Aufgaben zu Mechanische Schwingungen

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1 Aufgaben zu Mechanische Schwingungen Aufg. 1: Skizziere oder beschreibe einen Versuch, bei dem eine Kipp-Schwingung aufgezeichnet wird Aufg. 2: a) Welche beiden physikalischen Voraussetzungen führen zur Schwingungsgleichung (ifferentialgleichung) einer harmonischen Schwingung? b) Stelle hieraus die Schwingungsgleichung auf und erkläre die auftretenden Terme. c) Gib die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung an (für beliebige Ausgangslagen) d) Welche Beziehungen für T bzw. f ergeben sich aus Schwingungsgleichung und Lösung? (Beweise durch Ableiten und Einsetzen) Aufg. 3: a) Wie groß ist die momentane Amplitude eines Federpendels? s m = 10cm, T = 1s, t = 3,3s (O-Pkt. = Ausgangslage) b) Wie groß ist die momentane Auslenkung bei einer Ausgangslage von 2 cm? Aufg. 4: Wie groß ist die Zeit, die ein langsam schwingendes Fadenpendel braucht, um nach dem urchgang durch den O-Punkt gerade 30cm ausgelenkt zu sein? s m = 1m, f = 0,25s -1 Aufg. 5: Bei welcher Schwingung wechselt die Energie 3-mal ihre Form? Aufg. 6: Wie können die Schwingungen eines Pendel variabel gedämpft werden? (Beispiel) Aufg. 7: Wie kann aus der Hüllkurve einer gedämpften Schwingung der ämpfungsfaktor bestimmt werden? Aufg. 8: Um wie viel % nimmt die Amplitude während einer Phase ab? k = -0,186, T = 0,8s Aufg. 9: Beisp. für einen Versuch, bei dem z.b. durch "Rückkopplung" die Energieverluste ausgeglichen werden. Aufg. 10: Wann hat die Energiezufuhr von außen (Erreger) auf ein schwingendes System die größte Auswirkung? (Frequenz, Phasenverschiebung, Begründung) Aufg. 11: Beschreibe einige Beispiele zur Resonanz. Aufg. 12: Zeige, dass die Hüllkurve (Amplitude) der Summe zweier eng beieinanderliegenden sin-schw. cos-form besitzt.

2 Aufg. 13: Geg.: Verlauf einer Schwebung Ges.: ie Frequenzen der ursprünglich sich überlagernden Schwingungen. Aufg. 14: Wie lange benötigt ein gedämpftes Pendel (wie viel ganze Schwingungen mindestens), bis die Amplitude seiner Schwingung unter den halben ursprünglichen Wert gesunken ist? k = -0,15; T = 1s (Beginn der Schwing. an Stelle max. Auslenkung) Aufg. 15: Federpendel: T = 2s; s m = 20cm Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers beim urchgang durch den O-Punkt; a) ausgehend von der Schwingungsgleichung b) durch Vergleich mit der Rotation eines Körpers, deren Radius der Schwingungsamplitude entspricht. c) Wie könnte die Geschwindigkeit bei bekannter Federkonstanten berechnet werden? Berechne für m = 5 kg. Aufg. 15a: Federpendel: T = 3s; s m = 35cm Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers beim urchgang durch den O-Punkt; a) ausgehend von der Schwingungsgleichung b) durch Vergleich mit der Rotation eines Körpers, deren Radius der Schwingungsamplitude entspricht. c) Wie groß ist die Federkonstante der Feder (m = 6kg)? Aufg. 16: Wie groß ist die Amplitude einer Schwingung, wenn nach 5 O-Punktsdurchgängen das Pendel gerade 4cm weit ausschlägt? Für t = 0 ist s = s m as Pendel schwingt seit t = 2,65s und benötigt für eine Schwingung gerade 1s. Aufg. 17: ie Amplitude einer Schwingung nimmt je Phase um 10% ab. Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn der ämpfungsfaktor k = -0,2 ist? Aufg. 18: Ein und das selbe System schwingt einmal stark gedämpft und einmal ungedämpft; die Schwingung wird durch einen gekoppelten "Erreger" beeinflusst. Wie unterscheiden sich die Resonanzkurven und die Kurven der Phasenverschiebung? Aufg.19: Skizziere und beschreibe einen Versuch, bei dem die Resonanzkurve eines gedämpften, linear schwingenden Systems aufgenommen werden könnte. Aufg. 20: Ist die Schwebung folgender Frequenzen hörbar? f 1 = 20000Hz, f 2 = 20100Hz Wie groß ist jeweils deren Schwingungsdauer?

3 Aufg. 21: Ein Pendel schwingt mit einer Frequenz von 3Hz. Wie lange schwingt es schon, wenn es sich nach 20 vollen Schwingungen gerade 1/2 Amplitude vom O- Punkt entfernt hat? Aufg. 22: Ein Körper m = 0,25kg dehnt eine Schraubenfeder um 12,5cm. T =? An der gleichen Feder hängt an einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel von 30 o (zur Horizontalen) ein Wagen mit m = 1kg. Mit welcher Periodendauer schwingt der Wagen auf und ab? Aufg. 23: Zeichne ein F(s)-iagramm für die Bewegung des Wagens auf der horizontalen Ebene. = 10 N/m; a = 0,5m; s m = +/-1m ie Feder ist in senkrechter Stellung gerade entspannt. Ist die Schwingung des Wagens harmonisch? Aufg. 24: Ein Trichter schwimmt im Wasser. Zeige, dass dessen Schwingung nicht harmonisch ist. Aufg. 25: Ein Faden- und 2 Federpendel haben gleiche Periodendauer. a) Wie groß sind die Massen der Federpendel? l = 40cm; 1 = 20 N/m; 2 = 10 N/m b) ie drei Pendel werden zum Mond gebracht. Sind ihre Frequenzen auch dort untereinander gleich? Aufg. 26: Eine masselos gedachte Stange sei in ihrer Mitte drehbar gelagert. An den Enden sind 2 Körper befestigt, mit m 1 und m 2 und mit m 1 > m 2. Kleine Auslenkungen. a) Wie groß ist die rücktreibende Kraft? b) Wie lautet die ifferentialgleichung für die Schwingung dieses Pendels? c) Wie groß ist T? d) Betrachte die Sonderfälle m 2 d m 1 und m 2 d O. Aufg. 27: Ein Fadenpendel wird um 70 cm verlängert; dadurch vergrößert sich T von 1,358 s auf 2,158 s. Berechne hieraus g.

4 Aufg. 28: Stelle die Schwingungsgleichung für das dargestellte System auf. T =? 1 Wie sind an beliebiger Stelle die pot. u. kin. Energie? m 2 Aufg. 29: Ein Fahrzeug wird durch Wippen zum Schwingen angeregt. ie Frequenz beträgt dann 1,6 Hz, der Wagen selbst hat eine Masse von 400 kg. a) Wie groß ist die Richtgröße des schwingenden Systems? b) Bei welcher Geschwindigkeit gerät der über Querfugen im Abstand von 15m fahrende Wagen in Resonanzschwingungen? Aufg. 30: Ein Reagenzglas schwimmt in einer Flüssigkeit mit der ichte ρ a) d) a) Weise nach, dass die Schwingung harmonisch ist. b) Stelle die Schwingungsgleichung auf und bestimme durch den Vergleich mit der bekannten Schwingungsgleichung die Schwingungsfrequenz des Reagenzglases. c) Berechne die Schwingungsdauer T. Flüssigkeit: Wasser; m des Reagenzglases = 20 g; urchmesser des Reagenzglases = 2 cm d) An Stelle des Reagenzglases schwimmt ein Trichter im Wasser. Warum ist die Schwingung nicht harmonisch? (exakter Nachweis) Aufg. 31: ie Abbildung zeigt den Längsschnitt durch das Oberteil eines Weinglases, das durch die rehung um die eingezeichnete Achse entsteht. er Längsschnitt besteht aus dem Kreisbogen B, A an den sich in B bzw. gerade Strecken (tangential) anschließen. er Winkel α beträgt 60 o. Eine Kugel K der Masse m = 10g wird zum Zeitpunkt t = 0s im Punkt A (h = 5 cm) aus der h = 5 cm Ruhe heraus losgelassen. Anschließend bewegt sich K im Glas hin und her. α B ie Bewegung erfolgt reibungsfrei. r = 2 cm C a) Wie groß ist die Geschwindigkeit von K im Punkt C?

5 Welche Kraft übt dort K auf das Glas aus? Um welchen Betrag ändert sich die Kraft mit der K auf das Glas drückt beim Übergang von der geraden auf die kreisförmige Bahn in B? b) Skizziere (begründet oder berechnet) die Höhe der Kugel über C als Fkt. der Zeit t bei der Hin- und Herbewegung der Kugel. Handelt es sich bei der Bewegung von K, um eine harmonische Schwingung? Begründung. Aufg. 32: Eine Kugel rollt in einer Kugelhalbschale hin und her. Berechne die Rückstellkraft (tangential zur Auslenkung) als Fkt. der Auslenkung s (Kreisbogen) und zeige damit, dass die Schwingung nicht harmonisch ist. s Aufg. 33: Skizziere ein ausgelenktes Fadenpendel und zeichne folgende Größen ein: Gewichtskraft der Pendelmasse Komponente in Fadenrichtung Rückstellkraft (2. Komp., senkr. zur 1.) Auslenkungswinkel φ Fadenlänge l Auslenkung im Bogenmaß a) Wann gilt näherungsweise: Auslenkung s = Pendellänge l. sin φ? b) Welche Beziehung für den gleichen Winkel gilt bei den Kräften? Berechne hieraus die Rückstellkraft als Funktion von Pendellänge, Auslenkung und Gewichtskraft und zeige, dass unter der bei a) angegebenen Bedingung das Fadenpendel eine harmonische Schwingung durchführt. c) Vergleiche die Rückstellkraft des Fadenpendels mit der Rückstellkraft eines Federpendels und bestimme durch weiteren Vergleich mit der Schwingungsdauer des Federpendels auch die Schwingungsdauer des Fadenpendels. Aufg. 34a: Skizziere und beschreibe einen Versuch, mit dem die Geschwindigkeit eines harmonisch schwingenden Körpers aufgezeichnet werden kann. Aufg. 34b: Skizziere und beschreibe einen Versuch, mit dem die Auslenkung eines harmonisch schwingenden Körpers durch einen x-t-schreiber aufgezeichnet werden kann. Aufg. 35: Ein Modellfahrzeug ist an einer Feder befestigt. Befindet sich das Fzg. senkrecht unter der Federaufhängung, ist die Feder gerade entspannt. as Fzg. wird angestoßen und schwingt hin und her. Zeige, dass die Schwingung nicht harmonisch ist.

6 Aufg. 36: Skizziere und beschreibe einen Versuch, mit dem die Auslenkung eines harmonisch schwingenden Körpers durch einen x-t-schreiber aufgezeichnet werden kann. Aufg. 37: Ein Fadenpendel schwingt gegen eine Hemmung. (adurch verkürzt sich die Pendellänge um die Hälfte). ie Länge des gestreckten Pendels sei 1m. a) Berechne die auer einer Schwingung (rechne mit 2 halben Schwingungen!). b) Welche Masse hat ein Federpendel gleicher Schwingungsdauer, dessen Federkonstante 0,5 N/cm beträgt? Aufg. 37a: Ein Fadenpendel schwingt gegen eine Hemmung. (adurch verkürzt sich die Pendellänge um die Hälfte). 0,5 m ie Länge des gestreckten Pendels sei 1m, dessen Amplitude 0,1 m. ie Amplitude der gehemmten Schwingung beträgt 0,07 m. ie Schwingung beginnt zur Zeit t 0 = 0 mit dem urchgang durch die 0-Lage nach links. Zeige, das jeweils ½ Schwingung des Fadenpendels als harmonische Schwingung behandelt werden kann. Berechne die auer T ges einer Schwingung. Wie groß sind die max. Geschwindigkeit und Beschleunigung des Pendels, an welchen Stellen treten diese jeweils auf? Wie groß ist die Elongation zum Zeitpunkt t = 1,5 s? Zeichne die Schwingung für das Zeitintervall 0 s t 2 T ges (t-achse: 1 s = 2 cm ; s-achse: 0,1 m = 3 cm) Aufg. 38: a) Zwei Fadenpendel (mit Stange an Stelle des Fadens) sind auf folgende Art elastisch miteinander verbunden: An einem der beiden Pendel befindet sich ein Schreibstift, der auf einer bewegten Papierbahn die "gemeinsame" Schwingung aufzeichnet. m1 m1 = m2 m2 Wie sieht die Aufzeichnung aus, wenn die beiden Fadenpendel - exakt gleiche Fadenlänge haben, - deren Fadenlänge sich sehr stark voneinander unterscheidet, - deren Fadenlänge nur sehr gering unterschiedlich ist? b) Unter welcher Bedingung können auch Töne außerhalb der Hörgrenze als hörbarer Ton wahrgenommen werden? Aufg. 39: Federpendel: = 5 N/kg; m = 0,4 kg; s m = 20cm a) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers beim urchgang durch den O-Punkt? b) Wie lange ist ein Fadenpendel gleicher Schwingungsdauer?

7 Aufg. 40: 1 2 Zwei Federpendel sind auf folgende Art miteinander verbunden: An der Verbindungsstange befindet sich ein Schreibstift, der auf einer bewegten Papierbahn die "gemeinsame" Schwingung aufzeichnet. m1 = m2 m1 m2 a) Wie sieht die Aufzeichnung aus, wenn die beiden Federpendel - exakt gleiche Federkonstante haben, - deren Federkonstante sich nur sehr gering voneinander unterscheidet, - deren Federkonstante sehr unterschiedlich ist. b) Unter welcher Bedingung können auch Töne außerhalb der Hörgrenze als hörbarer Ton wahrgenommen werden? Aufg. 42: Ein sehr langes Fadenpendel (26m) schwingt mit kleiner Auslenkung. a) Wie viel Schwingungen führt es in einer Stunde durch? b) Warum stimmt die Berechnung nur bei kleiner Auslenkung? (Begründung mit Skizze) Aufg. 43: Zeige, dass die Schwingung eines Fadenpendels eine unharmonische Schwingung ist. Warum und unter welcher Bedingung, (math. Nachweis), kann die Schwingung auch als harmonisch angesehen werden? Aufg. 44: Für den Jahrmarkt soll eine neue Attraktion konstruiert werden: An einer großen Stahlfeder schwingt ein Käfig rauf und runter. a) Wie groß muss bei folgenden aten die Federkonstante sein: T = 3s, m = 2t b) Welche Beschleunigung wirkt auf die Personen im Maximalfall, wenn die Amplitude 10m betragen soll. c) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit des Käfigs, bei einer maximalen Amplitude von 5m. Aufg. 45: K s s0 0 Eine Schraubenfeder mit = 20 N/m ist vertikal aufgehängt. An der Feder wird ein Körper K der Masse m = 0,5 kg befestigt. abei verlängert sich die Feder bis zur Gleichgewichtslage 0. a) Berechne die Verlängerung. 3 K wird nun aus der Gleichgewichtslage um s 0 = 20 cm angehoben. von außen zugeführt werden? Welche Energie muss dem System Feder - Körper dazu

8 b) er Körper wird zum Zeitpunkt t = 0 s in der Höhe s 0 losgelassen. Er trifft beim urchgang durch 0 auf eine zweite, vertikal angeordnete Schraubenfeder mit der Richtgröße 3. = 60 N/m, die er zusammendrückt, ohne sich fest mit ihr zu verbinden. Wie groß ist die Richtgröße * dieses Systems in den Zeitabschnitten, in denen beide Federn auf den Körper K einwirken? Berechne die Lage des unteren Umkehrpunktes. Zeichne für 0s [t m1s das Weg-Zeit-iagramm dieser Bewegung. (t-achse: 1cm = 0,1s; s-achse: 1cm = 4cm) Wie groß sind die Beschleunigungen in den beiden Umkehrpunkten? c) Nun wird K an einer Feder mit = 20 N/m befestigt. K kann auf einer horizontalen Bahn reibungsfrei gleiten. ie Feder ist für x = 0 m gerade entspannt und hat die Länge l = 0,12 m. l Zeige, dass K bei einer Auslenkung von x = 9 cm von der Bahn nicht K abhebt. x 0 Jetzt wird K losgelassen und schwingt ohne abzuheben hin und her. Bestimme die Rückstellkräfte für x = 9 cm und x = 5 cm. Begründe, dass diese Schwingung nicht harmonisch ist. Aufg. 45a: K 3 s s0 0 Eine Schraubenfeder mit = 15 N/m ist vertikal aufgehängt. An der Feder wird ein Körper K der Masse m = 0,3 kg befestigt. abei verlängert sich die Feder bis zur Gleichgewichtslage 0. a) Berechne die Verlängerung. K wird nun aus der Gleichgewichtslage um s 0 = 10 cm angehoben. Welche Energie muss dem System Feder - Körper dazu von außen zugeführt werden? b) er Körper wird zum Zeitpunkt t = 0 s in der Höhe s 0 losgelassen. Er trifft beim urchgang durch 0 auf eine zweite, vertikal angeordnete Schraubenfeder mit der Richtgröße 2. = 30 N/m, die er zusammendrückt, ohne sich fest mit ihr zu verbinden. Wie groß ist die Richtgröße * dieses Systems in den Zeitabschnitten, in denen beide Federn auf den Körper K einwirken? Berechne die Lage des unteren Umkehrpunktes. Zeichne für 0s [t m1s das Weg-Zeit-iagramm dieser Bewegung. (t-achse: 1cm = 0,1s; s-achse: 1cm = 4cm) Wie groß sind die Beschleunigungen in den beiden Umkehrpunkten? (Tipp: Beschleunigung und Rückstellkraft maximal) Aufg. 45b: 3 K s s0 Eine Schraubenfeder mit = 20 N/m ist vertikal aufgehängt. An der Feder wird ein Körper K der Masse m = 0,5 kg befestigt. abei verlängert sich die Feder bis zur Gleichgewichtslage 0. a) Berechne die Verlängerung. 0 b) K wird nun aus der Gleichgewichtslage um s 0 = 20 cm angehoben und zum Zeitpunkt t = 0 s in der Höhe s 0 losgelassen. Er trifft beim urchgang durch 0 auf eine zweite, vertikal angeordnete Schraubenfeder mit der Richtgröße 3. = 60 N/m, die er zusammendrückt, ohne sich fest mit ihr zu verbinden. Wie groß ist die Richtgröße * dieses Systems in den Zeitabschnitten, in denen beide Federn auf den Körper K einwirken?

9 Berechne die Lage des unteren Umkehrpunktes. Zeichne für 0s [ t m 1,5 s das Weg-Zeit-iagramm dieser Bewegung. (t-achse: 1 cm = 0,25 s; s-achse: 1 cm = 5 cm) Wie groß sind die Beschleunigungen in den beiden Umkehrpunkten? Aufg. 46: Zwei Schwingungen nahezu gleicher Frequenz und Amplitude werden überlagert, a) mit parallelen Schwingungsvektoren, b) mit orthogonalen Schwingungsvektoren. - Welche Schwingungsformen ergeben sich bei a) und b), und welchen Einfluss hat der Frequenzunterschied jeweils auf die überlagerte Schwingung? - Welche mathematische Funktion beschreibt a)? Erkläre den Einfluss der einzelnen Faktoren. - Wie können die Schwingungsüberlagerungen von a) und b) experimentell gezeigt werden? Aufg. 48: a) Auf welchen Wert ist die Amplitude einer gedämpften Schwingung nach 10 ganzen Schwingungen abgeklungen. k = 0,1; s m = 12 cm; T = 1,2 s b) Berechne die Richtgröße der Feder, wenn angenommen wird, dass es sich um eine Federschwingung handelt. Aufg. 49: Ein Federpendel schwinge einmal ungedämpft und dann gedämpft. Bei einer Masse von 1 kg schwingt das ungedämpfte Pendel mit einer Frequenz von 2 Hz. as stark gedämpfte Pendel hat ein ämpfungsfaktor von k = 0,4. Berechne die Schwingungsdauer des gedämpften Pendels. Aufg. 50: (Vgl. Abi GK 90 A1) 1 4cm 2 Abb. 1 S -0,3 0 1,02 1,3 x [m] Ein Körper K mit der Masse m = 2,5 kg ist mit einer Feder der Richtgröße 1 fest verbunden. K kann sich reibungsfrei auf einer horizontalen Bahn bewegen. S ist der Schwerpunkt von K. Am rechten Ende der Bahn befindet sich eine zweite Feder mit der Richtgröße 2 = 100 Nm -1 ( s. Abb. 1). a) K wird durch die Kraft F = 5 N um die Strecke s 1 = 0,1 m aus seiner Gleichgewichtslage (x = 0 m) ausgelenkt. Anschließend führt k eine harmonische Schwingung aus. Berechne die Richtgröße 1, die Periodendauer T 1 der Schwingung und die in dem System gespeicherte Gesamtenergie W 0. Zu welchem Zeitpunkt t 0 nach Bewegungsbeginn geht K zum erstenmal wieder durch die Gleichgewichtslage? Welche Geschwindigkeit besitzt K zu diesem Zeitpunkt? b) ie feste Verbindung zwischen Feder und Körper K wird nun gelöst. er Schwerpunkt S befindet sich bei x = - 0,1 m. Zum Zeitpunkt t = 0 s wird K aus der Ruhe heraus freigegeben, so dass sich K nach rechts bewegen kann. Beim Auftreffen auf die zweite Feder wird K abgebremst. Um welche Strecke s 2 wird die Feder dabei zusammengedrückt?

10 Zu welchem Zeitpunkt t 1 befindet sich K zum erstenmal wieder in Ruhe? Wie lange dauert der anschließende Beschleunigungsvorgang, bis der Körper wieder die halbe Maximalgeschwindigkeit erreicht hat? c) er Körper K wird nun durch einen U-förmigen Körper K* gleicher Abb. 2 Masse ersetzt. K* ist mit der Feder der Richtgröße 1 = 50 Nm -1 fest verbunden und wird bei x = 0,2m aus der Ruhe heraus losgelassen. 1 ie Schwingungsebene eines harmonisch schwingenden Fadenpendels steht senkrecht auf der x - Achse. er Aufhängepunkt K* des Pendels befindet sich genau über der x - Achse, ebenfalls bei x = 0,1 m. -0,3 0 0,1 Bei jedem urchgang des Fadenpendels durch seine Gleichgewichtslage soll der Pendelkörper den U-förmigen Körper K* in dessen Mitte passieren (s. Abb. 2). Berechne die kürzeste Pendellänge l 1, für die dies möglich ist. Gebe allgemein die Pendellänge l an, bei der dies geschehen kann. x [m] Aufg. 51: Ein Stehauf-Männchen schaukelt auf einer Halbkugel: M S M = Kugelmittelpunkt S = Schwerpunkt Zeige an Hand einer korrekten Skizze, dass die Schwingung des Männchens nicht harmonisch ist. Aufg. 52: +s -s Zeige, dass die Schwingung einer Wassersäule eine harmonische Schwingung ist. Von der Reibung wird abgesehen. Aufg. 54: ie Schwingungen eines stark gedämpftes System mit k = 0,6s -1 klingen innerhalb von 5 ganzen Schwingungen auf einen Bruchteil von 10% der maximalen Amplitude ab. a) Wie groß ist die Schwingungsdauer des Systems? b) Skizziere und beschreibe ausführlich eine Versuchsanordnung, mit der sich eine gedämpfte Schwingung aufzeichnen lässt. Aufg. 55: Es soll eine gedämpfte Schwingung aufgezeichnet werden, bei der die Amplitude ungefähr linear abnimmt. a) Unter welchen Bedingungen ist dies möglich? b) Skizziere und beschreibe exakt einen Versuch, mit dem dies möglich ist (Geräte, Aufbau, urchführung und Ergebnis). c) Welche Bedingungen liefern andere Formen der Amplitudenabnahme?

11 Aufg. 56: Es soll eine gedämpfte Schwingung aufgezeichnet werden, bei der die Amplitude ungefähr logarithmisch abnimmt. a) Unter welchen Bedingungen ist dies möglich? b) Skizziere und beschreibe exakt einen Versuch, mit dem dies möglich ist (Geräte, Aufbau, urchführung und Ergebnis). c) Welche Bedingungen liefern andere Formen der Amplitudenabnahme? d) Beim Experiment von b) wird durch Vergleich der ungedämpften und der gedämpften Schwingung der ämpfungsfaktor k ermittelt: T = 0,56 s ; T* = 0,6 s. (Bei der gedämpften Schwingung besteht zwischen T* und k die B eziehung: T & 2 = ) m k 2 - Berechne den ämpfungsfaktor - Um wievie % nimmt die Auslenkung der gedämpften Schwingung während einer Periode ab? Aufg. 57: Wie groß ist der ämpfungsfaktor eines Systems, wenn dessen Schwingungen spätestens nach 4 ganzen Schwingungen auf einen Bruchteil von unter 20% abgeklungen sind? as System schwingt relativ langsam mit einer Schwingungsdauer von T = 2,5s. Aufg. 58: Prüfe, ob die Schwingung dieses Federpendels harmonisch ist. m Aufg. 59: Zeige, dass die Schwingung dieses Torsionspendels harmonisch ist: symm. Scheibe mit m Tipp: Ersetze die Scheibe durch einen rotierenden Punkt mit m im Abstand R; ie Seilwelle habe den Radius r; jede Feder hat die Federkonstante. rehachse Bestimme T, wenn r = 2 cm; R = 10 cm; m = 100 g; = 0,5 N/cm ie Scheibe (punktförmige Masse) wird um 30 ausgelenkt. Berechne die Maximalgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit jeweils beim urchgang durch die 10 - Stellung. An welchen Positionen ist die Beschleunigung der Scheibe maximal bzw. minimal? Berechne die größte auftretende Beschleunigung.

12 Aufg. 60: (Vgl. Abi 90 LK Aufg. I1) Ein Freizeitpark stellt Skatern (Rollschuhläufem) verschiedene Bahnen zur Verfügung. ie Läufer werden im folgenden als Massenpunkte behandelt, die sich auf den Oberflächen der Bahnen bewegen. a) Eine der Bahnen besteht aus einem Halbzylinder mit Radius r (half-pipe). Ein Skater startet im Punkt A aus der Ruhe heraus und führt anschließend eine kreisbogenförmige periodische Hin-und Herbewegung aus (siehe Abb. 1; nicht maßstabsgerecht). B s A Zeigen Sie, dass die Bewegung des Skaters für kleine Auslenkungen s ( s «r) eine harmonische Schwingung darstellt. Stellen Sie die ifferentialgleichung für die Auslenkung s(t) auf und geben Sie eine Lösungsfunktion an. Bestimmen Sie die Periodendauer T für r = 3,0 m. Zwei Skater starten zum Zeitpunkt t = 0 s in den Punkten A (Auslenkung s 1 (0s) ) und B (Auslenkung s 2 (0s) = -2s 1 (0s) ) aus der Ruhe heraus und bewegen sich aufeinander zu. Beide Amplituden sind wieder klein. Wo und nach welcher Zeit begegnen sie sich? r b) Eine zweite Bahn besteht aus zwei Zylinderstücken mit den Radien r 1 = 6,0 m und r 2 = 24 m. Zunächst fährt nur ein Skater auf der Bahn. ie entsprechenden Auslenkungen s 1 nach rechts und s 2 nach links seien klein (siehe Abb. 2; nicht maßstabsgerecht). Bestimmen Sie die Periodendauer T* dieser Schwingungsbewegung. Zwei Skater starten zum Zeitpunkt t = 0 s aus der Ruhe heraus an den Stellen s 1 (0s) = 1,0 m und s 2 (0s) = -2,0 m. abei befinden sie sich in der verwendeten Näherung auf gleicher Höhe. Zeichnen Sie für beide das Auslenkungs-Zeit-iagramm im Bereich 0 s < t < 4,9 s (t - Achse: 1 cm = 0,5 s; s - Achse: 1 cm = 0,5 m) Entnehmen Sie dem iagramm, wo und nach welcher Zeit sich die Skater begegnen. r 2 s 2 r 1 s 1 Aufg. 61: (Vgl. Abi 92 LK Aufg. I1) a) Ein Gleitkörper K der Masse m = 0,5 kg kann sich auf einer horizontalen Luftkissenbahn reibungsfrei bewegen. Er ist zwischen zwei gleichartigen Federn eingespannt. K 0 Jede Feder hat die Richtgröße = 15,4 N/m. Im entspannten Zustand hat jede Feder die Länge L = 50 cm. In der Gleichgewichtslage des Körpers K ist jede Feder um die Strecke s 0 = 30,0 cm vorgespannt. K wird bis zur Stelle x 0 = 20,0 cm nach rechts aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 s aus der Ruhe heraus losgelassen. Zeigen Sie, dass K harmonisch schwingt, und bestimmen Sie die Periodendauer T. Welche Zeit braucht K nach dem Loslassen für die ersten 5,0 cm zurückgelegter Wegstrecke? Bei welcher Elongation x > 0 cm hat K den Geschwindigkeitsbetrag 0,9 ms -1? b) er Luftstrom der Bahn wird nun so weit heruntergeregelt, dass Gleitreibung auftritt. er Gleitkörper K aus Teilaufgabe a) wird wieder bis zur Stelle x 0 = 20 cm nach rechts aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und aus der Ruhe heraus losgelassen. Infolge der Reibung liegt der erste linke Umkehrpunkt an der Stelle x 1 = - 15,0 cm. Wie iel mechanische Energie hat das Federpendel auf dem Weg von x 0 bis x 1 verloren? Wie groß ist die als konstant angenommene Reibungskraft F R? Welche Geschwindigkeit hat K beim ersten Passieren der Stelle x = 0 cm? Geben Sie die Richtung und den Betrag der resultierenden Kraft an, die an dieser Stelle auf K wirkt. K erreicht seine maximale Geschwindigkeit schon vor der Stelle x = 0 cm bei x*. Berechnen Sie x*. c) ie Versuchsanordnung wird gemäß Abb. 2 verändert. er Gleitkörper K aus Teilaufgabe a) kann sich nun auf der horizontalen Luftkissenbahn reibungsfrei entlang der y-achse bewegen. In der Gleichgewichtslage haben beide Federn die Länge l 0 = 80,0 cm; sie sind also

13 um die Strecke s 0 = 30 cm verlängert. Wenn K aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt ist, bezeichnen y die Elongation von K und l die von y abhängige Länge einer Feder. Zeigen Sie, dass bei der Elongation y für die Rückstellkraft F gilt: ( = 15,4 Nm -1 ; L = 50 cm). F = 2(l L) y l Berechnen Sie F für die Elongationen y = 2,0 cm; 4,0 cm; 6,0 cm; 18,0 cm. Bestätigen Sie, dass der Gleiter bei kleinen Amplituden näherungsweise harmonisch schwingt. Berechnen Sie dafür die Periodendauer T*. Ändert sich T*, wenn die Anfangslänge l 0 der Federn vergrößert wird? Begründen Sie Ihre Antwort. (Von der Masse der Federn ist abzusehen; der Körper K ist als Massenpunkt zu betrachten.) l l l 0 l 0 Abb. 2 Aufg. 61a: Ein Gleitkörper K der Masse m = 0,5 kg kann sich auf einer horizontalen Luftkissenbahn reibungsfrei bewegen. Er ist zwischen zwei gleichartigen Federn eingespannt. K 0 Jede Feder hat die Richtgröße = 15,4 N/m. Im entspannten Zustand hat jede Feder die Länge L = 50 cm. In der Gleichgewichtslage des Körpers K ist jede Feder um die Strecke s 0 = 30,0 cm vorgespannt. K wird bis zur Stelle x 0 = 20,0 cm nach rechts aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und zum Zeitpunkt t = 0 s aus der Ruhe heraus losgelassen. Zeige, dass K harmonisch schwingt, und bestimme die Periodendauer T. Stelle für die Elongation s(t) eine ifferentialgleichung auf. Gib einen Funktionsterm für s(t) an und zeige, dass es sich hierbei um eine Lösung der ifferentialgleichung handelt. Welche Zeit braucht K nach dem Loslassen für die ersten 5,0 cm zurückgelegter Wegstrecke? Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit, die der Körper K erreichen kann? Aufg. 62: (Vgl. Abi 90 LK Aufg. I1) s Eine Schraubenfeder mit der Richtgröße = 20 Nm ist in vertikaler Position aufgehängt. An der Schraubenfeder wird ein Körper K der Masse m = 0,5 kg befestigt. abei verlängert sich die Feder um l bis zur Gleichgewichtslage 0. a) Berechnen Sie die Verlängerung l. er Körper K wird nun aus der Gleichgewichtslage um s 0 = 20,0 cm angehoben. l s 0 K 0 Welche Energie W muss dem System Feder - Körper dazu von außen zugeführt werden? b) Zum Zeitpunkt t 0 = 0 s wird der Körper in der Höhe s 0 = 20,0 cm losgelassen. Zeigen Sie unter Berücksichtigung aller auf K wirkenden Kräfte, dass sich eine harmonische Schwingung ergibt. Berechnen Sie die Periodendauer T dieser Schwingung. Stellen Sie das Weg-Zeit-, das Geschwindigkeits-Zeit- und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für diese Schwingung auf. Berechnen Sie den Ort von K für den Zeitpunkt t 1 = 0,60 s.

14 Mit welcher Geschwindigkeit geht der Körper durch die Gleichgewichtslage? c) 3 K s s0 0 Abb. 2 (t-achse: 1 cm = 0,1 s; s-achse: 1 cm = 4 cm) Wie groß sind die Beschleunigungen in den beiden Umkehrpunkten? Wiederum wird zum Zeitpunkt t = 0 s der Körper K in der Höhe s 0 = 20,0 cm losgelassen. Er trifft jedoch beim urchgang durch 0 auf eine zweite, vertikal angeordnete Schraubenfeder mit der Richtgröße 3 = 60,0 Nm -1 die er zusammendrückt, ohne sich fest mit ihr zu verbinden (siehe Abb. 2). Wie groß ist die Richtgröße * dieses Systems in den Zeitabschnitten, in denen beide Federn auf den Körper K einwirken? Berechnen Sie die Lage des unteren Umkehrpunkts. Zeichnen Sie für 0 s < t < 1 s das Weg-Zeit-iagramm dieser Bewegung. d) Nun wird K an einer Feder mit = 20 Nm befestigt. K kann auf einer horizontalen Bahn reibungsfrei gleiten. ie Feder ist für x = 0 m gerade entspannt und hat die Länge l = 0,12 m (siehe Abb. 3). Zeigen Sie, dass K bei einer Auslenkung von x 1 = 9,0 cm von der Bahn nicht abhebt. Jetzt wird K losgelassen und schwingt ohne abzuheben hin und her. Bestimmen Sie die Rückstellkräfte für x 1 = 9,0 cm und x 2 = 5,0 cm. Begründen Sie, dass diese Schwingung nicht harmonisch ist. l 0 K Abb. 3 x Aufg. 63: Ein Trampolin besteht aus vier gleichen Federn und einer Platte. ie Massen der Federn und der Platte werden vernachlässigt. a) Wenn sich eine Versuchsperson VP mit der Masse m = 60 kg auf die Mitte der Platte stellt, so kommt die Platte in einer um 25 cm tiefer liegenden Gleichgewichtslage zur Ruhe. Wie groß ist die Federkonstante der Anordnung? Wird die Platte um weitere 25 cm nach unten gedrückt und zum Zeitpunkt t = 0 s losgelassen, dann führt das System vertikale Schwingungen aus. Berechne die Schwingungsdauer T. Zeichne das s-t- und das a-t-iagramm für eine Periode in getrennten Koordinatensystemen. (t-achse: 1 s = 6 cm; s-achse: 10 cm = 1 cm; a-achse: 10 ms = 2 cm). b) Mit welcher Geschwindigkeit v 0 geht VP durch die Gleichgewichtslage nach oben? Zeichne in einem neuen Koordinatensystem das v-t-iagramm der in Teilaufgabe a) beschriebenen Schwingung (t-achse :1 s = 6 cm; v-achse: 1 ms -1 = 2 cm) Trage in dasselbe Koordinatensystem das v-t-iagramm eines Körpers K ein, der gleichzeitig mit dem urchgang der Versuchsperson VP durch die Gleichgewichtslage mit derselben Geschwindigkeit v 0 senkrecht nach oben geworfen wird. Hat VP oder hat K während der Aufwärtsbewegung von K die größere Geschwindigkeit? Begründe die Antwort aus dem iagramm. c) ie Versuchsperson VP hält sich zunächst am Trampolin fest; die Amplitude der Schwingung beträgt jetzt s max = 0,4 m. Zum Zeitpunkt t = 0 s ist die Platte im unteren Umkehrpunkt, und VP hält sich dann nicht mehr fest.. Zu welchem Zeitpunkt hebt während der anschließenden Aufwärtsbewegung VP ab? (g = 9,81 m/s²; die Versuchsperson wird als Massepunkt betrachtet.)

15 Aufg. 64: (Vgl. Abi 83 GK Aufg. I/2) K 2 K1 A α B C nach oben gezogen? h E r s P er Körper K 1 (m 1 = 7,0 kg), der sich in der Höhe h = 7,60 m über B befindet, ist durch ein Seil mit dem Körper K 2 (m 2 = 2,0 kg) verbunden. ie Körper setzen sich zur Zeit t = 0 s aus der Ruhe heraus in Bewegung. K 2 gleitet reibungsfrei auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α = 30. a) Wann und mit welcher Geschwindigkeit v 1 erreicht K 1 den Punkt B? Mit welcher Kraft wird K 2 auf der schiefen Ebene b) In B wird K 1 abgetrennt. Nachdem der Körper K 2 zur Ruhe gekommen ist, gleitet er wieder zurück. Wann und mit welcher Geschwindigkeit erreicht K 2 wieder die Ausgangslage A? c) er Körper K 1 gleitet von B ab reibungsfrei in einer kreisförmigen Rinne BE mit dem Radius r = 4,50 m. Welche Kraft übt K 1 in C auf die Rinne aus? d) Auf der horizontalen Strecke EP (siehe Skizze) gleitet K1 mit der Gleitreibungszahl f = 0,40 und kommt in P zur Ruhe. Berechne s = EP. g = 10 m/s²; Reibung von Seil und Rolle sind zu vernachlässigen, die Körper K 1 und K 2 sind als Massenpunkte zu betrachten. Aufg. 66: In einem U-Rohr wird eine Flüssigkeit zu Schwingungen angeregt. Es gilt: T = 2π a) Stelle die Schwingungsgleichung für eine Schwingung der Flüssigkeitssäule in Europa auf, die 10 cm lang ist und deren Amplitude 2 cm ist. Zeichne ein s-t-iagramm für die ersten zwei Perioden. b) Wie lang müsste ein Fadenpendel sein, das die gleiche Schwingungsdauer wie ein 40 cm lange Flüssigkeitssäule hat? c) Zeige, dass für die Schwingungsdauer einer solchen Flüssigkeitssäule die bei a) angegebene Gleichung gilt, wobei l die Gesamtlänge der Flüssigkeitssäule ist. (Tipp: Betrachte den Zustand, in dem die Wassersäule um die Höhe h ausgelenkt ist und bestimme hierfür die Rückstellkraft.) l 2g Aufg. 67: (Vgl. Abi 84 GK Aufg. III2) er aus zwei Teilkörpern mit den Massen m 1 = 0,200 kg und m 2 = 0,300 kg zusammengesetzte Körper K bewegt sich reibungsfrei auf einer horizontalen Stange und ist über eine Feder, deren Federkonstante = 8,00 N/m beträgt, mit einer vertikalen Wand verbunden. ie Feder ist entspannt, wenn sich der Körper K an der Stelle R befindet. a) er Körper K wird zu dem 12 cm von R entfernten Punkt A gezogen und dort zur Zeit t o = 0 s aus der Ruhe heraus losgelassen. Welche Beschleunigung erfährt K im Punkt A? Wie groß ist die Schwingungsdauer T 1 der auftretenden Schwingung? Berechne die Geschwindigkeit v 1 und die Elongation s 1 zum Zeitpunkt t 1 = 0,15 s. c) Im Zeitpunkt t = T 1 wird der Teilkörper mit der Masse m 2 senkrecht zur Bewegungsrichtung abgeworfen. Zeichne das s-t-iagramm für die Schwingung im Zeitintervall 0 s [ t [ T 2 (t-achse: 1 s = 2,5 cm; s-achse: 4 cm = 1 cm)

16 Aufgaben zu Mechanische Schwingungen - Lösungen: Zu 1. Z.B. Aufzug, der am höchsten Punkt ausgeklinkt wird; ansteigende (abfallende) Spannung (z.b. NEVA-Netzgerät) - Umschalten von Hand Zu 2. a) ie periodische Bewegung wird durch eine Rückstellkraft F R hervorgerufen für die gilt: F R ~ s b) Aus a): F R = s mit = Prop.konstante (z.b. Federkonst.) ie Rückstellkraft ist für die Beschleunigung der ausgelenkten Masse zuständig: F = m a ; während des Schwingungsvorgangs wirken keine äußeren Kräfte (ohne Reibung) ==> m a + s = 0 ; mit a = $$ s ==> m $ $$ s = $ s c) s = s m sin(ωt + φ 0 ) d) Aus ds/dt und d²s/dt² ( Ableitung s. Buch S.108) ==> eingesetzt: f = 2 = 1 2 m T = 1 bzw. f = 2 m Zu 3. a) s(t) = s m sin ωt = s m sin 2πt/T = 9,5 cm s m = 0,1 m T = 1 s t = 3,3 s bzw. 0,3 s, wenn 3 T nicht berücksichtigt wird b) iv. Lösungsansätze, z.b.: Eine Verschiebung der Ausgangslage um s(t) = 0,02 m entspricht einer zeitlichen Verzögerung um sin 2πt/T = s(t) /s m = 0,2 ==> 2πt/T = 0,198 bzw. t = 0,032 s ==> t b = 0,3s-0,032s = 0,268 s ==> s(t b ) = 9,9 cm Zu 4. sin 2πft = s(t) /s m = 0,3 ==> 2πft = 0,295 bzw. t = 0,19 s s m = 1 m f = 0,25 s -1 s(t) = 0,3 m Zu 5. Federpendel: (pot. - kin. - Spannungsenergie) Zu 6. Mechanisch mit verstellbarem Schleifer Elektrisch mit Wirbelstrombremse Zu 7. Bei einer log. Funktion gilt: y i / y i+1 = konst., wenn x i+1 - x i = konst s. auch Halbwertszeit Zu 8. 16% Abnahme je Periode: y 1 y 2 = e kt Zu 9. Z.B. wenn durch den Schwinger ein Kontaktschalter betätigt wird, der über einen Magneten oder einen Motor kurzfristig Energie zuführt.

17 Zu 10. Gleiche Frequenz, φ = π / 2, Erreger hat max. kin. Energie am Totpunkt des Schwingenden Systems Zu 14. Min. 5 volle Schwingungen Zu 15. a) s(t) = s m sin ωt ; ds/dt = v(t) = - s m ω cos ωt mit ω = 2π / T v max beim urchgang durch den 0-Pkt. bzw. wenn cos = 1 ==> v max = s m 2π / T = 0,63 m/s s m = 0,2 m T = 2 s b) v max entspricht der Bahngeschwindigkeit einer Kreisbewegung mit r = s m ==> v = s m 2π / T (s. a)) c) v max = ω s m mit ω = ==> v = s (vgl. a)) max m m m T = 1 f = 2 m ==> = 4 π² m / T² = 50 N/m m = 5 kg T = 2 s Zu 16. s m = 4,94 cm Zu 25. a) m 1 = 0,8 kg ; m 2 = 0,4 kg b) g ändert sich ω Fadenpendel ändert sich; m bleibt gleich, bleibt gleich ω Federpendel verändert sich nicht Zu 26. a) F R =(m 1 m 2 )g sin b) 0 =(m 1 + m 2 ) && s + (m 1 m 1 )g r s = 0 T = 2 (m 1+m 2 )r c) (m 1 m 2)g d) T geg. für m 2 geg. m 1 und T geg. T fadenpendel für m 2 geg. 0 Zu 27. T = 2π l ==> l 1 1 = T 1 ² g / 4 π² ; l 2 = T 2 ² g / 4 π² = l 1 + 0,7 m g ==> T 2 ² g = T 1 ² g + 0,7 m $ 4 π² bzw. g = 0,7 m $ 4 π² / (T 2 ² - T 1 ²) ==> g = 9,82 m/s T 1 = 1,358 s T 2 = 2,158 s Zu 31. a) Aus Energieerhaltung E pot = E kin ==> v = (2gh) 1/2 = 0,99 m/s Bei C wirkt auf das Glas die Gewichts- und die Zentrifugalkraft: F = F G + F Z = m g + m v² / r = 0,6 N h = 0,05 m m = 0,01kg v = 1 m/s r = 0,02 m Vor B wirkt die Normalkraft F N (senkrecht) auf die Glasoberfläche: F N / F G = cos 60 ==> F N = m g cos 60 = 0,05 N Bei B kommt die Zentrifugalkraft F ZB hinzu: v und F ZB wie oben, mit h 2 = h - r + r cos 60 = 0,04 m ==> F ändert sich gerade um F ZB = 0,04 N b) Bewegung auf der Geraden: h = Fkt (t) Beschleunigung durch die Hangabtriebskraft F H = m g sin 60 h r 60 r B

18 mit a = F H /m = g sin 60 s = ½ a t² mit h = s $ sin 60 (s = Weg entlang der Geraden) ==> h = ½ g (sin 60 )² t² (Funktion = Parabel) bzw. 2gh t = g sin 60 h [m] 0,005 0,01 0,015 0,02 0,03 0,035 0,04 t [s] 0,036 0,052 0,063 0,073 0,089 0,097 0,103 Bewegung im Kreisbogen:!! ie Bewegung im Kreisbogen kann nur näherungsweise berechnet werden - der Kreisbogen wird unterteilt in 6 Einzelabschnitte, die mit mittleren Geschwindigkeiten durchlaufen werden. h B = h - r (1- cos 60 ) = 0,04 m (= h 2 bei a)) h 1 = h - r (1- cos 50 ) = 0,043 m 1. Abschnitt von h B zu h 1 : v B = (2 g h B ) 1/2 ; v 1 = (2 g h 1 ) 1/2 und vb v1 v1 = + 2 Zeit t 1 für den Kreisbogen zwischen h B und h 1 : 2π r t1 = 36 v1 Zeit t B von A bis B = 0,103 s (s.o.) C h B h 1 h 2 h [m] v [m/s] v [m/s] t [s] t ges = tb + t [s] n h B : 0,04 v B : 0,89 t B : 0,103 h 1 : 0,043 v 1 : 0,93 v 1 : 0,91 t 1 : 0,0038 t ges1 : 0,1068 h 2 : 0,045 v 2 : 0,95 v 2 : 0,94 t 2 : 0,0037 t ges2 : 0,1105 0,047 0,97 0,96 0,0036 0,1141 0,049 0,99 0,98 0, , ,0497 0,99 0,99 0,0035 0,12115 h 6 : 0,05 v 6 : 1 v : 1 t 6 : 0,0035 t ges6 : 0, h [cm] ,05 0,1 0,15 0,2 t [s] ie Schwingung ist nicht harmonisch (auf dem geraden Teilstück: Parabelbahn; auf dem Kreisbogen nur harmonisch für sehr kleine Auslenkungen; vgl. Fadenpendel) Zu 37. a) T = 1,7 s b) m = 3,7 kg Aufg. 37a: a) Für die Rückstellkraft gilt F R = m g sin α. Für kleine Winkel α ist sin α ungef. = s / l und damit F R = m g s / l also F R ~ s (Bedingung für eine harmon. Schwingung)

19 T ges = T 1 /2 + T 2 /2 mit l T = 2π ==> T 1 = 2 s und T 2 = 1,42 s g und T ges = 1,71 s s(t) = s 0 sin ωt ; v(t) = s 0 ω cos ωt und a(t) = - s 0 ω² sin ωt ie max. Geschwindigkeit tritt beim urchgang durch die 0-Lage auf und ist gleich für die gestreckte als auch für die gehemmte Schwingung v max = s 0 ω = s 01 2π / T 1 = 0,314 m/s l 1 = 1 m l 2 = 0,5 m g = 9,81 m/s² s 01 = 0,1 m s 02 = 0,07 m a max = s 0 4π² / T² ; mit T 2 ==> a max = 1,37 m/s² ie max. Beschleunigung tritt bei der max. Elongation der gehemmten Schwingung auf, also ganz rechts. ie max. Beschleunigung der gestreckten Schwingung muss geringer sein, da die Amplitude, also der Beschleunigungsweg bis zur 0-Lage länger ist. (Kontrollrechnung: Mit T 1 ==> a max = 0,99 m/s²) Es muss mit t = 0,5 s und T 2 gerechnet werden, da für die erste halbe Schwingung ½ T 1 abgezogen wird. s(t = 0,5s) = s 02 sin 2π t / T 2 = 6,7 cm Zu 45. Ausführliche Lösung s. Abituraufgaben Lk 90 a) s 1 = 0,245 m ; E ges1 = 0,4 J b) * = 80 N/m ; s 2 = 0,1 m ; harmon.: T oben = 1 s ; T unten = 0,5 s ; a oben = 8 m/s² ; a unten = 16 m/s² Zu 45b. a) s = F/ = 24,5 cm b) * = 4 = 80 N/m E = ½ s 0 ² = ½ * s U ² = ½ 4 s U ² ==> untere Auslenkung s U = 0,1 m = 20 N/m F G = 5 N s 0 = 0,2 m m T 1 = 2π = 1 s ; T 2 m = 2π = 0,5 s = 20 N/m * m = 0,5 kg 20 s [cm] t [s] a = - s 0 ω² cos ωt bzw. a max (Betrag) = s 0 (2π/T)² ==> mit T 1 : a oben = 7,9 m/s² (nach unten gerichtet) und mit T 2 : a utnen = 15,8 m/s² ( nach oben gerichtet) T 1 = 1 s s 0 = 0,2 m T 2 = 0,5 s s U = 0,1 m Zu 57. k = 0,16 s -1 Zu 58. F R = ( a 2 +(s 0 + s) 2 l 0 ) d.h. nicht prop., nicht harmonisch

20 Zu 63. a) = 2354 N/m ; T = 1 s ; a max = 9,87 m/s² b) v max = 1,57 m/s² ; Tramp: v(t) = sin-fkt., K: v(t) = fallende Gerade ; v Tr immer < v K c) Wenn a(t) nach oben (Verzögerung) > g, hebt VP ab: t = 0,11 s Zu 64. a) a = F/m = s 0 / m = 1,92 m/s² m T 1 = 2π = 1,57 s s = s 0 cos ωt ; v = - s 0 ω sin ωt ; mit ω 1 = 2π/T 1 = 4 s -1 und t 1 ==> v 1 = 0,27 m/s, und aus s 1 = s 0 cos ω 1 t 1 ==> s 1 = 9,9 cm b) Mit m 1 und ==> T 2 = 1 s s [cm] 12 m = m 1 + m 2 = 0,5 kg = 8 N/m s 0 = 0,12 m t 1 = 0,15 s m 1 = 0,2 kg = 8 N/m ,5 3 t [s]