Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle

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1 Analytische Methoden und die Black-Scholes Modelle Forschungskolloquium Partielle DGL Universität Rostock Institut für Mathematik

2 Agenda 1 Grundlagen der Finanzmathematik 2 3 in L 2 (R 2 ) 4 5 Existenz und Eindeutigkeit in einem gewichteten L 2 (R 2, ξ) 6

3 Brownsche Bewegung eindimensionale Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine eindimensionale Brownsche Bewegung ist ein reellwertiger Prozess mit stetigen Pfaden, t W t (ω) (ω Ω), für den gilt, dass (B1) W 0 = 0 P-f.s. (B2) L(W t W s P) = N (0, t s) für 0 s < t. (B3) W t W s ist unabhängig von W u W r für 0 r u s < t.

4 Brownsche Bewegung Beispiel: eindimensionale Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung

5 Brownsche Bewegung Definition: mehrdimensionale Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine N-dimensionale Brownsche Bewegung ist ein R N -wertiger Prozess W (t) = (W 1 (t),..., W N (t)), dessen Komponenten W i (i = 1,..., N) unabhängige eindimensionale Brownsche Bewegungen sind.

6 Brownsche Bewegung Beispiel: mehrdimensionale Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung

7 Stochastisches Integral Definition: einfacher stochastischer Prozess Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Ein stochastischer Prozess {X t } t [0,T ] ist einfach, wenn eine Zerlegung 0 = t 0 < t 1 <... < t mπ = T (m π N) und beschränkte F ti 1 -messbare Zufallsvariablen Φ i : Ω R (i = 1,..., m π ), sowie Φ 0 F 0 -messbar, existieren, so dass X t (ω) die folgende Darstellung besitzt m π X t (ω) = X(t, ω) = Φ 0 (ω) 1 {0} (t) + Φ i (ω) 1 (ti 1,t i ](t) für alle ω Ω. i=1

8 Stochastisches Integral Definition: einfaches stochastisches Integral Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Für einen einfachen Prozess {X t } t [0,T ] ist das stochastische Integral I t (X) für t (t k, t k+1 ] (k = 0,..., m π ) definiert durch I t (X) def = t 0 X s dw s def = k Φ i (W ti W ti 1 ) + Φ k+1 (W t W tk ). i=1

9 Itô-Kalkül Itô-Prozesse: Definition Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung {(X(t), F t )} t [0, ) wird als reellwertiger Itô-Prozess bezeichnet, wenn er für alle t 0 die Darstellung X(t) = X(0) + t 0 µ(s) ds + M j=1 t 0 σ j (s) dw j (s) P-f.s. besitzt, wobei X(0) F 0 -messbar ist, sowie {µ(t)} t [0, ) und {σ(t)} t [0, ) progressiv messbare Prozesse sind mit t 0 µ(s) ds <, für alle t 0, i = 1,..., M. t 0 σ 2 i (s) ds < P-f.s.

10 Itô-Kalkül Itô-Formel: Satz Grundlagen der Finanzmathematik Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Seien X(t) = (X 1 (t),..., X N (t)) ein N-dimensionaler Itô-Prozess und f : [0, ) R N R eine C 1,2 -Funktion. Dann gilt P-f.s. f(t, X(t)) = + + f(0, X(0)) t 0 N i=1 f s (s, X(s)) ds t f xi (s, X(s)) dx i (s) 0 t N i,j=1 0 f xi x j (s, X(s)) d X i, X j s

11 Itô-Kalkül Itô-Formel: Satz Grundlagen der Finanzmathematik Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung alternative Schreibweise Oft wird die Itô-Formel in der symbolischen Differentialschreibweise geschrieben. df(t, X(t)) = f N t (t, X) dt + f (t, X) dx i x i N i,j=1 i=1 2 f x i x j (t, X) dx i dx j

12 Itô-Kalkül Itô-Formel: Beweisskizze Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Die Grundidee des Beweises basiert darauf, die Itô-Formel erst einmal für Stopp-Prozesse zu beweisen.

13 Itô-Kalkül Itô-Formel: Beweisskizze Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung f(t, X (n) (t)) f(0, X (n) (0)) = ( ) + ( ) + ( ) m π ) ( ) = f t (τ, X (n) (t k 1 ) (t k t k 1 ) ( ) = k=1 m π N k=1 j=1 m π ( ) = 1 2 ( k=1 i,j=1 ) ( f xj (t k 1, X (n) (t k 1 ) N f xi x j (t k 1, η k ) X (n) i ) ( (t k ) X (n) i (t k 1 ) X (n) j X (n) j ) (t k ) X (n) j (t k 1 ) ) (t k ) X (n) j (t k 1 )

14 Itô-Kalkül Itô-Formel: Beweisskizze Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Zum Schluß lässt man die Stoppzeiten gegen laufen und erhält aufgrund der Stetigkeit von Itô-Prozessen die Behauptung.

15 Finanzmathematische Begriffe Definition: Preis-Prozess Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Ein Preis-Prozess {S t } t [0,T ] ist ein N-dimensionaler stochastischer Prozess S t = S(t) = (S 0 (t),..., S N 1 (t)), der den Preis der einzelnen Assets im Marktmodell zum Zeitpunkt t [0, T ] angibt. Wir nehmen stets an, dass S 0 (t) den Preis des risikofreien Assets zur Zeit t repräsentiert. Die zu dem Preis-Prozess {S t } t [0,T ] gehörige Filtration bezeichnen wir im Folgenden stets mit F S = { Ft S } t [0,T ].

16 Finanzmathematische Begriffe Definition: Handelsstrategie Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine Handelsstrategie h t = h(t) = (h 0 (t), h 1 (t),..., h N 1 (t)) ist ein N-dimensionaler F S t -adaptierter Prozess, der die Anzahl der Einheiten angibt, die zum Zeitpunkt t [0, T ] von den zugrundeliegenden Assets und des zugrundeliegenden risikolosen Finanztitels gehalten werden. Dabei wird stets angenommen, dass ( T ) E (h i (t)) 2 dt < (i = 1,..., N 1), 0 T 0 h 0 (t) dt <.

17 Finanzmathematische Begriffe Definition: Werte-Prozess Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Der Werte-Prozess V S (t, h) bezüglich der Handelsstrategie {h t } t [0,T ] und des Preisprozesses {S t } t [0,T ] ist gegeben durch V S (t, h) def N 1 = h i (t)s i (t). i=0

18 Finanzmathematische Begriffe Definition: Arbitrage Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine Arbitrage-Möglichkeit auf einem Finanzmarkt ist eine selbstfinanzierende Handelstrategie h, so dass V S (0, h) = 0, P(V S (T, h) 0) = 1, P(V S (T, h) > 0) > 0.

19 Black-Scholes Modell Annahmen Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung (F1) Leerverkäufe sind generell in unbegrenzter Höhe zugelassen. (F2) Es existieren keine Transaktionskosten oder Handelsbeschränkungen. (F3) Der Markt ist unendlich liquide. (F4) Der Assetpreis ist strikt positiv. (F5) Ein Asset ist beliebig teilbar. (F6) Der Markt ist arbitragefrei. (F7) Es werden keine Dividenden gezahlt.

20 Black-Scholes Modell Definition Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Das Black-Scholes Modell besteht aus zwei Assets, deren jeweilige Entwicklung wie folgt beschrieben werden kann ds 0 (t) = rs 0 (t)dt ds 1 (t) = µs 1 (t)dt + σs 1 (t)dw (t), wobei r > 0, µ und σ > 0 als konstant angenommen werden und W (t) eine (Standard-)Brownsche Bewegung ist (t [0, T ]).

21 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Black-Scholes Modell Beispiel: S 1(0) = 1000, µ = 0.05, σ = 0.3 und Zeitbereich [0, 1]

22 Black-Scholes Modell lognormaler Assetpreis Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Für den Aktienkurs im einfachen Black-Scholes Modell, gilt S 1 (t) = S 1 (0) exp ((µ 12 ) ) σ2 t + σw t, t [0, T ].

23 Europäische Optionen Definition Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine europäische Call-Option ist ein Vertrag, der dem Käufer das Recht gibt, jedoch nicht die Pflicht, eine Einheit eines zugrundeliegenden Assets zu einem vorher vereinbarten Ausführungspreis K zum Ausführungszeitpunkt T zu kaufen. Bezeichnet S T den Preis des zugrundeliegenden Assets zum Ausführungszeitpunkt T, dann ist der Wert einer europäischen Call-Option zum Ausführungszeitpunkt T, seine sogenannte Auszahlung g, gegeben durch { g(s T ) = (S T K) + S T K für S T > K, = 0 für S T K.

24 Black-Scholes Modell Satz: Lösung Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Der Preis p BS (x, t) einer Europäischen Call-Option zum Zeitpunkt t [0, T ) beträgt im Black-Scholes Modell mit p BS (x, t) = xn(d 1 (x, t)) Ke r(t t) N(d 2 (x, t)), d 1 (x, t) = log ( ) ( x K + r σ2) (T t) σ, T t d 2 (x, t) = d 1 σ T t, N(z) = 1 z e y2 2 dy. 2π

25 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Black-Scholes Modell Beispiel: Lösung für K = 100, r = 0.02, σ = 0.3 und Zeitbereich [0, 1]

26 Black-Scholes Modell Put-Call Parität Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Put-Call Parität Seien ein europäischer Call und ein europäischer Put, beide mit Ausführungspreis K und Ausführungszeitpunkt T, gegeben. Bezeichnen weiterhin p c (, ) : (0, ) [0, T ] R und p p (, ) : (0, ) [0, T ] R die zugehörigen Preisfunktionen, dann gilt die folgende Beziehung p p (x, t) p c (x, t) = Ke r(t t) x, (x, t) (0, ) [0, T ].

27 Itô-Diffusion Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Eine (zeit-abhängige) Itô-Diffusion ist ein stochastischer Prozess X t (ω) = X(t, ω) : [0, ) Ω R N, der einer stochastischen Differentialgleichung der Form dx t = µ(x t )dt + σ(x t )dw t, t [0, ), X 0 = x, genügt, wobei {W t } t [0, ) eine M-dimensionale Brownsche Bewegung ist und µ( ) : R N R N, σ( ) : R N R N M die folgende Bedingung erfüllen µ(x) µ(y) + σ(x) σ(y) L x y, x, y R N, d.h. µ und σ sind Lipschitzstetig.

28 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Infinitesimaler Generator einer Itô-Diffusion Definition Sei {X t } t [0, ) eine zeitabhängige Itô-Diffusion in R N. Der (infinitesimale) Generator A von X t ist durch Af(x) def E x (f(x t )) f(x) = lim, x R N t 0 t definiert. Die Menge der Funktionen f : R N R für die dieser Limes in x existiert, wird mit D A (x) bezeichnet. D A bezeichnet die Menge der Funktionen für welche der Limes für alle x R N existiert.

29 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Zusammenhang Itô-Diffusion - Generator Sei {X t } t [0, ) eine Itô-Diffusion mit dx t = µ(x t )dt + σ(x t )dw t. Ist f C 2 0 (RN ), dann ist f D A und Af(x) = N i=1 µ i (x) f x i N i,j=1 ( σσ T ) ij (x) 2 f x i x j.

30 Satz von Feynman-Kac Teil 1 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Seien f C 2 0 (RN ), r C(R N ) und r nach unten beschränkt. Weiterhin seien {X t } t [0, ) eine Itô-Diffusion und A der von {X t } t [0, ) erzeugte Generator. Sei ( v(x, t) = E [exp x t 0 ) ] r(x s )ds f(x t ). Dann erfüllt v das folgende Cauchy-Anfangswertproblem t v(x, t) = Av(x, t) r v(x, t) (x, t) RN (0, ) v(x, 0) = f(x) x R N.

31 Satz von Feynman-Kac Teil 2 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Ist weiterhin w(x, t) C 2,1 (R N R) beschränkt auf R N K für alle kompakten Intervalle K R und ist w eine Lösung von t v(x, t) = Av(x, t) r v(x, t) (x, t) RN (0, ) v(x, 0) = f(x) x R N, dann ist w(x, t) = v(x, t) durch gegeben. ( v(x, t) = E [exp x t 0 ) ] r(x s )ds f(x t )

32 risikolose Preisfindung Idee Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Bei der Preisfindung mittels äquivalenter Martingalmaße folgt man der Idee, den Preis der Option einfach als abdiskontierten Wert der Auszahlungsfunktion g zu betrachten. Das heißt, folgt der Assetpreis dem Prozess ds 1 (t) = µs 1 (t)dt + σs 1 (t)dw t, dann ist p(x, 0) = E ( e rt g(s 1 (T )) ) [ ( = E e rt g S 1 (0)e (µ σ2 2 )T +σw T )].

33 risikolose Preisfindung Problem Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Nun besteht jedoch das Problem, dass bei µ r daraus eine Arbitrage-Möglichkeit (im Gegensatz zu Annahme (F6)) resultiert. Dies ist darauf zurückzuführen, dass der abdiskontierte Preis S 1 (t) = e rt S 1 (t) kein Martingal mehr ist, da aus der Itô-Formel folgt, dass d S 1 (t) = (µ r) S 1 (t)dt + σ S 1 (t)dw t. Ist nun µ r so verschwindet der Drift-Term, S 1 (t)dt, in obiger Gleichung nicht.

34 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Definition Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf FT S wird als äquivalentes Martingalmaß bezüglich eines Marktmodells mit Zeitbereich [0, T ] bezeichnet, wenn es die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt 1 P ist auf F S äquivalent zu P. (Für alle A F S gilt P(A) = 0 P (A) = 0.) 2 Alle abdiskontierten Preisprozesse (des jeweiligen Marktmodells) sind im Zeitintervall [0, T ] Martingale unter P.

35 Satz von Girsanov Teil 1 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Sei Y (t) R N ein Itô-Prozess von der Form dy (t) = µ(t, ω)dt + σ(t, ω)dw (t), (t, ω) [0, T ] Ω, mit W (t) R M, µ(t, ω) R N und σ(t, ω) R N M. Weiterhin sei angenommen, dass Prozesse Θ(t, ω) (L 0 [0, T ]) M und α(t, ω) (L 0 [0, T ]) N existieren, so dass σ(t, ω)θ(t, ω) = µ(t, ω) α(t, ω), (t, ω) [0, T ] Ω. Für t [0, T ] setzen wir ξ Θ t ( = exp t 0 Θ(s, ω) dw s 1 2 t 0 ) Θ 2 (s, ω) ds

36 Satz von Girsanov Teil 2 Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung und dp (ω) = ξt Θ (ω)dp(ω) auf FT W. Angenommen, ξt Θ ist ein Martingal (bezüglich F Y und P). Dann ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf FT W und der Prozess W (t) def = t 0 Θ(s, ω)ds + W (t), (t, ω) [0, T ] Ω ist eine Brownsche Bewegung bezüglich P. Weiterhin hat Y (t) bezüglich W (t) die folgende Darstellung dy (t) = α(t, ω)dt + σ(t, ω)dw (t), (t, ω) [0, T ] Ω.

37 äquivalentes Martingalmaß für das Black-Schole Modell Brownsche Bewegung Itô-Kalkül Finanzmathematische Begriffe Gewöhnliches Black-Scholes Modell Zusammenhang SDE - PDE risikolose Preisfindung Satz: äquivalentes Martingalmaß Das äquivalente Martingalmaß für das Black-Scholes Modell ist durch dp = ξ Θ T dp mit gegeben. ( ( ) µ r ξt Θ = exp W T 1 ( ) ) µ r 2 T σ 2 σ

38 Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Allgemeines stochastisches Volatilitätsmodell Definition Ein stochastisches Volatilitätsmodell besteht aus zwei Assets, deren Entwicklungen wie folgt beschrieben werden können ds 0 (t) = rs 0 (t)dt ds 1 (t) = µs 1 (t)dt + σ t S 1 (t)dw t mit µ R, r [0, ), σ t c > 0 für alle t [0, T ] und {W t } t [0,T ] eine Brownsche Bewegung ist. Dabei wird {σ t } t [0,T ] als der Volatilitäts-Prozess bezeichnet.

39 Ornstein-Uhlenbeck Prozess Definition Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Der Ornstein-Uhlenbeck Prozess (OU-Prozess) ist als Lösung von dy t = α(m Y t )dt + βdẑt, t [0, T ], mit Konstanten α 0, β > 0 und m R definiert.

40 Ornstein-Uhlenbeck Prozess Lösung Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Die Lösung eines Ornstein-Uhlenbeck Prozesses kann durch Y t = m + (Y 0 m)e αt + β t angegeben ( werden. Das heißt Y t ist N m + (Y 0 m)e αt (, β2 2α 1 e 2αt )) verteilt. 0 e α(t s) dẑs.

41 Ornstein-Uhlenbeck Prozess Beispiel: α = 5, β = 1 und m = 3 Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem

42 OU-Volatilitätsmodell Definition Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem besteht aus zwei Assets, deren Entwicklungen wie folgt beschrieben werden können ds 0 (t) = rs 0 (t)dt ds 1 (t) = µs 1 (t)dt + S 1 (t)f(y t )dw (t) ( dy (t) = α(m Y (t))dt + β ρ(t) dw (t) + ) 1 ρ(t) 2 dz(t) mit Konstanten m R, β > 0 und α 0, sowie f( ) : R (f, f + ), 0 < f < f + < ρ( ) : [0, T ] ( ρ 0, ρ 0 ), 0 < ρ 0 < 1.

43 Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem OU-Volatilitätsmodell Beispiel: f( ) = exp( ), α = 155, β = 15.58, γ = 2.36, ρ = 0.2, µ = und m = für den Zeitbereich [0, 1 8 ] ( 3 2 Monate)

44 äquivalentes Martingalmaß Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Ein äquivalentes Martingalmaß P auf der Filtration F T im Modell (4) ist gegeben durch dp = ξ Θ T dp mit ξ Θ T = exp Θ (1) t = ( 1 2 (µ r) f(y t ), T Θ (2) t = γ t, t [0, T ], 0 ( ( ) 2 ( Θ (1) s + Θ (2) s ) 2 ) ds 2 i=1 T wobei {γ t } t [0,T ] ein beliebiger beschränkter, F t -adaptierter Prozess ist. 0 Θ (i) s dw s ),

45 Cauchy-Problem Ausgangsendwertproblem Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Die Preisfunktion für eine europäische Option im OU-Volatilitätsmodell mit Auszahlungsfunktion g C0 2 (R) erfüllt das folgende Cauchy-Endwertproblem: t p(x, t) + L SV M OU p(x, t) = 0 (x, t) (0, ) R [0, T ) p(x, T ) = g(x) x (0, ) R, mit

46 Cauchy-Problem Ausgangs-Differentialoperator Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem L SV MOU = 2 2 a ij (x, t) + x i x j i,j=1 2 i=1 b i (x, t) x i + c(x, t) ( ) a11 (x, t) a 12 (x, t) = 1 a 21 (x, t) a 22 (x, t) 2 ( ) ( b1 (x, t) = b 2 (x, t) α(m x 2 ) β c(x, t) = r. ( x 2 1 f(x 2 ) 2 ) ρ(t)βx 1 f(x 2 ) ρ(t)βx 1 f(x 2 ) β 2 ( rx 1 ) ρ(t) (µ r) f(x 2 ) + γ(t, x) 1 ρ(t) 2 )

47 Cauchy-Problem Transformation Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem S t = e r(t t) S t X t = ln( S t ) = ln(s t ) + r(t t), Ỹ t = m + e α(t t) (Y t m).

48 Cauchy-Problem engültiges Endwertproblem Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Sei p durch p( X t, Ỹt, t) = e r(t t) p(s t, Y t, t) = e r(t t) E (e r(t t) g(s T ) F t ), definiert, also p(x 1, x 2, t) = e r(t t) p Dann erfüllt p das Cauchy-Problem ( ) e x 1 r(t t), m + e α(t t) (x 2 m), t. t p(x, t) + L SV M p(x, t) = 0 (x, t) R 2 [0, T ) p(x, T ) = g(x) (x) R 2,

49 Cauchy-Problem endgültiger Differentialoperator Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem L SV M def = 2 2 a ij (x, t) + x i x j i,j=1 2 i=1 b i (x, t) x i + c(x, t) a(x 1, x 2, t) = 1 2 b(x 1, x 2, t) = c(x 1, x 2, t) = 0 ( β(t) f(x 2, t) 2 β(t) f(x 2, t)ρ(t) ) β(t) f(x2, t)ρ(t) β2 (t) ( 1 f(x 2 2, t) 2 ρ(t) (µ r) f(x + γ(x 2,t) 1, x 2, t) ) 1 ρ(t) 2

50 äquivalentes Cauchy-Problem Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem Sei die Preisfunktion p durch gegeben. Weiter sei u durch p(s t, Y t, t) = E (e r(t t) g(s T ) F t ), u(x 1, x 2, t) = e rt p ( e x 1 rt, m + e αt (x 2 m), T t ) definiert. Dann erfüllt u das Cauchy-(Anfangswert-)Problem u(x, t) t L SV M (x, T t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 (0, T ] u(x, 0) = g(x) x R 2,

51 Cauchy-Problem endgültiger Differentialoperator Stochastisches Volatilitätsmodell Ornstein-Uhlenbeck Modell äquivalentes Cauchy-Problem L SV M (x, t, D x ) def = 2 2 a ij (x, t) + x i x j i,j=1 2 i=1 b i (x, t) x i + c(x, t) a(x 1, x 2, t) = 1 2 b(x 1, x 2, t) = c(x 1, x 2, t) = 0 ( β(t) f(x 2, t) 2 β(t) f(x 2, t)ρ(t) ) β(t) f(x2, t)ρ(t) β2 (t) ( 1 f(x 2 2, t) 2 ρ(t) (µ r) f(x + γ(x 2,t) 1, x 2, t) ) 1 ρ(t) 2

52 Galerkin-Methode Idee Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Es wird versucht die Lösung des Cauchy-Anfangswertproblems t u(x, t) + L Cauchy(x, t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 [0, T ] u(x, 0) = u 0 x R 2 (AWP) ausgehend von einer Projektion auf einen endlichdimensionalen Vektorraum zu konstruieren.

53 Galerkin-Methode Konstruktion Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Seien w k = w k (x) (k N) hinreichend glatte Funktionen, so dass die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind: (E1) {w k } k=1 ist eine Orthogonalbasis von H1 (R 2 ). (E2) {w k } k=1 ist eine Orthonormalbasis von L2 (R 2 ).

54 Konstruktion Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Sei nun m N fest, dann suchen wir nach Funktionen u m : [0, T ] H 1 (R 2 ) von der Form u m (t) def = m d k m(t)w k. k=1 Dabei wollen wir Koeffizienten d k m(t) finden, so dass d k m(0) = u 0, w k L 2 (R 2 ) und d dt u m, w k +B[u m, w k ; t] = 0 L 2 (R 2 ) (t [0, T ]; k = 1,..., m).

55 Konstruktion Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Da {w k } k=1 eine Orthonormalbasis von L2 (R 2 ) ist, gilt d dt u m(t), w k = d L 2 (R 2 ) dt dk m(t) m B[u m, w k ; t] = e kl (t)d l m(t), mit e kl (t) = B[w l, w k ; t] (k, l = 1,..., m). Damit erhalten wir d dt dk m(t) + l=1 m e kl (t)d l m(t) = 0, (k = 1,..., m) l=1 d k m(0) = u 0, w k L 2 (R 2 ).

56 Galerkin-Methode Existenz und Eindeutigkeit Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Seien der Differentialoperator L Cauchy (x, t, D x ) gleichmäßig elliptisch, die Koeffizientenfunktionen von L Cauchy (x, t, D x ) Lebesgue-messbar und beschränkt und sind die Anfangsdaten u 0 L 2 (R 2 ). Dann existiert eine eindeutige schwache Lösung u L 2 (0, T ; H 1 (R 2 )) des Cauchy-Anfangswertproblems t u(x, t) + L Cauchy(x, t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 [0, T ] u(x, 0) = u 0 x R 2

57 Beweisskizze Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Eine a-priori Abschätzung Es existiert eine Konstante C die nur von T und den Koeffizienten von L Cauchy (x, t, D x ) abhängt, so dass max u m(t) L 0 t T 2 (R 2 )+ u m L 2 (0,T ;H 1 (R 2 )) + d dt u m C u 0 L 2 (R 2 ) L 2 (0,T ;H 1 (R 2 )) für m N.

58 Abstrakte Halbgruppentheorie Idee Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Wir betrachten auf dem Banachraum X das abstrakte Problem d u(t) + A(t)u(t) = 0 t (0, T ] dt u(0) = u 0 (AP) mit einem zeitabhängigen Operator A(t).

59 Abstrakte Halbgruppentheorie Idee Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Ist der Operator A(t) = A unabhängig von t, so kann man erwarten, dass für u 0 L 2 (R 2 ) ein linearer Operator U(t) in (t [0, T ]) existiert, so dass u(t) = U(t)u(0) und U(t)U(s) = U(t + s), genauer U(t) = exp( ta).

60 Abstrakte Halbgruppentheorie Idee Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Betrachten wir nun einen Operator A(t) der von t abhängig ist, dann versuchen wir eine Verallgemeinerung dieser Idee vorzunehmen. Dazu benötigen wir den zweiparametrigen Lösungsoperator U(t, s) (0 s t T ). Wir wollen erreichen, dass wir die Lösung ebenfalls in der Form angeben können. u(t) = U(t, 0)u 0

61 Fundamentallösung Definition Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Eine Fundamentallösung zu dem Problem (AP) erfüllt für 0 s r t T die folgenden Eigenschaften: (t, s) U(t, s) ist eine stark stetige Funktion U(t, r)u(r, s) = U(t, s) U(s, s) = Id ( t U(t, s) B(X) exp U(t, s) + A(t)U(t, s) = 0 t U(t, s) = U(t, s)a(s) s s ) A(τ) B(X) dτ

62 Annahmen Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz (P1) Der Definitionsbereich D(A(t)) = D(A) von A(t) ist unabhängig von t. (P2) Für t [0, T ] existiert (λ A(t)) 1 für alle λ mit Re(λ) 0 und es existiert eine Konstante M <, so dass (λ A(t)) 1 B(X) M, Re(λ) 0, t [0, T ]. λ + 1 (P3) Es existieren Konstanten α (0, 1] und L > 0, so dass A(t)A(r) 1 A(s)A(r) 1 B(X) L t s α für alle s, t, r [0, T ].

63 Analytische Halbgruppe Satz: Äquivalenz Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Sei {T (t)} t [0, ) eine gleichmäßig beschränkte Halbgruppe, A der infinitesimale Generator dieser Halbgruppe und 0 ρ(a). Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) Es existiert ein δ ( 0, π 2 ), so dass {T (t)}t [0, ) zu einer analytischen Halbgruppe in den Sektor δ def = {z C : arg(z) < δ} fortgesetzt werden kann und T (z) B(X) in jedem abgeschlossenen Teilsektor δ (δ < δ) von δ gleichmäßig beschränkt ist.

64 Analytische Halbgruppe Satz: Äquivalenz Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz (b) Es existiert eine Konstante C <, so dass für alle σ > 0, τ 0 ((σ + iτ) A) 1 B(X) C τ. (c) Es existieren δ ( 0, π 2 ) und M > 0, so dass ρ(a) Σ def = {λ C : arg(λ) < π } 2 + δ {0} und (λ A) 1 B(X) M, λ Σ, λ 0. λ

65 Analytische Halbgruppe Satz: Äquivalenz Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz (d) T (t) ist für t > 0 differenzierbar und es existiert eine Konstante C <, so dass AT (t) B(X) C t, t > 0.

66 Existenz Satz Grundlagen der Finanzmathematik Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Unter den Annahmen (P1)-(P3) existiert für 0 s < t T eine Fundamentallösung U(t, s) von (AP). Für 0 s < t T gelten: 1. Es existiert eine Konstante C <, so dass U(t, s) C R(U(t, s)) D(A). 2. Der Operator tu(t, s) existiert als ein Element von B(X). 3. tu(t, s) + A(t)U(t, s) = Es existiert eine Konstante C <, so dass U(t, s) t = A(t)U(t, s) B(X) C(t s) 1. B(X)

67 Existenz Satz Grundlagen der Finanzmathematik Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz 3. Es existiert eine Konstante C <, so dass A(t)U(t, s)a(s) 1 B(X) C. 4. U(t, s)u ist für alle t (0, T ] und alle u D(A) differenzierbar bezüglich s [0, T ] und es gilt U(t, s)u = U(t, s)a(s)u s u D(A).

68 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Konstruktion der Fundamentallösung Wir setzen U(t, s) def = e (t s)a(s) + W (t, s), (0 s t T ). Dann suchen wir ein R, so dass W (t, s) def = t s e (t τ)a(τ) R(τ, s) dτ.

69 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Konstruktion der Fundamentallösung R(t, s) = R m (t, s), R m (t, s) = m=1 t s R 1 (t, τ)r m 1 (τ, s) dτ, R 1 (t, s) = (A(t) A(s)) exp( (t s)a(s)).

70 Abstrakte Halbgruppentheorie Existenz und Eindeutigkeit Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Existenz und Eindeutigkeit Seien der Operator A dicht in X definiert, abgeschlossen, A(t) der infinitesimale Generator einer analytischen Halbgruppe und A(t)A(0) 1 hölderstetig. Dann existiert eine Fundamentallösung U(t, s) (0 s t T ) von (AP), so dass die Lösung u wie folgt angegeben werden kann: u(t) = U(t, 0)u 0 (+ t 0 ) U(t, s)f(s) ds

71 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Zshg. Differentialoperator - abstrakter Operator Definition Im Folgenden wollen wir mit A(t) denjenigen Operator bezeichnen, der durch B[u, v; t] bzw. L Cauchy (x, t, D x ) definiert wird. Genauer setzen wir A(t)u, u L 2 (R 2 ) = B[u, u; t], t [0, T ] und D(A(t)) = { u L 2 : A(t)u L 2 (R 2 ) }, A(t)u = A(t)u für u D(A).

72 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Anwendung auf Cauchy-Problem Annahmen Sei B[u, v; t] die durch L Cauchy (x, t, D x ) definierte Sesquilinearform. (H1) Es existiert eine Konstante M <, so dass B[u, v; t] M u H 1 (R 2 ) v H 1 (R 2 ) für alle u, v H 1 (R 2 ) und t [0, T ]. (H2) Es existiert eine positive Zahl δ > 0 und eine reelle Zahl k 0 0, so dass Re (B[u, u; t]) δ u 2 H 1 (R 2 ) k 0 u 2 L 2 (R 2 ) für alle t [0, T ] und u H 1 (R 2 ).

73 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Anwendung auf Cauchy-Problem Annahmen (H3) Es existiert ein α (0, 1] so dass B[u, v; t] B[u, v; t] K t s α u H 1 (R 2 ) v H 1 (R 2 ) für alle t [0, T ] und u, v H 1 (R 2 ).

74 Existenz und Eindeutigkeit Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Sind die Voraussetzungen (H1)-(H3) erfüllt, so existiert eine Konstante k 0, so dass die Familie der Operatoren {A(t) + k} t [0,T ] die Annahmen (P1) bis (P3) erfüllt. Satz: Existenz und Eindeutigkeit Erfülle die Familie L(x, t, D x ) (t [0, T ]) die Bedingungen (H1)-(H3). Dann besitzt das Cauchy-Problem (AWP) für u 0 L 2 (R 2 ) eine eindeutige Lösung.

75 Beweisskizze: Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Sei L(x, t, D x ) ein gleichmäßig (stark) elliptischer Operator zweiter Ordnung auf U R N. Dann existiert eine Konstante C <, die nur von U und N abhängt, so dass ( ) u H 2 (R N ) C L(x, t, D x )u L 2 (R N ) + u L 2 (R N ) für alle u H 2 (R N ) und fast alle t [0, T ].

76 Beweisskizze: Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Sei L(x, t, D x ) ein gleichmäßig (stark) elliptischer Operator zweiter Ordnung auf U R N. Dann existieren Konstanten C > 0, R 0 und 0 < ϑ < π 2, so dass u L 2 (R N ) C λ (λ + L(x, t, D x))u L 2 (R N ) (λ 0) für alle u H 2 (R N ) und λ C mit λ R und ϑ π < arg(λ) < π ϑ.

77 Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Anwendung auf Cauchy-Problem Annahmen (H4) die Koeffizienten von B[u, v; t] sind Lebesgue-messbar. Satz: Existenz und Eindeutigeit Sind die Annahmen (H1), (H2) und (H4) erfüllt, so besitzt das Cauchy-Problem (AWP) eine eindeutige schwache Lösung u L 2 (0, T ; H 1 (R 2 )).

78 Beweisskizze Galerkin-Methode abstrakter Halbgruppenansatz Man setzt B n [u, v; t] def = j n (t s)b[u, v; t] ds, u, v H 1 (R 2 ). Bildet dann die Fundamentallösung U n (t, s) und zeigt mit Hilfe einer a-priori-abschätzung, dass eine schwach konvergente Teilfolge existiert, die für n gegen die Lösung konvergiert

79 Gebietsdefinition Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Damit wir die Analytizität beweisen können, benötigen wir das komplexe Gebiet O C 2 C mit Q (r) def = ( r, r) 2 def = { y R 2 : y < r } X (r) def T 0,T ϑ = { z = x + iy C 2 : y < r } = R 2 + iq (r) { t = re iθ C : r > 0, θ ( ϑ 0, ϑ 0 ), def = Im(t) < T 0 tan(ϑ 0 ), 0 < Re(t) < T } O def = X (r0) T 0,T ϑ 0 χ(s) def = s 1 2 +ɛ C 2 C Π (s) (κ 0 ) def = { z = x + iy C 2 : y < κ 0 χ(s) }

80 Gebietsdefinition Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Σ (s) (ν 0 ) def = {t = σ + iτ C : ν 0 τ < σ = s} Λ (s) (κ 0, ν 0 ) def = } {Π (r) (κ 0 ) Σ (r) (ν 0 ) : r (0, s) { } Λ r (s) (κ 0, ν 0 ) def = (z, t) C 2 C : (z, t r) Λ (s) (κ 0, ν 0 ) { } Γ (s) T (κ 0, ν 0 ) def Λ (s) r (κ 0, ν 0 ) : r [0, T s] für s < T = Λ (s) (κ 0, ν 0 ) für s = T wichtig κ 0 und ν 0 werden gerade so gewählt, dass Γ (s) T (κ 0, ν 0 ) O.

81 Gebietsdefinition Veranschaulichung des Gebietes O Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum (a) T,T ϑ 0 (b) X (r) (eindimensional)

82 Annahmen Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum L Cauchy (x, t, D x ) = 2 i,j=1 x j ( a ij (x, t) ) + x i 2 i=1 b i (x, t) x i +c(x, t) (AN1) (i) a ij, b i, c C 1 (O) L (O) A(O) (i, j = 1, 2). (ii) a ij C 3 (O) Cunif 0 (O) (i, j = 1, 2). (iii) b i, c C 2 (O) (i = 1, 2). (AN2) Der Differentialoperator L Cauchy (x, t, D x ) ist gleichmäßig elliptisch. (AN3) Die Anfangsbedingung u 0 liegt in L 2 (R 2 ).

83 Analytizität bezüglich der Zeit Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Die Analytizität bezüglich der Zeit lässt sich mit Hilfe der Halbgruppentheorie und der zuvor konstruierten Fundamentallösung beweisen. Erst wird die Analytizität unter abstrakten Voraussetzungen gezeigt und diese Voraussetzungen dann auf den Differentialoperator L Cauchy (x, t, D x ) übertragen

84 Voraussetzungen Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Sei C eine kompakte konvexe komplexe Umgebung des abgeschlossenen Intervalls [0, T ]. (AT1) Der Definitionsbereich D(A(t)) = D(A) von A(t) ist unabhängig von t. (AT2) A(t) ist für alle t [0, T ] ein abgeschlossener, dicht in X definierter Operator. Für t existiert (λ A(t)) 1 für alle λ mit Re(λ) 0 und es existiert eine Konstante M <, so dass (λ A(t)) 1 B(X) M, Re(λ) 0, t. λ + 1 (AT3) A(t)A(0) 1 ist eine analytische Funktion in mit Werten in B(X).

85 Analytizität Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Satz: Unter den Annahmen (AT1)-(AT3) ist die Fundamentallösung U(t, s) von (AWP) analytisch in (t, s) für t > φ s. Genauer ist die Fundamentallösung für t, s, t > φ s und für t = s definiert und analytisch in (t, s) für t > φ s. Schreibweise Wir setzen φ = π 2 δ. Für zwei komplexe Zahlen t und s schreiben wir dann t > φ s, falls t s und arg(t s) < φ. Weiter schreiben wir t φ s, falls t = s oder t > φ s.

86 Beweisskizze Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Für den Beweis benötigt man das folgende Lemma: Lemma Seien P (t, s) und Q(t, s) gleichmäßig beschränkte analytische Funktionen mit Werten in B(X) welche in Ξ = {(t, s) : t, s, t > φ s} definiert sind. Dann kann das Integral t s P (t, τ)q(τ, s) dτ als eine gleichmäßig beschränkte analytische Funktion in Ξ definiert werden.

87 Beweisskizze Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Die Behauptung wird dann mit Hilfe der Darstellung U(t, s) def = e (t s)a(s) + W (t, s), (0 s t T ). W (t, s) def = t der Fundamentallösung gezeigt. s e (t τ)a(τ) R(τ, s) dτ.

88 Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Analytizität des Cauchy-Problems bezüglich der Zeit Satz: Analytizität in der Zeit Erfülle L Cauchy (x, t, D x ) die Voraussetzungen (AN1), (AN2) und (AN3). Dann ist die eindeutige schwache Lösung von t u(x, t) + L Cauchy(x, t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 [0, T ] u(x, 0) = u 0 x R 2 aufgefasst als L 2 (R 2 )-wertige Funktion, analytisch.

89 Analytizität im Raum Vorgehensweise Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum 1. Zuerst beweist man eine a-priori-abschätzung in L 2 für die holomorphe Fortsetzung der Lösung von (AWP) auf das komplexe parabolische Gebiet Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) O C 2 C. Dabei nehmen wir an, dass die Anfangsdaten u 0 im Hardy-Raum H 2 (X (r) ) liegen. 2. Als nächstes zeigt man, dass Anfangsdaten aus L 2 (R 2 ) durch (holomorphe) Funktionen aus H 2 (X (r) ) approximiert werden können.

90 Analytizität im Raum Vorgehensweise Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum 3. Das Cauchy-Problem (AWP) besitzt für Anfangsdaten aus H 2 (X (r) ) eine eindeutige Lösung. Diese erfüllt die Voraussetzungen für die a-priori-abschätzung. 4. Dies kombiniert man abschließend mit der Eindeutigkeit der schwachen Lösung u = u(x, t) von (AWP) um daraus zu schließen, dass diese schwache Lösung der (lokal gleichmäßige) Limes einer Folge von holomorphen Funktionen in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) ist und daher selbst holomorph in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) ist.

91 Eine a priori Abschätzung Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Sei u : R 2 (0, T ) C eine schwache Lösung des Cauchy-Problems (AWP) mit Anfangsbedingung u 0 L 2 (R 2 ), so dass u C([0, T ]; L 2 (R 2 )) und u eine holomorphe Fortsetzung in das komplexe Gebiet Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) besitzt. Diese Fortsetzung bezeichnen wir wieder mit u. Zudem erfülle die Fortsetzung u die folgenden Eigenschaften: (1) Für jedes Paar (y 0, t 0 ) ˆΓ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) existiert eine offene Umgebung G (von (y 0, t 0 )) in ˆΓ (T 0) T, so dass sup u(x + iy, t) 2 dx <. (y,t) G R 2

92 Eine a priori Abschätzung Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum (2) Für festes τ 1 R mit ν 0 τ 1 < 1 gilt u(x + iy, (1 + iτ 1 )σ) u 0 (x) 2 dx σ 0 0. R 2 sup y <κ 0 χ(σ) Dann erfüllt die Fortsetzung u die PDGL (AWP) in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) im klassischen Sinne in jedem Punkt (x, y, t) (x + iy, t) Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ), mit den partiellen Ableitungen bezüglich x und t.

93 Eine a priori Abschätzung Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Weiterhin existiert eine Konstante C 0 [0, ), unabhängig von u 0, u, T (T T 0 ), so dass die holomorphe Fortsetzung von u die Abschätzung ( ) u(x + iy, t) 2 dx e C Re(t) ( ) 0J T 0 u 0 2 L 2 (R 2 ) R 2 für alle (y, t) ˆΓ (T 0) t (κ 0, ν 0 ) erfüllt.

94 Eine a priori Abschätzung Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Außerdem gilt die Abschätzung ( ( ) σ u x + iχ 1 R T 2 0 [ σ + c 0 Dα x u α 1 e C0J ( 0 ) σ T 0 R 2 u 0 2 L 2 (R 2 ) ( ) ) σ 2 y, σ + iς 1 τ dx T 0 ( ) ( ) ) 2 (x + iχ 1 y, s + iς 1 τ dx st0 st0 für alle σ (0, T ), (y, τ) R 2 R mit y < κ 0 χ(t 0 ) und ν 0 τ < T 0. Zudem sind die schwache Lösung des Cauchy-Problems (AWP) und seine holomorphe Fortsetzung in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) eindeutig. ] ds

95 Beweisskizze Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Nach unserer Annahme (AN1), sind alle Komponenten des Differentialoperators holomorph in dem komplexen Gebiet O = X (r0) T 0,T ϑ 0 Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ). Da u in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) holomorph ist und u das Problem (AWP) in R 2 (0, T ) im klassischen Sinne erfüllt, muss die Fortsetzung von u die Gleichung (AWP) auch in Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) erfüllen.

96 Beweisskizze Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Weiterhin benötigt man die Cauchy sche Integralformel für Polyscheiben Für x D (r) = { x C N : x k y k < r für k = 1,..., N } gilt f(x) = 1 dz 1 (2πi) N... γ 1 z 1 x 1 γ N dz N z N x N f(z 1,..., z N ), wobei γ k die positiv orientierten Kreise z k y k = r sind (k = 1,..., N).

97 Hardy-Raum Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Der Hardy-Raum H 2 (X (r) ) über den Streifen X (r) besteht aus allen holomorphen Funktionen u : X (r) C, die eine endliche Norm u H 2 mit u H 2 = u H 2 (X (r) ) besitzen. def = sup u( + iy) L 2 (R 2 ) y Q (r) ( = sup y Q (r) R 2 u(x + iy) 2 dx ) 1 2 <

98 Fourier-Transformation Definition Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Fourier-Transformierte Sei F L 2 (R N ), dann ist die Fourier-Transformierte f von F durch f(ξ) def = F (t)e 2πi ξ,t RN dt, ξ R N R N definiert. Wir schreiben auch F(F ) = f. Die inverse Fouriertransformierte F von f ist durch F (x) def = e 2πi x,ξ RN f(ξ) dξ, x R N R N definiert.

99 Satz von Plancherel Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum 1 Sei F L 2 (R N ) und sei f die Fouriertransformierte von F, dann ist F L 2 (R N ) = f L 2 (R N ). 2 Die Fouriertransformation F ist ein linearer Operator und eine Isometrie von L 2 (R 2 ) nach L 2 (R 2 ). 3 Die inverse Fouriertransformation F 1 erhält man durch (F 1 h)(x) = (Fh)( x) für alle h L 2 (R 2 )

100 Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Charakterisierung von Funktionen aus H 2 Eine Funktion F gehört genau dann zu H 2 (X (r) ), wenn sich F als F (x + iy) = e 2πi x+iy,t R2 f(t) dt, x R 2, y Q (r), R 2 mit einer Funktion f, für die ( ) 1 f (sup) def = sup f(t) 2 e 4π y,t 2 L 2 r(r 2 ) R2 dt < y Q (r) R 2 gilt, darstellen lässt.

101 Approximationsresultat Satz Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum 1 Die Menge der (Restriktionen auf X (r) von) F bildet einen dichten Untervektorraum vom Hardyraum H 2 (X (r) ). E R 0<R< 2 Die Einschränkung von H 2 (X (r) ) auf R 2 ist ein dichter Unterraum des Lebesgue-Raums L 2 (R 2 ).

102 Beweisskizze 1/2 Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Paley-Wiener-Schwartz Sei R (0, ) und K = [ R, R] 2. Ist f C 0 (K), dann existiert für alle m N 0 eine Konstante C m, so dass für die inverse Fouriertransformierte F von f gilt F (z) C m (1 + z ) m e R(Im(z)) ; z C 2. Andererseits ist jede ganze holomorphe Funktion in C 2, die die obige Abschätzung für jedes m N 0 erfüllt, die inverse Fouriertransformierte einer Funktion aus C 0 (K).

103 Beweisskizze 2/2 Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Isomorphismus Sei f die Fouriertransformierte von F H 2 (X (r) ) R 2, also F ( F R 2) = f. Dann ist die Abbildung F f ein Isomorphismus vom Hardy-Raum H 2 (X (r) ) R 2 in den gewichteten Lebesgue-Raum L 2 r(r 2 ) = L 2 (R 2, e 4πr ξ 1 dξ) mit der Norm definiert durch f L 2 r (R 2 ) ( ) 1 def = f(ξ) 2 e 4πr ξ 2 1 dξ. R 2

104 Existenz und Eindeutigkeit für Anfangsdaten aus dem Hardy-Raum H 2 (X (r 0) ) Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Satz: Anfangsdaten aus H 2 (X (r 0) ) Seien die Annahmen (AN1)-(AN2) erfüllt und u 0 H 2 (X (r 0) ). Dann hat das Cauchy-Problem (AWP) eine eindeutige klassische Lösung u : O C. Diese ist holomorph in O und besitzt eine stetige Fortsetzung auf X (r 0) [0, T ] mit u(, 0) = u 0 in X (r 0). Weiterhin erfüllt u die a-priori-abschätzung.

105 Beweisskizze Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Das Problem wird mittels u (ζ) (x, t) = u(x + ζ, t) für (x, t) R 2 (0, T ) und festes ζ = ξ + iη X (r 0) transformiert. Die Existenz und Eindeutigkeit von aus der Standardtheorie. Die Analytizität folgt aus der unendlichen Differenzierbarkeit der Lösung (bzgl. der reellen Variablen) in jedem Punkt ζ einer Polyscheibenumgebung, durch Anwendung der Cauchy-Riemannschen DGL (und der a-priori-abschätzung) sowie aus der Analyitizität bzgl der Zeit.

106 Analytizität Satz Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Satz: Analytizität Seien die Annahmen (AN1)-(AN3) erfüllt. Dann besitzt das Cauchyproblem (AWP) eine eindeutige schwache Lösung u C([0, T ]; L 2 (R 2 )). Diese Lösung kann eindeutig zu einer holomorphen Funktion auf dem Gebiet Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) fortgesetzt werden. (Wobei die Zahlen κ 0, ν 0 (0, ) gerade so gewählt sind, dass Γ (T 0) T (κ 0, ν 0 ) O.)

107 Analytizität Beweisidee Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Es wird eine Folge {u n,0 } n N H(X (r) ) gebildet, die gegen die Anfangsdaten u 0 L 2 (R 2 ) konvergieren. Dann wird gezeigt, dass für jedes dieser Folgeglieder eine eindeutige Lösung u n von (AWP) existiert und außerdem die a-priori-abschätzung erfüllt. Danach wird gezeigt, dass die Folge der zugehörigen Lösungen {u n } n N sogar eine Cauchy-Folge in L 2 (R 2 ) ist, woraus dann durch Grenzwertbetrachtung die Behauptung folgt.

108 Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Anforderungen an Ausgangsproblem Es existieren Konstanten r 0 (0, ), 0 < T 0 T < und 0 < ϑ 0 < π 2 mit α T 0 tan(ϑ 0 ) < π 2, so dass die Koeffizientenfunktionen von L SV M (x, t, D x ) zu einer beschränkten analytischen Funktion in das komplexe Gebiet ( (C\ {z C : Re(z) > 0}) fortsetzbar sind. m + y(ϑ 0 ) max ϑ 0 ) ( ) T T 0,T ϑ 0

109 Beispiel Grundlagen der Finanzmathematik Annahmen Analytizität in der Zeit Analytizität im Raum Wir setzen (arctan(y) + π 2 f(y) = f ) + π Wir können f durch + f. f(z) = i 2 f +(log(1 iz) log(1 + iz)) f + + f = i ( ) 1 iz 2 f + log iz 2 f + + f für alle z C\ {±iy : y [1, )} fortsetzen.

110 Problem bei Anfangsdaten Problem Lösung Existenz und Eindeutigkeit für gew. Probl. Bisher haben wir immer angenommen, dass die Anfangsdaten in L 2 (R 2 ) liegen. Betrachten wir aber z.b. die Auszahlungsfunktion { g(x 1, x 2 ) = (exp(x 1 ) K) + exp(x 1 ) K für x 1 > ln(k), = 0 für x 1 ln(k). so stellen wir fest, dass diese nicht in L 2 (R 2 ) liegt.

111 Lösungsidee Problem Lösung Existenz und Eindeutigkeit für gew. Probl. Daher betrachten wir das Problem in dem mit der Wichtungsfunktion ξ gewichteten Hilbertraum. Wir nehmen an, dass u 0 ξ L 2 (R 2 ) liegt. Dementsprechend betrachten wir statt t u(x, t) L SV M(x, t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 (0, T ] u 0 = u(x, 0) = g(x) x R 2 nun ξ(x) t u(x, t) L SV M (ξ(x)u(x, t)) = 0 (x, t) R 2 (0, T ] u(x, 0) = g(x) ξ(x) x R 2.

112 äquivalentes Problem Problem Lösung Existenz und Eindeutigkeit für gew. Probl. t u(x, t) L SV M (x, t, D x )u(x, t) = 0 (x, t) R 2 (0, T ] mit u(x, 0) = g ξ(x) x R 2 L SV M = 2 2 ã ij (x, t) + x i x j i,j=1 2 i=1 bi (x, t) x i + c(x, t).

113 äquivalentes Problem Problem Lösung Existenz und Eindeutigkeit für gew. Probl. ã(x, T t) = 1 ( ) a11 (x, t) a 12 (x, t) 2 a 21 (x, t) a 22 (x, t) ( ) 2 ξx 1 (x) b(x, T t) = ξ(x) a 11(x, t) + 2 ξx 2 (x) ξ(x) a 12(x, t) + b 1 (x, t) ( ) 2 ξx 2 (x) ξ(x) a 22(x, t) + 2 ξx 1 (x) ξ(x) a 12(x, t) + b 2 (x, t) c(x, T t) = 1 ξ(x) (2a 12(x, t)ξ x1 x 2 (x) + a 22 (x, t)ξ x2 x 2 (x) +a 11 (x, t)ξ x1 x 1 (x) + b 1 (x, t)ξ x1 (x) +b 2 (x, t)ξ x2 (x))

114 Problem Lösung Existenz und Eindeutigkeit für gew. Probl. Existenz und Eindeutigkeit im gewichteten L 2 (R 2 ) Satz: Existenz und Eindeutigkeit Ist der Differentialoperator L SV M (x, t, D x ) gleichmäßig elliptisch, die Koeffizientenfunktionen messbar und beschränkt und ist g ξ L 2 (R 2 ), dann besitzt das Cauchyproblem (AWP) in dem gewichteten Hilbertraum L 2 (R 2, ξ) eine eindeutige schwache Lösung. Beispiel Wählen wir z.b. als Gewichtsfunktion ( ξ(x 1, x 2 ) = e ax 1 + e bx 2 + e bx 2 ) 1 mit Konstanten a, b (1, ), dann ist obiger Satz erfüllt.

115 Geschätze Parameter Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Zeitraum α β ρ γ exp(m) µ 6 Monate Monate Monate f(x 2 ) = exp(x 2 ) Jean-Pierre Fouque, George Papanicolaou, K. Ronnie Sircar, Financial modeling in a fast mean-reverting stochastic volatility environment, Asia-Pacific Financial Markets 6(1),

116 Geschätze Parameter Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation f(x 2 ) = 2 π arctan(x 2 + m) g(x 1 ) = (x 1 450) + α = 155 β = 16.8 m = 2.3 µ = 0.1 ρ(t) = 0.1 γ(x, t) = 4 r =

117 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Generelle Gliederung Generell kann zwischen 2 Arten der numerischen Simulation unterschieden werden: 1 Lösung des Cauchy-Anfangswertproblems 2 stochastische Simulation

118 Finite-Differenzen Vorgehensweise Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Das Gebiet auf dem die Differentialgleichung gelöst werden soll wird mit einem Gitter zu überzogen und nur an den Knotenpunkten betrachtet. Dabei werden die in der Differentialgleichung auftretenden Differentialoperatoren durch Differentialquotienten ersetzt.

119 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation verwendete Differentialquotienten x u i,j,k D x (disk) U = U i+1,j,k U i 1,j,k 2h x 2 x 2 u i,j,k D xx (disk) U = U i+1,j,k 2U i,j,k + U i 1,j,k h 2 x 2 x y u i,j,k D xy (disk) u t u i,j,k D (disk) t U = U i+1,j+1,k U i 1,j+1,k U i+1,j 1,k + U i 1,j 1,k 4h x h y U = U i,j,k+1 U i,j,k τ

120 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Veranschaulichung der Vorgehensweise

121 Lösungsansätze Pyramidenstumpf - explizites Verfahren Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Idee Wir beginnen im ersten Schritt nicht mit einer Diskretisierung des Gebietes welches wir später auswerten wollen, sondern mit einem vergrößerten Gebiet, das genau so groß ist, dass nach n t Zeitschritten und den damit verbundenen Verlust der jeweiligen Randpunkte in jedem Zeitschritt, am Ende nur noch das zu betrachtende Gebiet übrig bleibt. Problem Explizite Finite-Differenzen Verfahren sind sehr instabil, daher keine Konvergenz für vertretbare Schrittweiten.

122 Lösungsansätze Betrachtung des gewichteten AWP s Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Idee Wir betrachten ein gewichtetes AWP, so dass Anfangsbedingungen in L 2 (R 2 ) liegen. Dann erweitern wir das Gebiet und nehmen Dirichlet Nullrandbedingungen an. Probleme 1 Fehler am Rand werden bei der Rücktransformation in Abhängigkeit von der Wichtungsfunktion verstärkt (in unserem Fall exponentiell). 2 Sehr starker Transport in der DGL.

123 Lösungsansätze ungewichtete und untransformierte Anfangsdaten Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

124 Lösungsansätze gewichtete und transformierte Anfangsdaten Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

125 Lösungsansätze Lösung nach einem Schritt der Länge Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

126 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Lösungsansätze Zurücktransformierte Lösung nach einem Schritt der Länge

127 Lösungsansätze wir tricksen bei den Randbedingungen Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Idee Annahme von Neumann-Randbedingung. Berücksichtigung der Tatsache, dass sich das asymptotische Verhalten der Lösung für große Werte dem der Anfangsbedingung (Auszahlungsfunktion) anpasst.

128 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Finite-Differenzen mit Neumann-RB europäische Call-Option mit Auszahlungsfkt. g = (x 1 450) +

129 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Finite-Differenzen mit Neumann-RB europäische Option mit Auszahlungsfkt. g = (x 1 445) + (x 1 455) +

130 Galerkin Methode Vorgehensweise Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Approximation der Lösung auf einem endlichdimensionalen Unterraum, welcher durch eine Orthonormalfolge aufgespannt wird. {w n } n N L 2 (R 2 )

131 Lösungsansätze Wahl der Ansatzfunktionen Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Hermitesche Polynome Die zweidimensionalen Hermiteschen Polynome sind durch gegeben. H m,n (x, y) = H m (x)h n (y) = ( 1) m+n e x2 +y 2 m+n x m y n e x2 y 2

132 Hermitesche Polynome Beispiel: e x2 2 y2 2 H1,0(x, y) Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

133 Hermitesche Polynome Beispiel: e x2 2 y2 2 H1,1(x, y) Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

134 Hermitesche Polynome Beispiel: e x2 2 y2 2 H4,3(x, y) Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

135 Hermitesche Polynome Beispiel: gewichtete Anfangsbedingung Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation

136 Schätzung der Parameter Finite-Differenzen Galerkin-Approximation Monte-Carlo Simulation Hermitesche Polynome Beispiel: durch Hermitesche Polynome angenäherte gewichtete AB