Didaktik des Sachrechnens

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1 Didaktik des Sachrechnens 10. Lineare Gleichungssysteme, Quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen und Trigonometrische Funktionen als Mathematisierungsmuster in der Sek. I 1

2 10. Quadratische Funktionen, Exponentialfunktionen und Trigonometrische Funktionen als Mathematisierungsmuster in der Sek. I 10.1 Lineare Gleichungssysteme Übersichtstabelle zu 10.2 bis Quadratische Funktionen 10.3 Exponentialfunktionen 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich 10.5 Trigonometrische Funktionen 2

3 10.1 Lineare Gleichungssysteme Typische Aufgabenstellungen: Bewegungsaufgaben Mischungsaufgaben Vergleich von Tarifen (Handy, Internet, Busgesellschaften, ; s. auch Kap. 8) Bewegungsaufgaben: Strecke = Geschwindigkeit Zeit ( s = v t ) Weg ermitteln Geschwindigkeit ermitteln Zeit ermitteln Zeichnerische und rechnerische Lösungen 3

4 10.1 Lineare Gleichungssysteme Bewegungsaufgaben: Zeichnerische Lösung 300 Strecke in km Einholort Einholzeit Aufgabe: Ein LKW fährt um 7:00 Uhr von Berlin mit einer konstanten Geschwindigkeit von 60 km/h in Richtung Hamburg los. Eine halbe Stunde später startet ein PKW dieselbe Strecke und fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 80 km/h. Um wie viel Uhr holt der PKW den LKW ein und welche Strecke ist der PKW zu dieser Uhrzeit bereits gefahren? LKW 0 07:00 07:30 08:00 08:30 09:00 09:30 10:00 10:30 11:00 Zeit Auto 4

5 10.1 Lineare Gleichungssysteme Bewegungsaufgaben: Rechnerische Lösung Einholzeit in Stunden: x h (Zeitpunkt x Uhr entspricht der Zeitspanne x Stunden ab 0 Uhr) Einholort in gefahrenen km bis zum Einholen: y km y = 60 km/h (x 7) h y = 80 km/h (x 7,5) h Ergebnis: x = 9 h, y = 120 km 5

6 10.1 Lineare Gleichungssysteme Bewegungsaufgaben: Rechnerische Lösung mit Hilfe nur einer Gleichung und einer Variablen Schnittpunkt 8 (Realschule), S

7 10.1 Lineare Gleichungssysteme Bewegungsaufgaben: weitere Schulbuchbeispiele Schnittpunkt 8 (Realschule), S

8 10.1 Lineare Gleichungssysteme Mischungsaufgaben Schulbuchbeispiel: Wie viel Liter 35%ige Essigsäure und wie viel Liter 20%ige Essigsäure muss man mischen, um 5 Liter 22%ige Essigsäure zu erhalten? (aus: LS 8 (Gymnasium), S. 136.) Lösung mit LGS: x + y = 5 x 35/100 + y 20/100 = 5 22/100 Anmerkung: Der Aufgabentext ist unklar formuliert; es wird nicht gesagt, ob es sich um Volumenprozente oder um Gewichtsprozente handelt! 8

9 10.1 Lineare Gleichungssysteme Mischungsaufgaben Anmerkung: Die Konzentrationsangaben erfolgen korrekterweise in Gewichtsprozenten. In vielen gängigen Schulbüchern für den Mathematikunterricht findet man jedoch Aufgaben dieser Art mit Konzentrationsangaben in Volumenprozenten. Da sich Volumina von Flüssigkeiten beim Mischen i.d.r. nicht additiv verhalten, werden dabei falsche Vorstellungen über Sachzusammenhänge generiert! 9

10 Übersicht: Funktionen aus 10.2 bis 10.4 Quadratische Funktionen Gleichung f(x) = ax 2 + bx + c ; a 0 Darstellungsform Exponentialfunktionen f(x) = a x ;a > 0, a 1 Speziell: f(x) = e x mit e = 2, (Es gilt: a x = e x lna ) Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Graph Parabel Speziell: f(x) = e x 10

11 Übersicht: Funktionen aus 10.2 bis 10.4 Quadratische Funktionen Darstellungsform Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Anwendungssituationen - Flugkurve/ Wurfparabel (z. B. Golfball, Hochsprung, Springbrunnen) - Parabelbrücken - Sonnenkollektoren - Bakterienkulturwachstum - Bierschaumhöhe - Schachbrett + Reiskörner - Radioaktiver Zerfall - Wechselstrom - Spritverbrauch 11

12 10.2 Quadratische Funktionen aus: Schnittpunkt 10, S.44 aus: Schnittpunkt 10, S

13 10.2 Quadratische Funktionen aus: Mathematik heute 10, S

14 10.2 Quadratische Funktionen Wurfparabel bei Springbrunnen Parabelbrücken Quelle: Quelle: eigenes Foto (Einkaufszentrum in Dubai) Quelle:

15 10.2 Quadratische Funktionen Aufgabe: Sonnenkollektoren (vgl. Brinkmann & Brinkmann 2005, S. 58) Info: Parabolische Sonnenkollektoren können direkte Sonneneinstrahlung in einem Punkt oder längs einer Linie bündeln. Hierbei wird die Brennpunkteigenschaft von Parabeln technisch genutzt. Eine mögliche technische Realisierung parabolischer Sonnenkollektoren sind Körper mit Rotationssymmetrie, deren Form man durch Rotation einer quadratischen Parabel um ihre Symmetrieachse erhält. Die Innenseite der Kollektoren ist mit einer reflektierenden Spiegelfläche überzogen, weshalb Sonnenkollektoren auch Parabolspiegel genannt werden. Strahlen von der Sonne können als parallel betrachtet werden. Daher werden Sonnenstrahlen, die achsenparallel auf einen Parabolspiegel einfallen, so reflektiert, dass die Reflexionsstrahlen durch den Parabelbrennpunkt gehen. Die eingestrahlte Wärmeenergie kann somit in einem Punkt gebündelt werden. Wird der Ort des Brennpunkts eines Parabolspiegels von einem Heizmedium durchströmt, so wird dieses relativ zu seiner Umwelt stark aufgewärmt. Dies kann für Heizzwecke aber auch zur Herstellung von elektrischem Strom genutzt werden. 15

16 10.2 Quadratische Funktionen Aufgabe: Sonnenkollektoren (vgl. Brinkmann & Brinkmann 2005, S. 58) Abb. 1: Parabolische Sonnenkollektoren a) Wie groß ist die Brennweite eines Parabolspiegels, der durch die Rotation der Parabel y = 1/8 x 2 konstruiert wurde? (Längeneinheit für x und für y: 1 m) b) Welche quadratische Funktion wurde zur Konstruktion eines Parabolspiegels mit der Brennweite 8 m benutzt? Anmerkung: Für eine Parabel mit der Gleichung y = ax 2 gilt folgender Zusammenhang mit der Brennweite d (dem Abstand des Brennpunktes vom Parabelscheitelpunkt): d = 1/(4a). 16

17 10.2 Quadratische Funktionen Aufgabe: Sonnenkollektoren (vgl. Brinkmann & Brinkmann 2005, S. 58) Info: Eine andere Form von Sonnenkollektoren sind die sogenannten Parabolrinnenkollektoren. Deren Geometrie erhält man durch Verschieben einer Parabel in senkrechter Richtung zu ihrer Symmetrieachse. Die direkte Sonneneinstrahlung wird hier längs einer Linie, der Brennlinie gebündelt. f) Die erzeugende Funktion für einen Parabolrinnenkollektor ist durch y = 0,35 x 2 gegeben (Einheit: 1 m). Wo muss die Heizröhre angebracht werden? Abb. 2: Parabolrinnenkollektoren 17

18 10.3 Exponentialfunktion aus: Mathe Netz 10, S

19 10.3 Exponentialfunktion aus: Mathe Netz 10, S.77 & S

20 10.3 Exponentialfunktion Die Legende vom Schachbrett und den Reiskörnern Eine der vielen Varianten dieser Legende ist folgende: Um 880 n. Chr. regiert in Indien die Königin Hawsin. Sie verdankt dem Weisen Quaflon - dem angeblichen Erfinder des Schachspiels - die Rettung ihres Sohnes. Von seiner Tat und seiner Klugheit beeindruckt, will sie ihm einen Wunsch erfüllen. Quaflon hat folgenden Wunsch: "Ich bitte Sie mir Getreide zu geben entsprechend der Zahl der Felder (64) des Schachbretts u.z. so: Auf das 1. Feld ein Korn, auf das 2. Feld zwei Körner und dann jeweils auf das nächste Feld die doppelte Anzahl von Körnern. 1) Wie viel Reiskörner ergibt das insgesamt? 2) Wie viel Tonnen Reis sind das insgesamt, wenn 50 Reiskörner 1 g wiegen. 3) Wie viele Güterzüge a 30 Waggons würde man zum Abtransport dieser Getreidemenge benötigen (Fermi-Frage!) Quelle: (Rolf Kolasch) Quelle: 20

21 10.3 Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall Radioaktivität: Eigenschaft mancher chemischer Elemente, ohne äußere Energiezufuhr Strahlung auszusenden und sich dadurch in andere Elemente umzuwandeln. Radioaktives Zerfallsgesetz: Innerhalb einer gewissen Zeitspanne, der so genannten Halbwertszeit T 1/2, zerfällt die Hälfte der jeweils noch vorhandenen Substanz. Von N 0 radioaktiven Atomen sind nach der Zeit t noch N(t) Atome vorhanden. Es gilt das Zerfallsgesetz: 21

22 10.3 Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall: Beispiel: Die Halbwertzeit vom radioaktiven Radon-222 beträgt 55,6s. Graphik aus Wittmann 2008, S. 179/

23 10.3 Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall: Schulbuchbeispiel: Schnittpunkt 10 (Realschule), S

24 10.3 Exponentialfunktion Radioaktiver Zerfall: Schulbuchbeispiel: LS 10 (Gymnasium), S

25 Radioaktiver Zerfall: Schulbuchbeispiel: 10.3 Exponentialfunktion Schnittpunkt Mathematik 10, S

26 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich Lehrplan NRW: Aufstellen von Gleichungen und Zuordnungen zu Realsituationen (Kl. 7/8) Angeben von Realsituationen zu Tabellen, Grafen, Gleichungen (Kl. 7/8) Lineare / exponentielle Modelle für Wachstumsprozesse (Kl. 9/10) Angeben von Realsituationen zu linearen / exponentiellen Funktionen (Kl. 9/10) Maps als Hilfe beim Modellieren (Erkennen eines passenden Mathematischen Modells) (Siehe Brinkmann 2016a, 2016b.) 26

27 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich 27

28 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich 28

29 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich 29

30 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich 30

31 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich Aufgaben zu Wachstumsprozessen passendes Modell finden, z. B.: Aufgabe 1 Kauft man Himbeeren beim Obsthändler in Deutschland, so kostet 1 kg Himbeeren 6. Familie Schneider fährt in die Niederlande und zahlt dort 4 pro Kilogramm. Die Fahrtkosten für die Hin- und Rückfahrt betragen 8. a) Wie viel kosten 3 kg Himbeeren in Deutschland? b) Wie viel kostet die gleiche Menge Himbeeren in den Niederlanden? Lohnt sich die Fahrt? [Lösung: a) proportionale Funktion, b) lineare Funktion] 31

32 10.4 Wachstumsfunktionen im Vergleich Aufgabe 2 Lisa bekommt monatlich 20,- Taschengeld. Zu ihrem 14. Geburtstag erhält sie von ihren Eltern zwei Angebote, aus denen sie sich eines aussuchen soll: Jeden Monat wird ihr Taschengeld um 0,50 erhöht (Angebot 1) oder jeden Monat wird ihr Taschengeld um 2 % erhöht (Angebot 2). a) Berechne für beide Angebote, wie hoch Lisas Taschengeld zu ihrem 15. Geburtstag bzw. zu ihrem 18. Geburtstag wäre. Stelle die Entwicklung der Höhe des Taschengeldes gemäß der beiden Angebote graphisch dar. b) Lisa möchte in den ersten 12 Monaten ihr Taschengeld ansparen. Erstelle zu jedem der beiden Angebote eine Wertetabelle. Wie viel Geld würde Lisa beim Angebot 1 und wie viel Geld beim Angebot 2 in 12 Monaten ansparen? Was für eine Zuordnung liegt den beiden Sparmodellen jeweils zugrunde? Gib passende Funktionsterme an, wenn es sich um eine lineare, eine quadratische oder eine exponentielle Zuordnung handelt. Wie viel Geld könnte Lisa mit ihrem Taschengeld beim Angebot 1 und wie viel Geld beim Angebot 2 bis zu ihrem 18. Geburtstag ansparen? [Lösung: a) Angebot 1: lineare Funktion, Angebot 2: exponentielle Funktion; b) Angebot 1: quadratische Funktion (Differenzenfolge 2. Ordnung konstant), Angebot 2: weder lineares, noch quadratisches, noch exponentielles Wachstumsmodell] 32

33 10.5 Trigonometrische Funktion aus: Mathematik Neue Wege 10, S

34 10.5 Trigonometrische Funktion aus: Querschnitt Mathematik 10, S

35 10.5 Trigonometrische Funktion 35

36 10.5 Trigonometrische Funktion 36

37 Literatur Brinkmann, Astrid & Brinkmann, Klaus Mathematikaufgaben zum Themenbereich Rationelle Energienutzung und Erneuerbare Energien. Hildesheim, Berlin: Franzbecker. Brinkmann, Astrid. 2016a. Maps als Hilfe beim Problemlösen und beim Modellieren. In: Astrid Brinkmann (Reihenhrsg.). Astrid Brinkmann, Thomas Borys, Matthias Brandl (Bandhrsg.). Mathe vernetzt Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 4. Aulis Verlag, S ISBN Brinkmann Astrid. 2016b. Wachstumsfunktionen Lückenmaps und Aufgaben. In: Astrid Brinkmann (Reihenhrsg.). Astrid Brinkmann, Thomas Borys, Matthias Brandl (Bandhrsg.). Mathe vernetzt Anregungen und Materialien für einen vernetzenden Mathematikunterricht. Band 4. Aulis Verlag, S ISBN Wittmann, Gerald Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Berlin, Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 37

38 Literatur Schulbücher: LS 8 (Nordrhein-Westfalen), Klett-Verlag, Stuttgart LS 10 (Nordrhein-Westfalen), Klett-Verlag, Stuttgart Mathematik heute 10 Realschule, Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig, Mathe Netz 10 Gymnasium, Westermann, Braunschweig Mathematik Neue Wege 10, Arbeitsbuch für Gymnasien, Bildungsverlag Westermann, Schroedel, Diesterweg, Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig, Schnittpunkt 8. Mathematik für Realschulen NRW, Klett-Verlag, Stuttgart Schnittpunkt 10. Mathematik für Realschulen NRW, Klett-Verlag, Stuttgart Schnittpunkt Mathematik 10, 1. Auflage, Klett-Verlag, Stuttgart Querschnitt Mathematik 10, Westermann Schulbuchverlag GmbH, Braunschweig

39 Literatur Links: (Rolf Kolasch) 39