Grundlagen der Klassischen Theoretischen Physik

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2 J. Honerkamp H. Römer Grundlagen der Klassischen Theoretischen Physik Mit 131 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Professor Dr. Josef Honerkamp Professor Dr. Hartmann Römer Albert-Ludwigs-Universität, Fakultät für Physik, Hermann-Herder-Straße 3 D-7800 Freiburg ISBN ISBN (ebook) DOI / CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Honerkamp, Josef: Grundlagen der Klassischen Theoretischen Physik I J. Honerkamp; H. Römer. Berlin; Heidelberg; NewYork: Springer, NE: Römer, Hartmann: Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Vergütungsansprüche des 54, Abs. 2 UrhG werden durch die "Verwertungsgesellschaft Wort", München, wahrgenommen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1986 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Beideiberg New York 1986 Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1986 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satzarbeiten, Offsetdruck und Bindearbeiten: Brühlsehe Universitätsdruckerei, 6300 Gießen 2153/

4 Vorwort Diese Einführung in die Klassische Theoretische Physik ist aus einer Kursvorlesung für Studenten des dritten und vierten Semesters hervorgegangen, die die Autoren mehrmals in Freiburg gehalten haben. Ziel des Kurses ist es, den Studenten eine zusammenhängende, übersichtliche Darstellung der Hauptgebiete der Klassischen Theoretischen Physik zu geben. Hierbei sollen sowohl ihre wesentlichen Inhalte und Begriffsbildungen als auch die nötigen mathematischen Begriffe und Techniken und deren Anwendungen vermittelt werden als ein solides Fundament, auf dem die weiterführenden Hauptvorlesungen über die Grundgebiete der experimentellen und theoretischen Physik, die in ihrer Mehrzahl nach dem Vordiplom im fünften Semester einsetzen, aufbauen können. Die Autoren haben bei der Konzeption ihres Kurses besonders vier einander fördernde Ziele im Auge gehabt: - konsequente Bildung von Übersicht schon auf früher Stufe, - Herstellung eines ausgewogenen Wechselverhältnisses physikalischer Inhalte und mathematischer Methoden, - Darstellung wichtiger Anwendungen der Physik, und - Einübung der wichtigsten mathematischen Techniken zur Lösung konkreter Probleme. Was den ersten Punkt betrifft, so schien auf jeden Fall eine Beschränkung des behandelten Stoffes geboten. Ziel des Einführungskurses konnte in keiner Weise eine Vorwegnahme der theoretischen Hauptvorlesungen sein. Angestrebt wurde allerdings eine gewisse Vollständigkeit in der Darstellung der Grundlagen und Grundbegriffe der Klassischen Theoretischen Physik, die als Wissensstoff für die Zwischenprüfung und als beständige Basis für das Aufbaustudium bereitgestellt wurden. Wert gelegt wurde auf eine klare und kohärente Darstellung und auf eine gedanklich saubere, aber nicht formalistische Einführung der grundlegenden Begriffe und Methoden. Der Übersichtlichkeit wegen geht die Darlegung gewöhnlich, wenn auch nicht ausnahmslos, vom Allgemeinen zum Besonderen vor. Das begriffliche Gerüst wird zuvor bereitgestellt und nicht so sehr am Beispiel entwickelt. Allerdings spielen sorgfältig ausgewählte Beispiele nach Klärung der strukturellen Grundlagen auch in jedem Abschnitt dieses Einführungskurses eine unentbehrliche Rolle. An ihnen konkretisiert und bewährt sich das vorher Erklärte in ganz entscheidender Weise. Der Übersichtsbildung dienen sollen auch zahlreiche Zusammenfassungen, Rückblicke und Ausblicke, bei denen dem behandelten Sachverhalt sein Platz in einem größeren Zusammenhang zugewiesen oder auf Weiterentwicklungen und mögliche Anwendungen hingewiesen wird.

5 VI Vorwort Es ergibt sich häufig Gelegenheit, herauszustellen wie gewisse mathematische Begriffe und Strukturen in mehreren verschiedenen physikalischen Gebieten und Kontexten mit unterschiedlicher physikalischer Interpretation auftreten. Als besonders wirkungsvolle Klammer in diesem Sinne erwiesen sich z. B. viele einfache Elemente der linearen Algebra. Mathematische Begriffe wurden ganz bewußt in unverfremdeter Weise so vorausgesetzt und, wo sie am Platz sind, benutzt, wie sie in den Vorlesungen über Analysis und lineare Algebra eingeführt werden. So sind sie den Studenten im allgemeinen nicht unbekannt, und diese Art ihrer Verwendung sollte ein Wiedererkennen im physikalischen Zusammenhang erleichtern. Auf diese Weise wird von dem mathematischen Wissen der Studenten wirklich Gebrauch gemacht. Kenntnis und Verständnis sowohl im physikalischen als auch im mathematischen Bereich sollten hiervon profitieren. Die Erfahrungen der Autoren bei diesem Vorgehen waren durchaus ermutigend. Von einem angemessenen Wechselverhältnis zwischen der Mathematik und Physik könnte sicher nicht die Rede sein, wenn Physik nur als Beispiel für die Realisierung mathematischer Strukturen angesehen oder begriffliche Genauigkeit mit formalistischer Pedanterie verwechselt würde. Es wird viel getan, um einem solchen Mißverständnis, dem viele und manchmal auch besonders begabte Studenten zuneigen, zu begegnen. Physikalische und mathematische Argumentation werden oft parallel entwickelt und sorgfältig getrennt gehalten; der physikalische Ursprung mathematischer Annahmen wird, wo irgend möglich, aufgedeckt. Nicht nur aus Platzmangel, sondern mit Absicht sind mathematische Beweise oft erklärtermaßen unvollständig oder fehlen ganz. Die Theorie der Distributionen wird unter Verzicht aufmathematische Feinheiten gerade so weit entwickelt, wie sie mit dem begrifflichen Apparat der linearen Algebra leicht zu verstehen ist. Hier haben auch wieder die zahlreichen Beispiele ihre Bedeutung. Es tauchen nicht nur trockene, stark idealisierte, ihrer leichten Behandelbarkeit wegen gewählte Systeme, wie das "mathematische" Pendel auf, sondern es soll die Mannigfaltigkeit physikalischer Phänomene auch an Beispielen aus augewandten Zweigen der Physik, einschließlich Geophysik und physikalischer Chemie augenfällig werden. Die Diskussion der Beispiele ist so vollständig wie möglich, mit besonderer Betonung auf der physikalischen Interpretation der gewonnenen Resultate. So wird der Bogen gespannt von dem physikalischen Ansatz über die mathematische Formulierung und Diskussion bis zu den anschaulichen physikalischen Resultaten. Gerade hier sollte die eigentümliche enge Verschränkung von mathematischer Deduktion und anschaulicher Interpretation, in der das Wesen theoretischer Physik liegt, besonders deutlich hervortreten. Die durchdiskutierten Beispiele dienen schließlich auch besonders dem vierten genannten Hauptziel, der Einübung mathematisch-technischer Fertigkeiten zum Lösen von Problemen. Diese Techniken- und Methoden-Kenntnis stellt sozusagen das handwerkliche Rüstzeug dar. Vertrautheit mit diesen ergibt sich aber nicht durch einmaliges Anhören der Vorlesung oder Lesen bzw. Nachvollziehen der einzelnen Argumentationsschritte, sondern durch selbständiges Einüben. Es ist für die Entwicklung zur Eigenständigkeit unerläßlich, daß der Student lernt, selbst mit den Gleichungen umzugehen, selbst Lösungsansätze zu finden, selbst ein Problem durchzurechnen, selbst ein Ergebnis in seiner physikalischen Bedeutung zu interpretieren und selbst nachzuprüfen, wie plausibel das Ergebnis wohl ist.

6 Vorwort VII Dieses Lernziel wurde natürlich besonders auch durch die Übungen angestrebt, die den theoretischen Einführungskurs immer begleiteten. Aus Platzgründen haben wir in diesem Buch auf eine Sammlung gelöster Übungsaufgaben verzichtet. Zum Glück existieren ja solche Kollektionen in größerer Zahl. Ein Wort der Erklärung, warum sich diese Darstellung auf die Grundgebiete der Klassischen Physik beschränkt und so moderne, wichtige und "spannende" Gebiete wie Relativitätstheorie und Quantenmechanik ausklammert, mag noch geboten sem: Zunächst hätte nach Meinung der Autoren durch eine Einbeziehung auch dieser Gebiete die Stoffülle das überschritten, was in einem Zweisemestrigen Kurs wenigstens in seinen Grundlagen ohne Verlust an Übersicht und Gründlichkeit mit dem Ziel wirklich aktiver Beherrschung vermittelt werden kann. Weiterhin haben die klassischen Gebiete der Physik den Vorzug, daß sie sich auf Phänomenbereiche beziehen, die der unmittelbaren anschaulichen Betrachtung besser zugänglich sind. Das so entscheidende Wechselspiel der Theoretischen Physik zwischen sich gegenseitig korrigierender formaler Deduktion und anschaulicher Interpretation kann an ihnen besser eingeübt werden. Erst bei zunehmender Sicherheit lassen sich dann formale Schlußweisen mit Zutrauen in den Bereich des weniger Anschaulichen verlängern. Bei der Stoffauswahl der dargestellten klassischen Gebiete war das Bestreben leitend, unnötige Einseitigkeiten zu vermeiden. So haben beispielsweise auch Statistische Mechanik und Thermodynamik sowie die Grundlagen der Strömungslehre den Platz, der ihnen wegen ihrer Bedeutung, gerade für die angewandte Physik, zukommt. Es sollte, wie gesagt, für den Studenten der Physik ein tragfähiges Fundament gelegt werden, von dem aus die Einarbeitung in fortgeschrittenere Disziplinen wie Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Dynamik der Fluide, analytische Mechanik, irreversible Thermodynamik oder Theorie dynamischer Systeme wesentlich erleichtert wird. Wir möchten schließlich all denen danken, die zur Entstehung dieses Buches beigetragen haben. Besonders genannt seien Frau H. Kranz, Frau E. Rupp, Frau E. Ruf und Frau W. Wanoth, die sorgfältig das lange, schwierige Manuskript geschrieben und bei den unzähligen Korrekturen nie die Geduld verloren haben. Frau I. Weber und Frau B. Müller danken wir für das Zeichnen der Abbildungen. Dank gebührt auch den Hörern unserer Vorlesungen "Einführung in die Theoretische Physik", an denen das Konzept erprobt wurde, für zahlreiche Anregungen; ebenso den Betreuern der zugehörigen Übungen, allen voran Herrn Dr. H. C. Oettinger und Herrn Dip I. Phys. R. Seitz, sowie P. Biller, Dr. H. Heß, Dr. M. Marcu, Dipl. Phys. J. Müller, Dipl. Phys. G. Mutschler, Dr. A. Saglio de Simonis, A. Seidel, Dr. H. Simonis, Dipl. Phys. F. K. Schmatzer, Dipl. Phys. M. Zähringer, die uns durch Korrekturlesen wertvolle Hilfe geleistet haben. Besonders dankbar sind wir Herrn Dr. H. Lotsch vom Springer-Verlag für viele nützliche und kenntnisreiche Hinweise zur Gestaltung des Buches sowie Herrn C.-D. Bachern für die geduldige Hilfe bei der Herstellung des Satzes. Freiburg, März 1986 J. Honerkamp H. Römer

7 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung Die Newtonsehe Mechanik Zeit und Raum in der Klassischen Mechanik Die Newtonsehen Gesetze Einige wichtige Kraftgesetze Der Energiesatz für einen Massenpunkt in einem Kraftfeld Mehrere 206 Der 207 Der Qo8 Das 209 Das 2.10 Die Wegintegrale Arbeit und Energiesatz 0 Punktteilchen in Wechselwirkung 0 Impuls und die Impulsbilanz 0 Drehimpuls und die Drehimpulsbilanz 0 Zwei-Körper-Problem 0 Kepler-Problem 0 Streuung Der 2.12 Der 2013 Mechanische 2014 Einige Die Relativbewegung bei der Stre~ung Schwerpunktsystem und Laborsystem Streuquerschnitt Virialsatz Ähnlichkeit allgemeine Betrachtungen zu Mehr-Körper-Problemen Die Lagrangeschen Methoden in der Klassischen Mechanik Problemstellung und Lösungsskizze am Beispiel des Pendels Die Lagrangesche Methode erster Art Die Lagrangesche Methode zweiter Art Die Energiebilanz bei Bewegungen, die durch Zwangsbedingungen eingeschränkt sind Nichthalonorne Zwangsbedingungen Invarianzen und Erhaltungssätze Die Hamilton-Funktion Hamiltonsche und Lagrangesche Bewegungsgleichungen Ausblick auf weitere Entwicklungen der theoretischen Mechanik und die Theorie Dynamischer Systeme Das Hamiltonsche Prinzip der stationären Wirkung Funktionale und Funktionalableitungen Das Hamiltonsche Prinzip Das Hamiltonsche Prinzip für Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen

8 X Inhaltsverzeichnis 4. Der starre Körper Die Kinematik des starren Körpers Der Trägheitstensor und die kinetische Energie eines starren Körpers Definition und einfache Eigenschaften des Trägheitstensors Berechnung von Trägheitstensoren Der Drehimpuls eines starren Körpers, die Eutersehen Kreiselgleichungen Die Bewegungsgleichungen für die Eutersehen Winkel Bewegungen in einem Nicht-Inertialsystem Scheinkräfte in Nicht-Inertialsystemen Das Foucaultsche Pendel Lineare Schwingungen Linearisierung um Gleichgewichtspunkte Einige allgemeine Bemerkungen zu linearen Differentialgleichungen Homogene lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad und konstanten Koeffizienten Homogene lineare Systeme mit n Freiheitsgraden und konstanten Koeffizienten Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen Beispiele für die Berechnung von Eigenschwingungen Die Antwort eines linearen Systems auf äußere Kräfte Harmonische äußere Kräfte Überlagerung von harmonischen äußeren Kräften Periodische äußere Kräfte Beliebige äußere Kräfte Klassische Statistische Mechanik Thermodynamische Systeme und Verteilungsfunktionen Die Entropie Temperatur, Druck und chemisches Potential Systeme mit Austausch von Energie Systeme mit Austausch von Volumen Systeme mit Austausch von Energie und Teilchen Die Gibbssche Fundamentalform und die Formen des Energieaustausches Die kanonische Gesamtheit und die freie Energie Thermodynamische Potentiale Materialgrößen Zustandsänderungen und ihre Realisierungen Reversible und irreversible Realisierungen Adiabatische und nicht-adiabatische Realisierungen Der Joule-Thomson Prozeß Umwandlung von Wärme in Arbeit, der Carnotsche Wirkungsgrad Die Hauptsätze der Wärmelehre Der phänomenologische Ansatz in der Thermodynamik Thermodynamik und Statistische Mechanik Zum ersten Hauptsatz der Thermodynamik

9 Inhaltsverzeichnis XI Zum zweiten und dritten Hauptsatz der Thermodynamik Thermische und kalorische Zustandsgleichung Gleichgewichts- und Stabilitätsbedingungen Gleichgewicht und Stabilität bei Austauschprozessen Gleichgewicht, Stabilität und thermodynamische Potentiale Anwendungen der Thermodynamik Phasenübergänge und Phasendiagramme Die Umwandlungswärme bei Phasenumwandlungen i Lösungen Das Henrysehe Gesetz, die Osmose Das Henrysehe Gesetz Die Osmose Phasenübergänge in Lösungen Mischbarkeit nur in einer Phase Mischbarkeit in zwei Phasen Elemente der Strömungslehre Einige einführende Bemerkungen zur Strömungslehre Die allgemeine Bilanzgleichung Die speziellen Bilanzgleichungen Entropieproduktion, verallgemeinerte Kräfte und Flüsse Die Differentialgleichungen der Strömungslehre und ihre Spezialfälle Einige elementare Anwendungen der Navier-Stokes Gleichungen Die wichtigsten linearen partiellen Differentialgleichungen der Physik Allgemeines Typen linearer partieller Differentialgleichungen, Formulierung von Rand- und Anfangswertproblemen Anfangswertprobleme im IRD Inhomogene Gleichungen und Greensehe Funktionen Lösungen der Wellengleichung Randwertprobleme... : Vorbetrachtungen Beispiele für Randwertprobleme Allgemeine Behandlung von Randwertproblemen Die Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten, Kugelfunktionen und Bessel-Funktionen Der Separationsansatz Die Gleichungen für die Winkelvariablen, Kugelfunktionen Die Gleichung für die Radialvariable, Bessel-Funktionen Lösungen der Helmholtz-Gleichung Ergänzende Betrachtungen Elektrostatik Die Grundgleichungen der Elektrostatik und erste Folgerungen Coulombsches Gesetz und elektrisches Feld Elektrostatisches Potential und Poisson-Gleichung

10 XII Inhaltsverzeichnis Beispiele und wichtige Eigenschaften elektrostatischer Felder Randwertprobleme in der Elektrostatik, Greensehe Funktionen Dirichletsche und Neumannsehe Greensehe Funktionen Ergänzende Bemerkungen zu Randwertproblemen der Elektrostatik Berechnung Greenscher Funktionen, die Methode der Bildladungen Berechnung Greenscher Funktionen, Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen Lokalisierte Ladungsverteilungen, die Multipol-Entwicklung Die elektrostatische potentielle Energie Bewegte Ladungen, Magnetostatik Das Biot-Savartsche Gesetz, die Grundgleichungen der Magnetostatik Elektrische Stromdichte und Magnetfeld Vektorpotential und Amperesches Gesetz Das SI -System der Maßeinheiten in der Elektrodynamik Lokalisierte Stromverteilungen Das magnetische Dipolmoment Kraft, Potential und Drehmoment im magnetastatischen Feld Zeitabhängige elektromagnetische Felder Die Maxwell-Gleichungen Potentiale und Eichtransformationen Elektromagnetische Wellen im Vakuum, die Polarisation transversaler Wellen Elektromagnetische Wellen, der Einfluß der Quellen Die Energie des elektromagnetischen Feldes Energiebilanz und Poynting-Vektor Energiefluß des Strahlungsfeldes Energie des elektrischen Feldes Energie des magnetischen Feldes Selbstenergie und Wechselwirkungsenergie Der Impuls des elektromagnetischen Feldes Elemente der Elektrodynamik kontinuierlicher Medien Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Mikroskopische und makroskopische Felder Gemittelte Ladungsdichte und elektrische Verschiebung Gemittelte Stromdichte und magnetische Feldstärke Elektrostatische Felder in kontinuierlichen Medien Magnetastatische Felder in kontinuierlichen Medien Ebene Wellen in Materie, Wellenpakete Die Frequenzabhängigkeit der Suszeptibilität Wellenpakete, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Reflexion und Brechung an ebenen Grenzflächen Grenzbedingungen, Reflexions- und Brechungsgesetz Die Fresnelschen Formeln

11 Inhaltsverzeichnis XIII Spezielle Effekte bei Reflexion und Brechung a) Der Brewstersche Winkel b) Totale Reflexion c) Krümmung des Lichtweges in einem inhomogenen Medium Anhang A. Die r-funktion B. Kegelschnitte C. Tensoren D. Fourier-Reihen und Fourier-Integrale D.1 Fourier-Reihen D.2 Fourier-Integrale und Fourier-Transformationen E. Distributionen und Greensehe Funktionen E.1 Distributionen E.2 Greensehe Funktionen F. Vektoranalysis und krummlinige Koordinaten F.1 Vektorfelder und skalare Felder F.2 Linien-, Flächen- und Volumenintegrale F.3 Satz von Stokes F.4 Satz von Gauß F.5 Einige Anwendungen der Integralsätze F.6 Krummlinige Koordinaten Literaturverzeichnis Namen- und Sachverzeichnis