Weglose Waage: Simulation Einstellregeln von Tietze-Schenk und von Ziegler-Nichols

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1 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 1/9 Homepage: Weglose Waage: Simulation Einstellregeln von Tietze-Schenk und von Ziegler-Nichols

2 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 2/9 Zusammenfassung: Es wurden die beiden PID- Dimensionierungen nach Tietze-Schenk durchgeführt. Beide Methoden ein sehr gutes Ergebnis liefern: In Fig. 1 nach der Frequenzgang-Methode, Ergebnis s. Fig. 4. Ap = In Fig. F3 nach der Zeitbereichs-Methode, dabei Ap so groß, dass die P-Regelung an der Stabilitätsgrenze liegt (Ap = 320). Infolge dieses ca. 11 mal so großen Wertes ist die Störunterdrückung sehr viel stärker und viel schneller (Sprungantwort erreicht Maximum schon nach 3.6 millsec, bei Ap = 28.5 erst nach 11.2 millisec). Zum Vergleich wurde auch die Dimensionierungsmethode nach Ziegler-Nichols durchgeführt ( Methode Stabilitätsgrenze). Ergebnis: Im Vergleich zu den Ergebnissen mit den Tietze-Schenk-Methoden liefert die Ziegler- Nichols Dimensionierung sehr schlechte Dimensionierung: Phasenreserve zu klein, drum Störantwort zu wenig gedämpft. Gleichzeitige Berechnung im Zeitbereich und im Frequenzbereich mit dem komplexen Tephys com5c.exe Mit dem Simulationsprogramm com5c.exe wird der Regelungsvorgang gleichzeitig im Frequenzbereich und im Zeitbereich simuliert. Das Programm C0M5C.EXE und die Dateien dieses Textes sind im folgendem download-angebot enthalten: Herleitung der Gleichungen: Elektrik: Die Spannung des Reglerausgangs ist usp+z (Z= elektrisch erzeugte Störspannung). Diese Spannung zu liegt (nach Durchgang durch Leistungs-Spannungsfolger) an der Tauchspule, die aus Reihenwiderstand R, Induktivität L und induzierter Spannungsquelle kg * v besteht. => usp+z= R*i +L*di/dt +kg*v (mit i = Strom, v = Geschwindigkeit der Tauchspule). Diese Gleichung ergibt im Zeitbereich die Zeile 3 des Algorithmus: i = i+(z+usp - kg*v - R*i )*dt/l. Im Frequenzbereich ergibt sich mit dem Operator s =d/dt = j*w (w=kreisfrequenz, j = sqrt(-1)) (R+L*s)*i = usp+z - kg*s*x (mit x= Position der Tauchspule => v=s*x). Mechanik: m*dv/dt = Summe der Kräfte auf die Spule = elektrische Kraft (kg*i) + Federkraft ( D*x) + Reibungskraft( r*v) Also DGL m*dv/dt =kg*i D*x - r*v. Mit dem Differentialoperator s = d/dt wird dv/dt = s*v = s*s*x und r*v = r*s*x:. Folglich wird aus der DGL die Operatorgleichung: m*s*s*x = kg*i - D*x - r*s*x => x ausgeklammert: (m*s*s + r*s + D)*x = kg*i. => nach Multiplikation mit (R+L*s) (R + L*s) * (m*s*s + r*s + D) = kg* (R + L*s) * i. Mit Einsetzen von (R + L*s) * i = usp+z - kg*s*x (s.o) folgt (R + L*s) * (m*s*s + r*s + D)*x = kg* (usp + Z) kg*kg*s*x. Schließlich noch x auf die linke Seite gebracht: ( (R + L*s)*(m*s*s + r*s + D) + kg*kg*s )*x = kg*usp + kg*z. Die Auslenkung x der Spule wird mit einem Sensor gemessen. Das ergibt die Spannung Ux = kx*x (Zeile 5 ) mit kx = Übertragungsfunktion des Sensors, hier kx = const). Mit Z = 0 ergibt sich schließlich die Übertragungsfunktion As der Strecke As = Ux/usp As=kg *kx /( (R*L*s)*(m*s*s+r*s+D) +kg*kg*s ) (Zeile 12) Der PID-Regler hat die Übertragungsfunktion Ar = Ap*(1+Td*s+1/(Ti*s) ) => Gesamtübertragungsfunktion g = As*Ap*(1+Td*s+1/(Ti*s)) (Zeile 13) Datei TAUNEU6.CPL 1 Z0 = az*ja(t-t1)*ja(t2-t) { Z0 = Quelle für Störsprung : Amplitude az im Zeitbereich t1 bis t2 } 2 Z = Z+vma*slim((Z0-Z)/dt/vma)*dt { Z = Störsprung, geschwindigkeitsbegrenzt (+- vma)} 3 i = i+(z+usp-kg*v-r*i)*dt/l { i = Spulenstrom der Tauchspule: Z = Störspannung, usp = Ausgang des PID-Reglers, kg*v = in bewegter Spule induzierte Spannung (kg = Generatorkonstante, v = Spulengeschwindigkeit, R = Ohm scher Spulenwiderstand, L=Spuleninduktivität } 4 x = x+v*dt { x = Position der Tauchspule ( = Zeitintegral der Geschwindigkeit v )}

3 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 3/9 5 Ux = kx*x { Ux= Regelgröße = Sensorspannung, kx = Sensorkonstante } 6 int = int+(w-ux)*dt { int = Zeitintegral der Regeldifferenz W-Ux. Hier Sollwert W = 0 } 7 usp = Ap*(W-Ux-Td*kx*v+int/Ti) { usp = Spannungsausgang des PID-Reglers: Sollwert W = 0, Ux = Regelgröße, Td*kx*v = D-Anteil, int/ti = I-Anteil des PID-Reglers } 8 v = v+(kg*i-d*x-r*v)*dt/m { v = Geschwindigkeit der Tauchspule. Auf die Tauchspule wirken drei Kräfte: Elektrische Kraft Kg*i, Federkraft D*x, Reibungskraft r * v} 9 t = t+dt { t = Zeit, dt = zeitliche Schrittweite } 10 w = w+dw { w= Kreisfrequenz des komplexen Frequenzgangs } 11 s = j*(w+0.01) { s = Abkürzung. Zusammenhang mit Zeitbereich: s = d/dt = Differential-Operator } 12 As = kx*kg / ( (R+L*s)*(m*s*s+r*s+D)+kg*kg*s ) { As = komplexe Übertragungsfunktion der Regelstrecke = komplexe Regelgröße Ux geteilt durch komplexe Spulenspannung usp: As = Ux / usp } 13 g = As*Ap*(1+Td*s+1/(Ti*s)) { g = Gesamtübertragungsfunktion. Ap*(1+Td*s + 1/(Ti*s) = Übertragungsfunktion des PID-Reglers} 14 WiAs = winkel(as) { WiAs = Winkel der komplexen Übertragungsfunktion As der Regelstrecke } 15 BeAs = betrag(as) { BeAs = Betrag der komplexen Übertragungsfunktion As der Regelstrecke} Kommentar in der Datei TAUNEU6.CPL: Weglose Waage, Kessler, Heft R6, Anordnung: Tauchspulsystem (Lautsprecher) mit optoelektronischem Wegsensor ( Differenz-Schaltung von zwei Reflex-Licht-Schranken), Wegsignal (Ux = kx*x) als Regelgrösse in PID-Regler. Sollwert W=0, "weglos" infolge I-Anteil System-Parameter: Spule: R= 7.45 Ohm, L= 0.6 mh. Sensorkonstant kx= 200 V/m Mechanik: Masse m ca kg, Feder ca N/m, Reibung r ca 1 N*sec/m. Einheitskreis Fig. 1: PID- Dimensionierung nach Frequenzgang-Methode von Tietze-Schenk: Man suche diejenige Kreisfrequenz w, bei der der Winkel der Strecke = -165 Grad ist (hier w = 310 /sec) und lese den zugehörigen Betrag der Übertragungsfunktion der Strecke ab (hier BeAs = ). Daraus folgen die PID-Parameter: Ap = 1/BeAs = 28.5, Td = 1/w = sec, Ti = 10* Td = sec ( vgl. Text im Bild) In Fig. 1 sind die Kurven WiAs (Winkel der Regelstrecke) und BeAs (Betrag der Strecken-Übertragungsfunktion ) als Funktion der Kreisfrequenz w dargestellt.

4 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 4/9 Der vertikale Cursor-Strich steht bei demjenigen w, bei dem WiAs =-165 Grad ist (siehe Zahl am rechten Bildrand bei Kurve WiAs ) Der zugehörige Wert der Kurve BeAs steht am rechten Bildrand bei Kurve BeAs ( ). Der Wert w steht oben rechts im Bild: w= 310. Außerdem enthält die Figur noch die komplexe Ortskurve As*200 (Realteil als x-koordinate, Imaginärteil als y- Koordinate), Kreisfrequenz w als Parameter. Ux Z Phasenreserve ca. 15 Fig.2: P-Regler mit Ap=28.5 (gemäß Frequenzgang-Dimensionierung nach Tietze-Schenk, s. Fig.1) Aus der Kurve für Ux ergibt sich auch die Zeitbereichs-Methode für die PID-Dimensionierung nach Tietze-Schenk: Man präge ein Störsprung (oder Führungs-Sprung) auf und messe bei P-Regelung die sich ergebende zeitliche Periode T der Regelgröße (hier Ux): Hier ergibt sich T= sec (vgl. Text im Bild). Daraus nach Vorschlag Tietze-Schenk: Td = T/(2*pi) = sec und Ti = 10*Td. Vergleich mit der Frequenzgang- Methode von Tietze-Schenk (Fig.1): Dort hatte sich Td = sec, also im Rahmen der Ablesegenauigkeit die gleichen Werte wie hier nach der Methode im Zeitbereich

5 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 5/9 Fig.3: PD-Regler nach Tietze-Schenk-Dimensionierung (vgl. Text zu Fig. 2). Man beachte den Verlauf der Regelgröße Ux: Infolge des D-Anteils ist die Störantwort Ux recht gut gedämpft. Diese Dämpfung erkennt man auch am Verlauf der Ortskurve g: Sie ergibt eine Phasenreserve von 65 Grad (s. Figur). Da der I-Anteil noch Null ist, hat die Störantwort Ux noch eine bleibende Regelabweichung, s. Figur. Einheitskreis, 5 Grad je Punkt Fig. 4: PID-Regelung nach Tietze-Schenk- Dimensionierung im Frequenzbereich. Ergebnis: sehr gut. Phasenreserve etwa 65 Grad, folglich Antwort Ux auf Störsprung Z gut gedämpft. Phasenreserve 0 Grad, also Stabilitätsgrenze

6 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 6/9 Fig. F1: Dimensionierung des PID-Reglers nach Ziegler-Nichols ( Methode Stabilitätsgrenze ): Man präge einen Störsprung Z auf, erhöhe beim P-Regler den Verstärkungsfaktor Ap so lange (bis zum Wert Apkrit), bis die Störantwort der Regelgröße Ux Dauerschwingung ergibt (hier Apkrit = 306.6). Man messe die Periode Tkrit dieser Dauerschwingung (hier Tkrit = sec). Daraus der Vorschlag von Ziegler-Nichols für PID-Regelung: Ap= 0.6*Apkrit, Td = 0.12 * Tkrit und Ti = 0.5 * Tkrit. Daraus ergeben sich im vorliegenden Fall die Werte: Ap = 183.9, Td = sec, Ti = sec Die nachfolgende Figur Fig. F2 zeigt das Ergebnis: Z Phasenreserve ca. 13 Ux Z

7 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 7/9 Fig. F2: PID- Dimensionierung nach Ziegler-Nichols (Methode Stabilitätsgrenze). Ergebnis: sehr schlecht! Aus der Ortskurve g*50 ergibt sich eine viel zu kleine Phasenreserve (nur ca. 13 Grad) und folglich eine viel zu wenig gedämpfte Störantwort Ux. Z Ux Fig. F3: Wieder P-Regler an der Stabilitätsgrenze (Ap=320). Jetzt aber zusätzlich zur Dimensionierung nach Ziegler- Nichols (vgl. Fig. F1) die Dimensionierung nach Tietze-Schenk (vgl. auch Fig. 2): Man messe die Periodendauer der Sprungantwort Ux (hier T = sec). Daraus Td = T/(2*pi) = sec und Ti = 10 * Td = sec, Ap = 320.

8 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 8/9 Z Ux g*50 Phasenreserve ca. 45 Fig F4: PID-Regler, dimensioniert nach Methode Tietze-Schenk (Zeitbereich). Ergebnis: sehr gut. Phasenreserve ca. 45 Grad (statt nur 13 Grad nach Ziegler-Nichols). Folglich Antwort Ux auf Störsprung Z sehr gut gedämpft. Datei geändert: Jetzt auch Führantwort statt nur Störantwort: Datei TAUNEU80.CPL Z0=aZ*ja(t-t1)*ja(t2-t) Z=Z+vma*slim((Z0-Z)/dt/vma)*dt W0=aW*ja(t-t1W) W=W+vW*slim((W0-W)/dtW/vW)*dt i=i+(usp-kg*v-r*i)*dt/l x=x+v*dt Ux=kx*x int=int+(w-ux)*dt usp=ap*(kw*w-ux-td*kx*v+int/ti) v=v+(kg*i-d*x-r*v+z)*dt/m t=t+dt s=j*(w ) As=kx*kg/((R+L*s)*(m*s*s+r*s+D)+kg*kg*s) g=as*ap*(1+td*s+1/(ti*s)) WiAs=winkel(As) BeAs=betrag(As) w=w+dw Weglose Waage, Kessler, Heft R6, Anordnung: Tauchspulsystem (Lautsprecher) mit optoelektronischem. Wegsensor ( Differenz-Schaltung von zwei Reflex-Licht-Schranken),. Wegsignal (Ux = kx*x) als Regelgroesse in PID-Regler. Sollwert W=0, "weglos" infolge I-Anteil. System-Parameter:. Spule: R= 7.45 Ohm, L= 0.6 mh.. Mechanik: Masse m ca kg, Feder ca N, Reibung r ca 1 N*s/m

9 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 9/10

10 Prof. Dr. R. Kessler, Hs-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, C:\ro\Si05\ks_simul\KS_REGEL\WAAG\weglwag_4.doc, Seite 10/10