Maßtheorie. Vorlesungsmitschrift Kiel WS2008/09 Professor Dr.Uwe Rösler. 18. Januar 2011

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1 Maßtheorie Vorlesungsmitschrift Kiel WS2008/09 Professor Dr.Uwe Rösler 18. Januar 2011

2 Kapitel 1 Objekte und Morphismen Wir beschreiben im folgenden die hier behandelten Objekte, die Maßräume, und ihre Morphismen (strukturerhaltende Abbildungen), die meßbaren Abbildungen. 1.1 Mengensysteme Sei Ω stets eine nichtleere Menge. Ein Mengensystem A ist eine Teilmenge der Potenzmenge P(Ω). Ein Mengensystem heißt abgeschlossen unter einer Mengenoperation (P(Ω)) I P(Ω) oder stabil, falls diese Operation angewandt auf Mengen aus A wieder ein Element aus A liefert. Beispiele für Mengenoperationen sind: - (endliche, abzählbare, beliebige) Vereinigung e, a,, - (endliche, abzählbare, beliebige) Durchschnitte e, a,, - Vereinigung paarweiser disjunkter Mengen, - Komplementbildung A c = {ω Ω ω A}, - Differenz A\B = A B c, - symmetrische Differenz A B = (A\B) (B\A), - aufsteigender (absteigender) Limes, - Limes superior lim sup n IN A n := m IN n m A n = {ω {n ω A n } = }, - der Limes inferior lim inf n IN A n := m IN n m A n = {ω {n ω A n } < } - der Limes falls lim sup = lim inf usw.. - Obermengen (A A, A B B A) Besonders wichtige Mengensysteme sind Topologien und σ-algebren. Eine Topologie ist ein Mengensystem, welches die Grundmenge enthält und abgeschlossen ist bezüglich beliebiger Vereinigung und endlichem Durchschnitt. Not: (Ω,τ) für einen topologischen Raum. Eine Menge heißt offen, genau dann wenn sie Element der Topologie ist. Das Komplement einer offenen Menge heißt abgeschlossen. Topologien sind grundlegend für Konvergenzen. (Alle) Konvergenzbegriffe beruhen auf Topologien (siehe Pedersen [9]). (ω x n n x Ω U τ, x U n 0 IN n n 0 : x n U.) Die Morphismen (=strukturerhaltenden Abbildungen) sind die stetigen Funktionen. Eine σ-algebra A ist ein nichtleeres Mengensystem abgeschlossen bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung. Not: (Ω, A) ist ein me sbarer Raum. 1

3 Maßtheorie Eine Menge hei st me sbar, genau dann wenn sie Element der σ-algebra ist. σ-algebren sind grundlegend für die Ma stheorie und die Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Morphismen sind die me sbaren Funktionen bzw. Zufallsgrö sen. Weitere Beispiele sind Filter. Ein Filter ist ein nichtleeres Mengensystem ungleich der Potenzmenge, welches abgeschlossen ist bzgl. endlichem Durchschnitt und Obermengen. In diesem Skript erscheinen weiterhin Algebren und Ringe. Eine Algebra ist ein nicht leeres Mengensysteme, welches abgeschlossen ist bzgl. Komplement und endlicher Vereinigung. Ein Ring ist ein Mengensystem mit der leeren Menge und abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt und der Differenz. Bemerkung: Die Namensgebung Ring, siehe Elstrodt, stammt von dem algebraischen Ring der Funktionen 1 A, A aus dem Mengenring, über dem binären Körper, versehen mit der Addition 1 A + 1 B := 1 A B und der Multiplikation 1 A 1 B := 1 A B. Der Zusatz σ deutet auf etwas abzählbares hin, vgl. Algebra und σ-algebra. Erzeuger: Mengensysteme A werden oft nicht explizit angegeben, sondern als kleinstes Mengensystem charakterisiert, welches ein Mengensystem E enthält und abgeschlossen ist bzgl. gewisser Mengenoperationen. Dieses kleinste Mengensystem A, wenn es existiert, ist der Durchschnitt aller Mengensysteme, abgeschlossen bzgl. der Operationen und E enthaltend. Das Mengensystem E hei st Erzeuger von A (bzgl. den Operationen...) und A hei st das von E erzeugte Mengensystem. Beispiele: Die Borelsche σ-algebra für einen topologischen Raum (Ω, τ) ist die kleinste von der Topologie erzeugten σ-algebra. Die übliche Topologie auf den reellen Zahlen wird erzeugt von allen offenen Intervallen σ-algebren Eine σ-algebra A ist ein nichtleeres Mengensystem abgeschlossen bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung. Ausführlicher: A P(Ω) erfüllt i) A = ii) A A A c A iii) A n A,n IN n A n A. Ein me sbarer Raum ist ein Tupel (Ω, A). Hierbei ist Ω eine nichtleere Menge und A eine σ-algebra darüber. Eine me sbare Menge ist ein Element der σ-algebra. Proposition 1 Jede σ-algebra enthält die leere Menge und die Grundmenge Ω. Sie ist abgeschlossen bzgl. endlicher und abzählbarer Vereinigung, endlichem und abzählbarem Durchschnitt, Differenz, symmetrischer Differenz, aufsteigenden oder absteigenden Folgen, Limes superior und dem Limes inferior. Beweis: Ist A aus der σ-algebra, so auch das Komplement A c. Die Vereinigung über aller Glieder der Folge A,A c,a c,a c... ist in A. Damit ist die Grundmenge Ω in der σ-algebra. Die leere Menge ist das Komplement der Grundmenge Ω. Jede endliche Folge lä st sich zu einer abzählbaren Folge erweitern durch hinzunehmen der leeren Menge. Daher ist A abgeschlossen bzgl. endlicher Vereinigung. Für den Durchschnitt argumentiere ( A n ) c = A c n ist me sbar. Der Rest ist Übung. Für E P(Ω) sei σ(e) die kleinste σ-algebra, die E enthält. Formaler ausgedrückt: σ(e) := E A σ Algebra A. 2

4 U. Rösler (Übung: Dies ist die kleinste E enthaltende σ-algebra.) Ein Erzeuger E einer σ Algebra A ist ein Mengensystem mit σ(e) = A. Der Operator σ hat u.a. die Eigenschaften σ(σ(e)) = σ(e) und E E σ(e) σ(e ). Beispiele: Die kleinste σ-algebra ist stets {,Ω}, die nächst grö sere ist {,A,A c,ω} für ein A,Ω. (Übung: Nächstgrö sere?) Die Potenzmenge P(Ω) ist die grö ste σ-algebra. Die Menge {A Ω A oder A c abzählbar} ist eine σ-algebra. Sei A eine σ-algebra und B eine beliebige Menge aus Ω. Die eingeschränkte σ-algebra ist A B := {A B A A}. Die Borel σ-algebra B = σ(τ) wird von einer Topologie τ auf Ω erzeugt. Die Baire σ-algebra wird erzeugt von der kleinsten Topologie, so da s alle stetigen Funktionen (bzgl. τ) mit kompaktem Träger stetig sind. Spezialisierung auf IR : Der euklidische Abstand definiert eine Metrik auf den reellen Zahlen. Die offenen Kugeln bezüglich dieser Metrik sind die offenen Intervalle ]a,b[, a,b IR. Diese erzeugen die (metrische) Topologie auf den reellen Zahlen. Jede offene Menge in IR ist darstellbar als Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle. Daher wird die Borel σ-algebra auch von allen offenen Intervallen erzeugt. Andere Erzeuger für die Borel σ-algebra B auf IR sind die Topologie selber, das Mengensystem aller kompakten Mengen, die Mengensysteme E [,] := {[a,b] a,b IR} aller abgeschlossenen Intervalle oder analog E ],],E [,[ aller halboffenen Intervalle. Es reicht hier a,b aus einer dichten Teilmenge von IR, z.b. Ql, zu fordern. Ebenso reichen einseitige Intervalle, denn es kann stets a = oder auch b = gesetzt werden. Stellvertretend zeigen wir nur die Richtung σ(e ],[ ) σ(e [,[ ). Es reicht zu zeigen ]a,b[ σ(e [,] ) für jedes a,b. Dies folgt aus E [,] n [a + 1/n,b[=]a,b[. Die Borel σ-algebra auf den reellen Zahlen wird erzeugt von allen Kompakta. Diverses: Eine σ Algebra A hei st separierend, falls es für alle ω ω eine me sbare Mengen A A gibt mit ω A und ω A. Durch Äquivalenzklassenbildung auf dem Grundraum Ω können wir eine σ-algebra überführen in eine separierende σ-algebra. Betrachte auf dem Grundraum Ω die Äquivalenzrelation ω ω A A : ω A,ω A. Seien [ω] die Äquivalenzklassen. Dann ist A/ := {{[a] a A} A A}) eine separierende σ Algebra bezüglich Ω/ := {[ω] ω Ω}. Ein Atom einer σ Algebra ist eine me sbare Menge, die nicht in echt kleinere meßbare Mengen zerlegt werden kann. ( B A, B A B = B = A) Im Regelfall sind die Atome genau die Punktmengen {ω}. Jede separierende σ Algebra über einem abzählbaren Grundraum ist die Potenzmenge. Die Atome sind die einelementigen Mengen {ω} Nachweis einer σ-algebra Zum Nachweis eines Mengensystems als σ-algebra sind zwei Methoden wichtig, über Dynkinsysteme und über monotone Klassen. Ein Dynkinsystem D ist ein nicht leeres Mengensystem abgeschlossen bzgl. der Differenz aufsteigender Mengen und bzgl. der abzählbaren Vereinigung paarweise disjunkter Mengen. (Ausführlicher: D P(Ω) erfüllt i) D A B D B\A D ii) A n D, n IN, paarweise disjunkt n A n D. 3

5 Maßtheorie Lemma 2 Ein Dynkinsystem D ist genau dann eine σ-algebra, wenn D den Grundraum Ω enthält und bzgl. endlichem Durchschnitt abgeschlossen ist. Beweis: Jede σ-algebra ist ein Dynkinsystem, welches abgeschlossen ist bzgl. endlichem Durchschnitt. Für die Umkehrung sind die drei Eigenschaften einer σ-algebra zu zeigen. Für die dritte argumentiere: Zu D n D definiere B n := D n \ i<n D i. Diese Mengen sind paarweise disjunkt und erfüllen B n = D n i<n Di c D und n N B n = n N D n für N IN { }. Hieraus folgt n IN D n D. Bezeichne D(E) das kleinste von E erzeugte Dynkinsystem. (Formaler: D(E) := E B Dynkinsystem B tut s.) Ein Erzeuger eines Dynkinsystems D ist ein Mengensystem E mit D(E) = D. Lemma 3 Ein Dynkinsystem mit Ω ist genau dann eine σ-algebra, wenn es einen Erzeuger abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt besitzt. Beweis: Ist das Dynkinsystem D eine σ-algebra, so ist D selbst ein Erzeuger und abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt. Für die Umkehrung betrachte D A := {B D A B D} mit A D. Dies ist ein Dynkinsystem (Übung). Für jedes Element E aus dem durchschnittstabilen Erzeuger E von D enthält D E den Erzeuger E. Damit gilt E D E D und wegen der Sandwichposition D(E) = D E = D. Als direkte Folgerung enthält jedes D A, A D den Erzeuger E und die Sandwichposition impliziert gilt D(E) = D A = D. Damit ist D durchschnittstabil und nach Lemma 2 eine σ-algebra. Eine monotone Klasse ist ein Mengensystem abgeschlossen bzgl. aufsteigenden und absteigenden Folgen. Sei M(E) die von E erzeugte kleinste monotone Klasse. Hierbei ist M(E) die kleinste monotone Klasse welche E enthält. (Formaler: M(E) := E B monotone Klasse B.) Eine Algebra ist ein Mengensystem welches Ω enthält und abgeschlossen ist bzgl. Komplement und endlicher Vereinigung. Lemma 4 Eine monotone Klasse erzeugt von einer Algebra ist eine σ-algebra. Beweis: Sei A die Algebra und M = M(A) die erzeugte monotone Klasse. M ist komplementabgeschlossen. Das Mengensystem {A M A c M} ist eine monotone Klasse und enthält die Algebra A (Übung). Damit ist das Mengensystem bereits M selbst. M ist eine Algebra. Wir haben nur die endliche Durchsschnittsabgeschlossenheit zu zeigen. Für A M betrachte M A := {B M A B M}. Dies ist eine monotone Klasse. Für A aus der Algebra enthält M A das Erzeugersystem A und ist damit M selber (Sandwichposition). Die Menge {A M M A = M} ist eine monotone Klasse und enthält die Algebra. DAmit ist dies M selbst. Eine Algebra, die auch eine monotone Klasse ist, ist eine σ-algebra. Nur die Abgeschlossenheit gegenüber abzählbarer Vereinigung ist zu zeigen. Sei A n eine Folge aus der Algebra. Die Folge i n A i ist aus der Algebra und konvergiert aufsteigend gegen i A i. Der Grenzwert ist in der monotonen Klasse. 4

6 U. Rösler 1.2 Meßbare Abbildungen Meßbare Abbildungen sind die Morphismen, d.h. die strukturerhaltenden Abbildungen bezüglich me sbarer Räume. Eine Abbildung zwischen meßbaren Räumen heißt meßbar, falls das Urbild jeder meßbaren Menge meßbar ist. Formaler formuliert, eine Abbildung f : Ω Ω von einem meßbaren Raum (Ω, A) in einen anderen meßbaren Raum (Ω, A ) ist meßbar, falls für jede Menge A A gilt f 1 (A ) A. Kürzer formuliert f 1 (A ) A. Merkregel: Die mengentheoretische Struktur wird durch Funktionen zurückgeholt. Das Urbild einer σ-algebra ist stets eine σ-algebra. Das Bild f(a) einer σ-algebra ist im allgemeinen keine σ-algebra. Bemerkung: Die Morphismen für topologische Räume sind die stetigen Funktionen. Eine Funktion auf topologischen Räumen heißt stetig, falls das Urbild offener Mengen offen ist. Proposition 5 Die Komposition meßbarer Funktionen ist meßbar. Beweis: Mit entsprechender Notation (f g) 1 (A ) = g 1 (f 1 (A )) A. Proposition 6 Eine Funktion ist genau dann meßbar, wenn das Urbild eines (und dann jedes) Erzeugers in der σ-algebra liegt. Beweis: Nur die Rückrichtung ist zu zeigen. Sei f : Ω Ω die Funktion und E ein Erzeuger von A. Dann ist {A A f 1 (A ) A} eine E enthaltende σ-algebra und damit gleich A. Folgerung: Jede stetige Funktion ist Borel meßbar. (Per Definition der Stetigkeit ist das Urbild jeder offenen Menge offen ist). Jede stetige Funktion mit kompaktem Träger ist meßbar bezüglich der Baire σ-algebra. (Die kleinste Topologie, bzgl. der alle stetigen Funktionen mit kompaktem Träger stetig sind, ist ein Erzeugendensystem der Baire σ-algebra.) Notation: F((Ω, A),(Ω, A )) bezeichne die Menge aller A A meßbaren Funktionen f : Ω Ω. Der Einfachheit halber benutzen wir auch F(Ω, A) oder aber F. Notation: Anstelle der korrekten Schreibweise {ω Ω f(ω) A } für das Urbild von A unter f benutzen wir {f A } oder auch f A. Allgemein wird die Realisierung ω weggelassen wenn immer möglich. Dies ist ein allgemein akzeptierter (kleiner) Notationsmißbrauch. Spezialisierung auf IR: Die reellen Zahlen seien stets mit der Borel σ-algebra B versehen. Sei f : Ω IR eine Funktion. In Formeln unterdrücken wir nach Möglichkeit das ω aus Gründen der Übersichtlichkeit. Dies führt zuweilen zu einem Notationsmißbrauch. Wir schreiben z.b. {f x} für {ω Ω f(ω) x}. Eine Funktion f : Ω IR ist genau dann meßbar, wenn eine der äquivalenten Kriterien erfüllt ist: - x IR : {f x} A, - x IR : {f > x} A, - x IR : {f x} A, - x Ql : {f < x} A. Die Aussage gilt auch, falls obiges nur für x aus einer dichten Teilmenge von IR gefordert wird. 5

7 Maßtheorie Proposition 7 Seien f n : Ω IR, n IN, me sbare Funktionen. Dann sind meßbar, sofern wohldefiniert und endlich, f 1 +f 2, f 1, f 1 f 2, 1/f 1, sup n f n, inf n f n, lim sup n f n,lim inf n f n, lim n f n. Beweis: Die Kernpunkte für die Meßbarkeit sind {f + g < x} = q Ql {f < x + q, g < q}, { g < x} = {g > x}. Bezüglich der Multiplikation argumentiere {fg < x} = q Ql {f < x/q, g < q} ist meßbar für f, g überall strikt grö ser als 0. Allgemeine f, g zerlege in Positivund Negativteil. {lim sup n f n > x} = lim sup n {f n > x}, lim sup f n = lim inf f n, lim f n = 1 limsup fn=liminf f n lim supf n, {sup n f n > x} = n {f n > x}, inf f n = sup( f n ). q.e.d Warnung: In obiger Proposition ist die Abzählbarkeit der Operationen wichtig. Das Supremum überabzählbar vieler meßbarer Funktionen ist im allgemeinen nicht mehr meßbar. Jedoch ist es schwer, eine nicht messbare Funktion anzugeben. Dies ist (im ZFC-Axiomensystem) nur mit Hilfe des Auswahlaxiomes möglich. Wir erweitern die reellen Zahlen um +, zu IR. Sei eine isotone (ordnungserhaltende) und bijektive Abbildung von IR auf ( 1,1) gegeben, etwa x. Erweitere diese x 1+ x Abbildung durch Zuordnung von +, nach +1, 1. Versehe IR mit der zurückgeholten Topologie und entsprechenden Borel σ-algebra. (Diese ist unabhängig von der gegebenen Bijektion.) Wir benutzen ebenso IN,Ql und Z. Die obigen Aussagen gelten sinngemäß auch für erweiterte Funktionen f : Ω IR. Der Raum der meßbaren, reellwertigen Funktion ist ein Vektorraum. Dies gilt nicht, falls wir die Werte +, zulassen. Die Baire σ-algebra ist gleich der Borel σ-algebra für die reellen Zahlen. 1.3 Mengenfunktionen Wir betrachten Mengenfunktionen von einem Mengensystem in die reellen oder erweiterten reellen Zahlen. Eine Mengenfunktion µ : A IR oder erweiterte Mengenfunktion µ : A IR heißt - positiv, falls µ(a) 0 für alle A A, - isoton bzw. ordnungserhaltend, falls µ(a) µ(b) für A B, - additiv, falls µ(a B) = µ(a) + µ(b) - σ-additiv, falls µ( n IN A n ) = n IN µ(a n), - σ-stetig von unten, falls lim n µ(a n ) = µ(lim n A n ) für aufsteigende A n, - σ-stetig von oben, falls lim n µ(a n ) = µ(lim n A n ) für absteigende A n, - σ-stetig in der leeren Menge, falls lim n µ(a n ) = µ( ) für A n ց, - subadditiv, endlich subadditiv oder σ-subadditiv, falls µ( n I A n) n I µ(a n) gilt für I endlich oder abzählbar. Hierbei sind A,B,A B,A n, n A n aus dem Mengensystem. Bemerkung: σ steht stets für etwas Abzählbares Maße Ein Maß ist eine positive, σ-additive, erweiterte Mengenfunktion nicht identisch unendlich auf einer σ-algebra. Die Eigenschaften in äquivalenten (Übung), formelmäßigen Aussagen, sind i) µ( ) = 0 ii) A A µ(a) 0 6

8 U. Rösler iii) A n A,n IN, paarweise disjunkt µ( n A n ) = n µ(a n). Proposition 8 Ein Maß ist isoton, additiv, subadditiv, σ-subadditiv und σ additiv. Der Beweis ist einfach. Übung. Ein Maßraum (Ω, A,µ) ist ein meßbarer Raum versehen mit einem Maß. Ein endliches Maß ist ein Maß µ : Ω IR. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Maß mit µ(ω) = 1. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß. Jedes endliche Maß µ läßt sich zu einem W-maß transformieren via cµ mit c = 1/µ(Ω). Notation: P (=Probability) für ein W-maß. Ein Punktmaß auf ω Ω ist ein W-maß δ ω mit δ ω (A) = 1 A (ω). Ein diskretes Maß ist eine positiv gewichtete Summe von Punktmaßen. Jedes diskrete Maß hat eine Darstellung µ = ω Ω f(ω)δ ω mit einer Funktion f : Ω R +. Die Abbildung zwischen diskreten Maßen und erweiterten Funktionen f wie oben ist bijektiv (vorausgesetzt die σ Algebra umfaßt alle Punktmengen {ω}). Es gilt µ(a) = ω A f(ω). Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum mit diskretem W-maß. Ein Laplaceraum ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum mit endlicher Grundmenge und dem Maß P(A) = A Ω. Das Zählmaß ist das Maß µ mit µ(a) = A. Hier einige Beispiele und Standardkonstruktionen Bernoulliverteilung Ber(p) zum Parameter 0 p 1. Ω = {0,1}, A = Pot(Ω), µ({1}) = p = 1 µ({0}) =: 1 q. Geometrische Verteilung Geo(p) zum Parameter 0 p 1. Ω = IN 0, A = Pot(Ω), µ({k}) = qpk. Poissonverteilung Poi(λ) zum Parameter λ > 0. Ω = IN 0, A = Pot(Ω), µ({k}) = e λ λk k!. Binomialverteilung Bin(n,p) zu den Parametern n IN und p [0, 1]. Der W-raum ist (Ω = {0,1,...,n}, P(Ω),P) mit ( ) n P(k) = p k (1 p) n k k für k Ω. Beispiel: Sei Ω überabzählbar. Das Mengensystem der Teilmengen A Ω mit A abzählbar oder A c abzählbar ist eine σ-algebra. Die Mengenfunktion µ mit µ(a) = 0 falls A abzählbar und anderenfalls ist ein Maß. Eingeschränktes Maß: Sei Q eine meßbare Menge. Die Einschränkung (Q, A Q ) := {Q A A A}), µ Q (.) := µ(q.)) ist ein Maßraum. bedingte Wahrscheinlichkeit: Ist P ein W-mass und P(Q) > 0, so sprechen wir von A A P(A Q) := P(A Q) P(Q) 7

9 Maßtheorie als bedingte W-keit von P unter Q. Erweitertes Maß: Durch Umkehrung obiger Konstruktion läßt sich ein Maß erweitern. Übung. Proposition 9 (Ma seigenschaften) Jedes Maß ist additiv, monoton, subadditiv und σ- subadditiv. Beweis: Additiv Erweitere die endliche Folge durch die leere Menge zu einer abzählbaren Folge und verwende die σ-additivität. Monoton Für me sbare Mengen A B gilt µ(b) = µ(a) + µ(b\a) µ(a). σ-subadditiv Wir verwenden die Disjunktifizierung. Für eine Folge A n me sbarer Mengen definiere rekursiv B 1 = A 1 und B n = A n \ i<n A i. Dann sind die B n paarweise disjunkt, i n B i = i n A i und es gilt µ( n A n ) = µ( B n ) = µ(b n ) µ(a n ). n n n Mit M = M(Ω, A) bezeichnen wir den Raum der Maße über dem meßbaren Raum (Ω, A). Dies ist ein konvexer Kegel (= eine konvexe Menge, die positive Vielfache enthält). (Die Addition ist gegeben durch (µ + ν)( ) = µ( ) + ν( ) und die Multiplikation durch (cµ)( ) = c(µ( )) für c 0). Die W-maße bilden eine konvexe Menge. Die Menge V := {µ ν µ,ν endliche Maße } ist ein Vektorraum. Die Element heißen Ladungsverteilung. Bildmaß: Sei f : Ω Ω eine meßbare Funktion, µ ein Maß auf A. Die Mengenfunktion µ f, definiert durch A A µ(f 1 (A )) ist ein Maß auf A. Es heißt transportiertes Maß oder auch Bildmaß. Eine maßerhaltende Abbildung ist eine messbare Funktion f : Ω Ω auf Maßräumen (Ω, A,µ),(Ω, A,µ ) mit µ f = µ. Isomorphismen Die Isomorphismen auf Ma sräumen sind ma serhaltende Isomorphismen der me sbaren Räumen. (Isomorphismen der meßbaren Räume sind meßbare bijektive Funktionen der Grundräume, deren Inverses meßbar ist Warum σ-additivität? Die σ Additivität ist äquivalent zu einer σ-stetigkeit. Grundlegend ist das Theorem 10 Sei (Ω, A) ein meßbarer Raum und µ : A IR eine positive, additive, erweiterte Mengenfunktion mit µ( ) = 0. µ ist ein Maß genau dann, wenn es σ-stetig von unten ist. Ist µ endlich, so sind äquivalent: i) µ ist σ-stetig von unten. ii) µ ist σ-stetig von oben. iii) µ ist σ-stetig in der leeren Menge. iv) µ ist σ-stetig. 8

10 U. Rösler Beweis: durch Disjunktifizierung: Sei A n ր A. Definiere B n := A n \A n 1. Es folgt lim n µ(a n ) = lim n µ( n i=1 B i) = lim n n i=1 µ(b n ) = n i) Geeignete Umstellung obiger Argumentation. i) ii) Sei B n ց B A. Betrachte B c n ր Bc und verwende µ(ω) µ(b n ) = µ(b c n ) ր µ(bc ) = µ(ω) µ(b). µ(b n ) = µ(lim n B n ). ii) i) Für A n ր A betrachte A c n ց Ac und argumentiere analog. ii) iii) Spezialisierung. iii) ii) Für A n ց A betrachte A n \A ց. i) iv) Benutze ii) und Definition Vollständige und σ-endliche Ma sräume Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Eine µ-nullmenge ist eine Menge aus dem Grundraum, für die es eine meßbare Obermenge A mit µ(a) = 0 gibt. Eine Nullmenge braucht nicht me sbar zu sein. Die Menge N aller Nullmengen (bzgl. µ) ist abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung und Teilmengen. Ein Maßraum hei st vollständig falls die σ-algebra alle Nullmengen enthält. Die kleinste σ-algebra A v erzeugt von A und allen µ-nullmengen heißt Vervollständigung von A bzgl. µ. Proposition 11 A v = {A N A A,N N } = {B Ω A,C A : A B C,µ(C\A) = 0} Beweis: Einfach. Die Mengensysteme sind σ-algebren und enthalten A und N. Sie sind auch nicht größer. Wir können stets das Maß µ auf die vervollständigte σ-algebra A v als Maß fortsetzen durch µ v (A v ) = µ(a) mit A v = A N, A v A v,a A,N N. Übung. Eine Aussage A über Realisierungen ω gilt fast sicher, (f.s.), falls sie bis auf eine Nullmenge für alle Realisierungen gilt. σ-endlichkeit: Viele Aussagen über Ma se werden zuerst für endliche Ma se gezeigt und dann für σ-endliche. Ein Ma s µ heißt σ-endlich, falls es eine gegen Ω aufsteigende Folge von Mengen A n A endlichen Ma ses gibt. Äquivalent ist die Existenz einer Zerlegung (B n ) n von Ω in abzählbar viele Mengen endlichen Maßes gibt. ( B n A,n IN n B n = Ω, µ(b n ) <.) (Die Äquivalenz ersieht man aus B n = A n \A n 1.) Der Schritt von endlichem Ma s auf σ- endliches Ma s beruht in der Regel auf der abzählbaren disjunkten Zerlegung B n. Zeige die Eigenschaft auf jedem B n und setze dann zusammen. (Genauer, erst für das Ma s A A µ(a B n ) und dann für A A µ(a) = n µ(a B n).) Der Schritt von endlichem Ma s auf beliebiges, nicht σ-endliches Ma s beruht häufig auf einer lokalen Form der Aussage. Argumentiere die Eigenschaft gilt lokal, d.h. in allen (geeigneten) Mengen von endlichem Ma s, wobei hierauf angewandt das Ma s endlich ist. Der Satz von Caratheodory ist von dieser Struktur. 9

11 Maßtheorie 10

12 Kapitel 2 Über die Existenz von Maßen Dieser Abschnitt zeigt die Existenz von nicht diskreten Maßen via der Caratheodory Maßerweiterung. Anschließend betrachten wir Maße auf den reellen Zahlen, insbesonders das Lebesguemaß, und zeigen einige Eigenschaften. Heuristik: Es geht um die Existenz von allgemeinen Maßen. Dazu wird auf einem speziellen Mengensystem einfacher Struktur eine additive Mengenfunktion konstruiert und dann zu einem Maß fortgesetzt. Der (vielleicht) mathematisch natürlichere Zugang ist eine Erweiterung über Kapazitäten, siehe Meyer [8]. Wir benutzen den elementareren Zugang über das äußere Maß. Standardbeispiele sind das Lebesgue Maß und Maße auf Produkträumen. Ein Ring ist ein Mengensystem mit der leeren Menge und abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt und der symmetrischen Differenz. (Äquivalent ist, enthält die leere Menge und ist abgeschlossen bzgl. endlicher Vereinigung und der Differenz.) Ein Inhalt auf einem Ring ist eine positive, additive und erweiterte Mengenfunktion. Ein Prämaß auf einem Ring ist ein von unten σ-stetiger Inhalt. Ein Prämaß auf einer σ-algebra ist ein Maß. Satz 12 (Caratheodory) Jedes Prämaß auf einem Ring läßt sich fortsetzen zu einem Maß auf die vom Ring erzeugte σ-algebra Beweis von Caratheodory Ein äußeres Maß ist eine isotone, σ-subadditive, erweiterte Mengenfunktion auf der Potenzmenge, die die leere Menge auf die Null abbildet. In Formeln, µ : P(Ω) IR mit i) µ ( ) = 0 ii) A B µ (A) µ (B) Isotonie iii) A n P(Ω),n IN µ ( n A n ) n µ (A n ) Subadditivität. Notation inf =. Proposition 13 Sei V ein Mengensystem mit der leeren Menge und µ eine positive, erweiterte Mengenfunktion auf V mit µ( ) = 0. Dann ist die Mengenfunktion µ : P(Ω) IR + definiert durch µ (Q) := inf{ µ(v n ) V n V, Q V n } n IN n ein positives äußeres Maß. Beweis: Nur die dritte Eigenschaft ist zu zeigen. Sei Q n Ω, n IN eine Überdeckung von Q. Wähle zu vorgegebenen ǫ n > 0 eine Überdeckung V n,m V,m IN, von Q n mit 11

13 Maßtheorie µ (Q n ) m µ(v n,m) µ (Q n ) + ǫ n. Aus Q n Q n n,m V n,m folgt µ (Q) µ(v n,m ) n,m n (µ (Q n ) + ǫ n ). Dies gilt für alle Folgen ǫ n, d.h. µ (Q) n µ (Q n ). Beweis von Caratheodory: Sei µ das Präma s auf dem Ring R und sei µ das äu sere Ma s dazu (Proposition 13). Definiere A = A(µ,IR) := {A Ω µ (A) <, ǫ > 0 R R : µ (A R) < ǫ} A := {A Ω R R, µ(r) < : R A, R A c A}. Dann tut s (A,µ ). µ = µ auf R. Die Richtung µ µ folgt aus der Definition des äußeren Maßes µ. Für die Umkehrung sei R R und R n R eine Folge mit R n R n und µ (R) n µ(r n) µ (R) + ǫ für gegebenes ǫ > 0. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sind die R n,n IN disjunkt und R n R. (Ansonsten verwende R n R mit R n := R n \ i<n R i. Ein Ring ist auch abgeschlossen bzgl. e, \.) Dann gilt µ(r) = lim N µ( n N R n ) = lim N n N µ(r n ) n µ(r n ) µ (R) + ǫ. Sei R C n ր Q so gilt µ (C n ) µ (Q). Verwende die disjunkten Mengen D n := C n \C n 1 R, D 1 = R 1. Beachte C N = n N D n. Es gilt n N µ(d n ) = µ(c N ) = µ (C N ) µ (Q) n µ(d n ). Die Sandwichposition mit N liefert die Aussage. Ist Ω im Ring und µ ein endlicher Inhalt, so ist A eine σ-algebra. A enthält ganz Ω und ist komplementabgeschlossen da A B = A c B c gilt. Zum Nachweis a -Abgeschlossenheit sei A = n A n mit A n A. Wähle R n R mit µ (R n A n ) < ǫ n hinreichend klein. Die Menge C N = n N R n ist aus dem Ring. (Beachte ein Ring mit Grundmenge Ω ist abgeschlossen bzgl. Komplement und endlicher Vereinigung.) Dann gilt mit C = n R n und D n := C n \C n 1 R µ (C N A) µ (C N C) + µ (C A) µ (C\C N ) + n µ (R n A n ) µ(d n ) + n>n n ǫ n. Der zweite Term ist klein durch Wahl der ǫ n und der erste ist beliebig klein für N hinreichend groß ( n µ(d n) < ) Ist Ω im Ring und µ ein endlicher Inhalt, so ist µ ein Inhalt auf A. Wir verwenden obige Notation mit paarweise disjunkten A n, n IN und A n,r n die leere Menge für n > N. Die Subadditivität liefert µ (A) n N µ (A n ). Für die Umkehrung verwende D n R n,ǫ = n ǫ n und µ (A n ) (µ (A n R n ) + µ (R n D n ) + µ (D n )) = I + II + III n n 12

14 U. Rösler I ǫ II = µ (R n C n 1 ) µ (R n R i ) n n i<n (µ (R n A n ) + µ (A n A i ) + µ (A i R i )) n Nǫ i<n III = µ (D n )) = µ (C N ) µ (C N A) + µ (A) n n µ (R n A) + µ (A) ǫ + µ (A). Ist Ω im Ring und µ endlich, so ist µ ein Ma s auf A. Mit obiger Notation argumentiere für eine Folge (A n ) n paarweise disjunkter Mengen n N µ (A n ) = µ ( n N A n ) µ (A) n µ (A n ) für alle N. Wir kommen jetzt zu allgemeinen Ma sen µ. Vorbetrachtung: Zu einem Ringelement R betrachte die Einschränkung R R = R R = {B R B R} des Ringes und µ R = µ(r ) des Inhalts auf R. R p ist ein Ring, µ R ist ein Inhalt und Präma s, µ (R ) = (µ R ) ( ) und A R := A R = A(µ R, R R ). A ist eine σ-algebra. Sei A = n A n, A n A und R R mit µ(r) <. Beachte das Mengensystem A R ist eine σ-algebra und enthält alle A n R sowie A c n R. Damit auch alle A R = n(a n R) und A c R = n (A c R). µ ist ein Ma s auf A. Wir behalten die Notation wie oben bei. Die σ-subadditivität liefert µ ( n A n ) n µ (A n ). Für die umgekehrte Ungleichung nehme oeda µ ( n A n ) < an. Dies impliziert µ(c N ) < für jedes N. Es gilt µ (A) µ (C N A n ) = µ (C N A n ) µ (R n A n ) n ) ǫ n ). n N n N n N n N(µ(A (Das erste Gleichheitszeichen benutzt den endlichen Inhalt µ C N auf A CN und ist der Clou.) Mit N und ǫ n gut gewählt folgt die Aussage. Bem: Die σ-algebra A ist vollständig bzgl. µ. Bem: Ist Ω aus dem Ring und µ ein endlicher Inhalt, so gilt A = A. Die Mengen A aus A haben genau die Eigenschaft, es gibt eine Menge R σ(a) mit µ (R A) = 0. Dies sind genau die Mengen, für die es B,C σ(ir) gibt mit B A C und µ (C\B) = 0. Der obige Beweis liefert gleichzeitig eine detailierte Beschreibung der σ-algebra A. Der Standardbeweis des Satzes von Caratheodory benutzt µ -me sbare Mengen. Eine Teilmenge B des Grundraumes heißt meßbar bzgl. einem äußeren Maß µ, kurz µ -meßbar, falls für alle Q Ω gilt µ (Q) = µ (Q B) + µ (Q B c ). (2.1) Lemma 15 besagt, das äu sere Ma s ist ein Maß auf der σ-algebra B der µ -me sbaren Mengen. (Es verbliebe zu zeigen, µ = µ auf dem Ring und die Ringmengen sind µ -me sbar.) Die nächste Proposition zeigt die Gleichheit der σ-algebren. Proposition 14 Unter den Voraussetzungen des Satzes von Caratheodory gilt A = B. 13

15 Maßtheorie Beweis: Sei B 1 die Menge aller Mengen B Ω mit µ (R) = µ (R B) + µ (R B c ) (2.2) für alle R R. A B 1 Sei A A und R R mit oeda µ(r) <. Beachte µ eingeschränkt auf die Potenzmenge von R ist das äu sere Ma s zu dem Inhalt µ, welches auf R R eingeschränkt wurde. Dies ist eine endlicher Inhalt und (2.2) gilt. B 1 B Sei B B 1 und oeda µ(q) <. Finde R n IR, Q C = n R n mit n µ(r n) µ (Q) + ǫ. OEdA sind die R n,n IN paarweise disjunkt. µ (Q) µ (Q B) + µ (Q B c ) µ (C B) + µ (C B c ) n µ (R n B) + n µ (R n B c ) = n µ (R n ) µ (Q) + ǫ. B A Für B B und R R mit µ(r) < ist B R A zu zeigen. Sei R B C = n R n mit R n R und n µ(r n) µ (R B) + ǫ. µ ((R B) C) = µ (C\(R B)) = µ (C) µ (R B) ǫ. Das Argument mit B c verläuft analog. Lemma 15 Für jedes äußere Maß µ ist (Ω, B,µ ) ein Maßraum. Beweis: Im folgenden sei Q Ω und oeda sei µ (Q) <. (Beachte die σ Subadditivität.) B ist eine Algebra. Das Mengensystem B enthält Ω und ist komplementabgeschlossen. Für den Abschlußnachweis bzgl. der Vereinigung zweier Mengen seien A,B A. Wir zeigen die µ -Meßbarkeit von A B. Dazu etabliere µ (Q) = µ (Q A B) + µ (Q A B c ) + µ (Q A c B) + µ (Q A c B c ) = µ (Q A) + µ (Q A c ). Q durch Q (A B) ersetzt ergibt µ (Q (A B)) = µ (Q A B) + µ (Q A B c ) + µ (Q A c B). Die Subtraktion beider Zeilen ergibt die Behauptung. µ ist ein Inhalt auf B. Leicht. B A n ր A µ (Q A n ) ր µ (Q A) Definiere B n := A n \A n 1. B n,n IN, ist eine Folge paarweiser disjunkter Mengen aus B mit n i=1 B i = A n. Per Induktion nach n zeige n µ (Q B i ) = µ (Q A n ). i=1 14

16 U. Rösler Dies ist leicht. Damit folgt die obere Behauptung via lim n µ (Q A n ) = n µ (Q B n ) µ (Q ( n B n )) = µ (Q A). µ ist ein Prämaß. Vorherige Aussage mit Q =. B ist monotone Klasse. Für B A n ր A ist zu zeigen: A B. Es gilt µ (Q) = µ (Q A n ) + µ (Q A c n) µ (Q A n ) + µ (Q A c ). Dies ergibt µ (Q) µ (Q A) + µ (Q A c ) im Limes. Wegen der letzten Bemerkung reicht dies. µ ist ein Maß auf B. B eine σ-algebra, da B eine Algebra und eine monotone Klasse ist (Lemma 4). Die σ-stetigkeit von unten war die zweitletzte Behauptung (mit Q = ) Eindeutigkeit der Caratheodory Erweiterung Über die Eindeutigkeit gibt der folgende Satz Auskunft. Satz 16 Seien µ, ν zwei Maße, die auf einem Erzeuger der σ-algebra A übereinstimmen. Der Erzeuger sei abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt und es gebe eine gegen Ω aufsteigende Folge E n aus dem Erzeuger mit endlichem µ-maß. Dann sind µ und ν identisch. Beweis: Sei E aus dem Erzeuger mit µ(e) < und D E := {A E A A,µ(A E) = ν(a E)}. D E ist die Einschränkung A E der σ-algebra A auf E. Das Mengensystem D E ist ein Dynkinsystem (leicht) und enthält den e stabilen Erzeuger D eingeschränkt auf E. Nach (Lemma 2) gilt D E = A E. {A A µ(a) = ν(a)} = A. Argumentiere µ(a) = lim n µ(a E n ) = lim n ν(a E n ) = ν(a). Bemerkung: Ohne σ-endlichkeit ist die Eindeutigkeit nicht gegeben. Betrachte als Erzeuger die Menge der halboffenen Intervalle (a, b] mit a < b rationale Zahlen. Als Ma se wähle das Zählma s und das triviale Ma s, welches jeder Menge ungleich der leeren Menge den Wert zuordnet. Beide Maße sind gleich auf dem Erzeuger, aber verschieden auf der erzeugten σ-algebra, hier die Borel σ-algebra. (Auch die Hausdorffmaße tun s.) Wann ist ein Inhalt ein Prämaß Wann ist ein Inhalt σ-stetig von unten? Eine kompakte Klasse oder ein Mengensystem mit der endlichen Durchschnittseigenschaft ist ein Mengensystem, sodaß jede abzählbare Auswahl mit gemeinsamen leeren Durchschnitt bereits eine endliche Teilauswahl mit leerem Durchschnitt enthält. In Formeln, K P(Ω) ist ein kompaktes Mengensystem genau dann, wenn n J K n =. * K n K, n IN : ( n IN K n = ) J IN J < : Durch Negation erhalten wie die äquivalente Bedingung * K n K, n IN : ( J IN J < n J K n ) n K n. 15

17 Maßtheorie Anstelle der endlichen Teilmengen J reicht es {1,...,n 0 } mit n 0 IN zu nehmen. Ein Beispiel, vielleicht das einzig wichtige, ist die Menge der kompakten Mengen eines topologischen Raumes. (Siehe auch ) (Diese erfüllen etwas mehr, da Abzählbarkeit nicht gefordert werden muß.) Lemma 17 Sei R ein Ring, µ ein endlicher Inhalt darauf und K ein kompaktes System. Falls es für alle R R und alle ǫ > 0 eine Menge K K und ein B R gibt mit B K R µ(r\b) < ǫ gibt, so ist µ ein Prämaß auf dem Ring. Beweis: Wir zeigen, vergleiche Satz 10, die σ-stetigkeit in der leeren Menge, d.h. IR R n ց µ(r n ) n 0. Dies reicht. Zu obigen R n wähle B n R,K n K mit B n K n R n und n µ(r n\b n ) hinreichend klein. Wegen n K n n R n = gibt es ein n 0 mit n n 0 K n =. Dies impliziert n n 0 B n =. Es folgt µ(r n \B n ) µ(r n \B n ) n n 0 n Die rechte Seite ist hinreichend klein. µ(r n0 ) = µ(r n0 \ B n ) n n 0 = µ( R n0 \B n ) µ( R n \B n ) n n 0 n n 0 Die Standardanwendung dieses Lemmas betrifft einen topologischen Raum Ω und das kompakte System der kompakten Mengen Konstruktion von Inhalten und Algebren Ein Halbring ist ein Mengensystem mit der leeren Menge, abgeschlossen bzgl. endlichem Durchschnitt und das Komplement einer Halbringmenge ist darstellbar als endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Halbringmengen. Proposition 18 Der von einem Halbring erzeugte Ring besteht genau aus den endlichen, paarweise disjunkten Vereinigungen von Halbringmengen. In Formeln, für einen Halbring H gilt IR(H) = { n N H n N IN, H n H disjunkt }. Beweis: Zeige, ein Mengensystem mit der leeren Menge ist ein Ring genau dann, das Mengensystem abgeschlossen ist bzgl. der Differenz und endlicher Vereinigung. Der Rest ist nachrechnen. Standardbeispiel: Das Mengensystem aller halboffenen Rechtecke (a, b], 0 < a b < 1 in (0,1] ist ein Halbring. (Übung). Dasselbe gilt für alle halboffenen Rechtecke (a 1,b 1 ] (a 2,b 2 ] im (0,1] mit 0 < a i b i 1 und analog auch für höhere Dimensionen. 16

18 U. Rösler Proposition 19 Eine positive, additive, erweiterte Mengenfunktion auf einem Halbring hat eine eindeutige additive Fortsetzung auf den vom Halbring erzeugten Ring. Beweis: Die einzig mögliche additive Fortsetzung der Mengenfunktion µ auf den Ring ist µ( n n A i) = µ(a i ). i=1 i=1 µ tut s. Die Abbildung ist wohldefiniert wegen i A i = j B j µ(a i ) = i i und offensichtlich additiv Beispiele µ( j A i B j ) = i µ(a i B j ) = j j µ(a i B j ) = i j µ(b j ) Wir zeigen das Zusammenspiel der Resultate und Strukturen an zwei Beispielen. Borelmaß: Das Maß auf dem Einheitsintervall versehen mit der Borel σ-algebra, welches jedem Intervall darin seine Länge zuordnet, heißt Borelwahrscheinlichkeitsmaß. Satz 20 Das Borelwahrscheinlichkeitsmaß auf (0, 1] existiert. Es ordnet jeder einelementigen Menge das Ma s 0 zu. Beweis: Betrachte das Mengensystem H aller halboffenen Intervalle (a, b] mit 0 a b 1. Dies ein Halbring bzgl. (0, 1]. Definiere die Mengenfunktion µ auf dem Mengensystem H durch µ(a,b] := b a. µ ist ein Inhalt auf der vom Halbring erzeugten Ring, Proposition 19. Der Inhalt µ ist ein Prämaß. Wir verwenden das Lemma 17. Als kompakte Klasse C nehmen wir alle kompakten Mengen in (0,1]. Die Einschachtelung für ein Intervall (a,b) mit a < b ist (a + ǫ,b] [a + ǫ,b] (a,b] mit µ((a,b]\(a + ǫ,b]) ǫ. Für die disjunkte Vereinigung endlich vieler läuft dies analog. Die Fortsetzung µ des Prämaßes auf die von H erzeugte σ-algebra ist eindeutig, Satz von Caratheodory 12 und 16. µ tut s. Ein Nachrechnen liefert µ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und µ({a}) = lim n µ((a 1 n,a]) = lim n 1 n = 0 und µ(i) ist die Länge des Intervall. Um das Borelmaß µ auf den gesamten reellen Zahlen zu definieren, betrachte die reellen Zahlen als disjunkte Vereinigungen von den Intervallen I n = (n,n + 1],n Z. Sei µ n das Borelma s auf I n versehen mit der Borel σ-algebra B n hierauf. Beachte, jede Borelmenge 17

19 Maßtheorie B B schreibt sich als disjunkte Vereinigung von Mengen B I n B n. Dann tut es µ(b) := n µ n(b I n ). Das Lebesguema s ist die Erweiterung des obigen Borelma ses auf die Vervollständigung der Borel σ-algebra. Die Standardnotation ist λ. Das Lebesguema s auf einem Intervall I ist die Einschränkung λ I des Lebesguema ses auf dieses Intervall. Maße auf endlichen Produkträumen: Seien (Ω i, A i,µ i ),1 i n, endliche Maßräume. Der Produktraum ist n n := Ω 1 Ω 2... Ω n = {f : {1,...,n} Ω i f(j) Ω j, j {1,...,n}}. i=1 i=1 Eine Rechteckmenge ist eine Menge A 1 A 2... A n, A i A i. Sei R die Menge aller Rechteckmengen. Die hiervon erzeugte σ-algebra σ(r) heißt Produkt σ-algebra. Notation i A i := A 1 A 2... A n. Ein Maß µ : i A i IR mit A i A i,1 i n, heißt Produktmaß. Notation i µ i = µ 1 µ 2... µ n. µ(a 1 A 2... A n ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 )... µ n (A n ), Proposition 21 Das Produktmaß existiert und ist eindeutig. Beweisskizze: Das Mengensystem der Rechteckmengen R ist ein Halbring. Definiere auf den Rechteckmengen die Mengenfunktion µ : R IR durch µ(a 1 A 2... A n ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 )... µ n (A n ). µ ist additiv auf dem Halbring R. Erweitere µ additiv auf den vom Halbring erzeugten Ring, Proposition 19. Wenn wir zeigen könnten, daß diese Mengenfunktion ein Prämaß ist, (genauen Beweis später, vgl. auch Fubini) dann impliziert der Satz von Caratheodory 12 eine Erweiterung zum Maß auf σ(r). Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 16. Das Tripel ( i Ω i, i A i, i µ i) heißt Produktmaßraum oder Produktraum. 18

20 U. Rösler 2.1 Maße auf den reellen Zahlen Wieviele Maße gibt es auf den reellen Zahlen versehen mit der Borel σ Algebra B? Sei f eine Funktion von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen. Wir benutzen die Notation f(x+) für den Grenzwert lim yցx f(y). Eine Funktion f : IR IR heißt rechtsstetig in x, falls f(x+) = f(x) gilt. Sie heißt rechtsstetig, falls sie rechtsstetig in jedem Punkt x ist. Analog definiert man f(x ) und linksstetig. Ein Radonmaß auf den reellen Zahlen ist ein Maß auf der Borel σ-algebra mit endlichem Maß für jedes Kompaktum. Satz 22 Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen isotonen, rechtsstetigen Funktionen F : IR IR mit F(0) = 0 und Radonmaßen µ auf den reellen Zahlen. Diese Bijektion kann durch a < b IR gegeben werden. F(b) F(a) = µ((a,b]), (2.3) Beweis: Jedes Radonmaß definiert eindeutig durch die obige Bijektion 2.3 eine Funktion wie oben beschrieben. Die Umkehrung folgt dem Beweis von Satz 20. Jede Funktion wie oben liefert für feste reelle Zahlen l < r eine additive und isotone Mengenfunktion µ auf dem durchschnittsstabilen Vereinigungserzeuger E = E(l, r) aller halboffenen Intervalle {(a, b] l a b r IR}. Die Mengenfunktion µ wird (eindeutig) zu einem Inhalt auf der von E(l, r) erzeugten Algebra fortgesetzt, Proposition 19. Dieser Inhalt ist ein Prämaß nach Lemma 17. Wähle dazu als kompakte Klasse das Mengensystem C der kompakten Mengen. Für vorgegebenes A = n i=1 (a i,b i ] wähle die Mengen B i := (a i +ǫ i,b i ] E und C i = [a i +ǫ i,b i ]. Dann erfüllen B := i B i und C := i C i C die Bedingung B C A und µ(a\b) = i (F(a i + ǫ i ) F(a i ) wird beliebig klein für geeignet gewählte ǫ i. Der Satz von Caratheodory 12 liefert die Existenz und der Satz 16 die Eindeutigkeit. Der letzte Schritt besteht im Aneinanderkleben. Sei µ n das konstruierte Maß auf (n,n+1] versehen mit der Borel σ-algebra B((n,n + 1]). Dann tut s das Maß µ(b) := n Z µ n (B (n,n + 1]) auf der Borel σ-algebra. Lebesguemaß: Die Lebesgue σ-algebra ist die Vervollständigung der Borel σ-algebra unter dem Borelmaß. Das Lebesguemaß ist die Ausdehnung des Borelmaßes zu F die Identität auf die Lebesgue σ-algebra. Die Standardnotation ist λ. Der Sprachgebrauch zieht das Lebesguemaß dem Borelmaß vor und unterscheidet i.a. nicht dazwischen. Verteilungsfunktion: Eine Verteilungsfunktion ist eine rechtsstetige, aufsteigende Funktion F : IR IR mit lim x F(x) = 0, lim x F(x) = 1. Korollar 23 Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen Verteilungsfunktionen und W-Maßen auf der Borel σ-algebra über IR. Diese Bijektion kann durch a < b IR gegeben werden. F(b) F(a) = µ((a,b]) 19

21 Maßtheorie Beweis: Einfach aus Satz 22. d-dimensionaler Raum: Die Konstruktion des Lebesguemaßes auf IR d verläuft ganz analog. Die halboffenen Intervalle (a 1,b 1 ]... (a d,b d ], 0 a i b i 1 im Einheitswürfel einen bilden einen Halbring. Die Mengenfunktion d λ((a 1,b 1 ]... (a d,b d ]) := (b i a i ) i=1 ist ein Präma s auf dem Hiervon erzeugten Ring. Der Satz von Caratheodory liefert eine Fortsetzung als Maß auf dem Einheitsintervall. Anschließend erweitere dieses Ma s translationsinvariant auf ganz IR d durch Partitionierung. Übung. Notation: λ d bezeichnet das Lebesguemaß auf IR d versehen mit der Lebesgue σ-algebra, der Vervollständigung der Borel σ-algebra. Bemerkung: Im IR d ist die Charakterisierung von Maßen über (Verteilungs-)Funktionen schwieriger. Wie würde die Charakterisierung lauten? (Siehe Gänzler-Stute [5]) Hausdorff Maße und Cantor Menge Haufsdorffmaß: Es gibt andere Maße auf den reellen Zahlen von Interesse, die eventuell einer kompakten Menge keinen endlichen Wert zuordnen. Wir geben als Beispiel Hausdorff Maße an. Sei 0 < α. Definiere µ α (Q) = lim inf{ diam α (B n ) diam(b n ) < ǫ, Q n B n }. ǫց0 n IN B. bezeichnet offene Kugeln und diam steht für den Durchmesser der Kugel. (Der Limes existiert, da die Folge monoton steigend ist in ǫ. Siehe Falconer [4].) µ α ist ein äußeres Maß. Das Maß µ α auf der σ-algebra A α der µ α -meßbaren Mengen heißt Hausdorffmaß zum Index α. Das Hausdorffmaß ist ein translationsinvariantes Maß auf A α. A α enthält die Borel σ Algebra. Alle offenen, nicht leeren Mengen U in IR d haben den Wert µ α (U) = für 0 < α < d. Das Lebesguemaß λ d ist ein Vielfaches des Hausdorffmaßes µ d auf IR d. Die Hausdorff Dimension einer Menge ist das Infimum der α mit endlichem Hausdorffmaß µ α (Q) < [4]. Offene, beschränkte, reelle Mengen in IR d haben die Hausdorff Dimension d. Das Hausdorffmaß einer Menge C ist das Maß µ α (C ) : A α IR mit α die Hausdorff Dimension der Menge C. Cantormenge: Als Beispiel wollen wir die Cantormenge und das Cantormaß, das Hausdorffmaß zu der Cantormenge, betrachten. 0 1/3 2/3 1 Cantorset Cantorset Can Cantorset Cantorset Can Die formale Definition der Cantormenge C lautet: C n := {x = i=1 x i 3 i x i {0,1,2},x j 1 für j n, i IN} 20

22 U. Rösler C := n C n = {x = i=1 x i 3 i x i {0,2}}. Die Cantormenge hat interessante Eigenschaften: Die Cantor Menge ist überabzählbar, abgeschlossen, kompakt, nirgends dicht (=das Innere vom Abschluß ist leer) und perfekt (=jeder Punkt ist Häufungspunkt). (Übung) Die Cantor Menge ist Borel meßbar und das Lebesgue Maß der Cantor Menge ist 0. Übung Die Hausdorff Dimension ist α = ln 2 ln 3 < 1. (Keine Übung) Die Abbildung ϕ : C [0,1] x = i=1 x i 3 i ϕ(x) = 1 2 i=1 x i 2 i (2.4) ist isoton, stetig, und surjectiv. Seien B 3 und B 2 diejenigen reellen Zahlen, deren Trialdarstellung bzw. Dualdarstellung nicht eindeutig ist. Dann ist ϕ : C\B 3 [0,1]\B 2 bijektiv. (ϕ bildet z.b. die Punkte 1/3 und 2/3 beide auf 1/2 ab.) B 3 und B 2 sind abzählbar. Das Cantor Maß ist ein Wahrscheinlichkeitmaß mit der stetigen, fast überall (bis auf C) unendlich oft differenzierbaren Verteilungsfunktion F(x) = inf{1,ϕ(y) C y x} mit Ableitung 0 f.s. (Die Ableitung auf C ist.) Ein Bild ist sehr hilfreich. (Übung) Das Bildmaß des Cantor Maßes unter ϕ bzw. F ist das Lebesgue Maß. Die Cantormenge ist die größte kompakte invariante Menge bzgl. der Funktion f : IR IR, f(x) = 1 x 1/2 3x+ 1 x>1/2 (3 3x). (Eine Menge A heißt invariant unter f, falls f 1 (A) = A gilt.) (Übung: Benutze die Trialdarstellung einer reellen Zahl.) Die Iteration f n (x),n IN eines Punktes x unter f bleibt beschränkt genau dann, wenn x aus C ist Translationsinvariante Maße Ein Maß auf IR heißt translationsinvariant, falls es invariant ist bezüglich aller Translationen. (D.h. µ(a + x) = µ(a) für alle x IR, A A). Beispiele translationsinvarianter Mäse sind i) das triviale Ma s auf der Potenzmenge, 2) das Zählmaß auf der Potenzmenge, iii) das Maß auf der Potenzmenge, welches genau den abzählbaren Mengen den Wert 0 zuordnet, ansonsten aber ist iv) das Hausdorffmaß auf der Hausdorff σ-algebra und v) das lebesguemaß auf der Lebesgue σ-algebra. Proposition 24 Das Lebesgue Maß ist bis auf Vielfache das einzige translationsinvariante Radonmaß auf den reellen Zahlen versehen mit der Borel σ-algebra. Beweis: Das Lebesguemaß ist translationsinvariant. Betrache D := {A B x IR : λ(a) = λ(a + x)}. Dies ist ein Dynkin System und enthält den durchschnittabgeschlossenen Erzeuger der halboffenen Intervalle (a,b]. Nach Lemma 3 gilt D = B. Eindeutigkeit: Durch den Wert µ((0, 1]) wird, verwende Additivität und Translationsinvarianz das Maßes µ, das Maß für alle halboffenen Intervalle (p, q], p, q Ql festgelegt. Diese bilden ein Erzeugersystem der Borel σ-algebra. 21

23 Maßtheorie Nichtmeßbare Mengen Lemma 25 Es gibt nicht lebesguemeßbare Mengen auf dem Einheitsintervall. Beweis: Definiere auf den reellen Zahlen die Äquivalenzrelation x y x y Ql. Aus jeder Äquivalenzklasse [x] := {y IR x y} wähle einen Repräsentanten aus [0,1]. Dies ist möglich nach dem Auswahlaxiom. A tut s. Angenommen A ist lebesguemeßbar. Die Mengen A + q, q Ql, sind paarweise disjunkt. Das Lebesguemaß von B := q Ql [ 1,1] (A + q) berechnet sich via der Translationsinvarianz zu λ(b) = λ(a + q) = λ(a + q) = λ(a). q Ql [ 1,1] q Ql [ 1,1] Andererseits gilt [0,1] B [ 1,2] und damit 1 λ(b) = λ(a) 3. Dies ist ein Widerspruch. Proposition 26 Es gibt lebesguemeßbare Mengen, die nicht borelmeßbar sind. Bew: Betrachte dazu die Cantorabbildung ϕ : C\B 3 [0,1]\B 2 aus (2.4). ϕ ist bijektiv und wegen der Monotonie sind ϕ und ϕ 1 borelmeßbar. Sei A eine nicht lebesguemeßbare Menge. Dann ist ϕ 1 (A) C als Nullmenge lebesguemeßbar, aber nicht borelmeßbar. Bemerkung: Auch nicht meßbare Mengen sind manchmal nützlich. Sei (Ω, A, µ) ein beliebiger Maßraum und C eine eventuell nicht meßbare Menge. Dann ist die Einschränkung (Ω C = C, A C = {A C A A},µ C ) mit µ C (A) := µ (A C) = inf{µ(b) B A, A C B} ein Maßraum. Ist µ ein W-maß und hat C das äußere Ma s 1, so ist µ C ein W-maß. 2.2 Diverses Regularität Sei (Ω, A,µ) ein Maßraum. Ein Maß µ heißt von außen regulär oder von oben regulär bzgl. einem Mengensystem C, falls für alle meßbaren Mengen A gilt µ(a) = inf{µ(c) A C C}. Analog definiert man von innen regulär oder unten durch µ(a) = sup{µ(c) C C A}. µ heißt regulär bzgl. C, falls es von außen und innen regulär ist. Ein Maß µ heißt von außen σ regulär oder von oben bzgl. einem Mengensystem C, falls für alle meßbaren Mengen A gilt µ(a) = inf{ n µ(c n ) A n C n, C n C}. Regularität ist eine Art σ-stetigkeit des Maßes bzgl. gewisser Mengensysteme. 22

24 U. Rösler Lemma 27 Jedes Radonmaß auf den reellen Zahlen ist regulär von innen bzgl. kompakten Mengen, regulär von außen bzgl. offenen Mengen und σ regulär von außen bzgl. kompakten Mengen. Beweis: Sei zuerst µ ein endlcihes Ma s. Betrachte die Menge D aller meßbaren Mengen, die sich dem Maße nach beliebig gut von außen durch offene Mengen und von innen durch abgeschlossene Mengen approximieren lassen. D enthält alle abgeschlossenen beschränkte Intervalle. Das Intervall [a, b] ist abgeschlossen und enthalten in der offenen Menge (a ǫ, b + ǫ). Die σ-stetigkeit des Maßes liefert µ((a ǫ,b + ǫ)) ǫ µ([a,b]). D ist ein Dynkinsystem mit IR. D enthält die reellen Zahlen und ist abgeschlossen bzgl. der Differenz aufsteigender Mengen ist einfaach zu zeigen. Für die Abgeschossenheit bzgl. abzählbarer disjunkter Vereinigung seien D n D paarweise disjunkt. Wähle zu vorgegebenem ǫ abgeschlossene Mengen A n und offene Mengen U n mit A n D n U n und µ(u n \A n ) ǫ n und n ǫ n < ǫ. Sei N IN. Dann sind A = n N A n abgeschlossen, U = n U n offen und erfüllen A n D n U und µ(u\a) µ( n U n \ A m ) + µ( A m \A) m m n µ(u n \A n ) + m>n µ(d m ) < 2ǫ. Die zweite Summe ist klein für große N wegen der Endlichkeit des Maßes ( n µ(d n) < )). D ist die Borel σ-algebra. Die Menge der abgeschlossenen Intervalle erzeugen die Borel σ-algebra, sind durchschnittstabil und in D. Damit ist das Dynkinsystem eine σ-algebra. µ ist regulär von oben durch offenen und von unten durch abgeschlossene. Folgt aus obigem. µ ist regulär von unten durch kompakte. Die abgeschlossenen beschränkten Mengen sind nach dem Satz von Heine-Borel genau die kompakten Mengen. Zu jeder abgeschlossenen Menge A gibt es eine enthaltene kompakte Menge K mit µ(a\k) beliebig klein wählbar. (A [ n,n] ist kompakt und aufsteigend gegen A.) Jedes µ ist σ regulär von oben durch kompakte. Jede offene Menge U läßt sich schreiben als höchstens abzählbare disjunkte Vereinigung von offenen Intervallen. Jedes offene Intervall I läßt sich beliebig gut durch höchstens abzählbar viele Kompakta [a, b] I überdecken mit µ(a) = 0 = µ(b). Fertig. (Formal: Zu vorgebenem B B wähle eine offene Obermenge U mit µ(u\b) < ǫ. U ist darstellbar als disjunkte Vereinigung I n von abzählbar vielen offenen Intervallen I n. Überdecke jedes Intervall I n wie oben beschrieben durch abzählbar viele kompakte Intervalle K n,m = [a n,m,a n,m+1 ],m Z mit µ(a n,m ) = 0, deren Innere alle disjunkt sind. Dies ist möglich, da {x µ({x}) > 0} höchstens abzählbar ist (Übung). Es gilt 0 m µ(k n,m) µ(i n ) = 0. Damit folgt B U n,m K n,m und n,m µ(k n,m) = n µ(i n) = µ(u) µ(b) + ǫ.) Der Satz gilt auch für nichtendliche Maße. Finde eine Folge x n IR mit x n n = und x n n und µ({x n }) = 0. dies ist möglich. Dann zerlege IR in die disjunkten Intervalle (x n,x n+1 ], n Z und das Maß in die Summe abzählbar vieler eingeschränkte Maße µ n = µ( (x n,x n+1 ). Der Rest ist Übung. 23

25 Maßtheorie Das folgende Lemma besagt in Worten, jede Borelmenge ist irgendwo dick. Lemma 28 Sei λ das Lebesguemaß auf IR und B eine Borelmenge von strikt positivem Lebesguemaß. Dann existiert für alle ǫ > 0 ein offenes, nichtleeres Intervall I mit λ(i B) λ(i) 1 ǫ. Beweis: OEdA sei B beschränkt. Wähle eine offene Obermenge U von B mit λ(u\b) < δ. Die offene Menge hat eine Darstelllung U = n IN I n mit I n offene Intervalle. Schätze ab λ(b) = n λ(i n B) λ(i m B) λ(i n ) sup λ(i n ) m λ(i m ) n λ(i n ) sup m λ(i m B) (λ(b) + δ). λ(i m ) Für δ hinreichend klein muß das Supremum dicht bei 1 liegen. Proposition 29 Sei B eine Borelmenge von strikt positivem Lebesguemaß. Dann ist 0 ein innerer Punkt von B B = {x y x,y B}. Beweis. Sei I ein Intervall mit λ(i B) > 3 4λ(I) > 0. Sei A := I B. Hieraus folgt λ(a (A + ǫ)) = λ(a) + λ(a + ǫ) λ(a (A + ǫ)) 2λ(A) λ(i (I + ǫ)) 2λ(A) λ(i) ǫ λ(i) 2 Für hinreichend kleine ǫ hat A (A + ǫ) strikt positives Maß und ist daher nicht leer. Daher enthält B B A A die Werte ǫ und auch ǫ. Dies reicht Isomorphien und standard Lebesgueräume* Weshalb spielen Maße auf den reellen Zahlen versehen mit der Borel-σ-Algebra solch eine prominente Rolle? Antwort: Abzählbar erzeugte σ-algebren sind isomorph zur Borel σ-algebra auf den rellen Zahlen eingeschränkt auf eine Teilmenge. Zwei meßbare Räume heißen isomorph, falls es eine bimeßbare Bijektion der Grundräume gibt. (Eine Funktion heißt bimeßbar, falls sie bijektiv ist und sie und ihre Inverse meßbar sind.) Beachte, die σ-algebren sind isomorph als geordnete Räume bzgl. der Mengeninklusion. (Der Isomorphiebegriff von σ-algebren bezieht sich nur auf eine bijektive, strukturerhaltende Abbildung zwischen den σ-algebren. Für me sbare Räume nimmt man den Grundraum mit hinzu.) Ein Borelraum ist eine Borelmenge versehen mit der induzierten Borel-σ-Algebra eines topologischen Raumes. Ein meßbarer Raum heißt separabel oder abzählbar erzeugt, falls es einen abzählbaren Erzeuger gibt. Ein meßbarer Raum heißt punktetrennend oder hausdorffsch falls es zu jedem ω ω eine meßbare Menge A gibt, die ω, aber nicht ω enthält. Durch Äquivalenzbildung läßt sich jeder meßbare Raum hausdorffsch machen. Die Relation ω ω A A : ω A, ω A ist eine Äquivalenzrelation auf Ω. Der Raum Ω/ der Äquivalenzklassen versehen mit der σ-algebra ist ein Hausdorffscher meßbarer Raum. A/ := {{[ω] ω A} A A}) 24 ǫ