Matlab-Laplace und DGL-Methode: Vergleich PID-Regler und Unbehauen-Regler, Führantwort und Störantwort

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1 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite /7 Matlab-Laplace und DGL-Methode: Vergleich PID-Regler und Unbehauen-Regler, Führantwort und Störantwort TTp*s + W Regler Z Y T*s + x T2*s + x2 T3*s + x3 Führ- Sprung Strecke Der in der Figur dargestellte Regelkreis wird im nachfolgenden Text auf zwei verschiedene Arten berechnet: Laplace-Methode: Mit symbolischem Matlab wird die Laplace-Transformation auf den geschlossenen Regelkreis angewendet und anschließend mit inverser Laplace-Transformation der Zeitbereich der Führantwort bzw. der Störantwort der Regelgröße x3 berechnet und graphisch dargestellt. Dabei werden zwei verschiedene Regler benutzt: einmal ein PID-Regler, einmal der von Unbehauen angegebene Regler (Lehrbuch Heinz Unbehauen, Regelungstechnik Band, Seite 3, Vieweg). Die Übertragungsfunktionen der beiden Regler sind Ti* s PID-Regler: ArPID = Ap *( + + Td * s) 2 + 7* s + * s + 5* s ArUn = 2.5* s +.75* s + s Unbehauen-Regler: DGL-Methode: Zum Vergleich wird für den PID-Regler der Zeitverlauf von Führgröße W, Stellgröße Y und Regelgröße x3 auch durch numerisches Lösen der DGLn berechnet und gezeichnet. In diesem Text wird gezeigt, wie man mit symbolischem Matlab die Laplace-Tranformation des geschlossenen Regelkreises formulieren und durch inverse Laplace-Transformation den Zeitbereich der Regelgröße x3 berechnen und als Kurve zeichnen kann. Ohne symbolische Computermathematik könnte man die Laplace-Transformation zwar hinschreiben, aber es wäre beliebig hoffnungslos, die Rücktransformation in den Zeitbereich zu berechnen. (vgl. die kritischen Bemerkungen auf der letzten Seite dieses Textes) Der Verschiebungs-Satz ist für Matlab-Laplace offenbar mit erheblichen Problemen verbunden: Es ist mir bisher nicht gelungen, die Störantwort auf einen verschobenen Störsprung zu berechnen. Da hagelt es allerlei Fehlermeldungen. Die numerische Berechnungsmethode durch Lösen der DGLn benötigt keine symbolische Mathematik und ist folglich sehr leicht zu formulieren. Auch verschobene Signale machen natürlich keinerlei Probleme. Außerdem dürfte der Regelkreis Nichtlinearitäten enthalten (z.b. Begrenzungen und krumme Kennlinien und...). In solchen nichtlinearen Fällen wäre die Laplace-Transformation bekanntlich überhaupt nicht anwendbar. Auch mit symbolischem Matlab bringt es also keinerlei Vorteil, die Laplace-Transformation auf einen Regelkreis anzuwenden!

2 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 2/7 Bevor das zugehörige Matlab-Programm besprochen wird, werden zunächst einige typische Aufrufe des Programms getätigt und die dabei entstehenden Bilder werden in diesen Text eingefügt. Die Programmaufrufe sind jeweils in die Bilder eingefügt. Zunächst die Originalstrecke nach Unbehauen (T=, T2=, T3 = 5):.2 Laplace-Methode. dick:pid, dünn:unbehauen Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti, tmax, dtm, ymax, TTp, tz, kon, kw ) Unbe3WZ2(,,, 5, 5,.4, 6, 4,.5,,.8, 2,, ); Führantw oben, Störantw unten.8 x3 PID-Führantwort x3 Unbehauen-Führantwort x3 PID-Störantwort x3 Unbehauen-Störantwort > t/sec DGL-Methode (nur PID:magenta). Laplace-Methode(PID:dick,Unbehauen:dünn).2 Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti, tmax, dtm, ymax, TTp, tz,kon,kw ) Unbe3WZ2(,,, 5, 5,.4, 6, 4,.5,,.8, 2,, );.8 Führgröße W x3 PID-DGL Führ- u. Störantwort blau: x3 PID Laplace Führantwort x3 Unbehauen Laplace Führantwort Y/ PID DGL Z/ PID DGL x3 PID Laplace Störantwort x3 Unbehauen Laplace Störantwort > t/sec

3 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 3/7 Jetzt Strecke geändert (T3= statt 5), beide Regler beibehalten: Führantw oben, Störantw unten.2.8 Laplace-Methode. dick:pid, dünn:unbehauen Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti, tmax,dtm, ymax, TTp, tz,kon,kw ) Unbe3WZ2(,,,, 5,.4, 6, 4,.5,,.5, 2,, ); x3 PID-Führantwort x3 PID-Störantwort x3 Unbehauen-Führantwort Strecke wurde geändert: T3= statt 5 ==> PID nahezu unverändert, aber Unbehauen schon stark schwingend x3 Unbehauen-Störantwort >t/sec.2 DGL-Methode (nur PID:magenta). Laplace-Methode(PID:dick,Unbehauen:dünn) Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti,tmax,dtm,ymax,TTp,tZ,kon,kW )» Unbe3WZ2(,,,, 5,.4, 6, 4,.5,,.5,2,, );.8 x3 Unbeh. Laplace-Führantwort Führgröße W x3 PID Laplace-Führantwort x3 PID-DGL Führ-u. Störantwort Strecke geändert: T3= statt 5 ==> PID nahezu unverändert, aber Unbehauen stark schwingend Y/ PID- DGL Z/ PID-DGL x3 PID Laplace Störantwort x3 Unbehauen Laplace Störantwort t Weitere Änderungen der Strecke, beide Regler beibehalten Führantw oben, Störantw unten.2.8 Laplace-Methode. dick:pid, dünn:unbehauen Unbe3WZ2(Bild, T, T2, T3, Ap,Td,Ti, tmax,dtm, ymax, TTp, tz, kon,kw ) Unbe3WZ2(,.5,.5,.5, 5,.4, 6,4,.5,,.5, 2,, ); x3 PID-Führantwort x3 PID-Störantwort x3 Unbehauen-Führantwort Strecke wurde geändert: T=T2 =T3=.5 ==> PID wenig geändert, aber Unbehauen stark schwingend x3 Unbehauen-Störantwort >t/sec

4 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 4/7.2 DGL-Methode (nur PID:magenta). Laplace-Methode(PID:dick,Unbehauen:dünn) Unbe3WZ2(Bild, T, T2, T3, Ap,Td,Ti, tmax,dtm, ymax, TTp, tz, kon,kw ) Unbe3WZ2(,.5,.5,.5, 5,.4, 6, 4,.5,,.5, 2,, );.8 x3 Unbeh. Laplace-Führantwort rot: Führgröße W dick blau: x3 PID Laplace-Führantwort x3 PID-DGL Führ-u. Störantwort Strecke geändert: T=T2=T3=.5 ==> PID wenig geändert, aber Unbehauen stark schwingend Y/ PID- DGL Z/ PID-DGL x3 PID Laplace Störantwort x3 Unbehauen Laplace Störantwort t Anschließend die aus dem Matlab-Editor in diesen Text eingefügte Matlab-Datei Unb3WZ2.m In den (grünen) Kommentaren wird die Berechnungsmethode ausführlich erläutert. function Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti,tmax,dtm,ymax,TTp,tZ,kon,kW ); % function Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td, Ti,tmax,dtm, ymax,ttp,tz,kon,kw ); % Unbe3WZ(,,,5, 5,.4, 6,4,.5,,.5,2,, ); % Bei Unbehauen ist T= T2= ; T3= 5; % Unbe3WZ2(,,, 5, 5,.4, 6, 4,.5,,.5,2,, ); % Jetzt andere Strecken: % Unbe3WZ2(,,,, 5,.4, 6, 4,.5,,.5,2,, ); % Unbe3WZ2(,.5,.5,.5,5,.4, 6, 4,.5,,.5,2,, ); % Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik % Ziele: Das Beispiel Unbehauen Seite 3 mit Laplace und mit DGL berechnen % Bei Laplace-Methode muss Führantwort und Störantwort getrennt berechnet werden. % weil der Verschiebungssatz nicht funktioniert, ergibt Fehlermeldungen % Bei DGL-Methode kann man Führantwort und Störantwort gleichzeitig berechnen, % % Zunächst Laplace-Methode mit symbolischer Mathematik: syms s t; % s und t symbolische Variable, s= Laplace-Operator, t = Zeit As = /((+T*s)*(+T2*s)*(+T3*s) ); % Strecke: 3 PT-Glieder W = /s*/(+ttp*s); % W =Sprungfunktion (Höhe ), geht durch Tiefpass /(+TTp*s) Z = - /s; % Z= Störsprung bei t=, Höhe - ArPID=Ap*(+Td*s + /(Ti*s) ); % PID-Regler % Regler nach Unbehauen (Lehrbuch Regelungstechnik, S. 3, Vieweg) : ArUn = (+ 7*s+ *s*s + 5*s*s*s) / ( + 2.5*s +.75*s*s + s*s*s ); % Jetzt Führantworten der Regelgröße x3 im Laplace-Bereich: XWPID= W* ArPID *As /(+ ArPID *As); % XWPID Regelgröße mit PID-Regler XWUn = W* ArUn *As /(+ ArUn *As); % XWun Regelgröße mit Unbehauen-Regler % Jetzt Störantworten der Regelgröße x3 im Laplace-Bereich: XZPID = Z*As / (+ ArPID * As); % XZPID Störantwort bei PID-Regler XZUn = Z*As / (+ ArUn * As); % XZUn Störantwort bei Unbehauen-Regler % Jetzt Rücktransformation vom Laplace-Bereich ==> Zeitbereich: XWPIDt=ilaplace(XWPID); % symbol. Rücktransf. Führantwort Regelgröße PID-Regler XWUnt=ilaplace(XWUn); % symbol. Rücktransf. Führantwort Regelgröße Unbehauen-Regler

5 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 5/7 XZPIDt=ilaplace(XZPID); XZUnt =ilaplace(xzun); % symbol. Rücktransf. Störantwort Regelgröße PID-Regler % symbol. Rücktransf. Störantwort Regelgröße Unbehauen-Regler XWPIDT =vpa(xwpidt,5); % 5 stellige Zahlenwerte Führantw. Zeitbereich PID XWUnT =vpa(xwunt,5); % 5 stellige Zahlenwerte Führantw. Zeitbereich Unbehauen XZPIDT=vpa(XZPIDt,5); % 5 stellige Zahlenwerte Störantw. Zeitbereich PID XZUnT =vpa(xzunt,5); % 5 stellige Zahlenwerte Störantw. Zeitbereich Unbehauen Dicke =.5; set(,'defaultlinelinewidth', Dicke); % Kurven dicker; normal:. figure(bild);clf; % Vier Kurven ezplot in die gleiche Figur: Geht OK, aber % da alle Kurven gleiche Farbe haben, wird Kurven-Stärke geändert (Unbehauen dünn) ezplot( XWPIDT, [, tmax] ); % Zeitbereich Regelgröße Führantwort PID-Regler ezplot( XZPIDT, [, tmax] ); % Zeitbereich Regelgröße Störantwort PID-Regler Dicke=.2; set(,'defaultlinelinewidth',dicke);% dünner erst bei Dicke <=.2 ezplot(xwunt, [, tmax] ); % Zeitbereich Regelgröße Führantwort Unbehauen ezplot(xzunt, [, tmax] ); % Zeitbereich Regelgröße Störantwort Unbehauen axis ( [, tmax,,.2] ), % wichtig, sonst Vertikalbereich unsicher! title ('Laplace-Methode. dick: PID, dünn: Unbehauen' ); ylabel('führantw oben, Störantw unten '); xlabel('--> t/sec' ); grid; % Dicke wieder dick: Dicke =.5; set(,'defaultlinelinewidth', Dicke); % Jetzt die DGL-Methode % (analog Tephys-Algorithmus: neuer Wert = alter Wert plus die Änderung) % % rechnen mit anderer Zeit tm (Matlab tm) dtm tm = : dtm: tmax-dtm; LT=length(tm); % Definition Zeitvektor für DGL-Methode % Ausgabevektoren; Tm=zeros(LT,); X3=Tm; Y=Tm; W=Tm; % Wichtig: Wenn X3, Y, W NICHT deklariert sind, % dauert die Rechnung wahnsinnig lange!! W = ; az=-; % tz=5; Z= az*(tm >tz); % Z=Störgröße elegant formuliert! Entspricht: für tm > tz Z=aZ else Z= % Startwerte: tm=; x=; x2=; x3=; int=; y=; alt=; w=; xalt=; % Schleife zur DGL-Methode: for k=:lt, % Ausgabenvektoren füllen (man beachte, dass Ausgabewerte Großbuchstaben haben): Tm(k)=tm; X3(k)=x3; Y(k)=y; W(k)=w; % Jetzt numerisches Lösen der DGLn (Prinzip: neuer Wert = alter Wert plus Änderung ): x=x+(y+z(k)-x)*dtm/t; % x... x3 = Strecke x2=x2+(x-x2)*dtm/t2; x3=x3+(x2-x3)*dtm/t3; w= w + (W-w)*dtm/TTp; % Führgröße w läuft durch Tiefpass /(+TTp*s) int =int+(w-x3)*dtm/ti; % int = Integral (w-x3)*dt/ti DiffD=(kon>)*(w-x3-alt)+(kon<=)*(-(x3-xalt)); % für D-Anteil bei PID-Regler % D-Anteil, wahlweise kon > oder <=, kon > entspricht konventioneller D-Anteil % Die Variante kon <= wird mit Laplace NICHT formuliert! y= Ap*(kW*w-x3 +Td*DiffD/dtm +int); % y = PID-Stellgröße, alt =w-x3; % alt = "alter" Wert bei kon >, es wird also die Regeldifferenz w-x3 differenziert

6 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 6/7 xalt =x3; % xalt= "alter" Wert bei kon <=, es wird nur dir Regelgröße differenziert if y > ymax y=ymax; elseif y < -ymax y=-ymax; end; % Begrenzung der Stellgröße y % Beobachtung: durch die Begrenzung von y wird der Verlauf der Regelgröße % stark beeinflusst! (z.b. schon bei ymax < 5) % Diese Begrenzung ist bei Laplace NICHT realisierbar!! (weil nichtlinear) % Drum sollte man die Führgröße durch einen Tiefpass laufen lassen (wie hier realisiert)! tm=tm+dtm; % tm = neuer Zeitwert end; % for k=:lt Ende der Schleife DGL-Methode figure(bild+); clf; plot(tm,x3,'k', Tm, Z/, Tm,Y/, Tm,W);grid; % nur DGL-Methode title('dgl-methode, ähnlich wie Tephys'); % Jetzt DGL-Methode und Laplace-Methode im gleichen Bild: figure(bild+2); clf; plot(tm,x3,'m', Tm,Z/, Tm,Y/, Tm,W ); grid; % DGL-Methode ezplot( XWPIDT, [, tmax] ); % Laplace Führantwort PID ezplot( XZPIDT, [, tmax] ); % Laplace Störantwort PID Dicke =.2; set(,'defaultlinelinewidth',dicke);%dünner erst bei Dicke <=.2 ezplot( XWUnT, [, tmax] ); % Laplace Fürantwort Unbehauen ezplot( XZUnT, [, tmax] ); % Laplace Störantwort Unbehauen Dicke =.5; set(,'defaultlinelinewidth',dicke); % wieder dick axis ([, tmax,,.2]), title('dgl-methode (nur PID:magenta). Laplace-Methode(PID:dick,Unbehauen:dünn)'); disp(' Unbe3WZ2(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti,tmax,dtm,ymax,TTp,tZ,kon,kW )')

7 Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, A:\Unb3WZ3.doc, Seite 7/7 Bemerkungen zur Laplace-Transformation mit symbolischem Matlab: Mit der etwas abgewandelten Matlab-Datei Unb3WZ.m kann mit dem zusätzlichen Übergabe-Parameter formel der Bildschirmausdruck von zwei Formeln des symbolischen Matlab bewirkt werden (wenn der Parameter formel > ist, werden die Formeln ausgedruckt). Diese Formeln werden im Folgenden diskutiert. Die (symbolische) Formel der Führantwort des PID-Reglers ist XWPIDt. Der Bildschirmausdruck dieser Formel wurde mit Maustechnik markiert und anschließend in diesen Word-Text eingefügt : Der Aufruf hat das Format: Unbe3WZ(Bild,T,T2,T3, Ap,Td,Ti,tmax,dtm,ymax, TTp,tZ,kon,kW,formel ) Der folgende Aufruf ergab als Bildschirmausdruck die anschließend hier eingefügten Formeln. Unbe3WZ(,,, 5, 5,.4,6, 4,.5,,.8,2,,, 2); XWPIDt = -848/9*exp(-5/4*t)+5*sum(( / / *_alpha / *_alpha^ /495674*_alpha^3)*exp(_alpha*t),_alpha = RootOf(36*_Z+84*_Z^2+66*_Z^3+3*_Z^4+5)) Man erkennt, dass diese Formel sehr kompliziert ist. Unter anderem enthält sie noch zwei Operatoren: sum und RootOf. Die Variable alpha muss also erst als Wurzel (root) aus einem Polynom 4. Ordnung gesucht werden. An dieser komplizierten Formel erkennt man, dass man niemals in der Lage wäre, ohne Rechner diese Formel zu finden und mit echten Zahlenwerten zu füllen. Die Befehlszeile XWPIDT = vpa(xwpidt,4); (vgl. obiges Matlab-Programm) wandelt die symbolische Formel XWPIDt um in eine Formel mit echten Zahlenwerten, nämlich 4-stelligen Zahlen (floating point). [vpa heißt variable precision arithmetic] Der entstandene Bildschirmausdruck wurde markiert anschließend hier eingefügt : XWPIDT =.-.938*exp(-.25*t)+.3596*exp(-.7998*t)*cos(.5*t)-.5*exp(-.7998*t)*sin(.5*t)+5.* i *(-.4*exp(-.7998*t)*cos(.5*t)-.3596e-*exp(-.7998*t)*sin(.5*t))+5.* i *(.4*exp(-.7998*t)*cos(.5*t)+.3596e-*exp(-.7998*t)*sin(.5*t))-.4288*exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t)+.689*exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t)+5.* i *(.689e-*exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t)+.4287e- *exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t))+5.* i *(-.689e-*exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t)-.4287e-*exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t)) Erstaunlicherweise enthält diese Formel auch imaginäre Teile (vgl. die blau markierten Faktoren i ). Drum wurden von Hand (mit Taste Return) die Summanden in mehreren Zeilen aufgelistet: XWPIDT = *exp(-.25*t)+.3596*exp(-.7998*t)*cos(.5*t) -.5*exp(-.7998*t)*sin(.5*t) +5.*i*(-.4*exp(-.7998*t)*cos(.5*t) e-*exp(-.7998*t)*sin(.5*t)) +5.*i*(.4*exp(-.7998*t)*cos(.5*t) e-*exp(-.7998*t)*sin(.5*t)) *exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t) +.689*exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t) +5.*i*(.689e-*exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t) e-*exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t)) +5.*i*(-.689e-*exp(-.32*t)*cos(.7376e-*t) e-*exp(-.32*t)*sin(.7376e-*t)) Die imaginären Ausdrücke wurden farbig markiert und eingerückt. Man erkennt, dass sich die imaginären Teile paarweise aufheben, so dass, wie zu erwarten, die Formel in Wirklichkeit reell ist.