Feder-Masse-Kette mit 5 gleichen Massen und 6 gleichen Federn, Eigenwert-Methode und Zeitbereich mit FFT-Methode

Transkript

1 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. /9 Feder-Masse-Kette mit gleichen Massen und 6 gleichen Federn, Eigenwert-Methode und Zeitbereich mit FFT-Methode D D D D D D6 m m m m m x x x Hier sind alle Massen gleich und alle Federn gleich Motivation: Das System Feder-Masse-Kette wird in vielen Büchern Technische Mechanik oder Schwingungslehre behandelt. Dort aber meist nur mit Algebra-Methoden, nicht dagegen im Zeitbereich. Im vorliegenden Text werden sowohl Algebra-Methoden als auch der Zeitbereich mit Frequenzanalyse ( FFT) verwendet. Die untersuchte Kette aus Massen hat (aus Symmetrie-Gründen!) mehrere Schwingungsknoten, also Punkte, die bei der fraglichen Frequenz nicht mitschwingen. Mit dem verwendeten Programm kann demonstriert werden, dass bei einem Stoß auf eine Masse, die einen Schwingungsknoten hat, diejenige Frequenz, die diesen Knoten hat, nicht angeregt wird. Diese Erkenntnis kann z.b. angewendet werden, indem man eine unwuchtige Maschine in einem Schwingungsknoten aufstellt. S. dazu Weiterhin kann man demonstrieren, dass das System rein sinusförmig in einer Eigenfrequenz schwingt, wenn die Startwerte wie die Schwingungsform dieser Frequenz gewählt werden. Zunächst einige Aufrufe und Diskussion der Ergebnisse: clear;dt=.;tmax=;bild=;druck=;v=[,,,,];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; info= Ket 6 Pos Bild Modalform von Ket Freq bild, dt=., v= [ ], N =6, teilfr=. Beträge der Spektren. x Hz x x

2 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. /9 bild, dt=., v= [ ], teilz=. x x x sec Hier wurde der Startvektor v= [,,,, ] benutzt. Das entspricht einem Schlag auf die Masse m. Da m laut Modalformen bei allen Eigenfrequenzen mitschwingt, wurden durch diesen Schlag alle Eigenfrequenzen angeregt, wie aus dem Spektrum hervorgeht. Aus diesen Zeitsignalen kann man wenig herauslesen: weder die Frequenzen noch die Amplituden noch die Phasenwinkel. Aber im Frequenzbereich kann diese drei Fragen klären. Einzelheiten werden im nachfolgendem Matlab-Programm erläutert, s. im Abschnitt Maximum-Suche im Betragsspektrum. Die beiden folgenden Modaltabellen zeigen praktisch die gleichen Zahlenwerte. Allerdings wurden sie durch zwei völlig verschiedene Methoden berechnet: Die erste Tabelle (Tabges) wurde aus den Spektren abgelesen, die zweite Tabelle (Modges) ergab sich aus der Eigenwert-Algebra. Tabges = Modges =

3 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. /9 Startwerte anders, s. Vektor v clear;dt=.;tmax=;bild=;druck=;v=[,,,,];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; info= Ket 6 Pos Bild Modalform von Ket Freq bild, dt=., v= [ ], N =6, teilfr=. Beträge der Spektren. x Hz bild, dt=., v= [ ], teilz=. x x x x x sec Hier der Startvektor v= [,,,, ] benutzt. Das entspricht einem Schlag auf die Masse m. Da m laut Modalformen bei der Frequenz f ein Schwingungsknoten ist (also nicht mitschwingt), wurde dies Frequenz NICHT angeregt, siehe Spektrum: dort fehlet die Frequenzen f.

4 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. /9 Startwerte anders, s. Vektor v clear;dt=.;tmax=;bild=;druck=;v=[,,,,];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; info= Ket 6 Pos Bild Modalform von Ket Freq bild, dt=., v= [ ], N =6, teilfr=. Beträge der Spektren. x Hz bild 6, dt=., v= [ ], teilz=. x x x x x sec Hier der Startvektor v= [,,,, ] benutzt. Das entspricht einem Schlag auf die Masse m. Da m laut Modalformen bei den Frequenzen f und f ein Schwingungsknoten ist (also nicht mitschwingt), wurden diese beiden Frequenzen NICHT angeregt, siehe Spektrum: dort fehlen die Frequenzen f und f. Startwerte anders, s. Vektor v clear;dt=.;tmax=;bild=7;druck=;v=[,,-,,];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; info= Ket 6 Pos Bild 7 Modalform von Ket Freq bild 7, dt=., v= [ - ], N =6, teilfr=. Beträge der Spektren. x Hz x x

5 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. /9 bild 8, dt=., v= [ - ], teilz=. x x x sec Hier der Startvektor v= [,, -,, ] benutzt. Das entspricht der Modalform mit der Frequenz f=. Hz. Folglich wird nur die Frequenz f angeregt, d.h. die Massen m, m, m exakt sinusförmig mit dieser Frequenz, und zwar jeweils gegenphasig, wie aus der Modalform ersichtlich. Wie ebenfalls aus der Modalform hervorgeht, schwingen bei dieser Frequenz die Masse m und m nicht mit, denn sie sind bei dieser Frequenz Schwingungsknoten. Anschließend die verwendete Matlab-Datei Nmasket.m % Datei Nmasket.m % Kette aus N gleichen Massen und gleichen Federn, Suche nach Knoten % Eigenwert-Methode liefert Modalformen und Eigenfrequenzen. % Hier für N= % Zeitbereich, daraus FFT, daraus Modalformen und Eigenfrequenzen. % Wahlweise Modalformen und Spektren als subplots ins gleiche Bild % Anzahl Rechenpunkte als Potenz von, damit FFT schnell geht % Typische Aufrufe: % clear;dt=.;tmax=;bild=;druck=;v=[,,,,];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; % clear;dt=.;tmax=;bild=7;druck=;v=[.,-.87,,-.87,.];sub=;teilfr=.;teilz=.;nmasket; % % Heft R8 S. % Erkenntnisse: % ) Die beiden völlig verschieden arbeitenden Rechenmethoden % (Eigenwert-Methode, Zeitbereichsmethode mit (diskreter) Fourier-Analyse) % liefern die gleichen Ergebnisse für die Eigenfrequenzen u. Modalformen % )Wie erwartet: Wenn als Startwert eine Masse angestoßen wird, % die Knoten hat, dann werden diejenigen Frequenzen, bei denen diese % Masse Knoten hat, nicht angeregt!! % )Wie erwartet: Wenn als Startwerte die Werte der Modalformen benutzt werden, % dann schwingen alle Masse rein sinusförmig mit der richtigen Frequenz. format compact; N=; % Die Wahl von N= ist keine Einschränkung, bei entsprechender Programmierung % könnte N eine beliebige ganze Zahl sein m= ;D= ; % Auch die Wahl gleich grosser Masse und Federn ist keine Einschränkung. % Bei entsprechend geänderter Programmierung dürften die Federn D,D,D,.. beliebig sein % Auch die Werte für die Massen m,m,m.. dürften beliebig sein, % allerdings ungleich Null, weil durch mi geteilt wird. % Bildung der Massen-Matrix M M=zeros(N); for k=:n M(k,k)=m; % MassenMatrix % --> Konstruktionsprinzip der Feder-Matrix DF: % Das Diagonalelement i,i ist die Summe der Federkonstanten derjenigen Federn, % die mit der Masse i verbunden sind, % das Element der Position k,i ist die negative Federkonstante der Feder % zwischen Masse k und Masse i % Bildung der Feder-Matrix DF:

6 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. 6/9 DF=zeros(N); for k=:n; DF(k,k)=*D; for k=:n, DF(k,k-)=-D; DF(k-,k)=-D; % Aufruf der Eigenwert-Mathematik: %********************************************************************* [Freq,EVm]= useeig(df,m); % neue function zum Berechen und Speichern %******************************************************************** % Modalform speichern: Modges=[Freq;EVm]; kom=[' Ket',numstr(N)]; info=kom; Modname =kom; % Speichername save(modname,'modges','kom','info' ); % Aufruf der Funktion modform7sub zum Holen und Zeichnen der Modalformen set(,'defaultlinelinewidth',.); % Zeichnet dicke Linien (Modalformen) % modform7(bild,modname, druck, info); % die ist ohne de Parameter sub modform7sub(bild,modname, druck, info,sub); disp('das war Eigenwert-Methode, anshliessend Zeitbereich, Taste! '); pause; set(,'defaultlinelinewidth',.); % Zeichnet dünne Linien % % anschließend Zeitbereich, Start mit Eingabe-Vektor v % % Deklarieren der Speicherwerte: % Den Eingabewert tmax so korrigieren, % dass die Anzahl Rechenpunkte eine Potenz von ist, nämlich ^N_. N_= round(log(tmax/dt)) tmax=dt*^n_; Np=floor(tmax/dt); % NP = Anzahl Speicherwerte Np=^N_; % Wichtig für die spätere Fouier-Analyse, % dass Anzehl Rechenpunkte eine Potenz von ist tp=zeros(,np); % Wichtig, dass tp=zeros(,np), nicht etwa % tp=zeros(,np), sonst riesige Rechenzeit! xp=tp; xp=tp; p=tp; xp=tp; p=tp; %Startwerte; t=; x=; x=; =; x=; =; % xi = Auslenkungen v=v(); v=v(); v=v(); v=v(); v=v(); % vi = Geschwindigkeiten % z.b. im Aufruf Vektor v=[,,,,]; k=; dtddm=dt*d/m; % zur Abkürzung der Rechenzeit. % Geht nur, wenn alle Federn und Massen gleich sind tic; while t < tmax-dt % Wichtig, dass da steht tmax-dt, sonst ist Anzahl Punkte keine Potenz von, % dann riesige Rechenzeit für die Spektren. % Matlab. rechnet viel langsamer als Matlab 7 % Plotwerte speichern: k=k+; tp(k)=t; xp(k)=x; xp(k)=x; p(k)=; xp(k)=x; p(k)=; % neue Werte berechnen durch numerisches Lösen der DGLn. Das sieht % zwar ähnlich aus wie die Euler-Methode, ist aber sehr viel genauer % als Euler, denn bei Euler werden erst nach Durchgang durch eine Schleife % die neuen Werte verwendet. % Hier dagegen werden in jeder Zeile bereits die neuen Werte benutzt. x=x+v*dt; x=x+v*dt; =+v*dt; x=x+v*dt;

7 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. 7/9 =+v*dt; v=v+(-*x+x)*dtddm; v=v+(x-*x+)*dtddm; v=v+(x-*+x)*dtddm; v=v+(-*x+)*dtddm; v=v+(-*+x)*dtddm; t=t+dt; %while t < tmax RZ=toc; % Rechenzeit Zeitzbereich figure(bild+); clf reset; ofs=; % Zeitbereich nur bis teiz darstellen: mpl=floor(length(tp)*teilz); % nur von bis mpl plotten: plot(tp(:mpl),p(:mpl), tp(:mpl),xp(:mpl)+*ofs,... tp(:mpl),p(:mpl)+*ofs, tp(:mpl),xp(:mpl)+*ofs,... tp(:mpl),xp(:mpl)+*ofs); grid on; text(tmax*teilz,*ofs,' '); text(tmax*teilz,*ofs,' x'); text(tmax*teilz,*ofs,' ');text(tmax*teilz,*ofs,' x'); text(tmax*teilz,*ofs,' x'); S=['bild ',numstr(bild+)]; S=[', dt=',numstr(dt)]; S=[', vstart= [',numstr(v,),']']; S=[', teilz=',numstr(teilz)]; tit=[s,s,s,s]; title(tit);xlabel('sec') disp(' Das war Zeitbereich der Auslenkungen. Anschließend Spektren. Taste!'); pause; % Spektren: tic han=; if han== han=hanning(np); % Man beachte, dass die Hanningfunktion han ein Spaltenvektor ist, % drum die Verwendung der Transponierten han xph=xp.*han'; xph=xp.*han'; ph=p.*han'; xph=xp.*han'; ph=p.*han'; spx=fft(xph)/np; spx=fft(xph)/np; sp=fft(ph)/np; spx=fft(xph)/np; sp=fft(ph)/np; RZFreq= toc; % Rechenzeit Spektren, kann lang werden, df=/tmax; % Frequenzschrittweite Lsp=length(spx); Lpsp=floor(Lsp*teilFr); % Plotlänge der Spektren freq=:df:df*(lpsp-); pspx=abs(spx(:lpsp)); pspx=abs(spx(:lpsp)); psp=abs(sp(:lpsp)); pspx=abs(spx(:lpsp)); psp=abs(sp(:lpsp)); if sub > figure(bild); subplot(,,); else figure(bild+);clf;

8 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. 8/9 fofs=.; % Offset für Plotten der Spektren plot(freq,pspx+*fofs, freq,pspx+*fofs, freq,psp+*fofs,... freq,pspx+*fofs, freq,psp+*fofs); grid on; text(max(freq),*fofs,' x'); text(max(freq),*fofs,' x'); text(max(freq),*fofs,' '); text(max(freq),*fofs,' x'); text(max(freq),*fofs,' '); S=['bild ',numstr(bild)]; S=[', dt=',numstr(dt)]; %S=[', vstart=',numstr(v)]; S=[', vstart= [',numstr(v,),']']; S=[', N_=',numstr(N_)]; S=[', teilfr=',numstr(teilfr)]; tit=[s,s,s,s,s]; title(tit);xlabel('hz') ylabel('beträge der Spektren'); axis([,max(freq), -.*fofs,.*fofs]); % % Maximum-Suche im Betragsspektrum von x. % Daraus die Eigenfrequenzen und die Modalformen nr=; % nr der gefundenen Frequenz schwelle = e-; %e-; % e-6; for k=: length(pspx)-; % Suchprinzip: das Maximum ist größer als der Vorgänger und größer als der Nachfolger uralt=pspx(k-); % Vorgänger alt=pspx(k); % aktueller Wert neu=pspx(k+); % Nachfolger if (alt > uralt) & (alt > neu)& (alt > schwelle), nr=nr+; Fr(nr)=freq(k);wert(nr)=alt; wert(nr)= pspx(k); wi(nr)= angle( spx(k) /spx(k)); % wi = Winkel vom Quotienten der Spekten wert(nr)= psp(k); wi(nr)= angle( sp(k) /spx(k)); wert(nr)= pspx(k); wi(nr)= angle( spx(k) /spx(k)); wert(nr)= psp(k); wi(nr)= angle( sp(k) /spx(k)); wat= [Fr;wert]; % wi = Matrix der Winkelwerte, bezogen auf x wi=[zeros(,length(wi)); wi; wi; wi; wi]; % im Spektrum x die gefundenen Maxima als Kreise malen: hold on; plot(fr,wert+*fofs,'o'); % geht OK % Für die gefundenen Frequenzen die Quotienten der % Amplituden /Amplitude vom Spektrum x: Fr; % Evt. Ausgabe der gefundenen Spektralfrequenzen Fr Tab=[wert;wert;wert;wert;wert]; %Tab = Matrix der Spektralamplituden siztab=size(tab); % Maximalwerte jeder Spalte suchen-> Matrix maxi: for k=: length(fr), maxi(k)=max(tab(:,k)); maxi; % Ev. auf Bildschirm % Die Spalten normieren auf den Betrag des Maximalwerts jeder Spalte: for sp=: length(maxi) for zeil=: length(tab), Normi(zeil,sp)= Tab(zeil,sp)/maxi(sp);

9 C:\ro\Si\didaktik\matlab\Modal\Fedmas_Eig_und_Zeit.doc, S. 9/9 Normi; % OK, fehlt noch das Vorzeichen % Vorzeichen finden: VORZ=ones(length(Tab),length(maxi)); % Einheits-Matrix for sp=:length(maxi), for zeil=:length(tab), % Wenn Winkel > pi/, dann "gegenphasig", drum Vorzeichen -. if (abs(wi(zeil,sp)) > pi/); VORZ(zeil,sp)= -; VORZ; % Vorzeichenrichtige genormte Tabelle: Tab= Normi.*VORZ; % Elementweise Multiplikation! Tabges=[Fr;Tab] % Erste Zeile = Frequenzvektor (der gefundenen Frequenzen) % zum Vergleich mit der Eigenwert-Tabelle Modges, % Rechenzeiten auf Bildschirm: RZ, RZFreq % Ende Datei Nmasket.m