Drei Kompensations-Tilger an einem Feder-Masse-System

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1 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 1/6 Homepage: Drei Kompensations-Tilger an einem Feder-Masse-System Auf die Masse m, die mit Feder D und Reibung r an Erde gekoppelt ist, wirkt die eterne Kraft F. Diese Kraft besteht aus der Summe on drei cosinusförmigen Kräften wählbarer Kreisfrequenzen w1, w2, w3 und wählbarer Amplituden af1, af2, af3. Es soll untersucht werden, ob die Masse m trotz der auf sie wirkenden Kraft die Auslenkung Null haben kann, indem drei passend dimensionierte Tilger an die Masse m angekoppelt werden (gl. Figur). D r F m DT1 rt1 DT2 rt2 DT3 rt3 mt1 mt2 mt3 T1 T2 T3 Tilger 1 Tilger 2 Tilger 3 Das Ergebnis der nachfolgenden Simulation: Die aufgeworfene Frage kann positi beantwortet werden. Bei richtig dimensionierten Tilgern wird die Kraft ollständig kompensiert. Man erreicht, dass die Auslenkung (t) der Masse m gleich null wird. Aufstellung der DGLn Bezeichnungen: Die Tilger haben die Federn DT1, DT2, DT3, die Massen mt1, mt2, mt3 und die Reibelemente rt1, rt2, rt3. = Auslenkung der Masse m1, Geschwindigkeit = d/dt Tk =Auslenkung der Tilgermasse mtk, Geschwindigkeit Tk= dtk/dt (k = 1,2,3). Die DGLn: Masse m: m*d/dt = F D* r* + DT1*(T1-) + rt1*(t1-) + DT2*(T2-) +rt2*(t2-) + DT3*(T3-) +rt3*(t3-) Masse mt1 : mt1*dt1/dt = DT1*(-T1) + rt1*( T1) Masse mt2 : mt2*dt2/dt = DT2*(-T2) + rt2*( T2) Masse mt3 : mt3*dt3/dt = DT3*(-T3) + rt3*( T3) Mit dem nachfolgenden Simulink-Modell kom3til_1.mdl wird dies Gleichungssystem gelöst. Die drei Tilger werden durch die Subsysteme Tilger1, Tilger2 Tilger3 dargestellt Die Startwerte der Tilgerpositionen: Damit man im Zeitbereich erreicht, dass die gewünschte Auslenkung =0 ist, müssen die Startpositionen der Tilger richtig gewählt werden. Welche Werte das sind, erkennt man direkt an der DGL für die Masse m: Obige DGL m*d/dt wird so geschrieben, dass die Koordinaten ( und ) der Masse m auf der linken Seite stehen und alle anderen Ausdrücke auf der rechten Seite und die Reibungen der Tilger =0 gesetzt. Es ergibt sich m*d/dt + r* + (D+DT1+DT2+DT3)* = DT1*T1 + DT2*T2 + DT3*T3 + af1*cos(w1*t) + af2*cos(w2*t) + af3 * cos(w3*t) Ziel ist dass die Auslenkung und damit auch die Geschwindigkeit der Masse m gleich null. Also wird die linke Seite obiger DGL gleich null. Es bleibt die folgende Gleichung DT1*T1+ DT2*T2 + DT3*T3 + af1*cos(w1*t) + af2*cos(w2*t) + af3 *cos(w3*t) =0 Diese Gleichung ist folgendermaßen lösbar: Jeweils eine Tilgerkraft - DTk*Tk ist gleich einer eternen Kraft afk*cos(wk*t), dabei k=1,2,3.

2 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 2/6 Ausführlich geschrieben: -DT1*T1 = af1*cos(w1*t). Daraus folgt für t=0 Startauslenkung T1(t=0) = - af1/dt1 -DT2*T2 = af2*cos(w2*t). Daraus folgt für t=0 Startauslenkung T2(t=0) = - af2/dt2 -DT3*T3 = af3*cos(w3*t). Daraus folgt für t=0 Startauslenkung T3(t=0) = - af3/dt3 Diese Startauslenkungen sind in den Subsystemen des Tilgermodells eingegeben worden (s. im Simulink-Modell der Tilger-Subsysteme ) Damit die obigen Gleichungen erfüllt werden, müssen die Eigenkreisfrequenzen der Tilger die richtigen Werte haben. Beispiel Tilger 1: Für ruhende Masse m, also für =0 wird die DGL des reibungslosen Tilgers 1 mt1* dt1/dt = -DT1*T1. Es hatte sich oben für T1 ergeben DT1*T1 = - af1*cos(w1*t). Daraus die 2. Ableitung für T1 dt1/dt = w1*w1*af1*cos(w1*t)/dt1. Dies in die DGL eingesetzt ergibt mt1* w1*w1*af1*cos(w1*t)/dt1 = af1*cos(w1*t). Den Faktor af1*cos(w1*t) gekürzt bleibt mt1*w1*w1/dt1=1, daraus die bekannte Formel für die Kreisfrequenz des reibungslosen Feder-Masse-Systems w1 = sqrt (DT1/mT1) und entsprechend für die beiden anderen Tilger: w2 = sqrt (DT2/mT2), w3 = sqrt (DT3/mT3). Das erwendete Simulink-Modell kom3til_1mdl t kom3til_1.mdl fied step dt, Soler ode5 =Dormand-Prince ( af1*cos(w1*u) + af2*cos(w2*u) + af3*cos(w3*u) ) * (u < bt * tma) r D F 1/m Fout1 Tilger1 Fout2 Tilger2 Fout3 Tilger3

3 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 3/6 1 Fout1 Tilger1 rt1 DT /mT1 T1 Start -af1/dt1 Herleitung der Formeln für die kompleen Frequenzgänge Die 4 DGLn 2. Ordnung noch einmal hingeschrieben: (1) m * d/dt = F D* r * + DT1*(T1-) + rt1*(t1-) + DT2*(T2-) +rt2*(t2-) + DT3*(T3-) +rt3*(t3-) (2) mt1 * dt1/dt = DT1* (-T1) + rt1* ( T1) (3) mt2 * dt2/dt = DT2* (-T2) + rt2* ( T2) (4) mt3 * dt3/dt = DT3* (-T3) + rt3* ( T3) Um die kompleen Frequenzgänge zu finden, wird der Differentiations-Operator d/dt ersetzt durch das Symbol s. Folglich = d/dt = s*, und d/dt = s* s*. Zur Vereinfachung der Schreibweise wird zunächst ohne Reibungen formuliert, dann wird in den Endformeln die Federkonstante D ersetzt durch Dr = D + r * s und entsprechend wird für die Tilgerfedern DTk ersetzt durch DTkr = DTk + s* rtk ( k= 1,2,3 ) Durch dieses (orübergehende) Weglassen der Reibungen entsteht aus der Gleichung (1) m* d/dt = F D* + DT1* (T1-) + DT2* (T2-) + DT3* (T3-) Geordnet und nur F auf der rechten Seite und d/dt durch s ersetzt ergibt aus (1) (1 ) ( m*s*s + D+ DT1+ DT2+ DT3 )* DT1* T1 DT2* T2 DT3*T3 = F aus (2) entsteht ( mt1*s*s + DT1 ) * T1 = DT1 * Daraus der Quotient T1/ = DT1 / (mt1*s*s + DT1). XT1/ wird als T1 abgekürzt, also T1 = DT1 / (mt1*s*s + DT1), folglich T1 = T1 * entsprechend für Tilger 2 und Tilger 3 T2 = DT2 / (mt2*s*s + DT2), folglich T2 = T2 * T3 = DT3 / (mt3*s*s + DT3), folglich T3 = T3 * Diese so gewonnenen Ausdrücke für T1 bis T3 eingesetzt in (1 ) ergibt eine Gleichung für als Funktion der Kraft F (1 ) (m*s*s + D+ DT1+ DT2+ DT3 DT1* T1 DT2* T2 DT3*T3) * = F und daraus die komplee Übertragungsfunktion /F, die abgekürzt wird als F /F = F = 1/( m*s*s + D+ DT1+ DT2+ DT3 DT1* T1 DT2* T2 DT3*T3 ) Daraus ergeben sich die Übertragungsfunktionen T1/F bis T3/F, die abgekürt werden als T1F bis T3F T1/F = T1F = T1/ * /F = T1 * F = T1 * F, also T1F = T1 * F, T2F = T2 * F, T3F = T3 * F,

4 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 4/6 Im unten eingefügte Matlab-Programm werden diese Formeln berechnet. Der Differentialoperator s wird ersetzt durch s= j * w mit j = Wurzel aus 1 und w = Kreisfrequenz der Kraft F. Um die Reibungen zu berücksichtigen werden, wie oben erwähnt, die Federkonstanten D ersetzt werden durch Dr= D + s*r. Einige Aufrufe 40 bild=8,w1=0.8,w2=1,w3=1.2,af1=1,af2=1,af3=1,rt1=1e-020,rt2=0,rt3=0,od=5,fdt1=1 0.2*T *T2 0.2*T Zeit in sec 20 F KreisFrequenz w in ec abs(t3/f) abs(t2/f) abs(t1/f) abs(/f) phi(/f) phi(t1/f) phi(t2/f) phi(t3/f) Aufruf war: clear;r=0;rt1=1e-20;w1=0.8;w2=1;w3=1.2;af1=1;bt=0.95;fdt1=1;af2=1;af3=1;od=5;bild=8;rti3tuf1 Erkenntnis: Die Kraft hat die Amplituden af1=1, af2=1, af3 =1 und die Kreisfrequenzen w1=0.8, w2=1, w3=1.2. Die Tilger schwingen jeweils mit der Kreisfrequenz w1, w2, w3 (gl. den Zeiterläufe T1, T2, T3 im oberen Teilbild). Die Tilger kompensieren erwartungsgemäß die Kraftwirkung auf die Masse m, siehe den Zeitbereich der Auslenkung : so lange die Kraft wirkt (hier bis t=95 sec), ist die Auslenkung = 0. Diskussion der Frequenzgänge (unteres Teilbild): Um bei den ielen dargestellten Kuren das Wichtigste zu erkennen, sind die beiden Kuren, die sich auf die Auslenkung der Masse m beziehen, schwarz geplottet, siehe den Amplitudenerlauf abs(/f) und den Phasenerlauf phi(/f). Man erkennt drei Minima im Amplitudenerlauf abs(/f). Sie gehen bis auf den Wert null herab. Diese Minima liegen bei denjenigen Kreisfrequenzen w1, w2, w3, auf die die Tilger abgestimmt sind. Diese drei Minima zeigen das erhoffte Ergebnis, dass die Auslenkung der Masse m bei diesen drei orgegebenen Kreisfrequenzen gleich null wird. Charakteristisch ist auch der Verlauf des Phasenwinkels phi(/f) in der Nähe der drei besagten Amplituden- Minima: Bei Kreisfrequenzen unterhalb w1, w2, w3 schwingt die Masse m gegenphasig zur Kraft (phi(/f) = -pi), oberhalb gleichphasig ( phi(/f) = 0). Die Kenntnis dieses Phasenerlaufs ist sehr nützlich beim Eperimentieren: Findet man Gegenphasigkeit, so folgt daraus, dass die erregende Frequenz unterhalb der Frequenz eines Amplituden-Minimums ist. Und entsprechend bei Gleichphasigkeit: dann ist die Frequenz oberhalb eines Amplituden-Minimums. Auf diese Weise findet man beim Eperimentieren gezielt die Frequenzlage der Amplituden-Minima.

5 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 5/6 Um zu demonstrieren, dass die Auslenkung (t) tatsächlich winzig klein ist, wird die Kure (t) in der folgenden Figur zweimal geplottet. Die untere Kure in Originalgröße, die obere Figur um den Faktor 1e12 ertikal gedehnt und um 1 nach oben erschoben. 2 bild=8,w1=0.8,w2=1,w3=1.2,af1=1,af2=1,af3=1,rt1=1e-020,rt2=0,rt3=0,od=5,fdt1= Die erwendete Matlab-Datei % rti3tuf1.m % Zeitbereich und Frequenzgänge 3 Tilger auf 1 Feder-Masse-System %clear;r=0;rt1=0;w1=0.9;w2=1;w3=1.1;af1=1;bt=0.75;fdt1=1;af2=0;af3=0;bild=2;rti3tuf1 % Datei rti3_1.m Run-Datei für Simulink-Schaltung kom3til_1.mdl % Feder-Masse-System (m,d,r) mit 3 Tilgern (mt1,dt1,rt1) bis (mt3,dt3,rt3) format compact; dt=0.002; tma=100; m=1; D=1; % Willkürliche Annahme: alle Tilger haben gleiche Masse, aber klein gegen m: mt1=0.1*m; mt2=0.1*m; mt3=0.1*m; % Tilger 1 soll die Kraftkomponente der Kreisfrequenz w1 kompensieren, drum hat % Tilger 1 (allein) die Kreisfrequenz w1. Daraus die Federkonstante DT1=mT1* w1*w1; DT1= fdt1* mt1* w1*w1; % hier noch ein wählbarer Faktor fdt1: im Idealfall ist fdt1=1, % bei fdt1 <1 ist die Tilgerfeder zu weich, bei fdt1 >1 ist sie zu steif. DT2= mt2* w2*w2; % Tilgerfeder für Tilger 2 richtig abgestimmt. DT3= mt3* w3*w3; % Tilgerfeder für Tilger 3 richtig abgestimmt. rt2=0; rt3=0; % Tilger 2 und 3 ohne Reibungen gewählt. if bild ==1, kom3til_1; disp('weiter:taste!');pause; end; % bei bild =1 Simulink-Schaltung auf Bildschirm if od==5, sim('kom3til_1'); end; % ode5 = Dormand-Prince (rechnet sehr genau) if od==1, sim('kom3tile_1'); end; % ode1 = Euler (rechnet sehr ungenau) figure(bild); clf reset; of=10; subplot(2,1,1); % im oberen Teilbild der Zeitbereich set(0,'defaultlinelinewidth',1.5); % zeichnet dicke Linien fa='k'; % schwarz plot(t, F-of,fa, t,,fa, t,0.2*t1+1*of, t,0.2*t2+2*of, t,0.2*t3+3*of); % Achsen zeichnen: L=[0,tma]; Ly=[of,of]; set(0,'defaultlinelinewidth',0.5); % zeichnet dünne Linien hold on; plot(l,ly*0,'k'); plot(l,ly*1,'k'); plot(l,ly*2,'k'); plot(l,ly*3,'k'); plot(l,-ly,'k'); % Achsenbeschriften: rr=tma*1.01; % Rechter Rand

6 Prof. Dr. R. Kessler, HS-Kalrsruhe, C:\ro\Si05\tilger\KompTilger\Komp3Tilg1.doc, S. 6/6 tet(rr,0*of,''); tet(rr,1*of,'0.2*t1'); tet(rr,2*of,'0.2*t2'); tet(rr,3*of,'0.2*t3'); tet(rr,-1*of,'f'); grid on; label('zeit in sec'); S1=['bild=',num2str(bild)]; S2=[',w1=',num2str(w1)]; S3=[',w2=',num2str(w2)];S4=[',w3=',num2str(w3)]; S5=[',aF1=',num2str(aF1)]; S6=[',aF2=',num2str(aF3)];S7=[',aF3=',num2str(aF3)]; S8=[',rT1=',num2str(rT1)];S9=[',rT2=',num2str(rT2)];S10=[',rT3=',num2str(rT3)]; S11=[',od=',num2str(od)]; S12=[',fDT1=',num2str(fDT1)]; tit=[s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7,s8,s9,s10,s11,s12]; title(tit); % disp('jetzt Frequenzgänge: Taste'); pause; % %m=1;d=1; mt1=0.1; mt2=0.1; mt3=0.1; %DT1= mt1*w1*w1 ; DT2= mt2*w2*w2; DT3= mt3*w3*w3; dw=0.002;wma=1.5*ma([w1,w2,w3]); wmin=0.5*min([w1,w2,w3]); w=wmin:dw:wma; s=j*w; % Die Federn (D) haben Reibungselement (r) parallelgeschaltet: Dr=D+s*r; DT1r=DT1+s*rT1; DT2r=DT2+s*rT2; DT3r=DT3+s*rT3; % Übertragungsfunktionen T1/ bis T3/: T1=DT1r./(mT1*s.*s+DT1r); % T1 = T1/ T2=DT2r./(mT2*s.*s+DT2r); % T2 = T2/ T3=DT3r./(mT3*s.*s+DT3r); % T3 = T3/ % Übertragungsfunktion /F, hier abgekürt als XF: F=1./(m*s.*s+ Dr+DT1r+DT2r+DT3r -DT1r.*T1 -DT2r.*T2 -DT3r.*T3); % F=/F T1F= T1.*F; % T1F= T1/F = T1/ * /F-> T1F= T1 *F T2F= T2.*F; % T2F= T2/F = T2/ * /F-> T2F= T2 *F T3F= T3.*F; % T3F= T3/F = T3/ * /F-> T3F= T3 *F subplot(2,1,2); % Im unteren Teilbild der Frequenzbereich ofs=5; ofsw=3; ofs=3; plot(w,abs(f),'k', w,abs(t1f)+1*ofs, w,abs(t2f)+2*ofs, w,abs(t3f)+3*ofs); hold on; plot( w,angle(f)*1/pi-1*ofsw,'k',w,angle(t1f)*1/pi-2*ofsw,... w,angle(t2f)*1/pi-3*ofsw, w,angle(t3f)*1/pi-4*ofsw ); % Die Kuren /F und Winkel phi(/f) noch mal dick zeichnen: set(0, 'DefaultLineLinewidth',1.5); plot(w,abs(f),'k', w,angle(f)*1/pi-1*ofsw,'k' ); set(0, 'DefaultLineLinewidth',0.5); % wieder dünn zeichnen fa='k'; % Achsen zeichnen: L=[0,wma]; Ly=[ofs,ofs]; Lyw=[ofsw,ofsw]; plot(l,[0,0],fa, L,1*Ly,fa, L,2*Ly,fa, L,3*Ly,fa,... L,-1*Lyw,fa, L,-2*Lyw,fa, L,-3*Lyw,fa, L,-4*Lyw,fa); label('kreisfrequenz w in ec'); % Achsen beschriften: rr=1.01*wma; % rechter Rand tet(rr,0,'abs(/f)'); tet(rr,1*ofs,'abs(t1/f)'); tet(rr,2*ofs,'abs(t2/f)'); tet(rr,3*ofs,'abs(t3/f)'); tet(rr,-1*ofsw,'phi(/f)'); tet(rr,-2*ofsw,'phi(t1/f)'); tet(rr,-3*ofsw,'phi(t2/f)'); tet(rr,-4*ofsw,'phi(t3/f)'); ais([wmin,wma,-4.5*ofsw,20]); grid on; S1=['bild=',num2str(bild)]; S2=[',w1=',num2str(w1)]; S3=[',w2=',num2str(w2)]; S4=[',w3=',num2str(w3)]; S5=[',r=',num2str(r)]; S6=[',rT1=',num2str(rT1)];S7=[',rT2=',num2str(rT2)]; S8=[',rT3=',num2str(rT3)]; % Vergrößerte Darstellung on (t): disp('vergrößerte Darstellung on (t) '); pause; figure(bild +1); clf; plot(t,,'k',t,1+*1e12,'k'); ais([0,100,-1,2]); grid on;title(tit);