Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld

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1 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Alternative Methode zur Widerstandsberechnung (1): Für den Spezialfall homogener Strömungen gilt: ρl l A R = = G = A A l In vielen Fällen lässt sich der Widerstand bzw. der Leitwert einer geometrisch komplizierteren Anordnung aus der Reihen- oder Parallelschaltung einzelner homogener Teilwiderstände oder Teilleitwerte berechnen. Dazu zerlegt man den Gesamtwiderstand/Gesamtleitwert in eine Vielzahl von kleinen Teilwiderständen/Teilleitwerten, auf die die obigen Gleichungen angewendet werden können. Der Gesamtwiderstand ergibt sich schließlich als Integral über die Teilwiderstände/Teilleitwerte. ETIT II / VL 11 1

2 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Beispiel: die bereits berechnete koaxiale Zylinderanordnung (ETIT II_10): ρ dρ Alle Stromfäden sind gleich lang, aber der Strömungsquerschnitt ändert sich laufend Berechnung mit Reihenschaltung von Teilwiderständen Für den blauen Zylindermantel der Dicke dρ im Abstand ρ vom Mittelpunkt gilt: J l dρ dr = = A 2 πρ l Zyl Reihenschaltung aller Teilwiderstände zwischen ρ 1 und ρ 2 Integration von dr von ρ 1 bis ρ 2 : R ρ ρ ρ dρ 1 dρ 1 ρ = dr = = = l l ln 2πρ 2π ρ 2πl ρ ρ ρ Zyl Zyl ρ Zyl (s. ETIT II_10) ETIT II / VL 11 2

3 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Beispiel 2: Stromdurchflossener Bügel mit rechteckigem Querschnitt der Breite b: I ρ dρ ρ 1 ρ 2 I Alle Stromfäden sind unterschiedlich lang, aber der Strömungsquerschnitt ist konstant Berechnung mit Parallelschaltung von Teilleitwerten b Für den blauen Halbzylindermantel der Dicke dρ im Abstand ρ vom Mittelpunkt gilt: A bdρ dg = = l πρ Parallelschaltung aller Teilleitwerte zwischen ρ 1 und ρ 2 Integration von dg von ρ 1 bis ρ 2 : ρ dρ b G ρ ρ ρ bdρ b dρ b ρ = dg = = ln πρ π = ρ π ρ ρ ρ ρ ETIT II / VL 11 3

4 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Zahlenbeispiel: a = 60 mm b = 50 mm c = 200 mm = 20 S/m Wie groß ist der Widerstand dieser Anordnung? I a c I b ETIT II / VL 11 4

5 Elektrische Leitfähigkeit Nach der elektrischen Leitfähigkeit unterteilt man Stoffe ein in: Leiter (insbesondere alle Metalle) Typischerweise (bei 25 C): > 10 6 S/m. Die höchste elektrische Leitfähigkeit aller Metalle hat Silber. Ergibt Widerstände metallischer Leiter im µω-bereich Isolatoren oder Nichtleiter (die meisten Nichtmetalle sowie Kohlenwasserstoffe und viele organische Verbindungen) Typischerweise < 10 8 S/m. Halbleiter (beispielsweise Silizium, Germanium) Bei Halbleitern hängt die Leitfähigkeit von Faktoren wie Temperatur, Druck oder Belichtung ab. Die Leitfähigkeit liegt im Bereich zwischen Leitern und Isolatoren. Diese Einteilung stammt noch aus der Zeit, als man die Eigenschaften spezieller Halbleiter wie Germanium und Silizium noch nicht kannte. Bei diesen lässt sich die Leitfähigkeit gezielt durch Dotierung (Einlagerung von Fremdatomen) verändern. Diese Stoffgruppe ist vor allem deshalb interessant, weil sich damit spezielle Bauelemente der Elektronik wie z.b. Transistoren herstellen lassen. ETIT II / VL 11 5

6 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Alternative Methode zur Widerstandsberechnung (2): Ist die Kapazität einer Anordnung bereits bekannt, lässt sich der Widerstand auch mit der für die Relaxationszeitkonstante ermittelten Beziehung ermitteln, wobei an Stelle des nichtleitenden Dielektrikums einfach ein leitfähiges Material gleicher Geometrie angenommen wird: ε τe = RC = ε R = C Voraussetzung: ε und sind ortsunabhängig, und beide betrachteten Anordnungen weisen die gleichen Feldverteilungen auf. ETIT II / VL 11 6

7 Berechnung von Widerständen im Strömungsfeld Beispiel: die bereits betrachtete koaxiale Zylinderanordnung (ETIT II_10): ε Für diese Anordnung war folgende Beziehung für die Kapazität hergeleitet worden: J D 2πεl C = ρ2 ln ρ 1 ε ε R = = = C 2πεl ρ (s. ETIT II_05) 1 ρ l n 2πl ρ 2 1 (s. ETIT II_10) ln ρ 2 1 ETIT II / VL 11 7

8 Berechnung eines Masterders ETIT II / VL 11 8

9 Berechnung eines Masterders Strom I Masterder, näherungsweise halbkugelig angenommen Vermeidung von Berührungsspannungen (Mast, Erdboden) Vermeidung von Schrittspannungen (Erdboden) Berührungsspannung U B Schrittspannung U S ETIT II / VL 11 9

10 Berechnung eines Masterders Zunächst Annahme einer kugelförmigen Elektrode in mäßig leitendem Erdboden; Strom wird über isolierten Draht zugeführt. radialsymmetrisches Strömungsfeld im Erdreich Strömung durch eine Hüllkugel mit Radius r : 2 JdA= J() r da= J()4 r πr A Strom in die Kugel: -I A Jr πr = 2 ()4 I 0 I Jr () = 4πr 2 (1. Kirchhoff sches Gesetz) Er () = Jr () 1 2 = I 4π r ETIT II / VL 11 10

11 Berechnung eines Masterders Jr () 1 Er () = 2 = I 4π r Potentialfunktion durch unbestimmte Integration der Feldstärke längs einer Feldlinie (wegen E ds = dφ bzw. E = gradφ ): I 1 I 1 φ() r = E() r dr = dr const. 2 4π = + r 4π r Vergleich mit Potentialfunktion einer Punktladung (ETIT II_03): I/2 I/2 Q 1 ϕ( P) = const. 4πε r + Denkt man sich die Kugel durch eine isolierende Folie in zwei Halbkugeln geteilt, der jeder der Strom I/2 zugeführt wird, so ändert sich an der Feldverteilung nichts! ETIT II / VL 11 11

12 Berechnung eines Masterders EJ, r 0 I r P 1 φ() r = I Für Vollkugel: const. 4π r + Für Halbkugel verteilt sich der Strom I auf den halben Raum Für Halbkugel: 1 φ() r = I const. 2π r + ETIT II / VL 11 12

13 Berechnung eines Masterders 1 φ() r = I const. 2π r + "Potentialtrichter" Berührungsspannung: Schrittspannung: I 1 1 UB = φ( r0) φ( r1) = 2π r0 r1 I 1 1 US = φ( r2) φ( r3) = 2π r2 r3 ETIT II / VL 11 13

14 Berechnung eines Masterders Zahlenbeispiel: U m = 24 kv E = 10-2 S/m (feuchter Erdboden) ε re = 4 r 0 = 2 m D = 1 m Fragen: a) Welcher Strom fließt in den Erdboden, wenn ein Leiterseil den Mast berührt? b) Wie groß ist die Schrittspannung in 10 m und in 20 m Entfernung vom Mast (Schrittweite 80 cm)? c) Wie groß ist die Berührungsspannung? D d) Wie groß ist der Erdungswiderstand? e) Wie groß ist die Kapazität des Erders? r 0 E ETIT II / VL 11 14

15 Berechnung eines Masterders a) Welcher Strom fließt in den Erdboden, wenn ein Leiterseil den Mast berührt? I = 1741 A ETIT II / VL 11 15

16 Berechnung eines Masterders b) Wie groß ist die Schrittspannung in 10 m und in 20 m Entfernung vom Mast (Schrittweite 80 cm)? in 10 m Entfernung: U S = 205 V zu hoch! in 20 m Entfernung: U S = 53 V in Ordnung (Forderung: U S < 60 V) Gegenmaßnahme: z.b. Erder tiefer eingraben: 1 Hinweis: wegen U S erhöht sich die Schrittspannung mit abnehmender Leitfähigkeit (d.h. bei Austrocknung des Bodens)! isolierte Leitung ETIT II / VL 11 16

17 Berechnung eines Masterders c) Wie groß ist die Berührungsspannung? r 0 = 2 m D = 1 m U B = 0 V, da ein Mensch im Abstand einer Armlänge vom Mast immer noch direkt auf dem Erder steht! D r 0 E ETIT II / VL 11 17

18 Berechnung eines Masterders d) Wie groß ist der Erdungswiderstand? 1 R = 8 Ω 2πr 0 e) Wie groß ist die Kapazität des Erders? C = 445 pf ETIT II / VL 11 18

19 Leitfähigkeitsmessung Beispiel aus [P1] Zur Abschätzung der Leitfähigkeit eines Materials werden 2 Prüfspitzen mit einem Spitzenradius von r 0 = 0,1 mm in einem Abstand L >> r 0 voneinander aufgesetzt. Es wird ein Widerstand von 20 kω gemessen, unabhängig vom Abstand L (solange L >> r 0 ). Wie groß ist die Leitfähigkeit? I 1 1 I U = φ( r0) φ( r ) = (s. Beispiel Masterder) 2π r0 rl 2πr0 U 1 1 R = = = (R Widerstand einer Prüfspitze) I 2πr 2πRr 0 0 Der gemessene Widerstand von 20 kω entspricht 2 R! R = 10 kω 1 A = = 0,159 S/m 3 3 2π ,1 10 Vm ETIT II / VL 11 19

20 Bedingungen an Grenzflächen Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n α 1 P 2 n E 1t, J 1t P 1 E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 Leiter 2, 2 E 2n, J 2n ETIT II / VL 11 20

21 Bedingungen an Grenzflächen Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n Zur Erinnerung: elektro(quasi)statisches Feld (ETIT II_08): P 2 n α 1 E 1t, J 1t P 1 Dielektrikum 1, ε r1 P 2 n α 1 E, D 1 1 E 1t, D 1t E 1n, D 1n P 1 Leiter 2, 2 E 2t, J 2t P 3 P 4 1. Kirchhoffscher Satz: J d A = 0 A J d A = J na+ J na= A E, J 2 2 α J 1n = J 2n E 2n, J 2n E 2t, D 2t P 3 P 4 E, D 2 2 E 2n, D 2n Dielektrikum 2, ε r2 α 2 D d A = Q = 0 A Eintretende gleich austretende elektrische Verschiebungsdichte D d A = D na+ ( D na) = Q = A D 1n = D 2n ETIT II / VL 11 21

22 Bedingungen an Grenzflächen Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n α 1 P 2 n E 1t, J 1t P 1 E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 Leiter 2, 2 E 2n, J 2n E ds = L 0 Integration der elektrischen Feldstärke längs des Weges P 1 -P 2 -P 3 -P 4 -P 1 E ds = E1 ts + ( E2ts) = 0 L E 1t = E 2t Kein Unterschied zum elektro(quasi)statischen Feld ETIT II / VL 11 22

23 Bedingungen an Grenzflächen In geschichteten Leitern gehen die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke und die Normalkomponente der Stromdichte kontinuierlich von einem Leiter in den anderen über. ETIT II / VL 11 23

24 Bedingungen an Grenzflächen Quer geschichtete Leiter Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n α 1 P 2 n E 1t, J 1t P 1 E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 Leiter 2, 2 E 2n, J 2n Definition dadurch charakterisiert, dass E und J nur Normalkomponenten aufweisen ETIT II / VL 11 24

25 Bedingungen an Grenzflächen Quer geschichtete Leiter Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n α 1 P 2 n E 1t, J 1t P 1 E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 Leiter 2, 2 E 2n, J 2n E E J = J = E = E = J = J 1 1n n 2 = vgl. elektro(quasi)statisches Feld: E E = ε ε 1 r 2 2 r1 ETIT II / VL 11 25

26 Bedingungen an Grenzflächen Quer geschichtete Leiter Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n P 2 α 1 E 1t, J n 1t E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 P 1 U 1 U 2 U d 1 d 2 d E E = E 2n, J 2n Leiter 2, 2 Für die Feldstärken in Abhängigkeit von der anliegenden Spannung gilt: 1 2 U = U1+ U2= Ed 1 1+ E2d2= Ed 1 1+ Ed 1 2 = E2d2+ E2d1 2 1 E 1 = d U + d E 2 = d U + d (vgl. mit elektro- (quasi)statischem Feld!) ETIT II / VL 11 26

27 Bedingungen an Grenzflächen Schräg geschichtete Leiter Leiter 1, 1 E, J 1 1 E 1n, J 1n α 1 P 2 n E 1t, J 1t P 1 E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 Leiter 2, 2 E 2n, J 2n Definition dadurch charakterisiert, dass E und J die Grenzflächen schräg schneiden Die Feld- und Strömungslinien werden gebrochen! ETIT II / VL 11 27

28 Bedingungen an Grenzflächen Schräg geschichtete Leiter Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke unverändert: E 1t = E 2t Leiter 1, 1 P 2 n α 1 E, J 1 1 E 1t, J 1t E 1n, J 1n P 1 Normalkomponente der Stromdichte unverändert: J 1n = 1 E 1n = J 2n = 2 E 2n E 2t, J 2t P 3 P 4 E, J 2 2 α 2 E 2n, J 2n Leiter 2, 2 Division der beiden Stetigkeitsbedingungen: E E tanα 1t 2t = 1 1 1E1n 2E2n = tanα2 2 tanα = tanα Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes tanα1 εr1 (Zum Vergleich: elektro(quasi)statisches Feld: = ) tanα ε 2 r 2 ETIT II / VL 11 28

29 Bedingungen an Grenzflächen Schräg geschichtete Leiter tanα tanα = Feld- und Strömungslinien (, ) werden beim Übergang in einen Leiter mit größerer Leitfähigkeit von der Normalen weg, also zur Grenzfläche hin gebrochen. E J Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes Äquipotentiallinien (φ = const.) werden beim Übergang in einen Leiter mit größerer Leitfähigkeit zur Normalen hin, also von der Grenzfläche weg gebrochen. ETIT II / VL 11 29

30 Bedingungen an Grenzflächen Brechungsgesetz tanα tanα = Leiter1, Dielektrikum1, 1 ε r1 φ = const. α 1 E 1 α 1 J 1 α 1 α 2 α 2 φ = const. const. J 2 E 2 Dielektrikum Leiter 2, ε r2 2 > 3 1 ε r1 ETIT II / VL 11 30

31 Bedingungen an Grenzflächen Annahme: 1 / 2 = = tanα tanα = α 1 0 α 2 0 "Sehr guter Leiter" 45 0, ,6 80 3,2 85 6,5 2 "Schlechter Leiter" Die Feldlinien stehen auf einem guten Leiter nahezu senkrecht. Damit wird die Oberfläche eines guten Leiters näherungsweise zu einer Äquipotentialfläche. ETIT II / VL 11 31

32 Bedingungen an Grenzflächen Wie verhält sich die Verschiebungsdichte im stationären Strömungsfeld? J = J 1n 2n E = E 1 1n 2 2n Die Normalkomponenten der Stromdichte sind stetig. Die Normalkomponenten der Feldstärke sind damit festgelegt. D = D 1n 2n 1 2 ε1 ε2 D ε = D ε 1n 2 1 2n 1 2 Die Normalkomponenten der Verschiebungsdichte sind an der Grenzfläche nur dann stetig, d.h. D 1n /D 2n = 1, wenn: D ε ε = = 1 = D ε ε 1n n Sonst... ETIT II / VL 11 32

33 Bedingungen an Grenzflächen Material 1 ε ε σ Ausbildung einer Flächenladung: ΔQ = σδa Material 2 Es gilt dann: D d A = D1 nδ A+ D2nΔ A =ΔQ A D D = σ 2n 1n ETIT II / VL 11 33

34 Bedingungen an Grenzflächen Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien (1) und (2). Über isolierte Drähte sind beide Kugelschalen an eine Spannungsquelle angeschlossen. Gesucht sind der sich einstellende Strom I und die sich ausbildende Flächenladung σ. ETIT II / VL 11 34

35 Bedingungen an Grenzflächen Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) I = 4πU r0 r1 2 r1 r2 ETIT II / VL 11 35

36 Bedingungen an Grenzflächen Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum ([C1], Bsp. 4.4) σ I ε ε = 4πr ε ε ε ε Nur wenn = bzw. = ist σ = 0! ETIT II / VL 11 36