Quicksort. Referat am in Proseminar "Grundlagen der Programmierung" Inhalt. 1. Geschichte und Hintergründe des Sortierproblems

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1 Quicksort Referat am in Proseminar "Grundlagen der Programmierung" Inhalt 1. Geschichte und Hintergründe des Sortierproblems 2. Theoretische Grundlagen 2.1 Das Sortierproblem (lat. sors, -tis = Rang, Ordnung) 2.2 Definition einiger Fachbegriffe 3. Elementare Sortieralgorithmen 3.1 Bubblesort 3.2 Sortieren durch direktes Einfügen: Insertionsort 3.3 Shell-Metzner-Sort 4. Quicksort 4.1 Grundidee 4.2. Algorithmus 4.3 Analyse von Quicksort 4.4 Verbesserungen von Quicksort 5. Vergleich der Algorithmen Anhang: Literaturverzeichnis 1. Geschichte und Hintergründe des Sortierproblems Erste Betätigungen im Bereich des Sortierens gehen auf das Amerika im 19. Jahrhundert zurück. Damals war es üblich alle zehn Jahre eine Volkszählung durchzuführen. Mit den daraus gewonnenen Daten wuchs auch das Interesse an verschiedenen Statistiken. Für diese Erhebungen mußte das Datenmaterial nach verschiedenen Gesichtspunkten sortiert werden, was anfangs noch in mühevoller Handarbeit geschah. Daraus fand schließlich Hermann Hollerith mit der, nach ihm benannten, batteriebetriebenen Hollerith-Sortiermaschine einen Ausweg. Mit ihr wurde es möglich, Daten der Volkszählung, die auf Lochkarten gestanzt wurden, zu sortieren. In einer Presse wurden mit Nadeln die einzelnen Löcher abgetastet. Traf eine Nadel auf ein Loch, wurde über die Nadel zum metallischen Untergrund ein elektrischer Kontakt hergstellt, der über einen entsprechenden Mechanismus eine Klappe öffnete und so die Dateikarte auf den jeweiligen Stapel sortierte. Ein Angestellter konnte so an seinem secheinhalb Stunden Arbeitstag Karten bearbeiten. Mit steigenden Bevölkerungszahlen gingen stetig ansteigende Datenmassen einher, so daß man 1901 Sortiermaschinen mit automatischer Papierzuführung verwendete. Der Durchbruch gelang aber erst 1930 als die ersten programmierbaren Computer aufkammen. Das Interesse am Sortierproblem ist unweigerlich mit der Computerentwicklung und ebenso alt wie

2 Computer selbst. Computer sind aufgrund ihrer Struktur und strengen Arbeitsweise geradezu geschaffen, um Daten so sortieren. Dafür existieren verschiedene Sortieralgorithmen, die im weiteren untersucht werden sollen. 2. Theoretische Grundlagen 2.1 Das Sortierproblem (lat. sors, -tis = Rang, Ordnung) Daten sortieren heißt, sie in bezug auf eine vorher festgelegte Ordnung zu sortieren, zu ordnen. Eine solche Anordnung kann nach Größe (optische Ordnung), Zahlenwerten (z.b. Postleitzahlen) oder definiertem Alphabet geschehen. Ziel des Sortierens ist es, häufig verwendete Daten nach geschickter Sortierung schneller und einfacher wiederzufinden. Das Sortierproblem läßt sich auch mathematisch exakt darstellen: 2.2 Definition einiger Fachbegriffe Bevor nun einige Sortieralgorithmen vorgestellt und untersucht werden sollen, scheint es sinnvoll zur späteren Bewertung der Algorithmen noch einige Begriffe einzuführen. Mit Schlüssel (engl. key) bezeichnet man den Wert eines Elements der zu sortierenden Menge nach dem sortiert wird. Möchte man z.b. eine Händlernachweisliste nach Postleitzahlen sortieren, so sind in diesem Fall die PLZs die Schlüssel. Ein wichtiges Kennzeichen von Sortieralgorithmen ist die Stabilität. Sie sagt aus, daß bei der Sortierung einer Datenmenge die Reihenfolge gleicher Schlüssel erhalten bleibt. Die Inversionszahl dagegen ist ein Maß für die Unordnung, die in einer Permutation enhalten ist, sie ist wie folgt definiert: Die Ordnungsverträglichkeit gibt Auskunft darüber, ob das Sortierverfahren bereits bestehende Teilordnungen bei der Sortierung ausnützt. 3. Elementare Sortieralgorithmen

3 Hier sollen einige elementare Sortieralgorithmen vorgestellt werden. Für kleine Datenmengen sind sie durchaus ausreichend, lassen sich schnell nachvollziehen und rasch realisieren. Zudem könnnen sie sinnvoll mit komplexen Verfahren kombiniert werden und so weitere Geschwindikeitsvorteile bringen. 3.1 Bubblesort Bubblesort ist eines der bekanntesten Sortierfahren. Die Verbreitung des Algorithmuses dürfte allerdings mehr auf der einfachen Methode als der Effizienz beruhen. Der Algorithmus arbeitet mit dem Prinzip des direkten Austauschs, d.h. aufeinander folgende Schlüssel werden verglichen und gegebenenfalls vertauscht. Das Datenfeld wird nun mehrfach durchlaufen, wobei alle kleineren Schlüssel nach links wandern, alle größeren nach rechts. Stellt man sich das Array senkrecht stehend vor, so erklärt sich der Name Bubblesort mit einiger Phantasie. Eine PASCAL Implementierung könnte wie folgt aussehen: PROCEDURE Bubblesort(VAR Daten: Datenfeld; N:Integer); VAR i, j: CARDINAL; hilf: Datentyp; FOR i := 2 TO N DO FOR j := N DOWNTO i DO IF Daten[j - 1] > Daten[j] THEN hilf := Daten[j - 1]; Daten[j - 1] := Daten[j]; Daten[j] := hilf; END; END; END; {Bubblesort} Wenn man sich den Ablauf an Hand einer Tracetabelle vor Augen führt, erkennt man auch gleich ein Manko von Bubblesort. Durch den fast stur wirkenden Durclauf der FOR-Schleife wird das Datenfeld weiter durchlaufen, obwohl bereits bei i=5 die Daten korrekt sortiert sind. Startfeld: i=2: i=3: i=4: i=5: i=6: i=7: Aus dem verschachtelten Schleifenkonstrukt wird schnell ersichtlich, das die Komplexität Bubblesorts von O(n 2 ) ist. Außerdem ist noch zu bemerken, daß von Bubblesort keine Stabilität gewährleistet wird. 3.2 Sortieren durch direktes Einfügen: Insertionsort Diese Sortiermethode ist intuitiv bekannt vom Sortieren beim Kartenspiel. Man betrachtet dabei einen Key nach dem anderen und fügt ihn in die bereits sortierten an der richtigen Stelle ein, wobei deren

4 Reihenfolge unverändert bleibt. Das gerade betrachtete Element wird eingefügt, in dem die größeren Elemente einfach um eine Position nach rechts bewegt werden und das Element auf den freigewordenen Platz eingefügt wird. Das folgende Bild verdeutlicht die Vorgehensweise, die hellen Elemente gelten bereits als sortiert, das vorgehobene Element wird gerade bearbeitet: Nicht unerwähnt darf ein kleiner Schönheitsfehler bleiben. Ist das gerade betrachte Element hilf gerade das kleinste, so würde die WHILE-Schleife in ihrer bisherigen Fassung den zulässigen Bereich des Arrays verlassen. Um dies zu verhindern wurde ein Sentinel, ein Randmarke, eingeführt. Die zugehörige PASCAL-Implementierung sieht dann wie folgt aus: PROCEDURE Insertionsort(VAR Daten: Datenfeld; N:CARDINAL); VAR i, j: CARDINAL; hilf: Datentyp; FOR i := 2 TO N DO hilf := Daten[i] Daten[0] := hilf; {* Sentinel} j := i - 1; WHILE hilf < Daten[j] DO Daten[j + 1] := Daten[j]; {* j-ten Schlüssel nach rechts rutschen} j := j - 1; END; Daten[j + 1] := hilf; END; END; {Insertsort} Die Komplexität von Insertionsort ist, wie die von Bubblesort, von O(n2). Dafür ist Insertionsort aber ein stabiles Sortierverfahren. Zudem sortiert es ordnungsverträglich, sortiert also eine geordnete Menge am schnellsten, eine entgegengesetzt geordnete Datenmenge am schlechsten. 3.3 Shell-Metzner-Sort Dieses Verfahren beruht direkt auf Insertionsort und ist eine wesentliche Verbesserung davon. Der Vergleich der Keys wird nicht, wie bei Insertionsort, direkt nacheinander, sondern mit abnehmender Schritt- bzw. Spannweite vorgenommen, folglich werden Vertauschungen über große Distanzen vorgenommen. Die Distanzen werden durch eine absteigende Folge h, die gegen konvergieren muß,

5 vorgegeben. Anfangs wird das Feld über Spannweiten h>1 vorsortiert und mit kleiner werdendem h immer weiter verfeinert. Bei der Schrittweite h=1 läuft dann schließlich der Standart-Insertionsort-Algorithmus ab, wobei augrund der Vorsortierung nur noch wenige Vertauschungen notwendig sind. Realisierung in PASCAL: PROCEDURE Shellsort(VAR Daten: Datenfeld; N:CARDINAL); VAR i, j, h: CARDINAL; hilf: Datentyp; h := 1; REPEAT h:=h*3+1; UNTIL h>n; REPEAT h := h DIV 3; FOR i := h+1 TO N DO hilf := Daten[i]; Daten[0] := hilf; {* Sentinel} j := i - h; WHILE (hilf < Daten[j]) AND NOT (j < h) DO Daten[j + h] := Daten[j]; j := j - h; END; Daten[j + h] := hilf; END; UNTIL h = 1; END; {Shellsort} {* j-ten Schlüssel nach rechts rutschen} Dieses Verfahren bringt einen enormen Geschwindigkeitsgewinn, da Elemente über weite Strecken transportiert werden. Eine eine Analyse ist bis heute nicht möglich, da ungelöste mathematische Probleme im Wege stehen. Es kann nicht einmal eine Aussage über die Einflußnahme der Folge h auf das Verfahren gemacht werden. Lediglich für die Folge h[k-1] = 3 * h[k] + 1 konnte man empirisch eine Komplexität von O(n 1.25 ) ermitteln. Shell-Metzner-Sort ist damit wesentlich besser als die bisher vor gestellten Verfahren, gilt daher auch als bester einfacher Algorithmus und kann mit komplexeren, so auch mit Quicksort, durchaus konkurrieren. 4. Quicksort Der Algorithmus wurde entdeckt, als Hoare als Austauschstudent nach Moskau kam. Dort erhielt er die Möglichkeit, bei einem neuen Projekt für automatische Übersetzung vom Russischen ins Englische mitzuarbeiten. Damals wurden die Wörterbücher auf Magnetband gespeichert, somit war es notwendig, die Wörter eines Satzes alphabetisch zu sortieren, um dann die Übersetzungen vom Band abrufen zu können. Zwar hielt C.A.R. Hoare später automatische Übersetzungssysteme für unpraktikabel, aber dafür wurde Quicksort geboren. Hoare verfaßte 1962 seinen Artikel über Quicksort. Dort beschrieb er nicht nur seinen Algorithmus sondern analysierte ihn auch ausgiebig. Seine Vorhersagen über die Effizienz seines

6 Verfahrens bestätigten sich später auch in der Praxis. Da Hoare seinen Algorithmus bereits 1962, also noch vor der Einführung von ALGOL, entdeckte, mußte er sich auch noch ausführlich mit der Entrekursivierung des Verfahrens beschäftigten, da sich zu dieser Zeit noch keine Rekursion in Programmiersprachen ausdrücken ließ. 4.1 Grundidee Quicksort ist ein rekursiver Algorithmus. Die Grundidee beruht darauf, das Sortierproblem in kleine Teilprobleme zu zerlegen, bis diese lösbar werden. Auf die zu sortierende Datenmenge angewendet heißt das, die Schlüsselreihe mit einem Schnittelement, auch Pivotelement genannt, in zwei Teilreihen zu zerlegen. In der linken Teilreihe sollen sich dann alle Schlüssel kleiner dem Pivotelement, in der rechten alle größer dem Pivotelement befinden. Diese Teilreihen sollen ihrerseits wieder mit neuen Pivotelementen zerlegt werden, bis die rekursiv gewonnen Partitionen nur noch jeweils ein Element enthalten Algorithmus Die Partionierung, d.h. die Aufteilung des Datensegments in kleinere Teilsegmente, wird, wie bereits bei der Grundidee dargestellt, mit einem Pivotelement realisiert. Die Wahl des Pivotelement ist prinzipiell willkürlich, der Algorithmus funktioniert mit jedem Element als Pivotelement. Jedoch kann, wie später noch gezeigt wird, eine günstige Wahl des Trennelements Effizienzvorteile bringen. Als erstes wird also das Pivotelement, wie auch immer, aus den Schlüsseln bestimmt. Dann durchlaufen zwei Pfeile das Datensegment, der eine von Links startend nach Rechts, der andere von Rechts startend nach Links. Der linke Pfeil startet als erster beim linken Randelement des Datensegments. Dabei wird das Pivotelement mit dem Schlüssel, auf den der linke Pfeil gerade zeigt, verglichen. Ist der aktuelle Schlüssel kleiner dem Pivotelement wandert der linke Pfeil rechts weiter zum nächsten Wert im Datensegement. Ist dagegen der aktuelle Schlüsselwert größer als das Pivotelement wird der rechte Pfeil in Gang gesetzt. Anfangs startet dieser am rechten Datensegmentrand und wandert nach Links auf den linken Pfeil zu. Auch hierbei wird wieder der aktuelle Schlüsselwert mit dem Trennelement verglichen. Ist der Schlüsselwert größer dem Pivotelement, wandert der recht Pfeile links weiter zum nächsten Wert, ansonsten wird die Position des aktuellen Schlüssels mit der des Schlüssels, auf den der linke Pfeil zeigt, vertauscht. Der Vorgang ist dann beendet, wenn sich der linke und rechte Pfeil treffen, oder gar überlagern. Dabei ist zu beachten, daß bei Überlagerung keine Vertauschung mehr stattfindet, da die Schlüssel dann bereits im richtigen Teilsegment liegen. So erhält man nach dieser ersten Partitionierung genau zwei Teilsegmente, wobei die Schlüssel im linken Teilbereich alle kleiner dem Trennelement, im rechten Teilbereich alle größer dem Trennelement sind. Die neu gewonnenen Teilbereiche werden ihrerseits wieder partioniert. Die Rekursion wird erst dann beendet, wenn man nur noch leere oder 1-elementige Teilsegmente erhalten hat. Durch diese rekursive Partionierung erhält man dann eine Sortierung des Datenfelds. Im folgenden Schaubild wird der Sortiervorgang an einem einfachen Zahlenfeld vorgeführt:

7 Wie bereits mehrfach erwähnt, ist Quicksort ein rekursives Verfahren. Hoare mußte Quicksort in seinen damaligen Realisierungen noch mittels eines Stacks entrekursivieren, um es auf einer Maschine laufen lassen zu können. Trotzdem erschwert der rekursive Aufbau erheblich die Suche nach Implementierungsfehlern in Programmtexten. In der Literatur wird daher empfohlen, sich nur bei großen Datenmengen oder Aufnahme des Quicksortalgorithmus in eine Programmbibliothek auf dieses Verfahren zurückzugreifen. Sonst sei man mit Shellsort, das vom Verfahren viel einsichtiger ist, besser bedient. In PASCAL läßt sich Quicksort wie folgt beschreiben: PROCEDURE Quicksort(VAR Daten: Datenfeld; N:CARDINAL); PROCEDURE Partition(Links, Rechts: CARDINAL); VAR UPfeil, OPfeil: CARDINAL; Pivot, hilf: Datentyp; UPfeil := Links; OPfeil := Rechts; Pivot := Daten[(Links + Rechts) DIV 2]; {* mittleres Element: Pivot}; REPEAT WHILE Daten[UPfeil] < Pivot DO UPfeil := UPfeil + 1; WHILE Daten[OPfeil] > Pivot DO OPfeil := OPfeil - 1; IF UPfeil <= OPfeil THEN {* wenn sich beide Pfeile nicht berühren} hilf := Daten[UPfeil]; Daten[UPfeil] := Daten[OPfeil]; Daten[OPfeil] := hilf; UPfeil := UPfeil + 1; OPfeil := OPfeil - 1; END; UNTIL UPfeil > OPfeil; IF Links < OPfeil THEN Partition(Links, OPfeil); {* linkes Segment zerl.} IF Rechts > UPfeil THEN Partition(UPfeil, Rechts); {* rechtes Segment zerl.} END; {Partition} Partition(1, N); END; {Quicksort} Quicksort ist kein stabiles Verfahren.

8 4.3 Analyse von Quicksort Bereits Hoare hat dieses Verfahren ausgiebig mathematisch untersucht. Ziel in diesem Abschnitt ist es, eine Abschätzung über die Komplexität Quicksorts zu erhalten. Bei Quicksort werden, wie bei den anderen Sortierverfahren auch, zwei Methoden angewandt: Vergleiche (C von engl. comparisons) und Vertauschungen (M von engl. movements). Die Zahl der Vergleiche pro Partionierung von N Schlüsseln beträgt ebenfalls N, da ja alle Schlüssel mit dem Pivotelement verglichen werden müssen. Die Zahl der Vertauschungen hängt dagegen in großem Maße von der Art der Wahl des Pivotelements ab. So erhält man den ungünstigsten Fall (worst case), wenn man als Pivotelement immer gerade den größten oder kleinsten Schlüssel des Datensegments erhält. In diesem Fall ist die asymptotische Komplexität von Quicksort von der Ordnung n 2. Folgendes Zahlenbeispiel zeigt, daß in diesem Fall ein Teilsegemtn immer genau ein Element, das andere Segment genau N-1 Elemente enthält, also N Partitionierungen statt finden müssen: und so fort bis Pro Rekursionsstufe findet also nur ein Tausch statt. Um nun die Zahl M der Schlüsselbewegungen zu bestimmen, nimmt man an, daß das Pivotelement zufällig bestimmt wird und gerade dem r größsten Schlüssel der Sortiermenge entspricht. Die Annahme beruht dabei auf dem Prinzip der bedingten Erwartung. Damit existieren in der Datenmenge genau N-r Elemente, die größer als das Pivotelement sind, die Wahrscheinlichkeit, daß ein Schlüssel größer als das Trennelement sein kann ist folglich (N-r) / N. Nun gibt es genau r-1 Positionen, auf denen Schlüssel größer dem Pivotelement stehen können, dann aber, weil auf diesen Positionen nach der Partionierung nur Element kleiner Pivotelement stehen sollen, verschoben werden müssen. In einer Partionierung mit dem r-ten Element als Pivotelement finden demnach genau statt. Bildet man nun den Erwartungswert, d.h. summiert über r und dividiert durch N, so erhält man die absolute Anzahl von Vertauschungen M in einer Partitionierung:

9 In der weiteren Abschätzung in bezug auf M abstrahiert man von den exakten Faktoren und gelangt so nun zu folgendem Ausdruck: Die Variablen a, b, c sind dabei spezifisch für den jeweils verwendeten Computer, wobei z.b. a in etwa ein Faktor für die Abarbeitung von Schleifen sein könnte. Die Zeit, um N Elemente zu sortieren, wird im weiteren mit T N bezeichnet, die Sortierzeit für r Elemente mit T r, die für N-r Elemente mit T N-r. Um N Elemente zu sortieren, benötigt man neben der Zeit der aktuellen Partionierung außerdem noch die Zeit, um r Elemente, das sind die Elemente im linken Teilsegment, und N-r Elemente, die Elemente im rechten Teilsegment, zu sortieren: Dabei wird wieder vorausgesetzt, daß das Pivotelement das r größste war. Geht man wieder davon aus, daß die Wahl des Pivotelements zufällig ist, kann man wieder den Erwartungswert bilden und gelangt zu folgender Gleichung: Die Lösung dieser Gleichung ist nun sehr komplex und außerordentlich kompleziert. Auch Hoare gibt diese Lösung nur an und begründet sie nicht näher. Jedoch scheint es an dieser Stelle nicht nützlich näher auf die Gestalt der Lösung einzugehen. Im weiteren Verlauf greift man den größten Summanden der Lösung heraus, da man ja nur eine Abschätzung will, und gelangt damit zu: Die Analysis begründet den Zusammenhang mit dem Logarithmus. Man faßt dabei das Summenzeichen als numerisches Integral auf und erhält dann den natürlichen Logarithmus, der gerade der Stammfunktion von 1/x entspricht. Somit ist gezeigt, daß die Komplexität von Quicksort von der Ordnung N * log(n) ist. Aus der Informationstheorie ist bekannt, daß bei einer Vertauschung genau -log 2 an Entropie (=Entscheidungsgehalt) verloren geht. Weiter weiß man, daß die Entropie der zu sortierenden Datenmenge -log N! beträgt. Die sortierte Datenmenge hat dann die Entropie 0. Daraus läßt sich folgern, daß die minimale Vertauschung -log N! / -log 2 = log 2 N!, in etwa N * log 2 N entspricht. D.h. will man eine beliebige Datenmenge mit N Elemente mit möglichst wenig Vertauschungen sortieren, so benötigt man im besten Fall immer noch N * log 2 N Vertauschungen. Quicksort ist mit 2N * log N Vertauschungen recht nahe dran, es benötigt damit nur das 1.4 fache des

10 optimalen Wertes. 4.4 Verbesserungen von Quicksort Am Schluß der Analyse wurde gezeigt, daß Quicksort nur um den Faktor 1.4 vom optimalen Wert abweicht. Quicksort ist damit ein sehr gutes Sortierverfahren. Auch wenn es in der Praxis selten vorkommen dürfte, fällt Quicksort im worst case mit einer Komplexität von O(n 2 ) doch wieder weit zurück. Die Wahl des Pivotelements wurde dafür verantwortlich gemacht. Optimieren kann man hier, indem sich drei Schlüssel aus der Datenmenge herausgreift und gerade das größenmäßig in der Mitte liegende der Dreien zum Pivotelement macht. Damit kann gewährleistet werden, daß das Pivotelement nicht das Minimum oder Maximum der Datenmenge ist und so der worst case vermieden wird. Hoare schlägt außerdem vor, Sentinel-Keys einzuführen, um so auf ständigen Zeigertests verzichten zu können. Einen weiteren Geschwindigkeitsvorteil bringt, Quicksort mit anderen Verfahren, z.b. Insertionsort, zu kombinieren. Da sich in der Praxis zeigt, daß Quicksort bei Datenmengen mit N < 10 schlechter abschneidet als manch elementarer Konkurrent. Bei der Kombination mit Insertionsort kann dieser Nachteil wieder wettgemacht werden, indem man Segmente mit weniger als 10 Elementen nicht mehr weiterpartitioniert sondern eben mit Insertionsort sortiert. 5. Vergleich der Algorithmen In diesem Abschnitt sollen die drei Sortieralgorithmen Bubblesort, Insertion und Quicksort miteinander verglichen werden. Dazu wurden die drei Algorithmen jeweils mit bereits sortierten Mengen, günstigster Fall, zufällig sortierten Mengen, durchschnittlicher Fall, und entgegengesetzt sortierten Mengen konfrontiert. Der Aufwand der Sortieralgorithmen im Überblick: In den folgenden Diagrammen wurden dafür die Arbeitszeiten der Algorithmen in Bezug auf die Größe N der Datenmenge aufgezeichnet. Die Zeiten wurden dabei mit der internen Uhr eines Commodore Amiga 500 für Kick-Pascal Implementierungen in Sekunden ermittelt. Die Genauigkeit der Zeiten ist somit von der Verläßlichkeit auf die interne Uhr gekennzeichnet.

11 Die Kurve von Bubblesort verläuft ganz streng der einer Parabel. Im Vergleich zu seinen Konkurrenten ist Bubblesort überdeutlich der langsamste Algorithmus. Überraschenderweise wird aber das favourisierte Quicksort von Insertionsort an Geschwindikeit übertroffen, das, im Gegensatz zu Quicksort, ordnungsverträglich sortiert und so einen Geschwindigkeitsbonuns verbuchen kann.

12 Auch bei zufällig sortierten Datenmengen tut sich Bubblesort wieder als schlechtestes Verfahren hervor. Bereits bei N = 100 benötigt es die über die doppelte Zeit von Insertionsort und gar das Siebenfache von Quicksort. Nahezu Gleichheit zwischen Quicksort und Insertionsort herrscht bei N<20. Wie bei den Verbesserungen von Quicksort bereits erwähnt, wird Quicksort bei kleinen Datenmengen von Insertionsort mitunter geschlagen. Außerdem werden in diesem Bild die quadratischen Komplexitäten von Bubblesort und Insertionsort deutlich. Quicksort kommt, wie bei der Analyse bereits prophezeit, mit zufällig geordneten Daten am besten zurecht.

13 Während Bubblesort und Insertionsort sehr lange brauchen, um die Daten zu sortieren, sprechen die Zeiten von Quicksort sehr deutlich für Hoares Algorithmus. Die Zeitunterschiede zwischen Insertionsort und Quicksort sind zwar hier geringer als in den vorherigen Fällen, doch erweist sich auch hier Bubblesort wieder als das schlechteste Verfahren. Wirth meint zu Bubblesort, daß es außer einem griffigen Namen nichts zu bieten habe... Quicksort schlägt souverän seine Konkurrenten aus dem Rennen und ist in der Praxis damit das schnellste Sortierverfahren. Lediglich ein Vergleich mit Shellsort fällt weniger eindeutig aus. Bei allen Vorzügen sollte man dennoch nicht vergessen, daß Quicksort instabil ist und nicht ordnungsverträglich sortiert. Überhaupt entfaltet Quicksort sein Optimum erst bei großen Datenmengen. Interessanterweise konnte Hoare bereits 1962 diese Kennzeichen und Eigenschaften prophezeien. Anhang: Literaturverzeichnis C. A. R. Hoare: QUICKSORT. BCS Computer Journal, 5(1): 1962 Appelrath, H.J.; Ludwig. J.: Skriptum Informatik - eine konventionelle Einführung. Stuttgart: Teubner, Sedgewick, R.: Algorithmen.

14 Bonn, München u.a.: Addision-Wesley, Wirth, N.: Algorithmen und Datenstrukturen. Stuttgart: Teubner, Frank, H.: Facharbeit aus der Mathematik, Diskussion und Darlegung von Sortieralgorithmen. Weißenburg 1994 (C) by Florian Michahelles 1997