04) [g]. Eine Tüte ist normgerecht gefüllt, wenn X Werte im Intervall (30,9 ; 31,7] [g] annimmt. a) Wieviel Prozent der Tüten sind normgerecht gefüllt? b) Wieviel Prozent der Tüten sind nicht normgerecht gefüllt? c) Wieviel Prozent der Tüten sind unterdosiert? d) Wieviel Prozent der Tüten sind überdosiert (zu voll)? e) Wie müßte die untere Grenze des Toleranzbereiches xu sein, damit nur 0,2% der Tüten unterdosiert sind? f) Welchen Wert müßte die Standardabweichung sigma haben, damit bei ursprünglichem Toleranzbereich nur 0,2 % der Tüten unterdosiert sind? Übungsaufgaben- Serie 8 1. Aus 100 Werten wurde als arithm.mittelwert für die Brenndauer von Glühlampen 1520 h

8 bestimmt. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit sigma = 150 h sei als bekannt vorauszusetzen. Die Brenndauer sei normalverteilt. Man bestimme das 95%- ige Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert! 2. Der Abstand zwischen geschätztem arithm. Mittelwert 1520 h und dem Erwartungswert my soll bei Aufg. 1 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha = 0,05 nicht größer als d = 40 h sein. Wie groß muß der Umfang der Stichprobe mindestens gewählt werden? 3. Der zufällige Fehler eines Meßgerätes sei normalverteilt mit dem Erwartungswert my = 0 mm. Die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer Messung der zufällige Fehler um höchstens 20 mm vom Erwartungswert abweicht, sei 0,8mm. Man bestimme die Standardabweichung sigma! 4. Die Feinheit eines Mahlgutes sei normalverteilt. Proben von 10 Siebanlagen ergaben folgende Feinheitswerte (größere Feinheitswerte entsprechen feinerem Material!): 19,7 21,0 21,4 20,8 20,6 19,5 21,2 19,7 19,8 20,9. Es soll geprüft werden, ob a) das Mahlgut des Tages nur zufällig von der vorgeschriebenen Feinheit my0 = 20 abweicht! b) das Mahlgut des Tages echt zu fein ist! Als Irrtumswahrscheinlichkeit ist jeweils alpha = 0,05 anzunehmen. 5. In einem Gewächshausversuch wurde der Einfluß zweier Düngersorten auf das Wachstum von Sojabohnen getestet. Bei den nach 7 Wochen entnommenen Stichproben vom Umfang n1 = 30 (Boden 1) und n2 = 25 (Boden 2) ergaben sich folgende Mittelwerte und Varianzen der Pflanzenhöhen: 40,6 cm ; 3,2 [cm]**2 38,4 cm ; 5,9 [cm]**2 Es ist zu prüfen,ob sich die Mittelwerte bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von alpha = 0,01 echt voneinander unterscheiden!