Diskrete Mathematik. Anusch Taraz

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1 Diskrete Mathematik Anusch Taraz 15. Januar 2009

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3 Inhaltsverzeichnis I Grundlagen 5 1 Mengen und Mengenoperationen Vollständige Induktion Relationen und Funktionen II Zählen 15 4 Elementares Zählen Teilmengen und Partitionen zählen Erzeugende Funktionen III Relationale Strukturen 35 7 Graphen Exkurs: Diskrete Optimierung Euler Touren und Hamilton Kreise Matchings Färbungen planarer Graphen Partielle Ordnungen IV Konstruierte Regularität Endliche projektive Ebenen Codierungstheorie V Ramseytheorie Satz von Ramsey Konvexe Polygone Arithmetische Progressionen VI Probabilistische Methoden Grundlagen und Ramseyzahlen Graphen ohne kurze Kreise Dreiecke

4 4 Inhaltsverzeichnis VIIAlgebraische Methoden Zyklenraum Intersecting families Färbungen des R n

5 Kapitel I Grundlagen Wir werden in diesem Kapitel die grundlegende Terminologie festlegen und an einigen Beispielen veranschaulichen. 1 Mengen und Mengenoperationen Wir gehen in dieser Vorlesung davon aus, dass Sie mit dem abstrakten Begriff einer Menge bereits intuitiv vertraut sind. Wir beschreiben eine Menge M hier entweder durch die explizite Angabe aller ihrer Elemente, also zum Beispiel M = {1, 4, 9}, oder in dem wir eine Bildungsvorschrift nennen, also zum Beispiel: M sei die Menge der Quadratzahlen zwischen 1 und 10. Um solche Beschreibungen möglichst kurz und trotzdem präzise zu halten, führen wir die Abkürzungen ( für alle ) und ( es existiert ) ein, sowie den Doppelpunkt : innerhalb einer Mengenklammer, der für den Ausdruck für die gilt steht. Also, noch einmal zurück zu unserem Beispiel: M = {x : 1 x 10 und eine natürliche Zahl y mit x = y 2 }. Die leere Menge bezeichnen wir mit. Bei unendlichen Mengen greifen wir auch manchmal auf die Pünktchenschreibweise zurück und vertrauen darauf, dass damit die Bildungsvorschrift implizit klar ist. So wird beispielsweise die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null mit N = {1, 2, 3,... } bezeichnet, die Menge der natürlichen Zahlen mit Null mit N 0 := N {0}. Weitere wichtige Zahlenräume bezeichnen wir wie folgt: Z, die Menge der ganzen Zahlen, Q, die Menge der rationalen Zahlen,

6 6 Kapitel I. Grundlagen R, die Menge der reellen Zahlen. Wenn n N, dann setzen wir [n] := {1, 2,..., n}. Unsere obige Menge M könnten wir also noch knapper schreiben als M = {y 2 : y [3]}. Wenn x R, dann definieren wir x als die größte ganze Zahl n mit n x; und analog x als die kleinste ganze Zahl n mit n x. Unter der Kardinalität einer beliebigen Menge M versteht man die Anzahl der Elemente von M. Sie wird mit M bezeichnet. Zwei ebenfalls sehr geläufige Abkürzungen bezeichnen die Summe und das Produkt von mehreren Termen. Zu a 1,..., a n R bezeichnen wir mit n a i := a a n i=1 bzw. n a i := a 1... a n i=1 die Summe bzw. das Produkt dieser Zahlen. Ausgehend von einer oder mehreren Mengen lassen sich weitere Mengen konstruieren. Sei k N. Das kartesische Produkt von Mengen M 1,..., M k ist eine Menge, deren Elemente aus sogenannten Tupeln der Elemente der einzelnen Mengen besteht: M 1 M k := {(x 1,..., x k ) : x i M i i [k]}. Das geht natürlich auch, wenn die Mengen M i untereinander gleich sind. In diesem Spezialfall schreiben wir für eine Menge M: M k := M M }{{} k mal = {(x 1,..., x k ) : x i M i [k]}. Im Gegensatz dazu bezeichnen wir mit ( ) M k die Menge der k-elementigen Teilmengen von M: ( ) M := {S : S M, S = k} k Der Unterschied zwischen den beiden Konstruktionen besteht also darin, dass die Elemente von M k Folgen von Elementen aus M sind, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt und bei denen ein Element aus M auch mehrfach auftreten kann, während die Elemente von ( ) M k (ungeordnete) Mengen sind, die k verschiedene Elemente aus M enthalten müssen. Wenn man alle (also nicht nur die k-elementigen) Teilmengen von M in einer Menge zusammenfassen möchte, dann spricht man von der Potenzmenge P(M): P(M) := {S : S M} Man beachte, dass insbesondere die Menge und die Menge M Elemente von P(M) sind.

7 2. Vollständige Induktion 7 ( Beispiel. R 2 ist die Menge aller 2-Tupel (d.h. geordnete Paare) von reellen Zahlen, R ) 2 besteht aus allen zweielementigen Mengen reeller Zahlen. Insbesondere gilt beispielsweise: (7, 7) R 2 und (7, 8) (8, 7); hingegen ist {7, 7} = {7} ( ) R 2 und {7, 8} = {8, 7}. Ein Beispiel zur Potenzmenge: Wenn M = {0, 1}, dann ist P(M) = {, {0}, {1}, {0, 1}}. Zwei weitere geläufige abkürzende Schreibweisen befassen sich mit der Vereinigung und der Schnittmenge von mehreren Mengen M 1,..., M k. Wir setzen k M i := M 1 M k und i=1 k M i := M 1 M k. Schließlich sagen wir, dass die Mengen M 1,..., M k eine Partition von M bilden, wenn k M = M i und M i M j = für alle i j [k] i=1 gilt. In diesem Fall schreiben wir M = k i=1 M i = M 1... Mk. Offensichtlich gilt dann M = k i=1 M i. Beispiel. Es sei M eine Menge mit M = n Elementen. Wir können die Teilmengen von M, also die Mitglieder der Potenzmenge P(M), nach der Anzahl ihrer Elemente gruppieren: erst die Teilmengen mit null Elementen, dann die mit einem Element, dann die mit zwei, zuletzt die mit n. Offensichtlich gehört jede Teilmenge in genau eine dieser Kategorien und wir erhalten n P(M) = 2 Vollständige Induktion i=0 i=1 ( ) M k Die Beweismethode der vollständigen Induktion ist ein wichtiges Werkzeug, um Aussagen zu beweisen, die für alle natürlichen Zahlen n gelten sollen. Sei A(n) eine solche Aussage. Dann überprüfen wir zunächst ob A(1), also die Aussage für n = 1, stimmt (Induktionsanfang). Nun sei k N beliebig und wir nehmen an, dass die Aussage A(k) wahr ist (Induktionsannahme). Wenn es uns dann gelingt, daraus zu folgern, dass auch die Aussage A(k + 1) stimmt, haben wir die Aussage A(n) für alle n N gezeigt (Induktionsschritt). Drei einfache Beispiele folgen. Beispiel. Für jede natürliche Zahl n gilt die folgende Aussage: A(n) : Die Zahl 2 2n 1 ist durch 3 teilbar. (2.1) Beweis. durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang: Für n = 1 ist 2 2n 1 = = 3 durch 3 teilbar, also stimmt

8 8 Kapitel I. Grundlagen die Aussage A(1). Induktionsannahme: Sei k N beliebig. Wir nehmen an, dass die Aussage A(k) wahr ist, dass also 2 2k 1 durch 3 teilbar ist. Induktionsschritt: Für n = k+1 lautet die Aussage A(k+1), dass 2 2(k+1) 1 durch 3 teilbar ist und das müssen wir jetzt zeigen. Dabei dürfen wir uns auf unser in der Induktionsannahme formuliertes Wissen berufen, und daher formen wir den Ausdruck 2 2(k+1) 1 so lange um, bis wir, irgendwo in ihm versteckt, den alten Ausdruck 2 2k 1 wieder finden: 2 2(k+1) 1 = 2 2k+2 1 = 4 2 2k 1 = 4(2 2k 1) + 3. Dem letzten Ausdruck können wir nun ganz leicht ansehen, dass er durch 3 teilbar ist: Nach Induktionsannahme ist (2 2k 1) durch 3 teilbar, also ist auch 4(2 2k 1) durch 3 teilbar, und also ist auch 4(2 2k 1) + 3 durch 3 teilbar. Damit ist unser Induktionsbeweis abgeschlossen. Unser nächstes Beispiel befasst sich mit einer Folge von natürlichen Zahlen, die durch eine rekursive Definition gegeben ist, und für die wir eine explizite Formel beweisen wollen. Beispiel. Wir betrachten die Die Folge a 0, a 1, a 2,... sei gegeben durch den Startwert a 0 := 2 und die Rekursion a n := 3a n für alle n N. Dadurch folgt beispielsweise, dass a 1 = 3a = = 7, a 2 = 3a = = 22, usw. Behauptung: Für jede Zahl n N 0 gilt die folgende Aussage: A(n) : a n = 1 2 (5 3n 1). (2.2) Beweis. durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang: Für n = 0 ist a 0 = 2 und 1 2 (5 30 1) = 1 2 (5 1) = 2, also stimmt die Aussage A(0). Induktionsannahme: Sei k N 0 beliebig. Wir nehmen an, dass die Aussage A(k) wahr ist. Induktionsschritt: Für n = k + 1 müssen wir zeigen, dass a k+1 = 1 2 (5 3k+1 1). Mit Hilfe der rekursiven Definition und der Induktionsannahme A(k) sehen wir, dass ( ) 1 a k+1 = 3a k + 1 = 3 2 (5 3k 1) + 1 = 1 2 (5 3k+1 3) + 1 = 1 2 (5 3k+1 1), was zu zeigen war. Nächstes Beispiel: Beispiel. Sei M eine Menge mit n := M N 0. Dann gilt: A(n) : P(M) = 2 n. (2.3)

9 3. Relationen und Funktionen 9 Beweis. durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang: liegt diesmal bereits bei n = 0. Die einzige Menge M mit M = 0 ist M =. Also ist P(M) = { } und somit beträgt die linke Seite in (2.3) genau 1. Die rechte Seite ist 2 0 = 1, also stimmt die Aussage A(0). Induktionsannahme: Sei k N beliebig. Wir nehmen an, dass die Aussage A(k) wahr ist. Induktionsschritt: Sei M eine Menge mit M = n = k+1. Wir wählen ein Element x aus M beliebig aus und betrachten die Menge M := M \ {x}. Der Hintergedanke ist natürlich, dass jetzt M = k ist und wir die Induktionsannahme auf M anwenden können. Wir partitionieren die Potenzmenge von M in zwei Teile: P(M) = {S : S { M} { = S : S S : S M, } S M { M} { = S : S S {x} : S M}. (2.4) Nach A(k) gilt, dass P( M) = 2 k. Somit haben die beiden in (2.4) genannten Mengen jeweils 2 k Elemente, und insgesamt folgt P(M) = 2 k + 2 k = 2 k+1, was mit der rechten Seite von (2.3) für den Fall n = k + 1 übereinstimmt. Ein paar Bemerkungen noch: 1) Der Induktionsanfang muss immer die Aussage A(n) für die kleinste Zahl n überprüfen, für die die Aussage geltend gemacht wird. 2) Es ist auch zulässig, wenn man im Induktionsschritt nicht nur auf die Korrektheit von A(k) alleine zurückgreift, sondern auf die von allen A(1),..., A(k). 3) Will man sich im Induktionsschritt immer auf beide vorangegangenen Aussagen A(k 1) und A(k) berufen, dann müssen beim Induktionsanfang auch die Aussagen A(n) für die ersten beiden Zahlen n (für die die Aussage gelten soll) überprüft werden. 3 Relationen und Funktionen Definition. Sei k N mit k 2. Eine k-stellige Relation über den Mengen A 1,..., A k ist eine Teilmenge R A 1 A k. In dem Spezialfall R M M spricht man auch von einer Relation über der Menge M. Eine zweistellige Relation nennt man auch binäre Relation, und im Folgenden werden wir uns fast nur mit binären Relationen befassen. Eine binäre Relation R M M heißt reflexiv, wenn für alle a M gilt: (a, a) R, irreflexiv, wenn für alle a M gilt: (a, a) R, symmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R, dann (b, a) R,

10 10 Kapitel I. Grundlagen asymmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R, dann (b, a) R, antisymmetrisch, wenn für alle a, b M gilt: wenn (a, b) R und (b, a) R, dann a = b, transitiv, wenn für alle a, b, c M gilt: wenn (a, b) R und (b, c) R, dann (a, c) R. Man schreibt oft abkürzend arb oder a R b für (a, b) R und sagt, dass a und b zu einander in Relation stehen. Beispiel. a) Die Relation R teilt N N, die wir durch R teilt := {(a, b) : a ist Teiler von b} definieren, ist reflexiv, antisymmetrisch, und transitiv. b) Die Relation R kleiner R R, die wir durch R kleiner := {(a, b) : a < b} definieren, ist irreflexiv, asymmetrisch, und transitiv. c) Die Relation R nix Z Z, die wir durch R nix := {(1, 1), (1, 2), (2, 1)(1, 3)} definieren, hat keine der gerade definierten Eigenschaften. Relationen, die besondere Eigenschaften haben, haben sich besondere Bezeichnungen verdient. So wird beispielsweise eine irreflexive, symmetrische Relation als Graph bezeichnet, eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation als partielle Ordnung, und eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man auch Äquivalenzrelation. Definition. Wenn R eine Äquivalenzrelation über M ist und (a, b) R ist, dann sagt man auch, dass a und b äquivalent sind. Die Menge aller Elemente aus M, die zu a äquivalent sind, und heißt Äquivalenzklasse von a und wird mit [a] R := {b M : (a, b) R} bezeichnet. Die Menge der Äquivalenzklassen heißt Quotientenmenge und wird mit M/ R := {[a] R : a M} bezeichnet. Für eine Quotientenmenge sind sozusagen einander äquivalente Elemente gleich und bilden gemeinsam ein einziges Element.

11 3. Relationen und Funktionen 11 Beispiel. Wir definieren die folgende Relation R Z Z: für enthalte R genau die Paare (a, b), bei denen a und b bei Division durch 5 den gleichen Rest lassen. Etwas formaler sagen wir: R = {(a, b) : n a, n b Z r {0, 1, 2, 3, 4} mit a = 5n a + r und b = 5n b + r}. Beispielsweise ist ( 4, 11) R, denn sowohl 4 = ( 1) und 11 = lassen sich als ganzzahliges Vielfaches von 5 plus 1 schreiben. Man überprüft leicht, dass R eine Äquivalenzrelation ist. Die Äquivalenzklasse von 3, beispielswiese, ist gegeben durch [3] R = {..., 7, 2, 3, 8,... }, und allgemeiner gilt für eine Zahl k Z und damit [k] R = {k + 5n : n Z} = {..., k 10, k 5, k, k + 5, k + 10,... } Z/ R := {[0] R, [1] R, [2] R, [3] R, [4] R } Natürlich hat nicht jede Relation nur endlich viele Äquivalenzklassen. Aber es ist immer wahr, dass zwei Äquivalenzklassen entweder disjunkt oder identisch sind: Satz. Sei R eine Äquivalenzrelation über der Menge M. Dann bilden die Äquivalenzklassen eine Partition von M. Etwas genauer: Für zwei beliebige Elemente a, b M gilt: [a] R [b] R [a] R = [b] R (a, b) R. Beweis. Wir bezeichnen die drei obigen Bedingungen mit (i), (ii) und (iii). (i) (iii): Sei c [a] R [b] R. Dann ist (a, c) R und (b, c) R, wegen Symmetrie also auch (c, b) R, und daher wegen Transitivität (a, b) R. (iii) (ii): Sei c M ein beliebiges Element mit c [a] R, d.h. (a, c) R. Wegen (iii) und Symmetrie gilt, dass (b, a) R, also durch Transitivität auch (b, c) R, also c [b] R. Damit ist [a] R [b] R gezeigt, die umgekehrte Inklusion geht komplett analog. (ii) (i): klar, denn wegen der Reflexivität gilt (a, a) R und somit a [a] R = [b] R. Mit Hilfe von Relationen können wir nun noch Funktionen einführen. Definition. Sei f A B eine binäre Relation mit der Eigenschaft, dass jedem Element a A durch f genau ein Element b B zugeordnet wird, d.h. dass a A : {b B : (a, b) f} = 1 gilt. In diesem Fall nennt man f eine Abbildung oder Funktion. Sei f nun eine Funktion. Um den Zuordnungscharakter auszudrücken schreibt man auch f : A B und f : a b und nennt zu jedem a A das eindeutige Element f(a) := b B mit (a, b) f

12 12 Kapitel I. Grundlagen das Bild von a unter f. Das Urbild von b B ist definiert als f 1 (b) := {a A : f(a) = b} A und muss nicht notwendigerweise aus genau einem Element bestehen (kann übrigens auch leer sein). Analog definiert man auch Bild bzw. Urbild einer Menge X A bzw. Y B durch f(x) := {f(a)} B und f 1 (Y ) := f 1 (b) A. a X Eine Funktion f : A B heißt injektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) 1, surjektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) 1, bijektiv, wenn für alle b B gilt: f 1 (b) = 1. Beispiel. Sei R 0 := {x R : x 0}. Die Funktion f 1 : R R mit f 1 : x x 2 ist weder injektiv noch surjektiv, f 2 : R 0 R mit f 2 : x x 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv, f 3 : R R 0 mit f 3 : x x 2 ist nicht injektiv, aber surjektiv, f 4 : R 0 R 0 mit f 4 : x x 2 ist injektiv und surjektiv. Lemma 3.1. Es seien A und B nicht-leere, endliche Mengen und f : A B eine Funktion. Dann gilt: a) Wenn f bijektiv, dann A = B. b) Wenn A = B, dann gilt: b Y f injektiv f surjektiv f bijektiv. Beweis. a) Es gilt immer, dass A = b B f 1 (b). Da für b b die Mengen f 1 (b) und f 1 (b ) disjunkt sind, haben wir A = b B f 1 (b). (3.5) Wegen der Bijektivität ist f 1 (b) = 1 für alle b B, und daraus folgt A = B. b) Zu zeigen ist, dass unter der Voraussetzung A = B aus Injektivität oder aus Surjektivität bereits Bijektivität folgt. Wir betrachten wieder die Gleichung (3.5): B = A = b B f 1 (b), (3.6) im Durchschnitt sind also die Summanden gleich 1. Wenn f injektiv ist, dann sind nach Definition alle Summanden höchstens 1, und damit wegen (3.6) auch genau 1, also ist f bijektiv. Und analog gilt: Wenn f surjektiv ist, dann sind nach Definition alle Summanden mindestens 1, und damit wegen (3.6) auch genau 1, also ist f wiederum bijektiv.

13 3. Relationen und Funktionen 13 Ausblick 1: Im nächsten Kapitel werden wir diese einfache Proposition manchmal benutzen und die Kardinalität einer Menge A dadurch bestimmen, dass wir eine Bijektion in eine Menge B angeben, deren Kardinalität wir schon kennen oder einfach berechnen können. Ausblick 2: Im Unendlichen sehen die Dinge etwas anders aus. Es gibt beispielsweise Bijektionen f : N Z (z. Bsp. n ( 1) n n/2 ) oder f : N Q. Mengen M für die es eine surjektive Funktion f : N M gilt, heißen abzählbar. Gibt es eine Bijektion f : N R? Übungsaufgaben 1. Zeigen Sie: Wenn R eine asymmetrische binäre Relation auf M ist, dann ist M auch antisymmetrisch. 2. Zeigen Sie: Sei R eine binäre Relation über M und (a, a) R. Dann kann R nicht asymmetrisch sein. Literaturhinweise zu Kapitel I Weiteres Material zu Mengen, Mengenoperationen, Relationen und vollständiger Induktion findet sich beispielsweise bei [MN] in Kapitel 1.2 bis 1.6 oder bei [S] in Kapitel 0.1 bis 0.3.

14 14 Kapitel I. Grundlagen

15 Kapitel II Zählen 4 Elementares Zählen Wir versammeln (und benennen) hier fünf einfache Zählprinzipien, von denen die meisten so offensichtlich sind, das sie keinen Beweis benötigen. Summenregel. Wenn M 1,..., M k endliche Mengen sind, und wenn M = M 1... Mk, dann M = M M k = k M i. (4.1) Hierbei ist es natürlich essentiell, dass die Mengen M i paarweise disjunkt sind, andernfalls würden gemeinsame Elemente mehrfach gezählt - ist das der Fall, dann muss man die Formel für Inklusion-Exklusion (siehe Satz 4.1) benutzen. Die Summenformel haben wir schon mehrfach (heimlich) benutzt, so zum Beispiel in der Herleitung von (3.5). Produktregel. Wenn M 1,..., M k endliche Mengen sind, und wenn M = M 1 M k, dann M = M 1 M k = i=1 k M i. (4.2) Anders als bei der Summenregel müssen die Mengen M i hier nicht disjunkt sein. Stattdessen ist es bei der Produktregel wichtig, dass die Entscheidungen welches Element wähle ich aus M i? unabhängig voneinander sind: die Tatsache, dass ich mich für x i M i entschieden habe, darf mich nicht bei der Wahl des x j M j für j i einschränken. Ein Beispiel: Beispiel. Wir ermitteln die Kardinalität der Menge M von Autokennzeichen der Form K XY abcd, wobei K fixiert ist, X, Y Buchstaben aus einem 26-elementigen Alphabet und a, b, c, d Ziffern von 0 bis 9 sind, also M = {K} {A,..., Z} {A,..., Z} {0,..., 9} {0,..., 9} {0,..., 9} {0,..., 9}. i=1

16 16 Kapitel II. Zählen Dementsprechend gibt es M = = verschiedene Kennzeichen. Zählen durch Bijektion. Wenn A und B zwei endliche Mengen, und wenn f : A B eine Bijektion ist, dann A = B. (4.3) Diese Aussage haben wir bereits in Lemma 3.1 a) bewiesen. Hier geben wir ein kleines Anwendungsbeispiel: Beispiel. Es sei M := {m 1,..., m n } eine Menge mit n N 0 Elementen. Wir suchen nach einem Bijektionsbeweis dafür, dass P(M) = 2 n ist (was wir ja auf Seite?? bereits durch Induktion bewiesen haben). Dazu betrachten wir die folgende Funktion f : P(M) {0, 1} n, die jeder Teilmenge S M = {m 1,..., m n } ein n-tupel (x 1,..., x n ) wie folgt zuordnet: { 0 wenn m i S f(s) := (x 1,..., x n ) mit x i := für alle i [n]. 1 wenn m i S Beispielsweise gilt für M := {2, 3, 5} und S := {2, 5}, dass f(s) = (1, 0, 1). Das n-tupel f(s) nennt man auch charakteristischen Vektor von S. Man überprüft leicht, dass f eine Bijektion ist. Damit folgt P(M) (4.3) = {0, 1} n (4.2) = {0, 1} n = 2 n. Die folgende Aussage betrachtet eine binäre Relation R A B und zählt die Elemente in R einmal von A aus gesehen und einmal von B aus gesehen. Doppeltes Abzählen. Es sei R A B eine binäre Relation. Dann gilt {b B : (a, b) R} = R = {a A : (a, b) R}. (4.4) a A b B Diese Regel ergibt sich natürlich sofort aus der Summenregel, wenn man sie auf die Partition a A {(a, b) R : b B} = R = b B {(a, b) R : a A}. anwendet. Trotzdem ist es nützlich, sie für spätere Anwendungen in Form von (4.4) zu konservieren. Wir wollen dies gleich an den zwei folgenden Beispielen ausprobieren. Beispiel. Wir betrachten eine Menge G von Gartenzäunen, die eine Menge B von Blumenbeeten erzeugt. Die Gartenzäune sind Strecken in der Ebene, die sich nicht überkreuzen dürfen, und ein Blumenbeet ist ein Gebiet, das vollständig von Gartenzäunen begrenzt ist - siehe Abbildung??. Wir behaupten: 2 3 G B.

17 4. Elementares Zählen 17 Bild Dazu betrachten wir die Relation R G B, die durch R := {(g, b) : g begrenzt b} definiert ist. Offensichtlich kann jeder Gartenzaun höchstens zwei Blumenbeete begrenzen, und jedes Blumenbeet braucht mindetens drei begrenzende Gartenzäune. Mit anderen Worten: g G : {b B : (g, b) R} 2 und b B : {g G : (g, b) R} 3. Damit ergibt sich 2 G g G {b B : (g, b) R} (4.4) = {g G : (g, b) R} 3 B, b B was zu zeigen war. Obige Abschätzung werden wir später in Abschnitt?? noch benutzen. Hier ist noch ein weiteres Bespiel für die Verwendung des doppelten Abzählens, das wir [A] entliehen haben. Beispiel. Wir definieren eine Relation R [n] [n] durch (i, j) R genau dann, wenn i ein Teiler von j ist. Außerdem sei t(j) die Anzahl von Teilern von j, und t(n) die durchschnittliche Anzahl von Teilern, also: t(j) := {i [n] : (i, j) R} und t(n) := 1 n n t(j). Die Funktion t(j) scheint sehr ungleichmäßig zu sein, und entsprechend sieht es nicht ganz leicht aus, t(n) zu bestimmen. Setzen wir hingegen s(i) := {j [n] : (i, j) R}, dann zählen wir damit zu gegebenem i die Zahlen aus [n], die i als Teiler enthalten, also die Vielfachen von i, und davon gibt es genau n/i viele. Somit gilt: t(n) = 1 n = 1 n n t(j) = 1 n j=1 n s(i) = 1 n i=1 n j=1 {i [n] : (i, j) R} (4.4) = 1 n n n/i. i=1 j=1 n {j [n] : (i, j) R} i=1 (4.5) Wir versuchen jetzt, die Abrundungsklammern. los zu werden: es gilt, dass (n/i) 1 < n/i n/i, und daher folgt aus (4.5), dass n (1/i) 1 = 1 n i=1 n (n/i) 1 = 1 n i=1 n ((n/i) 1) < t(n) 1 n i=1 n (n/i) = i=1 n (1/i) i=1 (4.6)

18 18 Kapitel II. Zählen Die Summe n i=1 (1/i) wird auch als n-te harmonische Zahl bezeichnet, und man kann mit elementaren Mitteln zeigen, dass n ln(n) + 1 ln(2) (1/i) ln(n) + 1. (4.7) i=1 Kombiniert man nun (4.6) und (4.7), dann ergibt sich ln(n) ln(2) t(n) ln(n) + 1 Inklusion Exklusion. Wir haben bereits die Summenregel kennengelernt, deren Anwendung aber voraussetzt, dass die beteiligten Mengen paarweise disjunkt sein müssen. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, müssen wir genauer rechnen. Für den Spezialfall von zwei Mengen gilt beispielsweise offensichtlich, dass M 1 M 2 = M 1 + M 2 M 1 M 2, weil wir die Elemente in der Schnittmenge doppelt gezählt haben und daher wieder abziehen müssen. Für drei Mengen gilt M 1 M 2 M 3 = M 1 + M 2 + M 3 M 1 M 2 M 1 M 3 M 2 M 3 + M 1 M 2 M 3, (4.8) weil wir die Elemente im Schnitt aller drei Mengen erst dreimal gezählt haben, dann wieder dreimal abgezogen haben, also noch einmal hinzuzählen müssen. Bild Im Allgemeinen gilt die folgende Formel: Satz 4.1. Für endliche Mengen M 1,..., M n gilt: n M i = i=1 n (( 1) r 1 r=1 1 i 1< <i r n r j=1 ) M ij. (4.9) Die innere Summe läuft dabei über alle r-tupel (i 1,..., i r ) mit 1 i 1 < < i r n und legt damit fest, über welche M ij die Schnittmenge gebildet werden soll. Der Beweis lässt sich zum Beispiel durch vollständige Induktion über n führen, ist wegen des involvierten Indexgeschachers aber etwas aufwändig (wenn auch nicht schwierig) und wird daher zunächst vertagt. Statt dessen überprüfen wir kurz, dass im Fall n = 3 die drei Summanden für r = 1, 2, 3 der rechten Seite

19 5. Teilmengen und Partitionen zählen 19 von (4.9) mit den Summanden aus (4.8) übereinstimmen ( 1) 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) i i 1<i i 1<i 2<i M ij = j=1 2 M ij = j=1 1 i 1 3 M i1 1 i 1<i M ij = M 1 M 2 M 3. j=1 5 Teilmengen und Partitionen zählen M i1 M i2 Wir wollen in diesem Abschnitt zählen, auf wieviele verschiedene Weisen man aus einer Menge eine Teilmenge auswählen kann. Ein einfaches Beispiel für diese Aufgabenstellung ist das Ziehen von k Lotto-Zahlen aus einer Menge von n verschiedenen möglichen Zahlen ( 6 aus 49 ). Dabei müssen wir festlegen, ob es auf die Reihenfolge ankommt, und ob Zahlen, nachdem sie gezogen wurden, noch einmal gezogen werden können (Auswahl mit oder ohne Zurücklegen). Alle diese Fälle werden in den zwei folgenden Sätzen behandelt. Satz 5.1. Seien n, k N 0 und M eine Menge mit M = n. a) Geordnet, mit Zurücklegen: Für die Menge M k = {(c 1,..., c k ) : c i M i [k]} gilt, dass M k = n k. b) Geordnet, ohne Zurücklegen: Für die Menge M k := {(c 1,..., c k ) : c i M i [k], c i c j i j [k]} gilt: M k = n (n 1)... (n k + 1) =: n k Die Funktion x x k für x R und k N 0 nennt man auch fallende Faktorielle. Die Spezialfälle lauten: x 0 = 1 für alle x R und n n = n (n 1) 1 =: n!, nennt man Fakultät. Insbesondere zählt n! die Anzahl von möglichen Reihenfolgen von n verschiedenen Elementen. c) Ungeordnet, ohne Zurücklegen: Für die Menge ( ) M = {{c 1,..., c k } : c i M i [k], c i c j i j [k]} k gilt: ( M k ) = nk k! =: ( ) n. k

20 20 Kapitel II. Zählen Beweis. Die Aussage in a) folgt direkt aus der Produktregel. Auch die für b) behauptete Kardinalitätsaussage ist intuitiv einsichtig, denn für die Auswahl von c 1 haben wir n Möglichkeiten, für die von c 2 dann n 1 Möglichkeiten, usw. Allerdings lässt sich dieser Ansatz nicht unmittelbar mit der Produktregel formalisieren, denn die Menge, aus der wir das Element c 2 auswählen, ist eben abhängig von dem Element c 1. Für einen formalen Beweis der Aussage in b) verweisen wir daher auf Aufgabe 1. Um die Formel in Aussage c) zu beweisen, wählen wir zunächst ein k-tupel aus M k und machen daraus eine k-elementige Teilmenge, im dem wir die Reihenfolge der k Elemente vergessen. Formal betrachten wir eine Funktion f : M k ( ) M k, die einem k-tupel (c1,..., c k ) M k die zugrundeliegende Menge {c 1,..., c k } ( ) M k zuordnet. Es gilt: n k = M k = ( ) f 1 (T ) = M k! k T ( M k ) und daraus folgt die behauptete Formel. Es fehlt nun noch der Fall, bei dem wir ungeordnete Elemente eventuell mehrfach auswählen. Offensichtlich können wir das daher weder durch ein k-tupel noch durch eine Teilmenge modellieren, sondern wir benötigen einen neuen Objekt- Typ, und zwar den der Muttimenge. Dazu zunächst ein kleines Beispiel: Sei M := {a, b, c, d, e}. Die Multimenge T := {c, a, b, a, c, c, e} soll beispielsweise mit der Multimenge {a, a, b, c, c, c, e} identisch sein soll, weil die Reihenfolge der Elemente irrelevant ist, sich aber von der Multimenge {a, b, c, e} unterscheiden, weil es darauf ankommt, wie oft ein Element aus M in T enthalten ist. Formal definieren wir eine Multimenge durch Angabe der Grundmenge M und eine Funktion ϕ, die zu jedem Element aus M aussagt, wie oft es in der Multimenge enthalten sein soll, also ϕ(a) = 2, ϕ(b) = 1, ϕ(c) = 3, ϕ(d) = 0 und ϕ(e) = 1 in obigem Beispiel. Die Kardinalität der Multimenge ist dann gegeben durch m M ϕ(m). Satz 5.2 (Ungeordnet, mit Zurücklegen). Seien n, k N 0 und M eine Menge mit M = n. Für die Menge der k-elementigen Multimengen über M, bezeichnet mit M := k { (M, ϕ) : ϕ : M N 0 mit m M ϕ(m) = k }, gilt, dass ( ) M n + k 1 = =: k k n. k

21 5. Teilmengen und Partitionen zählen 21 Beweis. Um die Kardinalität von M k zu bestimmen, kodieren wir die Multimengen in M k wie folgt. Sei Y die Menge aller Folgen der Länge n + k 1, die genau k mal das Zeichen und genau n 1 mal das Zeichen verwenden. Die Abbildung f : M k Y ordnet einer Multimenge T = (M, φ) M k die Folge }.. {{. } }.. {{. } }.. {{. } ϕ(m 1)mal ϕ(m 2)mal ϕ(m n)mal aus Y zu. Die Multimenge {a, a, b, c, c, c, e} beispielsweise wird also durch f auf das Wort abgebildet. Man kann leicht überprüfen, dass f eine Bijektion ist. Wir können uns also dank des Zählens durch Bijektion darauf zurückziehen, die Anzahl der Elemente in Y zu bestimmen, und das ist einfach: wir wählen (ungeordnet, ohne Zurücklegen) die k Positionen für die Zeichen aus den n+k 1 Positionen in der Folge aus. Dafür gibt es gemäß c) genau ( ) n+k 1 Möglichkeiten. Somit gilt: M k (4.3) = Y = ( n + k 1 k ). k Dazu noch ein paar Bemerkungen. Wenn M eine Menge und n eine Zahl ist, dann bezeichnen die Ausdrücke M k, M k, ( ) M k und M k also Mengen, während die Ausdrücke n k, n k, ( n k) und n k Zahlen darstellen. In den Fällen b) und c) muss zwingend k n sein, bei a) und d) ist das nicht notwendig. Wir listen einige nützliche Eigenschaften dieser Zählfunktionen auf. Lemma 5.3. Es seien m, n, k N 0 mit k n und k m. Ferner seien x, y R. Dann gelten: a) ( ) n k = n! k!(n k)!. b) ( ) ( n k = n. c) ( ) ( n 1 k 1 + n 1 ) ( k = n ) k für n, k 1. d) (x + y) n = n ( n i=0 i) x i y n i. e) 2 n = n ( n i=0 i). f) x n+k = x n (x n) k. g) (x + y) n = n ( n i=0 i) x i y n i. h) n ( n )( m ) ( i=0 i k i = n+m ) k. Beweis. Die Aussagen a),b),c) und f) folgen unmittelbar aus den Definitionen. Aussagen d) und f) kann man leicht mit Induktion über n beweisen. Aussage e) folgt mit x := 1 und y := 1 aus d). Alternativ kann man hier auch wie folgt argumentieren: Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Anzahl der Teilmengen

22 22 Kapitel II. Zählen einer n-elementigen Menge (siehe (2.3)). Und auch die rechte Seite der Gleichung zählt die Anzahl dieser Teilmengen, allerdings sortiert nach der Größe (also i) der Teilmengen. Ein solches Argument nennt man auch kombinatorischen Beweis für eine numerische Formel. Für die Aussage h) geben wir auch einen kombinatorischen Beweis an: Die rechte Seite der Gleichung zählt (zum Beispiel) die k-elementigen Teilmengen einer Menge, die sich aus n Frauen und m Männern zusammensetzt. Und die linke Seite tut das auch, und zwar sortiert nach der Anzahl i von Frauen in der k-elementigen Teilmenge. Formal aufschreiben könnte man das zum Beispiel so: es seien N und M Mengen mit N M = und N = n und M = m. Dann ist (( ) ( )) (( ) ( )) ( ) N M N M N M f :... 0 k k 0 k mit f : (S, T ) S T eine Bijektion, und da ( ) ( N i M ( k i) = n )( m i k i) ist, ergibt sich mit der Summenregel die Formel in Aussage h). Wir gehen nun dazu über, Partitionen zu zählen. Definition. Es seien k, n N 0 und M eine Menge mit M = n. Eine k-partition der Menge M ist eine Zerlegung von M in k disjunkte, nicht-leere Mengen: M = M 1... Mk. Die Anzahl von k-partitionen einer n-elementigen Menge wird mit S n,k bezeichnet (und heißt Stirling-Zahl zweiter Art 1 ). Man setzt S 0,0 := 1. Ein Beispiel: Die Menge M = {1, 2, 3} hat drei 2-Partitionen, nämlich M = {1, 2} {3} = {1, 3} {2} = {2, 3} {1}. Satz 5.4. Es seien k, n N 0. a) Für k > n gilt: S n,k = 0. b) Für n 1 gilt: S n,0 = 0. c) Für 1 k n gilt: S n,k = S n 1,k 1 + k S n 1,k. Beweis. Die Aussagen a) und b) sind offensichtlich. Um c) zu beweisen, betrachten wir eine Menge M = {m 1,..., m n } deren k-partitionen wir zählen möchten. Wir zählen zunächst nur diejenigen k-partitionen, in denen eine Partitionsklasse aus genau dem Element m n besteht. Davon gibt es genau S n 1,k 1 viele, denn die Möglichkeiten erschöpfen sich jetzt darin, die Elemente m 1,..., m n 1 in k 1 Partitionsklassen zu gruppieren. Für alle anderen Partitionen gilt, dass das Element m n nicht alleine in einer Partitionsklasse liegt. Wir verteilen also zunächst alle Elemente m 1,..., m n 1 auf k Partitionsklassen, und wählen dann aus, zu welcher Klasse wir das Element m n dazu stecken. Dafür gibt es insgesamt k S n 1,k Möglichkeiten. Somit folgt die Behauptung aus der Summenregel. 1 Stirling-Zahlen erster Art werden mit s n,k bezeichnet und zählen Permutationen der Menge [n] mit k Zyklen.

23 5. Teilmengen und Partitionen zählen 23 Mit Hilfe der obigen Rekursion lässt sich auch eine Formel für S n,k beweisen: Satz 5.5. Für 1 k n gilt: S n,k = k r (k r)n ( 1) r!(k r)!. r=0 Beweis. Diese Aussage lässt sich entweder durch Induktion beweisen, oder alternativ auch durch einen kombinatorischen Beweis (siehe Aufgabe 2) herleiten. Eine Partition einer Menge induziert natürlich automatisch auch eine Zerlegung ihrer Kardinalität in positive Summanden und auch hier wollen wir untersuchen, wieviele mögliche Kombinationen es gibt. Definition. Es seien wieder k, n N 0. Eine k-partition der Zahl n ist eine Zerlegung von n in k Summanden: n = n n k mit n i N für alle i [k]. Bei einer geordneten Partition kommt es auf die Reihenfolge der Summanden an, bei einer ungeordneten nicht. Die Anzahl von ungeordneten k-partitionen der Zahl n wird mit P n,k bezeichnet, man setzt P 0,0 := 1. Ein Beispiel: n = 4 und k = 2. Dann gibt es zwei ungeordnete 2-Partitionen von 4, nämlich 4 = = 2 + 2, aber drei geordnete 2-Partitionen, nämlich 4 = = = Satz 5.6. Es seien k, n N 0. a) Für k > n gilt: P n,k = 0. b) Für n 1 gilt: P n,0 = 0. c) Für 1 k n gilt: P n+k,k = k 1 i=0 P n,k 1. d) Für 1 k n gilt: Es gibt genau ( n 1 k 1) geordnete k-partitionen der Zahl n. Beweis. Die Aussagen a) und b) sind wieder offensichtlich. Um c) zu beweisen wollen wir jeden Summanden in einer Partition, der gleich 1 ist, einen Einser nennen. Eine k-partition der Zahl n + k kann offensichtlich zwischen 0 und k 1 viele Einser haben. Wir behaupten, dass die Anzahl der k-partitionen der Zahl n+k mit genau i Einsern P n,k i beträgt, woraus die Aussage c) folgen würde. Dazu geben wir eine Bijektion von der Menge der k-partitionen der Zahl n + k mit genau i Einsern in die Menge der (k i)-partitionen der Zahl n wie folgt an: Schreibe zunächst Setze dann n + k = n }{{} i+1 + n i n k. }{{} i Einsen k i Summanden 2 n i+1 := n i+1 1, n i+2 := n i+2 1,..., n k := n k 1. Dann ist n i n k = n + k i (k i) = n, und also stellen die n i+1,..., n k eine (k i)-partition der Zahl n dar. Diese Abbildung ist bijektiv, denn man

24 24 Kapitel II. Zählen kommt umgekehrt von jeder (k i)-partition der Zahl n durch Addition von 1 zu jedem Summanden und Hinzufügen von i Einsern wieder zurück zu genau einer k-partition der Zahl n + k mit genau i Einsern. Der Beweis von d) ist noch einfacher. Wir schreiben n = als Summe von n Einsen, und entsprechend mit genau n 1 Pluszeichen. Eine geordnete k-partition der Zahl n entspricht jetzt einfach einer Auswahl von k 1 Pluszeichen (ungeordnet, ohne Zurücklegen dafür gibt es ( n 1 k 1) Möglichkeiten), und an diesen Pluszeichen beginnt dann der nächste Summand: n = }{{}}{{}}{{} =n 1 =n 2 =n k. Anfang VL Partitionen von Mengen und Zahlen kann man sich gut visualisieren, wenn man sich vorstellt, dass eine Menge von Bällen auf Körbe zu verteilen sind. Folgerung. Wir werfen n Bälle in k Körbe. Wieviele Verteilungsmöglichkeiten gibt es? Jeder Ball wird genau einmal geworfen. Trotzdem müssen wir erstens unterscheiden, ob die Bälle und die Körbe unterscheidbar sind. Außerdem wollen wir noch spezifizieren, ob es weitere Bedingungen gibt, nämlich ob die Verteilung der Bälle beliebig, oder injektiv (d.h. höchstens ein Ball pro Korb), oder surjektiv (d.h. mindestens ein Ball pro Korb), oder bijektiv ist. Dann ist die Anzahl der möglichen Verteilungen gegeben durch: n Bälle, k Körbe beliebig inj. surj. bij. a) Bälle unt.bar, Körbe unt.bar k n k n k!s n,k n! ( b) Bälle nicht unt.bar, Körbe unt.bar n+k 1 ) ( k ( n 1 ) n n) k 1 1 k c) Bälle unt.bar, Körbe nicht unt.bar i=1 S n,i 1 S n,k 1 k d) Bälle nicht unt.bar, Körbe nicht unt.bar i=1 P n,i 1 P n,k 1 (Hierbei ist natürlich klar, dass für injektive Verteilungen notwendigerweise n k gelten muss, für surjektive n k, und für bijektive n = k; andernfalls gibt es überhaupt keine solche Verteilung.) Beweis. a) In diesem Fall zählen wir eigentlich Funktionen f : [n] [k]. Also gibt es offensichtlich k n beliebige Funktionen, und k n injektive. Um die surjektiven zu zählen, machen wir uns klar, dass die Urbilder f 1 (y) für y = 1,..., k die Menge [n] in k Mengen partitionieren. Von diesen Partitionen gibt es gemäß Definition 5 genau S n,k viele. Nun können wir noch für jede Partitionsklasse aussuchen, auf welches y [k] sie abgebildet wird, dafür gibt es k! Möglichkeiten. Für bijektive Zuordnungen gibt es genau n! verschiedene Möglichkeiten.

25 6. Erzeugende Funktionen 25 b) Da die Bälle nicht unterscheidbar, die Körbe aber unterscheidbar sind, zählen wir in diesem Fall eigentlich so etwas wie Wahlausgänge. Einen beliebige Ballverteilung können wir uns als Auflistung der getroffenen Korbnummern vorstellen, also etwa {1,..., 1, 2,..., 2,..., k,..., k} und das ist dann genau eine n-elementige Multimenge über der Menge [k], wovon es gemäß Satz 5.2 genau ( ) n+k 1 n gibt. Wenn wir injektive Ballverteilungen zählen, dann wird jeder Korb entweder gar nicht oder einmal getroffen, und daher besteht unsere Freiheit genau darin, die n Körbe auszuwählen, die getroffen werden sollen dafür gibt es ( k n) Möglichkeiten. Eine surjektive Ballverteilung entspricht einer geordneten Zerlegung der Zahl n in k Summanden, und davon gibt es gemäß Satz 5.6d) genau ( n 1 k 1) viele. Es gibt nur eine bijektive Zuordnung, nämlich in jeden Korb einen Ball. c) Da jetzt die Körbe nicht mehr unterscheidbar sind, zählen wir in diesem Fall die Partitionen der Menge der n Bälle. Gemäß Definition 5 zählt S n,i genau die Anzahl solcher Partitionen in i nicht leere Körbe. Entsprechend ist k i=1 S n,i die Gesamtanzahl der Partitionen. Da die Körbe nicht unterscheidbar sind, gibt es nur eine injektive Verteilung, nämlich je ein Ball in n (beliebige) der k Körbe. Die Anzahl der surjektiven Ballverteilungen beträgt S n,k, wie schon aus unserer Diskussion im vorangegangenen Absatz folgt. Bijektive Zuordnungen gibt es nur genau eine. d) Im Unterschied zu c) sind jetzt auch die Bälle nicht mehr unterscheidbar, das heißt, wir zählen jetzt Partitionen der Zahl n der Bälle. Entsprechend übertragen sich alle Ergebnisse von Fall c), wenn wir S n,i durch P n,i ersetzen. 6 Erzeugende Funktionen Angenommen, wir kennen die ersten Werte einer Folge von Zahlen, und außerdem eine Rekursionsvorschrift, die besagt, wie sich spätere Folgengliedern aus früheren berechnen. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, ein Verfahren kennenzulernen, mit dem wir dann eine explizite Formel für das n-te Folgenglied herleiten können. Wir wollen dies zunächst an einem einfachen Beispiel tun, ohne uns viele Gedanken darüber zu machen, was wir dort eigentlich machen, wieso wir es dürfen, und warum es funktioniert. Anschließend werden wir dann den theoretischen Unterbau nachliefern, und ihn an weiteren Beispielen testen. Beispiel. Die Folge a 0, a 1, a 2,... sei gegeben durch den Startwert a 0 := 2 und die Rekursion a n := 3a n für alle n N. Wir suchen eine explizite Formel für a n. Dazu entwickeln wir eine Methode, die aus sechs Schritten besteht. Schritt 1: Potenzreihe aufstellen. Wir definieren A(x) := n=0 a nx n.

26 26 Kapitel II. Zählen Schritt 2: Setze Anfangswerte und Rekursion in die Potenzreihe ein. A(x) = a 0 + a n x n = 2 + (3a n 1 + 1)x n n=1 n=1 Schritt 3: Ersetze die auftretenden a n unter Verwendung von A(x). A(x) = 1 + 3x a n 1 x n = 1 + 3x n=1 a n x n + n=0 = 1 + 3xA(x) + n=0 1 1 x. Bei der letzten Umformung haben wir die Summenformel für die geometrische Reihe benutzt: q n 1 = für alle q R mit 0 q < 1. (6.10) 1 q n=0 Schritt 4: Nach A(x) auflösen. x n n=1 x n A(x) 3xA(x) = x 1 A(x) = 1 3x + 1 (1 x)(1 3x). Schritt 5: Stelle die gebrochen rationale Funktion als Potenzreihe dar. Dazu finden wir zunächst eine Partialbruchzerlegung für den zweiten Bruch: 1 (1 x)(1 3x) = x x. wie man durch Mulitiplikation beider Seiten mit (1 x)(1 3x) schnell verifiziert. Damit haben wir gezeigt, dass A(x) = (6.10) = 1 1 3x x x = 5 2 (3x) n 1 x n = n=0 Schritt 6: Koeffizientenvergleich. Wir haben gezeigt, dass n=0 n=0 n= x 1 2 ( 5 2 (3x)n 1 2 xn a n x n 1 = A(x) = 2 (5 3n 1)x n n=0 1 1 x )

27 6. Erzeugende Funktionen 27 für unendlich viele Werte von x R gilt, und damit ergibt sich (wir müssen später noch thematisieren, warum), dass die Koeffizienten links und rechts alle übereinstimmen müssen: für alle n N 0 gilt: a n = 1 2 (5 3n 1), womit die gewünschte Formel für a n gefunden wäre. Nicht ganz überraschenderweise stimmt sie tatsächlich mit der Formel überein, die wir für genau dieses Beispiel in Abschnitt 2 (siehe Gleichung (2.2)) erst geraten und dann durch vollständige Induktion bewiesen haben. Das Bemerkenswerte an der hier vorgestellten Methode ist, dass man mit ihrer Hilfe eine solche Formel, ohne sie zu raten, herleiten kann. Mehrere Stellen in dem obigen Kochrezept bedürfen noch einer genaueren Begründung, beispielsweise die Frage, ob unsere Potenzreihen überhaupt konvergieren, oder warum wir im letzten Schritt auf die Gleichheit der Koeffizienten schließen dürfen. Dazu stellen wir jetztim Folgenden den formalen Rahmen bereit, der sich an einigen Stellen auf Hilfsmittel aus der Analysis stützen wird. Definition. Es sei (a n ) n N = a 0, a 1, a 2,... eine unendliche Folge von reellen Zahlen. Dann nennt man a n x n, n=0 eine formale Potenzreihe. Wenn für eine Zahl x R die Summe n=0 a nx n konvergiert, dann ist die Funktion dort wohldefiniert. A : R R mit A(x) := a n x n Wir wollen für das Folgende vereinbaren, dass, wann immer wir A(x) schreiben, wir damit den Grenzwert der Potenzreihe meinen, unter der Voraussetzung, dass sie konvergiert auch wenn wir diese Voraussetzung nicht jedes Mal explizit nennen. Eine weitere Verabredung: Wann immer wir in der Zukunft bei einer Summe auf die Angabe des Laufindex n und seiner Grenzen verzichten und nur schreiben, meinen wir die Summe mit Laufindex n mit Grenzen 0 und, also n=0 Ėiner Folge (an) wird also eine Funktion A(x) zugeordnet. Können zwei verschiedene Folgen die gleiche Funktion generieren? Der folgende Satz, den Sie in der Analysis noch beweisen werden, sagt nein. n=0 Satz 6.1. Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei Folgen und A(x) := a n x n und B(x) := b n x n.

28 28 Kapitel II. Zählen Wenn es ein ε > 0 gibt, so dass für alle x R mit 0 x ε gilt, dass A(x) und B(x) sind wohldefiniert und es gilt A(x) = B(x), dann folgt n N 0 : a n = b n. Durch diesen Satz ist also klar, dass die Zuordnung Folge Funktion im obigen Sinne injektiv ist und wir daher auch die Umkehrabbildung betrachten können. Wir werden später (siehe 6.4) noch sehen, wie man aus einer gegebenen Funktion A(x) die Folgenglieder a n so berechnet, dass A(x) = n 0 a nx n gilt. Man sagt dann auch, dass A(x) die erzeugende Funktion der Folge (a n ) n N ist. Wir definieren nun die grundlegenden Operationen Addition, Multiplikation, Inversion und Ableitung von formalen Potenzreihen. Definition. Es seien a n x n und b n x n zwei formale Potenzreihen. a) Die Summe von a n x n und b n x n ist definiert als die formale Potenzreihe cn x n mit c n := a n + b n für alle n N 0. b) Das Produkt von a n x n und b n x n ist definiert als die formale Potenzreihe cn x n mit c n := n k=0 a kb n k für alle n N 0. c) Die Potenzreihe b n x n heißt inverse Potenzreihe von a n x n, wenn für ihr Produkt c n x n (das wie in b) definiert ist) gilt: c 0 = 1 und c n = 0 für alle n N. d) Die Ableitung von a n x n ist definiert als die formale Potenzreihe na n x n 1 = (n + 1)a n+1 x n. n=1 n=0 Betrachtet man formale Potenzreihen als Funktionen, dann leisten die obigen Operationen das, was ihre Namen suggerieren. Satz 6.2. Es seien A(x) = a n x n und B(x) = b n x n für x R konvergent. a) Wenn C(x) = c n x n mit c n = a n + b n ist, dann gilt C(x) = A(x) + B(x). b) Wenn C(x) = c n x n mit c n = n k=0 a kb n k ist, dann gilt C(x) = A(x) B(x). c) Wenn A(x) in x differenzierbar ist und wir die Ableitung mit A (x) bezeichnen, dann gilt A (x) = n=0 (n + 1)a n+1x n. Beweis. siehe Analysis. Lemma 6.3. a n x n hat genau dann eine inverse Potenzreihe b n x n, wenn a 0 0 ist. In diesem Fall gilt b 0 = 1 und b n = 1 n a k b n k n N. a 0 a 0 k=1

29 6. Erzeugende Funktionen 29 Beweis. Sei b n x n zunächst eine beliebige Potenzreihe und c n x n das Produkt von a n x n und b n x n. Wenn b n x n die inverse Potenzreihe von a n x n ist, dann folgt aus 1 = c 0 und 0 = c n und n c n = a j b n k für alle n N 0, dass k=0 1 = c 0 = a 0 b 0 und 0 = c n = 1 a 0 = b 0 und 0 = a 0 b n + n a k b n k k=0 n a k b n k k=1 n N n N 1 = b 0 und 1 n a k b n k = b n n N. a 0 a 0 Wenn umgekehrt diese Gleichungen gegeben sind, dann ist b n x n die zu a n x n inverse Potenzreihe. Beispiel. a) Sei γ R beliebig und A(x) := n 0 a nx n mit a n := γ n. A(x) ist also die sogenannte geometrische Reihe. Wir wollen die zu A(x) inverse Potenzreihe B(x) bestimmen und wenden dazu Proposition 6.3 an. Dann ist b 0 = 1/a 0 = 1 und b n = n k=1 a kb n k, also b 1 = a 1 b 0 = γ und b 2 = (a 1 b 1 + a 2 b 0 ) = ( γ 2 + γ 2 ) = 0. Auch für n 3 folgt dann, dass b n = 0 ist, wie man sich induktiv leicht klar macht: k=1 b n = (a 1 b n 1 + a 2 b n a n 2 b 2 +a n 1 b 1 + a n b 0 ) }{{} =0 weil b n 1 = = b 2 = 0 = (γ n 1 ( γ) + γ n ) = 0. Also ist B(x) = b 0 + b 1 x = 1 γx die inverse Potenzreihe zu A(x), das heißt ( n 0 γn x n ) (1 γx) = 1, also γ n x n 1 = 1 γx. (6.11) n 0 b) Nach a) gilt (mit γ = 1), dass n 0 xn = (1 x) 1. Bildet man auf beiden Seiten die k-fache Ableitung, dann erhält man n(n 1) (n k + 1)x n k = n k k! (1 x) k+1

30 30 Kapitel II. Zählen und daraus folgt ( ) n + k x n k n 0 = n k ( ) n x n k = k 1 (1 x) k+1 (6.12) für alle k N, sofern die Summe konvergiert. Der folgende Satz aus der Analysis über die sogenannte Taylor Entwicklung befasst sich nun mit der schon angerissenen Frage, wie man an einer Funktion A(x) abliest, welche Folge (a n ) n N0 mit A(x) = n 0 a nx n sie erzeugt. Satz 6.4. Sei A : R R eine Funktion, die in 0 unendlich oft differenzierbar ist, und bezeichne mit A (k) (x) die k-te Ableitung an der Stelle x. Dann gilt: A(x) = n 0 vorausgesetzt, die Summe konvergiert. A (n) (0) x n, n! Mit anderen Worten: A(x) ist die erzeugende Funktion für die Folge (a n ) n N0 mit a n := A (n) (0)/n!. Satz 6.4 werden Sie in der Analysis Vorlesung beweisen. Beispiel. Wir hatten in Proposition 5.3 d) bereits gesehen, dass für m N 0 gilt: (1 + y) m = m n=0 ( ) m y n. n Nun wollen wir eine ähnliche Formel für den Fall m R herleiten. Sei also r R und setze A(y) := (1 + y) r. Dann gilt für die r-te Ableitung an der Stelle 0: A (n) (0) = r (r 1) (r n + 1) (1 + 0) r n = r n, also (1 + y) r = A(y) 6.4 = n 0 A (n) (0) y n = r n n! n! yn = n 0 n 0 ( ) r y n. (6.13) n Nach dieser kurzen Einführung in die Theorie der erzeugenden Funktionen wollen wir die Methode jetzt noch einmal auf ein konkretes Beispiel anwenden. Beispiel. Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist gegeben durch die Startwerte F 0 = 0 und F 1 = 1 und die rekursive Vorschrift F n+2 = F n+1 + F n, für alle n N 0. Wir suchen eine explizite Formel für F n.

31 6. Erzeugende Funktionen 31 Schritt 1: Potenzreihe aufstellen. Wir definieren F (x) := n N 0 F n x n. Schritt 2: Setze Anfangswerte und Rekursion in die Potenzreihe ein. F (x) = F 0 + F 1 x + n 2 = x + n 0 F n x n F n+2 x n+2 = x + n 0(F n+1 + F n )x n+2. Schritt 3: Ersetze die auftretenden F n unter Verwendung von F (x). F (x) = x + F n+1 x n+2 + F n x n+2 n 0 n 0 = x + x F n+1 x n+1 + x 2 F n x n n 0 n 0 = x + x(f (x) F 0 ) + x 2 F (x) = x + xf (x) + x 2 F (x). Schritt 4: Nach F (x) auflösen. F (x) xf (x) x 2 F (x) = x F (x) = x 1 x x 2. Schritt 5: Stelle die gebrochen rationale Funktion als Potenzreihe dar. Dazu machen wir folgenden Ansatz. Bestimme α, β, γ, δ R, so dass für alle x R gilt: F (x) = x 1 x x 2 = α 1 γx + β 1 δx = α(1 δx) + β(1 γx) (1 γx)(1 δx) (6.14). Wir versuchen, die vier Variablen so zu wählen, dass die beiden Zähler und die beiden Nenner jeweils übereinstimmen und erhalten so die zwei Gleichungen: x = α(1 δx) + β(1 γx) (6.15) 1 x x 2 = (1 γx)(1 δx) = γ( 1 γ x)δ(1 x) (6.16) δ Aus Gleichung (6.16) erkennen wir, dass 1/γ und 1/δ die Lösungen der Gleichung 1 x x 2 = 0 sind. Mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt sich daraus 1 γ = und analog, also γ = = 2 (1 + (1 5) 5) (1 5) = δ = 1 5, also δ = = = 1 5, 2

32 32 Kapitel II. Zählen Um β zu berechnen, setzen wir in (6.15) x = 1/δ und erhalten 1 δ = β(1 γ δ ), also β = 1 δ δ δ γ = = 1 5. Um α zu berechnen, setzen wir in (6.15) x = 0 und erhalten 0 = α + β, also α = β = 1 5. Man sollte sich allerdings klar machen, dass wir auf diesem Wege die Werte für α und β nicht streng hergeleitet haben, weil wir x = 1/δ in Gleichung (6.15) gesetzt haben, letztere aber aus Gleichung (6.14) gewonnen hatten, die offensichtlich für genau diesen Wert von x gar nicht gilt. Nichtsdestotrotz lässt sich natürlich jetzt, da wir Werte für α, β, γ, δ geraten haben, leicht überprüfen, dass sie die ursprüngliche Gleichung (6.14) für unendlich viele Werte von x erfüllen. Wir haben also gezeigt, dass für diese Werte von α, β, γ, δ F (x) = x 1 x x 2 = α 1 γx + β (6.11) = α 1 δx Schritt 6: Koeffizientenvergleich. Wir haben gezeigt, dass n 0 Nach Satz 6.1 folgt damit, dass γ n x n + β δ n x n. n=0 F n x n = F (x) = (αγ n + βδ n ) x n. ( F n = αγ n + βδ n = 1 5 n=0 1 ) n ( n=0 1 + ) n 5. 2 womit die gewünschte Formel für F n gefunden wäre. Sie darf sicher schon insofern als Überraschung gelten, als dass beim ersten Anblick nicht einmal klar, dass sie für jedes n N 0 eine natürliche Zahl erzeugt. Übungsaufgaben 1. Finden Sie einen formalen Beweis für die Aussage von Satz 5.1b): k 1 M k = (n i) i=0

33 6. Erzeugende Funktionen 33 Ein möglicher Ansatz dafür: Wählen Sie ein beliebiges Element x aus M aus, finden Sie eine Bijektion f : (M \ {x}) k ( (M \ {x}) k 1 [k 1] ) M k und beweisen Sie dann die gesuchte Formel durch Induktion über M. 2. Es sei T n,k die Anzahl geordneter k-partitionen einer n-elementigen Menge. a) Welche Abbildungen von [n] nach [k] zählt T n,k und in welchem Zusammenhang stehen T n,k und S n,k? b) Beweisen Sie, dass für 1 k n T n,k = k ( ) k ( 1) r (k r) n r r=0 und leiten Sie daraus die Formel in Satz 5.5 her. Literaturhinweise zu Kapitel II Weiteres Material zu den Abschnitten 4 und 5 findet sich beispielsweise bei [A] in Kapitel 1.1, 1.2 und 2.4; bei [MN] in Kapitel 3.1 bis 3.3 sowie 3.7; und bei [S] in Kapitel 1.1 bis 1.3. Zusätzliche Informationen zu Abschnitt 6 finden sich bei [A] in Kapitel 3.1 und 3.2, bei [MN] in Kapitel 12 und [S] in Kapitel 4.2.