Bandpass: Eingang Rechteck, Zeitbereich des Ausgangs ua mit inverser FFT und mit DGLn berechnet

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1 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. /7 Homepage: Bandpass: Eingang Rechteck, Zeitbereich des Ausgangs ua mit inverser FFT und mit DGLn berechnet R L C K L2 C2 u i uc Lk Ck i2 uck uc2 RA ua 6 Energiespeicher C, C2, Ck, L, L2, Lk 6 Zustandsvariablen uc, uc2, uck, i, i2, Z Y Z2 Y2 Yp Diese Schaltung ist ein Bandpass. Das erkennt man leicht: Tiefe Frequenzen in u kommen wegen der Kondensatoren C und C2 nicht zum Ausgang. Wegen der Spulen L und L2 kommen auch hohe Frequenzen nicht zum Ausgang. Folglich kann es kein Tiefpass, kein Hochpass und keine Bandsperre sein. Es bleibt also nur die Eigenschaft Bandpass. In diesem Text wird eine Rechteckspannung als Eingang u verwendet. Der zeitliche Verlauf der Ausgangsspannung ua wird mit zwei Methoden berechnet: Einmal durch numerisches Lösen der DGLn. Das ist unmittelbar einleuchtend und relativ einfach: Für jede der 6 Zustandsvariablen ( u, u2, uk, i, i2, ) wird je eine DGL. Ordnung aufgestellt und dies DGL-System wird numerisch gelöst. Zum Aufstellen der DGLn und zum numerischen Lösen von RLC-Schaltungen siehe Die andere Methode ist ziemlich abstrakt. Ich verdanke sie meinem geschätzten Kollegen Prof. Dr. Josef Hoffmann, HS-Karlsruhe. Sie verwendet die komplexe Übertragungsfunktion ua/u und die diskrete Fourier- Transformation (FFT): Es wird die komplexe Übertragungsfunktion Hges = ua/u und komplexe diskrete Fourier-Transformation Spu= fft(u) des Eingangs u berechnet. Dann wird der Realteil der inversen diskreten Fourier-Transformation ( ifft ) des Produktes Spu * Hges berechnet. In Matlab klingt das so: Die zeitliche Ausgangsfunktion ist UAf = real( ifft (Spu.*H2ges) ); Wichtig dabei ist, dass die komplexe Übertragungsfunktion H2ges die richtige Symmetrie hat, nämlich der Realteil von H2ges ist bezüglich der Frequenzmitte eine gerade Funktion, der Imaginärteil ist bezüglich der Frequenzmitte eine ungerade Funktion. Einzelheiten dazu findet man in der zugehörigen Matlab-Datei (bandpa2.m), die am Textende eingefügt ist. -- Bekanntlich hat die diskrete Fourier-Transfomierte eines reellen Signals genau diese Art Symmetrie. Ob die nach diesen beiden Methoden berechneten Ausgangsspannungen tatsächlich übereinstimmen, wird im nachfolgenden Text untersucht. Bei manchen Aufrufen ist die Übereinstimmung sehr gut, bei manchen aber ziemlich schlecht. In einem früheren Text wurde versucht, mit Hilfe der Fourier-Reihe die zeitliche Antwort zu berechnen. Dabei wurde auf einen RC-Tiefpass bzw. einen CR-Hochpass ein Rechtecksignal gegeben und die Antwort mit Hilfe der Fourier-Reihe berechnet und zum Vergleich die richtige Antwort durch numerisches Lösen der DGL. Die Methode mit der Fourier-Reihe führte zu falschen Ergebnissen, insbesondere weil bei unstetigen Funktionen, also auch beim Rechteck, dank Gibbs schem Phenomen die Fourier-Reihe Schwingungsanteile liefert, die schon ansteigende Amplitude haben, bevor die Sprünge der Funktion kommen. Dieses Verhalten widerspricht dem Kausalitäts-Prinzip. Bei der diskreten Fourier-Transformation gibt es kein Gibbs sches Phenomen, denn bekanntlich ist die inverse diskrete Fourier-Transformation eines beliebigen Zeitsignals (im Gegensatz zur kontinuierlichen Fourier-Reihe) identisch mit dem ursprünglichen Zeitsignal. -- Demzufolge entsprechen die mit diskreter inverser Fourier- Transformation berechneten Zeitsignale sehr viel besser der Wirklichkeit als die mit der Fourier-Reihe berechneten.

2 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 2/7 Hinweis: Die obige Schaltung und auch ähnliche Schaltungen wurden auf dieser Homepage schon mehrmals behandelt, allerdings mit anderen Fragestellungen: Zunächst einige Aufrufe: Man beachte die Bemerkungen in den Matlab-Figuren!.8 bild 6,R=,RA=,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=;ra=;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.;dt=.5;teil=2;sp=;bild=6;bandpa3;.8 bild 5,R=,RA=,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=6,w=.,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Zeitbereich: Schlechte Übereinstimmung Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=;ra=;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=6; hoch=3;w=.;dt=.5;teil=2;sp=;bild=5;bandpa3;

3 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 3/7.8 bild 3,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.;dt=.5;teil=2;sp=;bild=3;bandpa3;.5 bild 4,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.6,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.6;dt=.5;teil=2;sp=;bild=4;bandpa3;.5 bild 5,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.2,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Zeitbereich: Schlechte Übereinstimmung Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.2;dt=.5;teil=2;sp=;bild=5;bandpa3;

4 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 4/7.8 bild 6,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.;dt=.5;teil=2;sp=;bild=6;bandpa3;.5 bild 7,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.5,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.5;dt=.5;teil=2;sp=;bild=7;bandpa3;.5 bild 8,R=.,RA=.,C=6,C2=6,Ck=6,L=,L2=,Lk=,w=.4,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.4;dt=.5;teil=2;sp=;bild=8;bandpa3;

5 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 5/7.5 bild,r=.,ra=.,c=6,c2=6,ck=6,l=,l2=,lk=,w=.72,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Zeitbereich: Keine gute Übereinstimmung Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.72;dt=.5;teil=2;sp=;bild=;bandpa3;.5 bild 3,R=.2,RA=,C=2,C2=2,Ck=2,L=,L2=,Lk=,w=.72,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.2;ra=;c=2;l=; C2=2; L2=;Ck=2;Lk=; hoch=3;w=.72;dt=.5;teil=2;sp=;bild=3;bandpa3;.5 bild 4,R=.2,RA=,C=2,C2=2,Ck=2,L=,L2=,Lk=,w=.3,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.2;ra=;c=2;l=; C2=2; L2=;Ck=2;Lk=; hoch=3;w=.3;dt=.5;teil=2;sp=;bild=4;bandpa3;

6 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 6/7 bild 5,R=.,RA=.,C=2,C2=2,Ck=2,L=,L2=,Lk=,w=.5,dt=.5,teil=2,sp=,hoch=3,dw= Freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w Zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec clear;r=.;ra=.;c=2;l=; C2=2; L2=;Ck=2;Lk=; hoch=3;w=.5;dt=.5;teil=2;sp=;bild=5;bandpa3; Die verwendete Matlab-Datei bandpa2.m: % Datei bandpa3.m Bandpass: T-Glied % clear;r=;ra=;c=6;l=; C2=6; L2=;Ck=6;Lk=; hoch=3;w=.;dt=.5;teil=2;sp=;bild=6;bandpa3; % Ergebnis beim Bandpass s. die Matlab-Bilder. format compact; N=2^hoch; tmax=dt*(n-); % N= Anzahl Abtastwerte. N ist eine Potenz von 2, damit di FFT schnell geht. dw=2*pi/tmax; w=:dw:(floor(n/2)-)*dw; % Man beachte, dass für die Kreisfrequenz w nur N/2 Werte benutzt werden! ofs=.; s=j*(w+ofs); % ofs ist nötig, um Division durch Null zu vermeiden S=['bild ',num2str(bild)]; S2=[',R=',num2str(R)]; S3=[',RA=',num2str(RA)]; S4=[',C=',num2str(C)]; S5=[',C2=',num2str(C2)]; S6=[',Ck=',num2str(Ck)]; S7=[',L=',num2str(L)]; S8=[',L2=',num2str(L2)]; S9=[',Lk=',num2str(Lk)]; S=[',w=',num2str(w)]; S=[',dt=',num2str(dt)]; S2=[',teil=',num2str(teil)]; S3=[',sp=',num2str(sp)]; S4=[',hoch=',num2str(hoch)]; S5=[',dw=',num2str(dw)]; tit=[s,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s,s,s2,s3,s4,s5]; % jetzt Bandpass: Z= R+ s*l +./(s*c); Y= s*ck +./(s*lk); Z2= s*l2+./(s*c2); Y2=/RA; u R L C i uc Lk K Ck i2 uck L2 C2 uc2 RA ua % allgemein gültig: Yp= Y+./(Z2+./Y2); H=./(+ Z.*Yp); H2= H./(+ Z2.*Y2); Z Y Z2 figure(bild); clf reset; subplot(2,,); Yp nr=:floor(n/teil); plot(w(nr),abs(h2(nr)),':k'); % Übertagungsfunktion ua/u, schwarze Punkte Y2

7 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Karlsruhe, C:\ro\Si5\didakt\Fourier\invDFT\Bandpass Zeitber_u_ inversdft.doc, S. 7/7 grid on; title(tit); hold on; % Zeitbereich mit invdft: a=.95; t= :dt:tmax; u=a*sign(sin(w*t)); Spu=fft(u); plot(w(nr),2/n* abs(spu (nr)),'m'); % Betrags-Spektrum von u grid on; xlabel('freqbereich. schwarze Punkte: XFER (ua/u), rot: FFT(u) --> w'); % % Erzeugung der "gesamten" Übertagungsfunktion U2ges mit der "richtigen" Symmetrie H2ges = [H2,conj( H2(floor(N/2):-:) )]; % Wichtig ist conj!! % UAf = real( ifft (Spu.*H2ges) ); % UAf ist die Zeitfunktion des Ausgangs nr=:length(t); subplot(2,,2); grid on; plot(t(nr),u(nr), t(nr),uaf(nr),':k' ); grid on; xlabel('zeitbereich: u, schwarze Punkte: ua mit invdft, rot: ua mit DGL, --> t/sec'); disp('das war mit inverser DFT');pause; % numerisches Lösen der DGLn: %Startwerte: uc=; uc2=; = ; uck=; i=; i2=; k=; t=; dtm=dt /sp ; kp=; % Speichern nach sp Schritten Np=floor(tmax/dt/sp); tp=zeros(np,); uap=tp; up=tp; while t < tmax um=a*sign(sin(w*t)); % Bandpass uc =uc+ i*dtm/c; i= i+ (um - R*i -uc - uck)*dtm/l; uck =uck + (i- i2- )*dtm/ck; i2= i2 +(uck- uc2- RA*i2 )*dtm/l2; uc2= uc2+ i2*dtm/c2; = + (uck)*dtm/lk; R L C ua= RA*i2 ; u kp=kp+; % Plotwerte speichern: if kp==sp, kp=; k=k+; tp(k)=t; up(k)=um; uap(k)=ua; end; Z t=t+dtm; end; figure(bild); hold on; plot(tp,up,'m', tp,uap,'m' ); i uc Lk 6 Energiespeicher C, C2, Ck, L, L2, Lk 6 Zustandsvariablen uc, uc2, uck, i, i2, K L2 C2 Ck Y i2 uck Yp Z2 uc2 RA Y2 ua