Technische Universität München Repetitorium zur Experimentalphysik 2 Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Mittwoch, 6.August Thorsten Wolf

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1 .1 Schaltkreise Technische Universität München Repetitorium zur Experimentalphysik Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben Mittwoch, 6.August Thorsten Wolf.1 Schaltkreise Aufgabe 1 (Parallelschaltung) Zunächst sei ein einzelner Widerstand R 1 mit einer Batterie verbunden, dann werde ein zweiter Widerstand R parallel dazu geschaltet. Sind (a) die Potenzialdifferenz über den Widerstand R 1, (b) der Strom I 1 durch R 1 nun größer, kleiner oder genau so groß wie vorher? (c) Ist der zu den beiden Widerständen R 1 und R äquivalente Widerstand R 1 kleiner, größer oder gleich R 1? (d) Ist der Gesamtstrom durch beide Widerstände größer als, kleiner als oder gleich dem anfänglichen Strom durch R 1? Lösung 1 (Parallelschaltung) (a) Potenzialdifferenz bleibt gleich (Maschenregel) (b) Strom durch R 1 bleibt gleich: Ohm sches Gesetz I = sowohl Potenzialdifferenz U als auch Widerstand R 1 sind gleich. (c) R 1 ist kleiner als R 1, da bei jeder Parallelschaltung der äquivalente Widerstand kleiner als der kleinste Einzelwiderstand ist. (d) Der Gesamstrom ist größer als der anfängliche Strom durch R 1, da der äquivalente Widerstand kleiner ist als R 1 (vgl (c)) Aufgabe (Reihenschaltung) Zunächst sei ein einzelner Widerstand R 1 mit einer Batterie verbunden, dann werde ein zweiter Widerstand R in Reihe dazu geschaltet. Sind (a) die Potenzialdifferenz über den Widerstand R 1, (b) der Strom I 1 durch R 1 nun größer, kleiner oder genau so groß wie vorher? (c) Ist der zu den beiden Widerständen R 1 und R äquivalente Widerstand R 1 kleiner, größer oder gleich R 1? (d) Ist der Gesamtstrom durch beide Widerstände größer als, kleiner als oder gleich dem anfänglichen Strom durch R 1? Lösung (Reihenschaltung) (a) Die Potenzialdifferenz über R 1 nimmt ab, da die gesamte anliegende Spannung die gleiche ist, jetzt jedoch ein Teil der Spannung über R 1, der Rest über R abfällt. (b) I 1 ist jetzt kleiner als anfangs, da der Gesamtwiderstand (siehe (c)) zugenommen hat. (c) R 1 ist größer als R 1, schließlich ist er die Summe aus R 1 und R. (d) gleiche Antwort wie in (b), da der Gesamtstrom gleich dem Strom durch R 1 ist. Aufgabe 3 (Widerstands-Monsternetz) Die Widerstände des unten dargestellten Netzes aus Widerständen und Batterien haben einen Wert von 4 Ω, sämtliche als ideal angenommenen Batterien liefern eine Spannung von 4 V. Wie groß ist der Strom durch den Widerstand R? (Hinweis: Sobald Sie die geeignete Schleife in diesem Netz gefunden haben, können Sie die Frage in ein paar Sekunden aus dem Kopf beantworten...). 1

2 Lösung 3 (Widerstands-Monsternetz) Betrachtet man die rot eingefärbte Masche, so ist zu erkennen, dass die Reihenschaltung der drei Batterien auf der linken Seite eine Potenzialdifferenz von 3 4V = 1V zwischen dem oberen waagrechten Draht und dem unteren waagrechten Draht der eingefärbten Masche hervorruft. Aus dieser Information und der Spannungsquelle zwischen den Punkten P und P1 folgt, dass zwischen den Punkten P1 und P3 die Potenzialdifferenz 1V 4V = 8V besteht. Da sich die Punkte P und P3 auf dem gleichen Potenzial befinden (weder Spannungsquelle noch Widerstand zwischen den beiden Punkten) liegt auch zwischen P1 und P die Spannung 8V an. Der Strom durch den Widerstand R lässt sich nun mittels Ohm schen Gesetz zu I = 8V = A 4Ω berechnen. Aufgabe 4 Gegeben sei unten stehendes Widerstandsnetzwerk. Wie groß sind die äquivalenten Widerstände zwischen den Punkten (a) F und H, sowie (b) F und G. (Hinweis: Stellen Sie sich vor, zwischen jedem Punktepaar würde eine Batterie angeschlossen.) Lösung 4 (a) Man hangelt sich von außen nach innen durch: Die gesamte Anordnung kann als Parallelschaltung aus dem oberen Zweig, dem mittleren geraden Zweig und dem unteren Zweig gesehen werden. Folglich gilt für den Gesamtwiderstand 1 R ges = 1 R oben + 1R mitte + 1R unten. R oben und R unten sind jeweils eine Reihenschaltung aus den beiden gleichen Widerständen R = 4Ω, 1 R mitte = R = 5Ω. Für den Gesamtwiderstand folgt: R ges = 1 R oben + 1 R mitte + 1 R unten = = R R R = 1 R 1Ω 5Ω 1Ω 5 Ω ges =, 5Ω Aufgabe 5 Bestimmen Sie für den Stromkreis (unten) den Strom durch jeden der beiden Widerstände sowie die Potenzialdifferenz zwischen den Punkten a und b. Die Batteriespannungen und Widerstandswerte seien gegeben zu ɛ 1 = 6, V, ɛ = 5, V, ɛ 3 = 4, V, R 1 = 1Ω, R = 5Ω.

3 .1 Schaltkreise Lösung 5 I 1 sei der Strom durch R 1. Er sei positiv, wenn er nach rechts fließt. I sei der Strom durch R. Er sei positiv, wenn er nach oben fließt. Nun wenden wir die Maschenregel an. In der unteren Masche ergibt sich: ɛ I 1 R 1 = In der oberen: ɛ 1 ɛ ɛ 3 I R = Aus der ersten Gleichung folgt: I 1 = ɛ R 1 =, 5A Aus der zweiten folgt: I =, 6A Dass I negativ ist, bedeutet, dass der Strom nach unten fließt. Sei E b das Potential am Punkt b, so ergibt sich das Potential am Punkt a zu E a = E b + ɛ 3 + ɛ E a E b = 9V Aufgabe 6 Im Stromkreis (unten) sei ɛ 1 = 3, V, ɛ = 1, V, R 1 = 5, Ω, R =, Ω, R 3 = 4, Ω. a) Mit welcher Rate wird Energie in den Widerständen R i in Wärme umgewandelt? b) Welche Leistungen geben die beiden Batterien ab? Lösung 6 Zuerst legen wir die Stromrichtungen fest. Dies kann beliebig erfolgen, muss aber konsequent beibehalten werden. I 1 sei der Strom durch R 1, er sei positiv, wenn er nach oben fließt. I sei der Strom durch R, er sei positiv, wenn er nach links fließt. I 3 sei der Strom durch R 3, er sei positiv, wenn er nach rechts fließt. Aus der Knotenregel folgt: I 1 + I + I 3 = Mit der Maschenregel folgt für die linke Masche: U 1 I 3 R 3 + I 1 R 1 = und für die rechte: U I R + I 1 R 1 = Lösen des Gleichungssystems liefert: I 1 = 5 A =, 6A; I 19 = 3 A =, 158A; I 19 3 = 8 A =, 4A 19 Die Rate mit der Energie in Wärme umgewandelt wird ist die Leistung: P i = Ii R i P 1 =, 346W ; P =, 5W ; P 3 =, 79W 3

4 b) Die Leistung der Batterie 1 ist P B1 = U 1 I 3 = 1, 3W Die Leistung der Batterie ist P B = U I =, 158W Batterie wird also aufgeladen, ihre Energie steigt. Aufgabe 7 Gegeben ist die nachfolgende Gleichstromschaltung bestehend aus einer Spannungsquelle U mit dem Innenwiderstand R i, einer Last und zwei von dem Parameter α abhängigen Leitungswiderständen R a (α) (siehe Abbildung). Dabei gilt R 1 = R und: R a (α) = R (1 + α α)mit < α < 1 (.1) a) Berechnen Sie den Strom I durch die Last in Abhängigkeit von U, R, α und R i. b) Wie groß ist die Spannung U 1, die am Widerstand R 1 abfällt? c) Berechnen Sie die an den Klemmen der Quelle abgegebene Leistung P Q und die an der Last verbrauchte Leistung P L. d) Bei welchem Parameterwert α ist der Wirkungsgrad η = P L P Q der Anordnung am größten? Lösung 7 a) Es gilt: I = U R ges Der Gesamtwiderstand folgt zu R ges = R i + R a + R R + 1 R R i + R a + R +, 5R Der Strom ergibt sich somit zu: = I = U R i + R a + 1, 5R (.) b) Die Paralleschaltung von R 1 und R hat den Widstand, 5R. Der Spannungsabfall an dieser Parallelschaltung ist gleich dem Spannungsabfall über R 1 : U 1 = U (, 5R) (.3) R g es c) Die Leistung der Spannungsquelle ergibt sich als Produkt aus ihrer Klemmspannung und dem Strom: P Q = U klemm I Die Klemmenspannung ist gleich dem Spannungsabfall über die Summe aller Widerstände außerhalb der Quelle: U klemm = U (R R ges a + 1, 5R) Mit dem Strom aus a) folgt die Leistung zu: P Q = U (R a + 1, 5R) (R i + R a + 1, 5R) (.4) Die an der Last verbrauchte Leistung folgt als Differenz aus der Leistung der Quelle und der Leistung, die an den beiden Leitungswiderständen R a dissipiert: P L = P Q I R a = P Q R a U (R i + 1, 5R + R a ) = U 1, 5R (.5) (R i + R a + 1, 5R) 4

5 d) η = P L P Q = 1, 5R R a + 1, 5R =. statische Magnetfelder 1, 5R R(1 + α α) + 1, 5R = 1, 5 (1 + α α) + 1, 5 Da der Wirkungsgrad maximal werden soll, muss der Nenner minimal werden. Hierzu differenzieren wir ihn nach α und erhalten α =, 5 (.7) als Lösung. Die zweite Ableitung zeigt, dass es sich tatsächlich um ein Minimum (wir haben nur den Nenner betrachtet) handelt. Folglich führt α =, 5 zu einer Maximierung des Wirkungsgrads. (.6). statische Magnetfelder Aufgabe 8 Gegeben sei ein Koaxialleiter bestehend aus einem zylinderförmigen Innenleiter mit dem Radius R und einem Mantel der Dicke D im Abstand R von der z-achse. Die in der Anordnung fließende Stromdichte lautet in Zylinderkoordinaten: j r für r R R j(r) = ê z j β für R < r R + D r sonst Verwenden Sie für Ihre Berechnungen ein geeignetes Koordinatensystem. a) Bestimmen Sie durch Flächenintegration den Strom I i durch den Innenleiter und den Strom I a durch den Außenleiter. b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtung des Magnetfeldes H. c) Für welchen Wert des Paramters β verschwindet das Magnetfeld H im Außenraum (d.h. bei r>r+d)? Was bedeutet das für die Ströme in den beiden Leitern? d) Skizzieren Sie die radiale Abhängigkeit des Magnetfeldes H für den Fall, dass das Magnetfeld im Außenraum (r > R + D) verschwindet. Lösung 8 a) Der Strom durch den Innenleiter beträgt I i = π R r j R rdrdφ = πj R (.8) 5

6 und der Strom durch den Außenleiter I a = π R+D R j β r rdrdφ = πj βd (.9) b) Aus der Zylindersymmetrie resultiert H = H(r)ê φ und mit dem Induktionsgesetz folgt dann r < R: R r < R: A R r < R + D: I eing = I i + Hd s = π I eing = H(r)rdφ = πr H(r) = I eing (.1) ξ π rj R ξdξdφ = πj r 4 (.11) 4R I eing = I i = πj R (.1) β π R + Dj R ξ ξdξdφ = πj R + πβj (r R) (.13) R + D r: I eing = I i + I α = πj R Damit resultiert das Magnetfeld zu + πj βd (.14) H(r) = j 4r r 4 R R R + 4β(r R) R + 4 für r R für R r < R für R r < R + D für r R + D c) Das Magnetfeld im Außenraum verschwindet, falls I eing für r > R + D gleich Null ist. Somit gilt I i + I a = πj R + πj βd =! (.15) und dann folgt β = R 4D d) Mit H = j R/8 gilt 6

7 . statische Magnetfelder Aufgabe 9 Berechnen Sie das Magnetfeld, das von einem geraden Stromfaden erzeugt wird im Punkt (1,4,). [1LE 1m] Der Stromfaden laufe entlang der z-achse; beginnend bei z=4 ende er bei z=1. Die Elektronen im Draht bewegen sich in negative z-richtung. Die Stromstärke betrage I = 1A. Lösung 9 Dass sich die Elektronen in negative z-richtung bewegen, bedeutet, dass die technische Stromrichtung in positive z-richtung zeigt. Die Rechnung wird im Skript durchgeführt (.3.4 Beispiele). Interessant ist Formel.3. B((1, 4, )) = µ I 4πρ (sinα sinα 1 )ê a (.16) Die Winkel ergeben sich aus den Beziehungen: tan(α 1 ) = n ρ und tan(α ) = n + L ρ hierbei sind n = 4 =, L = 1 = 19 und ρ = = 17 (.17) Aufgabe 1 Berechnen Sie das magnetische Dipolmoment eines mit Winkelgeschwindigkeit ω (von oben betrachtete im Uhrzeigersinn) rotierenden Kegels (Höhe h, Radius R), der die konstante negative Oberflächenladungsdichte σ trägt. Lösung 1 Das Dipolmoment ist nach oben gerichtet, da sich der Kegel von oben aus gesehen im Uhrzeigersinn dreht, und es sich um negative Ladungsträger handelt. 7

8 Der halbe Öffnungswinkel sei φ sinφ = r/l, l sei die Seitenkante des Kegels Für den Strom der sich ergibt, wenn ein geladener Drahtring mit Radius r und Winkelgeschwindigkeit ω rotiert folgt: I = ρav = λv = λωr Unseren Gesamtstrom setzen wir aus solchen kleinen Kreiströmen di zusammen. λ = σdl; ωr = ωl sinφ di = λωr = σωl sinφdl Das Dipolmoment für einen infinitesimal kleinen Ring ist: mit Fläche A = πr = πl sin φ dµ = A di hieraus ergibt sich µ durch Integration über dµ µ = R/sinφ dµ = πσωsin 3 φ R/sinφ l 3 dl = 1 4sinφ R4 πσω Aufgabe 11 Eine Ionenquelle erzeugt 6 Li-Ionen (Masse 6u, Ladung +e). Die Ionen werden durch eine Potenzialdifferenz von 1kV beschleunigt und bewegen sich dann horizontal in einen Raumbereich, in dem ein homogenes, vertikal gerichtetes Magnetfeld vom Betrag B=1,T besteht. Wie stark muss ein dem Magnetfeld in demselben Raumbereich überlagertes elektrisches Feld sein, damit die Ionen die Feldkonfiguration ohne Ablenkung passieren? Lösung 11 Für die durch das elektrischen Feld verursachte Kraft gilt: F c = Eq Für die durch das Magnetfeld verursachte Kraft gilt: F L = qvbsinφ, wobei sinφ = 1,da φ = 9 Das Gleichsetzen beider Kräfte liefert: E = evb = vb e v lässt sich aus der kinetischen Energie W der Ionen berechnen: v = ew/m W ergibt sich aus der durchlaufenen Potentialdifferenz zu W = Uq = Ue = 1keV E = 6, V m Aufgabe 1 Beschreiben Sie eine Anordnung aus B- und E-Feld, die als Geschwindigkeitsfilter dient und geben Sie die Geschwindigkeit an, welche die Teilchen haben, die ihn passieren. Lösung 1 Anordnung aus vorheriger Aufgabe liefert Bedingungen für einen Geschwindigkeitsfilter. E = vb v = E B Aufgabe 13 In einer kreisförmigen Drahtschleife mit dem Radius 8cm fließe ein Strom von,a. Ein Einheitsvektor parallel zum magnetischen Dipolmoment µ der Schleife sei gegeben durch,6e x, 8e y. Die Schleife befinde sich in einem homogenen Magnetfeld B=,5e x +,3e z.bestimmen Sie a) das auf die Schleife wirkende Drehmoment (in der Schreibweise mit Einheitsvektoren), b) die potenzielle Energie der Schleife. Lösung 13 a) Das magnetische Dipolmoment ist µ = µ(, 6 e x, 8 e y ), mit µ = IA = 4, 1 3 Am 8

9 Das Drehmoment ist M = µ B = µ(, 6 e x, 8 e y ) (, 5 e x +, 3 e z ) = µ[(, 6)(, 3)( e x e z ) (, 8)(, 5)( e y e x ) (, 8)(, 3)( e y e z )] = µ[, 18 e y +, e z, 4 e x ] b) Die potentielle Energie ist E = µ B = (, 6 e x, 8 e y ) (, 5 e x +, 3 e z ) = µ(, 6)(, 5) =, 15µ = 6, 1 4 J. statische Magnetfelder 9