1. Einführung ins Thema Was ist Optimierung? 1.2. Anwendungsgebiete. 2. Lösungsmöglichkeiten ohne Differentialrechnung. 2.1.

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1 1. Einführung ins Thema 1.1. Was ist Optimierung? Optimierung ist ein Gebiet der Mathematik. Es wird in zwei Untergebiete aufgeteilt. Erstens die Maximierung und zweitens die Minimierung. Bei der Maximierung geht es darum, aus gegebenen Bedingungen den höchstmöglichen Wert zu berechnen. Bei der Minimierung geht es dementsprechend darum, aus den Bedingungen den niedrigsten Wert zu berechnen. Beispiele für ein Maximierungsproblem ist zum Beispiel die Berechnung des größtmöglichen Volumens einer Dose bei festgelegter Oberfläche. Ein Beispiel für ein Minimierungsproblem ist die Kostenoptimierung bei Herstellungsprozessen. Wenn also im Folgenden von Optimierung gesprochen wird, kann es sich um Maximierung oder Minimierung handeln. Dies wird aber aus dem Kontext erkenntlich. 1.. Anwendungsgebiete Optimierung wird zum Beispiel in allen Firmen genutzt, die etwas Produzieren, um ihre Gewinne zu maximieren und ihre Kosten zu minimieren. Aber auch bei der Planung von Gebäuden kann Optimierung nützlich sein, wenn man möglichst effektiv Teppich verlegen will. Des Weiteren wird Optimierung auch benutzt um zum Beispiel den schnellsten Weg zwischen mehreren Orten zu bestimmen, diese Methoden würden allerdings den Rahmen dieser Facharbeit übersteigen und werden deswegen nicht weiter behandelt (siehe dazu [5]).. Lösungsmöglichkeiten ohne Differentialrechnung.1. Tabellarisch Einfache Optimierungsaufgaben lassen sich in einer Tabelle lösen. Wenn man zum Beispiel weiß, dass eine Aufgabe nur Werte aus Ν als Lösung hat, kann

2 3 man eine Wertetabelle erstellen und daraus den größten/ kleinsten Wert ablesen. Zum Beispiel für die Funktion y= -(x-) +. Wenn man für diese Funktion eine Wertetabelle (siehe Tabelle ) zeichnet und davon ausgeht, dass es nur ganze Zahlen als Lösung gibt, sieht man schnell, dass für x= der höchste Wert erreicht wird (Lösungsmöglichkeiten für Quadratische Funktionen gibt es auch unter.3). x f(x) Tabelle 1: Wertetabelle y=-(x-)+ Allerdings kann man nicht sicher sein, ob die Funktion nicht irgendwann einen Wert größer als annimmt. Deswegen ist diese Methode nur nützlich, wenn man wirklich weiß in welchem Bereich sich das Maximum beziehungsweise, das Minimum befindet... Grafisch (Lineare Ungleichungssysteme) Eine weitere, häufig in der Mittelstufe angewandte Methode zur Lösung von Optimierungsaufgaben ist die grafische Lösung. Für diese Methode fasst man die Bedingungen der Optimierungsaufgabe zu mehreren Ungleichungen zusammen, die man in ein Koordinatensystem einzeichnen kann. Die Graphen dieser Bedingungen umschließen eine Fläche. Alle Punkte innerhalb dieser Fläche sind mögliche Lösungen und erfüllen alle Bedingungen, aber nicht alle sind Maxima bzw. Minima, sondern nur die Eckpunkte. Zu den Bedingungen gehört zum einen die Nichtnegativitätsbedingung, die aussagt, dass x > 0 und y > 0. Das liegt daran, dass man als Ergebnis nur positive Zahlen bekommen kann, da man zum Beispiel Kosten nicht so minimieren kann, dass sie negativ werden, denn dann würde man Geld zurückbekommen. Eine weitere Bedingungsart sind die einschränkenden Bedingungen, die die eingeschlossene Fläche definieren. Ohne einschränkende Bedingung wird die Aufgabe sinnlos, da dann keine begrenzte Fläche existiert, in der mögliche

3 4 Extremwerte liegen könnten. Wenn man eine unbegrenzte Fläche als Lösung bekommt, so hat die Aufgabe keine Lösung oder man hat einen Fehler beim Aufstellen der Gleichungen gemacht. Die letzte Bedingung ist die Zielfunktion. Sie beschreibt das Maximum oder Minimum. Von dieser Funktion wird der höchste oder niedrigste Wert gesucht. Zur Verdeutlichung der Vorgehensweise ein Beispiel 1, bei dem ein Maximum gesucht wird: Eine Firma produziert Fernseher und DVD-Player. Die Abteilung, die die Gehäuse fertigt, kann maximal 1000 Gehäuse für Fernseher oder DVD-Player in einem Monat herstellen. Des Weiteren können pro Monat höchstens 600 Fernseher und höchstens 800 DVD-Player montiert werden. Die Abteilung für die elektrische Installation kann höchstens 800 Fernseher oder 100 DVD- Player oder eine Kombination aus beiden fertig stellen. Bei einem Fernseher beträgt der Gewinn 10 bei einem DVD-Player 90. Der Manager der Firma möchte nun wissen, wie viele Fernseher und DVD-Player er im Monat herstellen muss, damit der Gewinn maximal ist. Als erstes wird x als die Anzahl der Fernseher festgelegt und y als Anzahl der DVD-Player. Jetzt muss man aus der Aufgabenstellung alle Bedingungen suchen: 1) Da die Anzahl der Fernseher und DVD-Player nicht negativ sein kann, gilt: x 0 y 0 ) Es können maximal 1000 Gehäuse produziert werden, deswegen x + y Außerdem können höchstens 600 Fernseher und 800 DVD-Player pro Monat hergestellt werden: x 600 y 800. Es können höchstens 800 Fernseher oder 100 DVD-Player oder eine Kombination im Monat fertig gestellt werden. Das bedeutet, dass für einen 1 1 Fernseher und für einen DVD-Player der Zeit aufgewandt werden x y muss. Für x Fernseher und y DVD-Player gilt also + 1 oder x + y Beispiel in abgeänderter Form entnommen aus [1: S. 8-11]

4 5 3) Die Zielfunktion lautet in diesem Fall: 10x + 90y = Z = Maximum. Jetzt werden alle diese Bedingungen in ein Koordinatensystem eingezeichnet: P1(00 400) P( ) P3( ) P4(800 0) Grafik 1: Lineares Gleichungssystem Wenn man die Koordinaten verschiedener Punkte in die Zielfunktion einsetzt, so erhält man immer mögliche Ergebnisse, solange die Punkte innerhalb der schraffierten Fläche liegen. Allerdings sind nur die Eckpunkte mögliche Maxima. Ein paar Punkte zum Testen: P x y 10x+90y P P P P Tabelle

5 6 Wie man sieht gibt es für die Punkte P und P3 den höchsten Funktionswert. Allerdings muss man beachten, dass P3 nicht innerhalb des Bereichs liegt, der von allen Ungleichungen eingeschlossen wird (gelb markiert), deswegen kann dieser Punkt nicht zur Lösungsmenge gezählt werden. Also bekommt der Manager für 400 produzierte Fernseher und 600 produzierte DVD-Player im Monat das meiste Geld. Abschließend ist zu sagen, dass diese Möglichkeit die wichtigste Methode zur Bestimmung von Extrema in der Mittelstufe darstellt. Anhand der Lösung erkennt man, dass nicht alle Abteilungen voll ausgelastet sind. So kann der Unternehmer weitere Einsparungen vornehmen, in dem er die Arbeitskräfte in den entsprechenden Abteilungen verringert..3. Quadratische Funktionen Wenn man das Minimum/ Maximum einer Quadratischen Funktion bestimmen soll, so rechnet man einfach ihren Scheitelpunkt aus. Die Koordinaten entsprechen den x bzw. y Werten des Maximums/ Minimums. Als Beispiel wähle ich die Funktion f(x) = -x + 16x 9. Nun muss man diese zur Scheitelpunktsform umformen, was mit Hilfe der quadratischen Ergänzung geschieht: f(x) = -x - * (x 8 * (x 8x + ( ) * [(x 4) 1,5) (x 4) S(4 3) + 16x 9 8x + 14,5) ( ) + 14,5) Ausklammern von - Quadratische Ergänzung Ausmultiplizieren So erhält man als Scheitelpunkt, die Koordinaten, die dem höchsten Punkt der Parabel entsprechen. Die zweite Möglichkeit zur Berechnung eines Extremas einer Parabel wird durch die Symmetrie möglich. Wenn man eine Quadratische Funktion zeichnet, so liegt der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.

6 7 Man berechnet jetzt also die Nullstellen, ihre x-werte addiert man und halbiert sie und erhält den x-wert des Scheitelpunkts. Diesen setzt man dann noch in die Funktionsgleichung ein und erhält den zugehörigen y-wert. Die Nullstellen der oben beschriebenen Parabel lauten: und Wenn man die x-werte jetzt addiert und halbiert, so erhält man 4. Wenn man diesen Wert jetzt einsetzt erhält man 3. Also wieder die Koordinaten (4 3). Grafik : Anhand des Mittelpunktes bekommt man das Maximum.4. Weitere Möglichkeiten

7 8 Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung von Extrema stellt der so genannte Simplex-Algorithmus (entwickelt von George Dantzig, 1947) dar. Dieser Algorithmus bietet die Möglichkeit, ein lineares System mit mehr als zwei Variablen zu optimieren. Dabei können zwei unterschiedliche Ergebnisse auftreten. Das Ergebnis kann einmal eine Lösung des Problems nach endlich vielen Rechenschritten sein, oder aber es wird die Unlösbarkeit des Problems festgestellt. Wichtig ist, dass bei diesem Algorithmus so genannte Schlupfvariablen eingeführt werden, die aus den Ungleichungen Gleichungen machen. Dann wird durch Simplex-Iterationen die Lösung von 0 an stetig verbessert. Dies geschieht durch Austauschen von Variablen. Das genaue Vorgehen anhand eines Beispiels ist leider nicht möglich aufgrund der Seitenbeschränkung der Facharbeit. Eine genaue Beschreibung des Simplex- Verfahrens und eine Beispielaufgabe finden sich im Anhang..5. Wo diese Methoden versagen/ Nachteile Diese Methoden helfen bei vielen linearen Optimierungsproblemen, die in der Unterstufe aufkommen und man kann sogar über einen Umweg Quadratische Funktionen berechnen. Dennoch ist das Errechnen von Extrema mit diesen Mitteln viel zu umständlich. Insbesondere bei der Lösung mit Hilfe eines graphischen Systems ist man auf zwei Variablen beschränkt. Dagegen kann man mit Hilfe des Simplex-Algorithmus auch mehr als zwei Variablen optimieren, allerdings wird mit steigender Zahl der Variablen der Aufwand zur Berechnung immer größer. Allerdings denke ich auch, dass gerade das Simplex-Verfahren eine sehr komplexe Methode zur Lösung ist, die gerade in der Mittelstufe zu Schwierigkeiten beim Verständnis führen könnte. 3. Lösungsmöglichkeiten mit der Differentialrechnung Ableitung steigend/ fallend [6] Informationen von

8 9 Wenn man eine Funktion hat und die Steigung an einer beliebigen Stelle des Graphen berechnen möchte, so nutzt man die 1. Ableitung. Sie wird hergeleitet f(x durch den Differentialquotienten lim h h) f(x h 0 ). Wenn es einen Grenzwert für diesen Differentialquotienten gibt, so ist dieser die Steigung an der Stelle x 0. Anstelle des Differentialquotienten kann man auch f (x) schreiben. Zur Bestimmung der Ableitung gibt es bestimmte Regeln, die hier aber nicht näher erläutert werden. Anhand des Vorzeichens der 1.Ableitung lässt sich ablesen, ob der Graph an dieser Stelle steigt oder fällt. Des Weiteren lässt sich mit Hilfe der 1. und. Ableitung, für die die gleichen Rechengesetze wie für die 1. Ableitung benutzt werden, nach den höchsten beziehungsweise nach den tiefsten Punkten eines Graphen suchen. Wenn man sich den Verlauf eines Graphen anschaut, der einen höchsten Punkt hat, so erkennt man leicht, dass er dort die Steigung 0 hat, denn eine angelegte Tangente durch diesen Punkt wäre eine Parallele zur x-achse. So kommt man zu dem Schluss, dass ein Hoch- beziehungsweise Tiefpunkt dort liegt, wo die 1. Ableitung 0 ist. Das ist die notwendige Bedingung für ein Extrema. Allerdings ist auch die erste Ableitung der Funktion x 3 an der Stelle f (0)=0, doch liegt dort bekanntermaßen kein Maximum oder Minimum. Deswegen muss man den Verlauf der ersten Ableitung betrachten. Bei einem Minimum fängt die erste Ableitung wieder an zu wachsen, ab einem Maximum wird sie kleiner. Kurz gesagt, man betrachtet die Vorzeichen der Funktionswerte rechts und links vom angeblichen Extrema. Wenn das Vorzeichen von + nach - wechselt, so liegt ein Maximum vor, wenn es von - nach + wechselt, so liegt ein Minimum vor. Deswegen bildet man einfach die Ableitung der 1. Ableitung und erhält die. Ableitung. Nur wenn diese Ableitung an der Stelle, an der die 1. Ableitung 0 ist, ungleich 0 ist, handelt es sich um eine Extrema. Deswegen wird als hinreichende Bedingung für ein Extrema die Vorschrift f (x 0 ) Nachteile/ Vorteile Differentialrechnung

9 10 Der große Vorteil der Optimierung mit Hilfe der Differentialrechnung sind die weit gefächerten Anwendungsgebiete, die mit Hilfe der Mittelstufenmathematik nicht oder nur sehr umständlich gelöst werden können. Sobald man nämlich räumliche Probleme oder auch schon komplexere Flächen berechnen soll, wird die Differentialrechnung zu einem unverzichtbaren Hilfsmittel. Dennoch ist es mit Hilfe der linearen Optimierung einfacher eine Aufgabe anschaulicher in einem Koordinatensystem darzulegen, da man nur die Graphen eintragen muss. Bei der Differentialrechnung muss man allerdings auch noch aus allen Bedingungen eine Gleichung aufstellen, die alles enthält, während man bei der linearen Optimierung einfach alles ins Koordinatensystem einträgt Verschiedene Anwendungen mit Lösungsweg Allgemeines: Man kann sich für die Lösung von Optimierungsaufgabe eine Art Lösungssatz merken, den man je nach Bedarf anwenden kann 3 : 1. Man schreibt sich auf, was gesucht wird und gibt den Ausgangsgrößen und Unbekannten Namen (zum Beispiel: a, x, A, F, V).. Man sollte sich eine Skizze machen, ist bei komplexeren Aufgaben sehr hilfreich. 3. Die Zielfunktion herausfinden und als eine Funktion darstellen, die von den Ausgangsgrößen und Unbekannten abhängt. 4. Nebenbedingungen herausfinden, denn ohne einschränkende Bedingung wird die Aufgabe sinnlos, ähnlich wie bei den einschränkenden Bedingungen der linearen Optimierung. Die Nebenbedingung als Funktion beschreiben. 5. Die Zielfunktion besteht meistens aus mehreren voneinander unabhängigen Ausdrücken. Dann setzt man die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein, mit dem Ziel nur noch eine Variable zu behalten, von der das Ergebnis abhängt. Dann die erste Ableitung Null setzen und mit der zweiten die Ergebnisse überprüfen. Auch auf den Definitionsbereich sollte man achten, da zum Beispiel bei Flächen negative Lösungen keinen Sinn machen. Zum Schluss die Ränder 3 siehe [4]

10 11 des Definitionsbereichs überprüfen, da es manchmal (siehe Beispiel 4) passieren kann, das der Rand des Definitionsbereichs das Maximum oder Minimum ist. 1) Beweis: Bei gleichem Umfang hat ein Quadrat immer den größten Flächeninhalt: Man geht davon aus, dass ein Umfang U gegeben ist. Jetzt ist die Frage, welche Seitenlängen gewählt werden müssen, damit der Flächeninhalt maximal wird. A = a * b U = a + b U a b = b in A einsetzen U - a A = a * au A = a + Das stellt den Flächeninhalt nur noch in Abhängigkeit von a da, da der Umfang vorgegeben ist. Um das Maximum der Fläche zu berechnen bildet man wieder die 1.Ableitung und setzt sie 0: f (a) = a + f (a) = 0 U a + = 0 (a + b) a + = 0 a + a + b = 0 a = b U U = (a + b) Damit ist bewiesen, dass ein Quadrat mit festem Umfang den größten Flächeninhalt im Vergleich zu Rechtecken mit demselben Umfang hat.

11 1 ) Aus der Physik 4 : Ein Körper wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von m 30 senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe nach t Sekunden beträgt s h(t) = 30t 5t Meter. Nach wie vielen Sekunden erreicht der Körper die maximale Höhe? Wie hoch über dem Erdboden befindet sich der Körper dann? Lösungsweg: Da man den Verlauf des Wurfs hat, kann man nun die 1.Ableitung bilden und sie danach 0 setzen und nach t auflösen. h' (t) h' (t) = 30 10t = t = 0 30 = 10t t = 3s Nach 3 Sekunden hat der Körper seinen höchsten Punkt erreicht. Um jetzt noch die maximale Höhe zu berechnen, setzt man einfach die 3s in die Ausgangsgleichung ein und erhält 45m. 3) Volumenoptimierung 5 : Von einem rechteckigen Stück Blech mit den Seitenlängen a und b werden an den Ecken Quadrate abgeschnitten. Biegt man die Randstücke hoch, so erhält man eine offene Dose. Wie groß muss man die Quadratseite wählen, damit für a=8cm, b=5cm das Volumen einen Maximalwert erreicht? Skizze: x 4 Beispiel entnommen aus [:S.139 Nr.3a)] 5 Entnommen aus [3:S.163 Nr.4]

12 13 Als erstes muss man die Zielfunktion z(x) aufstellen. Da eine Seite 8cm und eine Seite 5cm lang ist, muss gelten 0<x<,5cm, da sonst x genau die Hälfte der Strecke b sein könnte. Dies ist aber nicht möglich, da dann keine Dose mehr gefaltet werden kann. Formel für das Volumen : V a = a - x,b = b - x und c = x. z(x) = (a - z(x) = 4x 3 x) * (b - x) * bx ax x = a * b * c + abx Ausmulitplizieren Diese Funktion beschreibt das Volumen in Abhängigkeit von x. Da das Volumen optimiert werden soll, bildet man die erste Ableitung: z (x) = 1x 4bx 4ax + ab Jetzt muss man die Ableitung 0 setzen um die Extrema zu berechnen. z (x) = 0 1x 1x (a ab + b ) + a + b (a ab + b ) a b x1 = x = 6 6 für x erhält man als Funktionswert 1, wenn man a und b einsetzt für x 4bx 4ax + ab = 0 1 4x(a + b) + ab 10 erhält man als Funktionswet 3 p/q Formel Es gibt also zwei Lösungen, die beide die Gleichung erfüllen. Um zu überprüfen, welche das Maximum und welche das Minimum ist, werden sie nacheinander in die.ableitung eingesetzt: z (x) = 4x 4(a + b) z (x ) = 8 am x - Wert 1gibt es ein Maximum z (x 1 10 ) = 8 am x - Wert gibt es ein Minimum 3 Zusammenfassend ergibt sich, dass die Dose für einen x-wert von 1 den größten Flächeninhalt hat. Dieser Flächeninhalt beträgt 18cm². 4) Problem des schnellsten Weges 6 : 6 Beispiel in abgeänderter Form aus [4]

13 14 Ein Acker liegt neben einer Straße. Auf dem Acker steht ein Fußgänger am Punkt A. Von dort möchte er am schnellsten zum Punkt B gelangen. Es gibt noch einen Punkt C, der senkrecht zum Punkt A auf der Straße liegt und 0m entfernt von B und 650m entfernt von A liegt Auf dem Acker geht der Fußgänger halb so schnell wie auf der Straße. Welches ist der kürzeste Weg? Skizze: B AC = 650m CB = 0m Acker X A C Der Weg des Zuschauers besteht aus zwei Teilwegen (blaue Linien). Ein Teil der Strecke führt über den Acker und ein Teil über die Straße, wobei die Länge der beiden von der Variablen X abhängt. Die Strecke zwischen X und C wird a genannt und die Länge liegt zwischen 0 und 0 m. Die Strecke lautet dann als Formel: AX = (650 XB = 0 a + a f(a) = * AX + XB f(a) = * (650 + a ) ) + (0 - a) Man muss die Strecke AX doppelt nehmen, da man dort nur halb so schnell gehen kann Diese Funktion f(a) muss ein Minimum sein, damit man die kürzeste Strecke bekommt. Allerdings bringt die Ableitung als Lösung einen a-wert, der größer als 0 ist, sodass dies nicht die Lösung sein kann. Da zwischen 0 und 0m

14 15 kein Extremwert liegt, kommen jetzt nur noch die Grenzen, also 0 und 0m in Frage: f(0) = * 650m + 0m = 150m f(0) = * = 137,4m Daraus folgt, dass der kürzeste Weg quer über den Acker von A zu B ist. Das heißt Punkt X liegt auf B. 4. Fazit Als Abschluss lässt sich sagen, dass das Gebiet der Optimierung ein weit gefächertes Gebiet ist. Ich musste mir erstmal überlegen, welche Gebiete und Lösungsmöglichkeiten ich erläutere und denke, dass ich eine gute Auswahl getroffen habe. Persönlich finde ich, dass die Optimierung erst durch die Anwendung in der Differentialrechnung richtig interessant wird, da es doch bei vielen Aufgaben überraschende Ergebnisse gibt, von denen ich nicht gedacht habe, dass sie wirklich so in der Realität auftreten. Aber auch Gebiete wie die Wegoptimierung sind sehr interessante Teilgebiete der Optimierung, allerdings werden dort komplexe Algorithmen benutzt, von denen ich denke, dass man auf ihre Darstellung in dieser Facharbeit auch verzichten kann. Genannt sei hier auch das so genannte Rucksackproblem: Man hat einen Rucksack, der eine bestimmte Masse transportieren kann. und mehrere Gegenstände von unterschiedlichem Gewicht und Masse. Die Aufgabe besteht jetzt darin, den höchstmöglichen Wert bei geringster Masse zu finden. Für diese Aufgabe wird ebenfalls ein Algorithmus benötigt um das minimale Gewicht bei maximalem Gewinn zu berechnen. Ich denke man könnte sicherlich mehr als 15 Seiten schreiben, in dem man nur alle Lösungswege die hier beschrieben sind noch genauer erläutert und auch einiges Basiswissen wiederholt oder herleitet. Dieses habe ich nur bei der Differentialrechnung getan, da die 1.Ableitung das wichtigste Mittel für die Lösungsansätze ist.

15 16 5. Literaturverzeichnis: [1] Schick, Karl: Lineares Optimieren. Einführung in die mathematische Behandlung moderner Probleme in den Wissenswissenschaften. Frankfurt a.m.: Verlag Diesterweg Salle, 197 [] Schmid, August/ Schweizer, Wilhelm: Analysis. Leistungskurs Gesamtausgabe. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 003 [3] Keil, Karl-August et al.: Analysis 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch.. durchgesehene Aufl. München: Bayrischer Schulbuch Verlag, 1977 [4] Wohlgemuth, Martin: Lösung von Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung. URL: [Stand ] s. Anlage (A17, A18, A19) [5] Boysen, Nils (005): Immer der Nase nach. Tourenplanung nach dem Vorbild der Ameisen. In: c t 5, [6] Wikipedia die freie Enzyklopädie: Simplex Verfahren. URL: [Stand ] s. Anlage (A0 A7)