Formelsammlung Fundamentum. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Bei jeder Aufgabe steht die jeweilige maximale Punktzahl.

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1 ! (BeI, HaR, KiA, PrG) Prüfungsdauer: Maximalpunktzahl: Erlaubte Hilfsmittel: Bemerkungen: 3h 49 Punkte. Taschenrechner TI-30eco oder äquivalente. Formelsammlung Fundamentum. Beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Bei jeder Aufgabe steht die jeweilige maximale Punktzahl. Lineares (7 Punkte) 1. (a) Wie lauten die Funktionsgleichungen der Geraden g und h im unten stehenden Koordinatensystem? Beachten Sie, dass die eingezeichneten Schnittpunkte der Geraden miteinander, respektive mit den Koordinatenachsen ganzzahlige Koordinaten haben. y h x g (b) Gegeben ist die Gerade i : y = 2x + 5. Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden k, welche parallel zu i liegt und durch den Punkt P (4 3) geht? (c) Gegeben ist die Gerade d : y = 1 2 x 3. Gesucht sind die Funktionsgleichungen der Geraden a und b: i. Die Gerade a entsteht durch Spiegelung der Geraden d an der y-achse. ii. Die Gerade b entsteht durch Spiegelung der Geraden d am Koordinatenursprung. (d) Lösen Sie das Gleichungssystem: I : x + y = 9 II : 9x 11y = 0 1

2 Gymnasium Liestal Abschlusspru fung FMS 2014 Quadratisches (7 Punkte) 2. (a) Lo sen Sie die Gleichung (x 2) = 3 (x + 2)2. 1 (b) Fu r welche Werte von k hat die Gleichung x2 + k x 8 = 0 genau eine Lo sung? 2 (c) Die gro sste Bogenbru cke der Welt wurde im Jahr 2003 in China gebaut. Sie heisst Lu-Pu-Bru cke und hat eine Spannweite von 550 m sowie eine Ho he von 100 m. i. Der Bogen einer Bogenbru cke ist eine Parabel. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Parabel bezu glich des eingezeichneten Koordinatensystems. Dabei ist unter anderem die O ffnung a der Parabel auf 5 Nachkommastellen genau anzugeben. ii. Die Strasse befindet sich 50 m u ber der eingezeichneten x-achse. Berechnen Sie die La nge des Strassenstu cks innerhalb des Bogens. Falls Sie bei Aufgabe 2(c)i die Funktionsgleichung der Bru cken-parabel nicht berechnen konnten, so verwenden Sie die folgende Funktionsgleichung: f (x) = x

3 Stereometrie (7 Punkte) 3. Gegeben sei das im Schrägbild sowie Aufriss gezeigte Bauwerk. Die Bemassung kann den Bildern entnommen werden. Vertikale Flächen bestehen aus Backstein. Horizontale und schräge Flächen bestehen aus Schiefer. 2m 4m 2m 4m 1m 1m 1m 1m 1. Stock Erdgeschoss (a) Zeichnen Sie in das auf Seite 15 gegebene Koordinatensystem Grund- und Seitenriss des Gebäudes ein. Färben oder schraffieren Sie vertikale, horizontale und schräge Flächen jeweils unterschiedlich. Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht 50 cm in Wirklichkeit. (b) Berechnungen i. Berechnen Sie für die beiden Stockwerke das jeweilige Volumen in m 3. ii. Berechnen Sie für die beiden Stockwerke den Flächeninhalt der Backsteinrespektive Schieferflächen in m 2. (3 P.) 3

4 Potenzen und Wurzeln (7 Punkte) 4. (a) Vereinfachen Sie die Ausdrücke soweit wie möglich. Die Resultate dürfen keine Klammern und keine negativen Exponenten enthalten. i. x 12 x 4 ii. m 3 m 5 iii. ( 7a 4) 4 iv. ( 2r) 2 (b) Vereinfachen Sie die Ausdrücke soweit wie möglich. Die Resultate dürfen keine Wurzelzeichen enthalten. i. ( a ) 6 ii. iii. 3 u a 2 m (c) Eine Ölschicht auf ruhendem Wasser ist ca m dick. Welche Fläche (in km 2 ) kann eine Badewanne voll Öl (150 Liter) bedecken? (3 P.) 4

5 Exponentielles (7 Punkte) 5. In einem biologischen Labor werden zu Forschungszwecken Bakterienkulturen in einer Nährlösung gezüchtet. Man geht davon aus, dass sich die Bakterien exponentiell vermehren. Ein Mitarbeiter des Labors protokolliert die von den Kulturen bedeckte Fläche y (in cm 2 ) in Abhängigkeit von der Zeit t (in h). Zu Beginn der Beobachtung sind bei einer Bakterienart 2 cm 2 Fläche von Bakterien bedeckt. Diese Fläche vergrössert sich jede Stunde um 20%. (a) Wie viele cm 2 Fläche sind nach 5 Stunden von der Bakterienkultur bedeckt? (b) Die Schale, in der die Kultur wächst, hat eine Fläche von 30 cm 2. Zu welchem Zeitpunkt ist die Schale vollständig bedeckt? (c) In welcher Zeit verdreifacht sich die bedeckte Fläche? Zeitgleich wird auch das Wachstum einer zweiten Bakterienart beobachtet. Bei dieser ist zu Beobachtungsbeginn eine Fläche von 3 cm 2 bedeckt, nach 40 Minuten sind es 3.24 cm 2. (d) Bestimmen Sie das Wachstumsgesetz (Funktionsgleichung) für diese Bakterienart, wobei auch hier die bedeckte Fläche y (in cm 2 ) in Abhängigkeit von der Zeit t (in h) berechnet werden soll. (e) Berechnen Sie, nach welcher Zeit beide Bakterienarten gleich viel Fläche bedecken, wenn der Beobachtungsbeginn bei beiden Arten zur genau gleichen Zeit ist. Hinweis: Konnten Sie Teilaufgabe (d) nicht lösen, dann rechnen Sie mit folgendem Wachstumsgesetz für die zweite Bakterienart weiter: y = t. 5

6 Stochastisches (Statistik, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit) (7 Punkte) 6. Eine dritte FMS-Klasse ist auf Bildungsreise. Am letzten Abend geht die Klasse gemeinsam ins Restaurant. Die Bedienung bietet zur Vereinfachung an, dass jede/r Schüler/in für das Menü aus 5 Vorspeisen (3 davon sind vegetarisch), 4 Hauptspeisen (2 davon sind vegetarisch) und 5 Desserts (4 davon sind vegetarisch) jeweils eine Speise auswählt. (a) Wie viele verschiedene Menükombinationen sind insgesamt möglich? (0.5 P.) (b) Lisa möchte keine Hauptspeise und kein Dessert, stattdessen möchte sie lieber drei verschiedene Vorspeisen essen. Die Reihenfolge ist ihr dabei egal. Wie viele Kombinationen hat sie zur Auswahl? (0.5 P.) (c) Wie viele Menükombinationen aus einer Vorspeise, einer Hauptspeise und einer Nachspeise gibt es, bei denen zwei Speisen vegetarisch und eine Speise nicht vegetarisch ist? (1.5 P.) (d) Adriana wählt das Menü Surprise. Dabei erhält man zufällig eine Vorspeise, eine Hauptspeise und ein Dessert. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriana nur vegetarische Speisen erhält? (e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Adriana mindestens eine Speise erhält, die nicht vegetarisch ist? (1.5 P.) Am Nachbartisch sitzt eine Gruppe von acht ern. Sie haben für folgende Beträge gegessen: er Nr Betrag in Euro (f) Um das Zahlen der Rechnung zu vereinfachen, schlägt einer der er vor, dass jeder den gleichen Betrag zahlt. i. Berechnen Sie Median und Mittelwert der zu zahlenden Beträge. ii. Welcher der beiden Werte eignet sich für den Vorschlag des ers? Erklären Sie kurz warum. 6

7 Trigonometrie (7 Punkte) 7. (a) Eine Wiese hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes ABCD mit den parallelen Seiten AB = 60 m und CD = 40 m und den Winkeln α = β = 81. Wie viel kostet die Wiese, wenn 1 m 2 Fr kostet? (b) Ein Quader hat die Seitenlänge a = 5 cm, b = 4 cm und c = 3 cm. i. Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen. ii. Berechnen Sie den eingezeichneten Schnittwinkel α zwischen den Raumdiagonalen. (c) Dem Rechteck ABCD wurde das rechtwinklige Dreieck DEF einbeschrieben. Berechnen Sie die Längen der drei Seiten und die Winkel α und β dieses Dreiecks. (3 P.) 7

8 Koordinatensystem zu Augabe 3 Achtung! - Dieses Blatt muss zwingend mit Ihrem Vor- und Nachnamen versehen werden! Vorname / Nachname: Seitenriss Aufriss Grundriss 8