4 Geometrie in der Grundschule

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1 4 Geometrie in der Grundschule 4.1 Einführung 4.2 Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens 4.3 Bilden geometrischer Begriffe 4.4 Zu ausgewählten Inhalten des Geometrieunterrichts in der Grundschule

2 Warum Geometrie in der Grundschule? Durch geometrische Aktivitäten können intellektuelle Kompetenzen (z. B. Raumvorstellung) und grundlegende geistige Fähigkeiten (z. B. Ordnen, Klassifizieren) gefördert werden Begriffsbildungsprozesse unterstützt werden Erfahrungen zur Umwelterschließung und zum praktischen Nutzen von Geometrie im Alltag gewonnen werden Freude an der Geometrie und am entdeckenden und problemorientierten Arbeiten geweckt werden Quelle: Franke, M.: Didaktik der Geometrie, 2000

3 Ziele des Geometrieunterrichts in der Grundschule Rahmenplan Hessen, S. 164: Der Geometrieunterricht in der Grundschule leistet einen wichtigen Beitrag zur Entfaltung des räumlichen Wahrnehmens und Denkens, zur Entwicklung des Orientierungsvermögens, zur Schulung der zeichnerischen Fähigkeiten und zur Präzisierung der Sprache. Er kann durch kreativen mit Materialien zur Förderung der Phantasie, der Selbständigkeit und des Interesses am Lösen mathematischer Probleme beitragen. Anmerkung: Konkretere Ziele folgen zu einzelnen Inhaltsbereichen.

4 Mathematikunterricht in der Grundschule Standards der KMK von 2004 Allgemeine mathematische Kompetenzen: Problemlösen Kommunizieren Argumentieren Modellieren Darstellen Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen: orientieren sich an Leitideen: Zahlen und Operationen Raum und Form Muster und Strukturen Größen und Messen Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

5 Kompetenzen der Bildungsstandards Leitidee: Raum und Form sich im Raum orientieren Geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen einfache geometrische Abbildungen erkennen, benennen und darstellen Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen

6 Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule Grundideen der Elementargeometrie (Wittmann 1999): Geometrische Formen und ihre Konstruktion Operationen mit Formen Koordinaten Maße Muster Formen in der Umwelt Geometrisieren

7 Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule Kernideen für den Geometrieunterricht in der Grundschule (Franke 2000): Geometrische Formen Operieren mit Formen Beziehungen zwischen Formen Die Inhalte zu den Kernideen sind relativ frei wählbar und austauschbar. Es empfiehlt sich, Objekte einzubeziehen, die aus den ebenen Grundformen hervorgehen, d.h. mit ihnen beschrieben (wie Parkette), aus ihnen hergestellt (wie Quader, Würfel...), als Eigenschaft von ihnen gewonnen ( wie Strecke, Punkt...) werden können

8 Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule Geometrische Formen Herstellen von Grundformen Herstellen von Objekten aus Grundformen Erkennen und Beschreiben von Grundformen Erschließen der Umwelt mit Hilfe von Grundformen Erste Erfahrungen zu Maßen geometrischer Grundformen

9 Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule Operieren mit Formen Abbilden in der Ebene Projizieren vom Raum in die Ebene Verändern durch Zerlegen und Zusammensetzen oder auch durch Verzerren, Vergrößern und Verkleinern

10 Kernideen des Geometrieunterrichts in der Grundschule Beziehungen zwischen Formen Orientierung im Raum und in der Ebene Lagebeziehungen zwischen Objekten Symmetrie Muster, Bandornamente und Parkette.

11 Inhalte des Geometrieunterrichts in der Grundschule Rahmenplan Hessen, S. 156: Die Inhalte lassen sich in die folgenden Bereiche aufteilen, die aber im Unterricht miteinander verbunden sind: Lagebeziehungen Eigenschaften von Gegenständen Geometrische Figuren und Körper Muster, Ornamente, Symmetrien Größe und Umfang von Figuren Umgang mit Zeichengeräten

12 Gestaltungsprinzipien des Geometrieunterrichts in der Grundschule Der Geometrieunterricht in der Grundschule sollte an reale Erfahrungen der Schüler aus der Umwelt anknüpfen anwendungsorientiert sein Handlungserfahrungen und praktische Tätigkeiten ermöglichen fächerübergreifend sein (Kunst, Sachunterricht, Sport ) (inhaltlich- integrativ) mit anderen mathematischen Inhalten verzahnt werden spielerisch und sozial organisiert sein sich in Modellen und mit geeigneten Materialien konkretisieren durch entsprechende Übungen auf räumliche Vorstellungsfähigkeit orientiert sein sich über das das ganze Schuljahr erstrecken offener Unterricht sein

13 4.2 Entwicklung räumlichen Vorstellungsvermögens Sieben Primärfaktoren als Grundbedingungen für Intelligenzleistung (THURSTONE): Faktor V (Sprachverständnis) Faktor W (Wortflüssigkeit) Faktor N (Rechenfertigkeiten) Faktor P (Wahrnehmungstempo) Faktor S (räumliches Vorstellungsvermögen) Faktor M (Merkfähigkeit) Faktor R (logisches oder schlussfolgerndes Denken)

14 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Wahrnehmung (spatial perception) Räumliche Beziehungen (spatial relations) Veranschaulichung (visualization) Räumliche Orientierung (spatial orientation) Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental rotation)

15 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Wahrnehmung (spatial perception) beschreibt die Fähigkeit die räumlichen Beziehungen in Bezug auf den eigenen Körper zu erfassen.

16 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Wahrnehmung Beispiel: Wasseraufgabe Bei welchem der geneigten Gläser wird die Wasseroberfläche durch eine horizontale Linie veranschaulicht?

17 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Beziehungen (spatial relations) Dieser Faktor beinhaltet vorwiegend das richtige Erfassen räumlicher Gruppierungen von Objekten oder Teilen von ihnen oder deren Beziehungen untereinander.

18 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Beziehungen Die Testperson soll entscheiden, welche der Figuren gleich, welche verschieden sind, wenn sie durch Drehung auf dem Blatt in die gleiche Lage gebracht werden können.

19 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Veranschaulichung (visualization) umfasst die gedankliche Vorstellung von räumlichen Bewegungen wie Verschiebungen und Faltungen von Objekten oder Teilen von ihnen, ohne Verwendung anschaulicher Hilfen

20 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Veranschaulichung Es sind die Abbildungen mit + zu kennzeichnen, die dieselbe Seite der Karte zeigen, und die Abbildungen mit -, die die Gegenseite zeigen.

21 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Orientierung (spatial orientation) erfordert die Einordnung der eigenen Person in eine räumliche Situation.

22 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Räumliche Orientierung Die Fotografien sollen in die richtige Reihenfolge gebracht werden.

23 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental rotation) umfasst die Fähigkeit, sich schnell und exakt Rotationen von zwei- und dreidimensionalen Objekten vorzustellen.

24 Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens Vorstellungsfähigkeit von Rotationen Welche der vier unteren Figuren stimmen mit der Standardfigur überein?

25 Visuelle Wahrnehmung Visuelle Wahrnehmung ist eine Voraussetzung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Wahrnehmen ist ein aktiver Prozess, der sich vom reinen Sehen unterscheidet. Der Wahrnehmungsprozess ist eng mit dem Gedächtnis und darin gespeicherten Erfahrungen, mit Vorstellungen, mit dem Denken und auch mit der Sprache verbunden. Im Verlauf dieses Prozesses werden Merkmale eines Gegenstandes identifiziert, zueinander in Beziehung gesetzt und miteinander verglichen.

26 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Fünf Bereiche nach MARIANNE FROSTIG: Die visuomotorische Koordination Die Figur-Grund-Diskriminierung Die Wahrnehmungskonstanz Die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen Die Wahrnehmung der Raumlage Zwei weitere Komponenten nach HOFFER: Visuelle Unterscheidung Visuelles Gedächtnis

27 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Die visuomotorische Koordination ist die Fähigkeit des Menschen, das Sehen mit dem eigenen Körper oder Teilen des Körpers zu koordinieren. Beispiele: Fangen eines Balls Ausschneideübungen Nachzeichenübungen

28 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Die Figur-Grund-Diskriminierung ist die Fähigkeit aus einem komplexen Hintergrund bzw. einer Gesamtfigur eingebettete Teilfiguren zu erkennen und zu isolieren Färbe das Rechteck!

29 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Die Wahrnehmungskonstanz kennzeichnet die Fähigkeit, Figuren in verschiedenen Größen, Anordnungen, räumlichen Lagen oder Färbungen wieder zu erkennen und von anderen Figuren zu unterscheiden.

30 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Die Wahrnehmung räumlicher Beziehungen ist die Fähigkeit, Beziehungen zwischen räumlichen Objekten zu erkennen und zu beschreiben.

31 Bereiche der visuellen Wahrnehmung Die Wahrnehmung der Raumlage wird erklärt als das Erkennen der Raum-Lage-Beziehung eines Gegenstandes zu dem Standpunkt der Person, die den Gegenstand wahrnimmt.

32 Weitere Komponenten (Hoffer 1977) Visuelle Unterscheidung Fähigkeit, Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen Objekten zu erkennen Visuelles Gedächtnis Fähigkeit, charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes auf andere präsente Objekte zu beziehen

33 Beispiel: Visuelle Unterscheidung

34 Beispiel: Visuelles Gedächtnis Betrachte das linke Regal. Nun decke es ab. Welches Objekt steht an welcher Stelle?

35 Konsequenzen Defizite in der visuellen Wahrnehmung können sich bemerkbar machen: vermeintliche Unaufmerksamkeit Ziffern- und Buchstabenschreiben Verwechseln seitenverkehrter Buchstaben und Zahlen Frühzeitige Feststellung von Schwierigkeiten und ausreichende Förderung

36 Kopfgeometrie Kopfgeometrie ist ein Mittel zur Schulung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Die Kopfgeometrie umfasst alle mündlich (im Kopf) zu lösenden geometrischen Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs- und das räumliche Vorstellungsvermögen schulen.

37 Kopfgeometrie Beispielaufgabe: Stelle Dir vor: Auf dem Tisch liegen ein Rechteck, ein Kreis, ein Quadrat und ein Dreieck. Der Kreis liegt links vom Rechteck. Das Dreieck liegt zwischen dem Rechteck und dem Quadrat. Das Quadrat liegt rechts außen. In welcher Reihenfolge liegen die Figuren? Reihenfolge (von links): Kreis Rechteck Dreieck - Quadrat

38 Kopfgeometrie Phasen beim Arbeiten mit kopfgeometrischen Aufgaben: Phase 1: Aufgabenstellung Phase 2: Mentales Operieren (gedankliches Lösen) Phase 3: Ergebnisdarstellung (Phase 4: Kontrollphase)

39 Kopfgeometrie Typisierung von Aufgabenstellungen zur Kopfgeometrie (je nach Einsatz von Hilfsmitteln): 1. Reine Kopfgeometrie (ohne Hilfsmittel) 2. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 1 (Aufgabenstellung) 3. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 3 (bei der Ergebnisdarstellung) 4. Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in Phase 1 und 3 (bei der Aufgabenstellung und Ergebnisdarstellung)

40 Reine Kopfgeometrie Der gekippte Würfel 1 Ein Spielwürfel liegt so auf dem Tisch, dass die 6 oben ist. Welche Zahl ist nicht sichtbar, auch nicht wenn man um den Tisch herum geht? Der Würfel wird nun nach rechts gekippt und die 4 liegt oben. Welche Zahl liegt unten, welche links, welche zeigt nach vorn und welche nach hinten?

41 Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 1 Der gekippte Würfel 2 Der gekippte Würfel 2

42 Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 3 Der gekippte Würfel 3 Ein Spielwürfel liegt mit der 6 nach oben auf dem Mittelfeld eines 5 mal 5 Gitters. Finde eine Kippfolge, so dass am Ende die 6 wieder oben, aber auf einem anderen Feld liegt. Zeichne sie an der Tafel an! Zeichne jeweils die oben liegen-den Zahlen in das 5 mal 5 Feld ein.

43 Kopfgeometrie mit Hilfen in Phase 1 und 3 Der gekippte Würfel 4

44 Entwicklung des räumlichen Denkens Stadien der Intelligenzentwicklung nach PIAGET: Sensomotorische Phase (bis 2 Jahre) präoperationale Phase (bis 7 Jahre) konkret-operationalen Phase (bis 11 Jahre) formal-operationale Phase (ab 11 Jahre)

45 Entwicklung des räumlichen Denkens drei Grundformen räumlicher Beziehungen : Topologische Beziehungen Projektive Beziehungen Euklidische Beziehungen

46 Entwicklung des räumlichen Denkens Die Entwicklung topologischer Beziehungen Unterscheidung offen geschlossen (3,6 4 J.) Unterscheidung gebogen geradlinig... fortschreitende Differenzierung euklidischer Figuren (4 7 J.) Synthese komplexer Figuren (6,6 7 J.)

47 Entwicklung des räumlichen Denkens Die Entwicklung projektiver Beziehungen Ab etwa 7 Jahren Konstruktion projektiver Geraden, Erfassen von Perspektiven, Projektionen verstehen Konstruktion der projektiven Geraden Drei-Berge-Versuch

48 Entwicklung des räumlichen Denkens Drei-Berge-Versuch

49 Entwicklung des räumlichen Denkens Die Entwicklung euklidischer Beziehungen Im Alter von 7 bis 12 Jahren beginnt das Kind in Begriffen des euklidischen Raumes zu denken 7 Jahre: Erkenntnis, dass sich Gegenstände durch Verschieben nicht verändern 8 Jahre: Erfassen des Messens und der Invarianz 10 Jahre: Umgang mit Lage und Distanz bei maßstäblichen Verkleinerungen 12 Jahre: Beherrschen des Volumenbegriffs, Unterscheiden von der Oberfläche Versuche zur Wasseroberfläche in einem Gefäß

50 4.3 Bilden geometrischer Begriffe Was ist ein Begriff? Wir sprechen dann von einem Begriff, wenn damit nicht nur ein einzelner Gegenstand oder auch ein Ereignis usw. bezeichnet wird, sondern eine Kategorie, eine Klasse assoziiert wird, in die der konkrete Gegenstand einzuordnen ist. (Franke 2000, S. 72)

51 Arten geometrischer Begriffe Objektbegriffe Eigenschaftsbegriffe Relationsbegriffe

52 Objektbegriffe Objektbegriffe umfassen die ebenen und räumlichen Objekte, die durch konkrete Gegenstände oder Modelle repräsentiert werden. Jeder Objektbegriff steht für eine Klasse von Elementen, die gemeinsame Eigenschaften besitzen. Beispiele: Würfel, Kugel Quadrat, Dreieck, Kreis

53 Eigenschaftsbegriffe Eigenschaftsbegriffe werden zum Definieren von weiteren Begriffen meist Unterbegriffen - benutzt, indem ein Oberbegriff durch Festlegen von Eigenschaften wieder in Klassen unterteilt wird. Damit können als Eigenschaftsbegriffe auch Bezeichnungen für Objekte auftreten. Beispiele: Ecke, Kante, Seitenfläche krumm, gerade, rund

54 Relationsbegriffe Relationsbegriffe beschreiben Beziehungen zwischen geometrischen Objekten. Dabei handelt es sich entweder um Relationen in einer bestimmten Figurenmenge oder um Relationen zwischen zwei Figurenmengen. Beispiele: steht neben, liegt hinter, schneiden sich, ist parallel zu, ist senkrecht zu, ist deckungsgleich zu

55 Entwicklung geometrischen Denkens Modell zur Entwicklung des geometrischen Denkens (VAN HIELE) Dina van Hiele-Geldof und Pierre Marie van Hiele Fünf Stufen des geometrischen Verstehens und Denkens, die besondere Charakteristika des Denkprozesses beschreiben. Nach den VAN HIELES können Schüler im Sekundarstufenalter mehrere der Fähigkeitsstufen im Geometrieunterricht durchlaufen, wenn eine Förderung und Anregung durch geeignete unterrichtliche Maßnahmen erfolgt. Das Modell sieht (im Gegensatz zu PIAGET) eine Entwicklung in den sinnvollen Methoden und Materialangeboten des Unterrichts

56 Entwicklung geometrischen Denkens Modell zur Entwicklung des geometrischen Denkens (nach VAN HIELE) Niveaustufe 0: Anschauungsgebundenes Denken Niveaustufe 1: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen Niveaustufe 2: Erstes Ableiten und Schließen Niveaustufe 3: Geometrisches Schließen / Deduktion Niveaustufe 4: Strenge abstrakte Geometrie

57 Entwicklung geometrischen Denkens Niveaustufe 0: Anschauungsgebundenes Denken Geometrisches Denken ist weitgehend materialgebunden Räumliche Beziehungen werden nur in der unmittelbaren Umgebung von den Schülern erfasst Geometrische Figuren werden als Ganzheiten gesehen es werden noch keine Eigenschaften betrachtet Beispiele (Grundschule): Unterscheiden geometrischer Figuren Legen von Formen, Färben, Falten... Auslegen, Zusammensetzen und Zerlegen von Figuren

58 Entwicklung geometrischen Denkens Niveaustufe 1: Analysieren geometrischer Figuren und Beziehungen Durch Handlungserfahrungen und genaueres Betrachten können Schüler Einzelaspekte geometrischer Figuren unterscheiden und feinere Klasseneinteilungen vornehmen Beziehungen zwischen Figuren und Eigenschaften sind noch nicht einsehbar Beispiele (Grundschule): Spiegelachsen herstellen Geometrische Figuren durch Auflisten unterscheiden Körperformen nach wichtigsten Eigenschaften unterscheiden

59 Entwicklung geometrischen Denkens Niveaustufe 2: Erstes Ableiten und Schließen Beziehungen zwischen den Eigenschaften einer Figur und denen verwandter Figuren können hergestellt werden Für die Schüler sind Klasseninklusionen möglich und geometrische Definitionen verständlich Dieses Verständnis erwächst aus experimentellen Erfahrungen, nicht über geometrische Axiome Beispiele (Grundschule): Zusammenhang Quadrat Rechteck Bewusstes Verändern von Vierecksformen am Geobrett

60 Entwicklung geometrischen Denkens Niveaustufe 3: Geometrisches Schließen / Deduktion Schlussfolgerungen als Grundlagen eines geometrischen Denkens werden verstanden und angewandt Zwischen geometrischen Axiomen, Definitionen, Sätzen, Beweisen kann unterschieden werden. Niveaustufe 4: Strenge abstrakte Geometrie Arbeiten in einem Axiomensystem Diese Stufen (in der Grundschule beginnend) bei der Behandlung geometrischer Begriffe durchlaufen werden.