Satellit im Kraftfeld Erde-Mond

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1 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. /8 Homepage: Satellit im Kraftfeld Erde- Hinweis: Es wird vereinfachend angenommen, dass Erde und ruhen. Datei SatEM6o.MDL Kessler Sept Satellit im Kraftfeld Erde- Paramters,Solver: variable step, max step size =dt, ode45, relat. tolerance=absol.tolerance= e- x x ^ sqrt u^(- ) ke ke/re^ /s /s A x-a sqrt u^(- ) km km/rm^ x-a x y y^ RE RM y DGLn: u < re RE= sqrt( x * x + y * y ) RM= sqrt( ( x- A) * ( x- A) + y * y ) dvx/dt= - ke* x /RE^ - km* ( x - A) /RM^ dvy/dt= - ke* y /RE^ - km* y /RM^ dx/xt = vx dy/dt = vy STOP u < rm STOP Stop wenn RE < re (= Erdradius) oder RM < rm ( = radius ), d.h. wenn Satellit auf Erde oder auftrifft /s /s t In der Simulink-Schaltung stehen unten links die vier DGLn. Natürlich ist dies Projekt kein LTI-System (linear time invariant). Da die üblichen Texte über Systemtheorie fast nur LTI-Systeme und außerdem nur die Laplace-Tranformation zum Lösen von (linearen!) DGLn behandeln, sind Ingeneure, die nur solche Systemtheorie kennen gelernt haben, nicht in der Lage, ein Projekt der hier vorliegenden Art zu bewältigen. Man fragt sich, warum die Dozenten der Systemtheorie nur ihre altmodischen LTI-Systeme und die umständliche aber klägliche Laplace-Transformation behandeln. Wollen die nichts anderes oder können die nichts anderes?? bild, r=59.9, Va= , W= Rechenzeit(sec)= , Flugzeit=.5 Jahre Erde

2 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. /8 Aufruf war: clear;bild=;va= ;deci=;tmax=4.8e6;r=59.9;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Man erkennt, dass die Flugbahn des Satelliten eine sehr verschlungene Bahn ist. Start ist in der Nähe des es und Stop (bei der gewählten Flugzeit tmax) nahezu wieder am gleicher Ort. Die angeschrieben Zahlen und die Pfeile zeigen an, welche Bahn der Satellit durchläuft. Die Zeit für einen Umlauf, also die Periodendauer ist.5 Jahre (s. Text Flugzeit im Bild). x 4 bild, r=59.9, Va= , W=, deci=, tmax= Details in nähe Rechenzeit(sec)=.4 - Start 6 Stop nach Periode 5* radius Details von Bild in nähe: Dies Bild entstand durch Zoomen. Man erkennt den Startpunkt (kleiner Kreis links vom ) und den Stoppunkt. bild 4, r=59.9, Va= , W=, deci=4, tmax=48.5, Flugzeit=.5 Jahre Rechenzeit(sec)= Erde clear;bild=4;va= ;deci=4;tmax=4.8e6;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Hier (Bild 4) wurde deci=4 gewählt. Das bedeutet, nur jeder 4-te Rechenpunkt wird gespeichert. Dadurch bekommt die Bahn (x, y) des Satelliten in der Darstellung Ecken (s. die durchgezogenen Polygonzüge). Durch

3 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. /8 die nachträglich mit Tastatur eingegebene Befehlsfolge hold on; plot(x,y,'.k') wurden die Rechenpunkte als schwarze Punkte zusätzlich eingetragen (s. Bild). Außerdem erkennt man deutlich, dass in Erdnähe und noch mehr in nähe diese Rechenpunkte viel dichter liegen als in großem Abstand von Erde oder.-darin kommt zum Ausdruck, dass die vom verwendeten Solver (ode 45) gewählte zeitliche Schrittweite dt keineswegs konstant ist, sondern variabel: wenn viel passiert, ist dt klein, wenn wenig passiert, ist dt groß. Anschließend Aufrufe, die mit Absturz enden: bild 5, r=59.9, Va= , W=, deci=, tmax=,absturz bei.95*tmax, Flugzeit=.6 Jahre.5 Rechenzeit(sec)= Erde clear;bild=5;va= *(.5);deci=;tmax=e7;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Hier(Bild 5) wurde die Startgeschwindigkeit Va um den Faktor.5 zu groß gewählt (s. Aufruf). Dadurch resultieren Satellitenbahnen, die nicht mehr exakt periodisch sind. Das erkennt man deutlich am Bild an den breiten Bahnkurven. Der Satellit stürzte schließlich nach Flugzeit.6 Jahre auf die Erde ab, s. das Beerdigungs-Kreuz im Bild. Er hat also nur.6/.5 =.74 Perioden erreicht. 6 bild 5, r=59.9, Va= , W=, deci=, tmax= 4 Rechenzeit(sec)=6.8 - Absturz-Stelle auf der Erde Details (Bild 5) in der Nähe der Absturz-Stelle auf der Erde

4 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. 4/8 bild 7, r=59.9, Va= , W=, deci=, tmax=5,absturz bei.8*tmax, Flugzeit= 8.7 Jahre.5 Rechenzeit(sec)= Erde clear;bild=7;va= *(.);deci=;tmax=5e7;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Hier (Bild 7) noch ein Katastrophenflug: Absturz nach 8.7/.5 = 9.84 Perioden, weil die Startgeschwindigkeit Va um den Faktor. zu groß war (s. Aufruf). Anschließend Aufrufe mit der richtigen Startgeschwindigkeit Va. Dadurch ergibt sich kein Absturz, sondern die Bahn ist exakt periodisch. clear;bild=6;va= ;deci=99;tmax=8e7;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Hier (bild 6) wurde deci (= 99) mal größer als in Bild 4 gewählt und die Zeit tmax wurde zu tmax=8e7 gewählt. Damit die Satellitenbahn x, y nicht nur als lauter Ecken besteht, wurden die geplotteten Rechenpunkte nicht miteinander verbunden. Dadurch bekommt die Satellitenbahn ein irreführendes Aussehen : die Bahn scheint verbreitert. Das liegt aber daran, dass die geplotteten Punkte so dick sind. Die Flugzeit betrug 5.6 Jahre (s. Text Flugzeit im Bild). Da eine Periode.5 Jahre beträgt, besteht die Flugzeit aus 5,6/.5 = 66.6 Perioden.

5 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. 5/8 clear;bild=7;va= ;deci=99;tmax=8e8;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o';rsatem5; Hier (Bild 7) tmax= 8e8. Das ergab eine Rechenzeit von 84 sec (s. ylabel). Das sind.67 Minuten. Die Flugzeit betrug 5.7 Jahre. Das sind 5.7/.5 = Perioden. Die zugehörige Matlab-Datei: % Datei rsatem5m Run-Datei für Simulink-Modell SatEM5.MDL % Juli : %clear;bild=;va= ;deci=;tmax=4.8e6;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o ';rsatem5;%umlauf %clear;bild=;va= ;deci=;tmax=e6;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='satem6o' ;rsatem5; %clear;bild=5;va= *(.);deci=;tmax=5e7;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='s atem6o';rsatem5; % das ist mit Absturz! auf Erde %clear;bild=6;va= *(.9999);deci=;tmax=5e7;r=59.9;fm=;ani=;w=;dt=e;name='s atem6o';rsatem5; % das bewirkt Absturz auf Erde format compact % vermeidet unnötige Leerzeilen format long; % Zahlenausgabe 5-stellig if bild == eval(name); % Simulink-Schaltung auf Bildschirm. fm=; Wv =; % Startrichtung (tangential=) % Konstanten: ke =.976E5; % Erdmasse * Gravitationskonst. in (km)^/(sec)^ km =fm*ke/8.;% masse* " " A =.84E5; % Abstand Erde- in km re =6.66E; % Erdradius in km

6 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. 6/8 rm =.78E; % radius in km % Startwerte; xs = r*re; % x-komp. Anfangslage ys =;% r*sin(w*pi/8)*re; % y... vxs = Va*sin((W+Wv)*pi/8); % x-komp. Anfangsgeschwind. vys =-Va*cos((W+Wv)*pi/8); % y... % für Erde zeichnen: wi=:*pi/5:*pi; xe=re*cos(wi); ye=re*sin(wi); % für zeichnen (5 mal größer): xm5=a+5*rm*cos(wi); ym5=5*rm*sin(wi); xm =A+rm*cos(wi); ym=rm*sin(wi); S= [' bild ',numstr(bild)]; Sr= [', r=',numstr(r,5)]; SVa= [', Va=',numstr(Va,5)]; SW= [', W=',numstr(W,5)]; Sdeci= [', deci=',numstr(deci)]; Stmax= [', tmax=',numstr(tmax)]; tit=[s,sr,sva,sw,sdeci,stmax]; if bild ==, name;disp('weiter:taste'); pause; % Simulink-Schaltung auf Bildschirm tic % Stoppuhr startet sim(name); % Simulation starten RZ=toc; % Stoppuhr endet, RZ=Rechenzeit % figure(bild); clf reset; if deci < plot( x,y, xe,ye,'r',xm5,ym5,'k',xm,ym,'b' ); else plot( x,y,'.k', xe,ye,'r',xm5,ym5,'k',xm,ym,'b' ); grid on; text( *re,, 'Erde'); text(a+5*rm,,''); SRZ=['Rechenzeit(sec)=',numstr(RZ,)]; ylabel(srz); hold on; plot(x(),y(),'ko'); %Startpunkt mit Kreis plotten title(tit); axis equal; % Falls Absturz: % Endpositionen berechen: LT=length(t); xend=x(lt); yend= y(lt); Absturz=; Erdsturz=; sturz=; if RE(LT) <.*re Erdsturz=; %Simuluink sammelt Werte RE und RM if RM(LT) <.*rm sturz=; Absturz = Erdsturz sturz; % = or if Absturz, % Kreuz malen an der Absturz-Stelle xab = x(length(x)); yab = y(length(y)); plot([xab-*re,xab+*re],[yab,yab ],'m'); plot([xab,xab],[yab-*re,yab+*re ],'m'); hold off; SAb=''; if Absturz, SAb=[',Absturz bei ', numstr(max(t)/tmax,),'*tmax']; SFlug=[', Flugzeit= ',numstr(max(t)/(4*6*65),4),' Jahre' ]; te=[sab,sflug]; title(tit); text(-e5,.5e5,te);

7 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. 7/8 hold on; % Falls Absturz: if Absturz, xab = x(length(x)); yab = y(length(y)); plot([xab-*re,xab+*re],[yab,yab ],'m'); plot([xab,xab],[yab-*re,yab+*re ],'m'); hold off; Sr= [', r=',numstr(r,5)]; SVa= [', Va=',numstr(Va,5)]; SW= [', W=',numstr(W,5)]; Stmax=[', tmax=',numstr(tmax)]; SAb=''; if Absturz, SAb=[',Absturz bei ', numstr(max(t)/tmax,),'*tmax']; hold on; % Falls Absturz: if Absturz, xab = x(length(x)); yab = y(length(y)); plot([xab-*re,xab+*re],[yab,yab ],'m'); plot([xab,xab],[yab-*re,yab+*re ],'m'); hold off; Sr=[', r=',numstr(r,5)]; SVa=[', Va=',numstr(Va,5)]; SW=[', W=',numstr(W,5)]; Stmax=[', tmax=',numstr(tmax)]; SAb=''; if Absturz, SAb=[',Absturz bei ', numstr(max(t)/tmax,),'*tmax']; % Animation: if ani > tpaus=.; hold on; N=length(x); rfak=; rfak=.5; %dicker Kreis Rg=rfak; % Z.B.rfak=6 Pkt = line(... 'color','k',... 'Marker','o',... 'LineWidth', Rg,... 'erase','xor',... 'xdata',[x(), x()],'ydata',[y(),y()]); % Umspeichern, damit Zeichenpunkte im gleichen Zeitabstand gemalt werden: k=; n=; clear N; while n < length(t)/-, tst=t(n); DT = ; k=k+; while DT <= * dt, % DT <=.* dt, % DT <=.5* dt n=n+; if n > length(t) break; DT=t(n)-tst; N(k)=n; kmax=k; for k = :kmax-, T(k)=t(N(k)); X(k)=x(N(k)); Y(k)=y(N(k));

8 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\Si5\HOMEPAGE\raumfahrt\SatErde.doc, S. 8/8 nochmal=; %nochmal=; % Jetzt Animation: while nochmal > figure(bild); hold on; for n=:kmax-; pause(tpaus); set(pkt, 'Xdata',[X(n),X(n)],'Ydata',[Y(n),Y(n)]); drawnow; % Es funxioniert auch OHNE drawnow nochmal=input(' nochmal Animation? ja=,nein= '); % while nochmal hold off; % Für das nächste Bild % von if ani > format short; % betr. Zahlenausgabe % Ende der Datei rsatem5.m