Theoretische Physik (Elektrodynamik)
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- Christina Scholz
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1 Theoretische Physik (Elektrodynamik) Andreas Knorr PN 72 Technische Universität Berlin Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.127
2 I Vorkenntnisse und Geschichte (1) Elektrodynamik Beschreibung des elektromagnetischen Felds dessen Erzeugung Ausbreitung und Wechselwirkung mit Ladungen 1. Geschichte Vorkenntnisse C.A. Coulomb (173-18) Kraftgesetz für elektrischen Ladungen J.P Biot ( ) S.Savart ( ) Magnetfeld um stromdurchflossenen Leiter M.Faraday ( ) Induktionsgesetz Elektrisches Feld wird durch zeitliche Änderung des Magnetfelds erzeugt J.C.Maxwell ( ) magnetische und elektrische Effekte vereinheitlicht H.A.Lorentz ( ) Kraft auf Ladung im elektromagnetischen Feld H.Hertz ( ) Nachweis elektromagnetischer Wellen A.Einstein ( ) Elektrodynamik bewegter Körper W.Heisenberg (11-17) u.a. Quantisierung der Ladungsträger P.Dirac (12-18) Quantisierung der elektromagnetischen Felds N.Basov C.Schawlow C.Townes Ausnutzung der stimulierten Emission für Laser (15-58) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.227
3 Vorkenntnisse Grundstruktur (2) Grundgleichungen der Elektrodynamik sind Maxwellgleichungen für die Felder Bewegungsgleichungen für bewegte Ladungen (Felder resultieren aus Ladung Strom) (Beschleunigung der Ladungsträger resultiert aus WW mit Feldern) selbstkonsistentes System Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.327
4 < + ) ) Vorkenntnisse Statische Felder (3) Wiederholung Elekro- und Magnetostatik bzw. in den vollen Maxwellgleichungen Magnetostatik Elektrostatik 1 2 " " " " Bsp.Linienstrom entlang z-achse $ Bsp.Punktladung am Ort ( 7; " " mag el " " " " -$ -$ Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.27
5 Vorkenntnisse Maxwellgleichungen () 2. Maxwellgleichungen Die Felder und werden durch die Maxwellgleichungen bestimmt. Die Quellstärke des elektrischen Felds ist gegeben durch die Ladungsdichte. Feldlinien können entstehen und vergehen. Die Quellstärke des magnetischen Felds ist Null. Die Feldlinien sind geschlossen. Die Wirbelstärke des elektrischen Felds ist gegeben durch die zeitlichen Änderung des Magnetfelds. Das negative Vorzeichnen spiegelt die Lenzsche Regel. Die Wirbelstärke des magnetischen Felds ist gegeben durch die zeitliche Änderung des elektrischen Felds und durch die Stromdichte. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.527
6 + ) ( ( $ 7 5 Vorkenntnisse Differentialoperatoren (5).- $ " 1 $ 3 2 " > = 2 8 < 8 ; Berechnung in kartesischen Koordinaten A x (r) A x (r+dx e x ) V φ( r ) φ( r+dx e x ) r Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.27
7 7 7 Vorkenntnisse Differentialoperatoren () Taylorreihe zur Erinnerung grad grad aus dem vollständigen Differential folgt Interpretation Der Gradient beschreibt den Zuwachs von wenn man sich im Raum um fortbewegt. In der Mechanik konnte mit ein konservatives Kraftfeld dargestellt werden in der Elektrostatik das elektrische Feld. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.727
8 7 5 < 8 ; Vorkenntnisse Differentialoperatoren (7) b) Divergenz eines Vektorfelds div 8 2 Interpretation FlußVolumen durch die Oberfläche (V) eines infinitisimalen Volumens V ist also Maß für entstehende Feldlinien in diesem Punkt (Oberflächenelement zeigt nach außen) (Divergenz eines Felds Quellstärke ) div v( rt)= dy V( r) 1 2 V( r + r) Berechnung in kartesischen Koordinaten dz r=(xyz) dx Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.827
9 Vorkenntnisse Differentialoperatoren (8) 5 5 div div Quellstärke (Divergenz) eines Vektorfelds in kartesischen Koordinaten xyz. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.27
10 7 5 < 8 ; Vorkenntnisse Differentialoperatoren () c) Rotation eines Vektorfelds Def. rot 8 2 Interpretation ZirkulationVolumen auf der Oberfläche eines infinitisimalen Volumens V da Kreuzprodukt V(r) ist also Maß für die Wirbel die in diesem Punkt vorliegen (Rotation eines Felds Wirbelstärke) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.127
11 Vorkenntnisse Differentialoperatoren (1) 7 rot rot Wenn man alle Komponenten betrachtet kommt man somit zur Wirbelstärke in kartesischen Koordinaten. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1127
12 Punktladungen (11). Mikroskopische Punktladungen ist die Bahnkurve der i-ten Punktladung 5 ( r i (t) Bahnkurve des i ten Teilchen mit Ladung q i a) Ladungsdichte (Ladung pro Volumen) b) Stromdichte (Geschwindigkeit mal Ladung Volumen) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1227
13 Punktladungen (12) Strom und Ladung sind über die Kontinuitätsgleichung verbunden Kontinuitätgleichung Die zeitliche Änderung der Ladungsdichte ist durch die Quellstärke der elektrischen Stromdichte bestimmt. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1327
14 < 8 ; 8 8 Punktladungen (13) Interpretation Aus der Kontinuitätsgleichung folgt das Gesetz von Erhaltung der Ladung. Integration über Volumen V Anwendung des Satzes von Gauß 2 Änderung der Ladg. in V Stromdichtefluss durch die Oberfläche=-Strom V (V) dq dt = I Kontinuitätsgleichung beschreibt die Veränderung der Ladung Q im Volumen V durch Ladungstransport durch die Oberfläche (V) negatives Vorzeichnen beschreibt die Dichteverringerung bei Strom I (Stromdichtefluß) durch die geschlossene Oberfläche nach aussen. Der Strom durch Oberfläche wird als Oberflächenintegral über die Stromdichte durch die Oberfläche definiert. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.127
15 + + < + < + Energiebilanz (1) 5.Energiebilanz der Elektrodynamik Wirbel-Gl. < < ähnlich der Kontinuitätgleichung Ladungsdichte Ladungsstrom Poynting-Theorem(Energiebilanz des EM-Felds) em Poynting Vektor Energiestrom em Energiedichte em Vermutung Leistung bei Verrichten von Arbeit am Ladungsstrom Verlorengehen von Feldenergie durch die Beschleunigung der Ladungen Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1527
16 Energiebilanz (15) wie sieht die Arbeit des Felds an einem Ladungsträger aus? k (Kurve) r(t) (aus Einführung I) (Lorentzkraft (rt)) Parameterdarstellung der Kurve in Zeit ( (Magnetfeld verrichtet keine Arbeit) mag Bahnkurve P Leistung Der Poyntingsche Satz beschreibt die zeitliche Änderung der Energiedichte zur Zeit durch zu oder Abströme der Energie und die Umwandlung von Feldenergie in die Ladungsträgerenergie pro Zeiteinheit ( ). des em-felds im Raumpkt. em Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.127
17 Erinnerung an klassisches Mechanik 1. Kanonischer Formalismus für elektromagnetische Felder Ziel Ableitung der Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus Beispiel f. Feldtheorie.1 Erinnerung an klassische Mechanik a) Newtonformalismus im Potential Bahnkurve eines Pkt-teilchens (1d) b) Lagrangeformalismus Lagrangefunktion c) Hamiltonformalismus Hamiltonfkt. alle 3 Formalismen sind äquivalent. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1727
18 Erinnerung an klassische Mechanik 17 d) Verallgemeinerung auf viele Massenpunkte 5 e) Verallgemeinerung für eine Feldtheorie für Feld 5 5 Ausarbeitung dieses Prinzips führt zum kanonischen Formalismus für Felder 5 5 sind zueinander kanonische Variable. ist eine Funktionalableitung (siehe TP I Mechanik). So wie in der Quantenmechanik Kommutatorrelationen zwischen gefordert werden so werden in der Quantenfeldtheorie Kommutatorrelationen für Felder gefordert (hier aber im Moment klassische Theorie). Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.1827
19 VariationsableitungenFunktionalableitungen 18.2 VariationsableitungenFunktionalableitungen statt Variable 5 Feldvariable variieren nicht nach sondern nach dem Feld ähnliche Regeln wird lediglich dem Kontinuum angepaßt. Ableitungsregel I seien kartesische Koordinaten 5 5 Kettenregel Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.127
20 VariationsableitungenFunktionalableitungen 1 Ableitungsregel II Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.227
21 ) ) ) ) 2 Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 2.3 Die Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus Methode um die Feldgleichungen zu gewinnen analog zu sind die Feldkomponenten. Für diese werden Feldgleichungen gesucht el el Potentiale mag (analog zu mag (analog zu 2 ) konstruiert) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2127
22 < + Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 21 a) Ableitung der E-Quellengleichung 2.. ( (gilt im Vakuum in Materie anders L verwenden) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2227
23 2 < < < < Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus 22 -Feldgleichung b) Ableitung der. < < Skalarprodukt partielle Integration < < Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2327
24 + " Ableitung der freien Maxwellgleichungen im Lagrangeformalismus " Maxwellgleichungen können aus den Lagrangegleichungen durch Funktionalableitungen gewonnen werden. wichtig solche Feldtheorien gibt es auch für Schrödigerfeld Diracfeld das hier beschriebene Vorgehen ist wichtig um Bewegungsgleichungen aus gegebener Energie (Messung Erfahrung) zu bestimmen und weitere Wechselwirkungen einzubauen. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.227
25 < + 2 Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 2. Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Ströme raten einer Lagrangefunktion und dann zeigen daß diese die Material- und Maxwellgleichungen erfüllt. Bedeutung aus der bestätigten Lagrangefunktion können die kanonischen Variablen zur Quantisierung gewonnen werden. Ansatz für Lagrangefunktion eines Vielteilchensystems kinetische Energie potentielle Energie der Ladung Ableitung der Bewegungsgleichung für Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2527
26 Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 25 Quellengleichung des elektrischen Felds Bewegungsgleichung für das B-Feld 5 + Die erste beide Terme sind aus dem freien Feldanteil (siehe oben). + + das ist die Wirbelgleichung für das B-Feld Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.227
27 Lagrangeformalismus unter Einbeziehung von Ladungen und Strömen 2 Analog folgt die Bewegungsgleichung für die Teilchen Damit sind die Lorentzkraft-Bewegungsgleichungen für die Teilchen als auch die Maxwellgleichungen voll in der formulierten Lagrangefunktion enthalten. Die Lagrangefunktion und die damit definierten Impulse geben später die Möglichkeit Vertauschungsrelationen zwischen konjugierten Variablen einzuführen und dann zu quantisieren. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) p.2727
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