V 11 Hagen Poiseuillesches Gesetz, Dopplersonographie

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1 V 11 Hagen Poiseuillesches Gesetz, Dopplersonographie A) Stichworte zur Vorbereitung Innere Reibung, Definition der Zähigkeit, laminare und turbulente Strömung, Strömungswiderstand, Parallel und Hintereinanderschaltung von Kapillaren(Kirchhoffsche Regeln der Flüssigkeitsströmung), formale Analogie zum Ohmschen Gesetz der Elektrizitätslehre, Dopplersonographie B) Literatur Gonsior: Physik für Mediziner, Biologen und Pharmazeuten Robert F Schmidt, Gerhard Thews, Florian Lang: Physiologie des Menschen Berlin, Heidelberg: Springer, 28 Aufl 2000 Rainer Klinke, Stefan Silbernagl: Lehrbuch der Physiologie Stuttgart, New York: Thieme, 3 Aufl 2001 C) Motivation Die innere Reibung von Flüssigkeiten spielt im Zusammenhang mit dem Blutkreislauf in der Medizin eine ganz entscheidende Rolle Wie Sie im ersten Teil des vorliegenden Versuchs sehen werden, vervielfacht sich der Blutfluß in Kapillargefäßen bei äußerst geringfügigen beispielsweise medikamentös bedingten Vergrößerungen der Durchmesser dieser Gefäße Zur Ableitung des Hagen Poiseuilleschen Gesetzes nehmen wir näherungsweise an, daß es sich beim Blut um eine einigermaßen homogene Flüssigkeit handelt Diese Annahme ist für Blutgefäße näherungsweise erfüllt, wenn ihr Durchmesser deutlich größer als der der Blutplättchen ist Bei der sonographischen Messung der Fließgeschwindigkeit im zweiten Teil dieses Versuchs benutzen wir anstelle von Blut eine Modellflüssigkeit In diesem Versuchsteil machen wir, im Gegensatz zum ersten Teil, gerade von der Tatsache Gebrauch, daß es sich beim Blut um eine inhomogene Flüssigkeit handelt, die aus Plasma und Blutplättchen zusammengesetzt ist Unsere Modellflüssigkeit enthält anstelle der Blutplättchen mikroskopische Gasblasen Doch zunächst sollen zur Einführung einige wichtige Punkte der Mechanik deformierbarer Medien beschrieben werden D) Grundlagen Flüssigkeiten zeichnen sich im Gegensatz zu Festkörpern dadurch aus, daß sie keine feste Form besitzen, dh sehr leicht deformierbar sind 24

2 1 Druck Diese physikalische Größe dient zur Kennzeichnung der senkrecht auf eine Fläche A wirkenden Kraft F Die Druckdefinition lautet: p = F A, wobei F A ist (1) Einheit: Pascal 1Pa = 1 N m 2 (= 10 5 bar) Bei der Blutdruckmessung in der Medizin hat sich auch noch die Einheit mm Hg (Millimeter Quecksilbersäule) erhalten 1 mm Hg ist der Druck, der von einer 1 mm hohen Quecksilbersäule ausgeübt wird, also 1mm Hg = 133,322Pa Druck ist eine skalare Größe 2 Hydrostatik Die Hydrostatik behandelt ruhende Flüssigkeiten Der Druck in ruhenden Flüssigkeiten, der sog hydrostatische Druck, setzt sich zusammen aus dem Stempeldruck und dem Schweredruck: Stempeldruck: Übt man mit Hilfe eines Stempels eine Kraft auf eine in einem Gefäß befindliche Flüssigkeit aus, so ist der hierdurch entstehende Stempeldruck an allen Stellen in der Flüssigkeit und an der Gefäßwand gleich Diese Tatsache ist die eigentliche Motivation für die Definition der Größe Druck : Ganz egal, wo und wie eine Fläche in der Flüssigkeit liegt und wie groß sie ist, der Quotient aus der senkrecht auf sie wirkenden Kraft und dieser Fläche hat immer denselben Wert, der Druck ist immer gleich groß Hierdurch ergibt sich eine Anwendungsmöglichkeit: die hydraulische Presse (zb der Behandlungsstuhl des Zahnarztes oder die Hebebühne in einer Kfz-Werkstatt) F 1 A 1 F 2 A 2 Abb 1: Hydraulische Presse 25

3 Wegen der Druckgleichheit p 1 = p 2 an den beiden Kolben haben wir eine Art hydraulischen Flaschenzug, bei dem das Kräfteverhältnis F 2 F 1 gleich dem Flächenverhältnis A 2 A 1 ist: F 2 = A 2 A 1 F 1 (2) Die an den beiden Kolben geleistete Arbeit ist natürlich gleich groß Schweredruck: Bei dem bisher Gesagten haben wir die Gewichtskraft der Flüssigkeit selbst vernachlässigt Bezieht man diese mit in die Betrachtung ein, so sieht man, daß in größerer Tiefe ein größerer Druck herrschen muß, da dort die Gewichtskraft einer höheren Wassersäule wirksam ist Der Druck, der in der Flüssigkeit durch ihr eigenes Gewicht G erzeugt wird, wird als Schweredruck bezeichnet Er ist proportional zur Eintauchtiefe h und zur Dichte ρ der Flüssigkeit: p(h) = ρ g h (3) Hierbei ist g die Erdbeschleunigung (g = 9,81m/s 2 ) Die Dichte ρ ist das Verhältnis aus der Masse m eines Stoffes und dem Volumen V, welches er einnimmt (ρ = 1 kg/dm 3 für Wasser): ρ = m V (4) Kurze Herleitung für Gleichung (3): Der Druck auf eine Fläche A in der Tiefe h wird durch die Gewichtskraft G der Wassersäule über dieser Fläche erzeugt Das Volumen V dieser Wassersäule ist V = A h; die Gewichtskraft ergibt sich aus dem 2 Newtonschen Axiom G = m g p(h) = G A = m g A = ρ V g A = ρ g h A A = ρ g h Hydrostatisches Paradoxon: Daß der Schweredruck nur von der Eintauchtiefe abhängt, nicht aber von der Gestalt des Gefäßes, nennt man das Hydrostatische Paradoxon Abb 2: Hydrostatisches Paradoxon Der Druck am Boden ist unter allen 4 Röhren gleich groß, obwohl sie unterschiedlich viel Wasser enthalten und somit die Wassertrichter unterschiedliches 26

4 Gewicht haben Für den Druck ist aber nur die direkt über der Fläche befindliche Wassersäule entscheidend, und diese ist überall gleich hoch Umgekehrt hat die Tatsache, daß der Druck sich überall am Boden auf den gleichen Wert einstellen will, zur Folge, daß die Wassersäulen überall gleich hoch stehen, der Wasserstand in solchen kommunizierenden Röhren also überall gleich ist 3 Hydrodynamik Die Hydrodynamik behandelt im Gegensatz zur Hydrostatik strömende Flüssigkeiten Kontinuitätsgleichung: Die Kontinuitätsgleichung besagt, daß die pro Zeiteinheit durch ein Rohr fließende Flüssigkeitsmenge überall im Rohr gleich groß ist, unabhängig vom Rohrquerschnitt an dieser Stelle: V = dv dt = V t = const (5) Dies ist anschaulich sofort klar, denn ansonsten müßte sich ja irgendwo im Rohr Flüssigkeit ansammeln oder aber erzeugt oder vernichtet werden Für ideale Flüssigkeiten (dh inkompressible Flüssigkeiten ohne innere Reibung) kann die Kontinuitätsgleichung auch so formuliert werden: Es besteht ein Zusammenhang zwischen dem Rohrquerschnitt und der Fließgeschwindigkeit derart, daß überall entlang des Rohres das Produkt aus Querschnittsfläche und Fließgeschwindigkeit gleich groß ist: Dies ist anhand der Abb 3 leicht nachvollziehbar: A 1 v 1 = A 2 v 2, (6) s 1 s 2 A 1 v 1 A 2 v 2 Abb 3: Zur Ableitung der Kontinuitätsgleichung (Bei Flüssigkeiten mit innerer Reibung (vgl nächster Abschnitt) ist die Fließgeschwindigkeit nicht innerhalb der gesamten Querschnittsfläche konstant(vgl Abb 8), Gleichung (6) gilt dann für die mittleren Fließgeschwindigkeiten) 27

5 Bei einer mittleren Fließgeschwindigkeit von v hat ein Flüssigkeitsmolekül in der Zeit t im Mittel die Strecke s = v t zurückgelegt, dh in dieser Zeit ist in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A das Flüssigkeitsvolumen von V = A s geflossen dv dt = d(a vt) dt = A v = const (7) Folgerung: Je kleiner der Rohrquerschnitt, desto schneller fließt die Flüssigkeit an dieser Stelle v 1 A (8) Bernoulli-Gleichung: In einer strömenden Flüssigkeit ist (in gleicher Wassertiefe) nicht der hydrostatische Druck überall gleich groß, sondern unter idealen Bedingungen die Summe aus hydrostatischem Druck und einem sog Staudruck, der von der Strömungsgeschwindigkeit abhängt Die Bernoulli-Gleichung beschreibt diesen Zusammenhang zwischen der Fließgeschwindigkeit und dem hydrostatischen Druck in einer inkompressiblen, reibungsfreien Flüssigkeit: p+ 1 2 ρv2 = const, (9) wobei p der hydrostatische Druck und 1 2 ρv2 der Staudruck der Flüssigkeit ist Die Bernoulli-Gleichung ist eine Folge aus dem Energieerhaltungssatz: Dividiert man die Gleichung p V mv2 = const (10) durch das Volumen V, so erhält man gerade die Bernoulli-Gleichung Folgerung: Bei größerer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck auf die Wände kleiner Hydrodynamisches Paradoxon: Aus der Kontinuitätsgleichung (v 1 A ) und der Bernoulli-Gleichung (Druck fällt bei Geschwindigkeitszunahme) folgt das Hydrodynamische Paradoxon: In einer Engstelle einer Strömung ist der Druck vermindert (Abb 4)! Das bedeutet auch, daß dort der Druck auf die Wände geringer ist 28

6 p 1 p 1 p 2 A 1,v 1 A 2,v 2 A 1,v 1 Abb 4: Hydrodynamisches Paradoxon (ideale Flüssigkeit ohne innere Reibung) Die Höhe der Flüssigkeitssäule entspricht dem momentanen Druck der Flüssigkeit, vgl Glg (3) Kurze Erklärung: Gemäßder Glg(6)muß v 1 kleiner alsv 2 sein DieFlüssigkeitsmoleküle müssen also beim Eintritt in das Rohr kleineren Querschnitts beschleunigt und beim Übergang in das Rohr mit größerem Querschnitt wieder abgebremst werden DieDruckunterschiede (p 1 > p 2 ) sorgen beim Ein- und Austritt der Flüssigkeit in das Rohr kleineren Querschnitts für die nötige Beschleunigung und Verzögerung der Moleküle Eine weitere Folge der Bernoulli-Gleichung (9) ist, daß Gegenstände, an denen eine Strömung vorbeifließt, von der Strömung nicht abgestoßen, sondern angezogen werden (Abb 5)! Auch dies wird oft als Hydrodynamisches Paradoxon bezeichnet Abb 5: Hydrodynamisches Paradoxon: Aus dem Rohr (oben), dessen Ende plattenförmig ausgebildet ist, strömt eine Flüssigkeit oder ein Gas gegen die darunterliegende Platte und fließt seitlich ab Die untere Platte wird dadurch angezogen! 29

7 Als Anwendungen sind zu nennen: Ansaugen vonluftsauerstoff beimbunsenbrenner (besser Hineindrükken durch größeren äußeren Luftdruck) Flugfähigkeit von Flugzeugen und Hubschraubern durch geeignete Wahl der Form der Tragfläche resp Rotoren Wenn Ihnen das Hydrodynamische Paradoxon entsprechend der Abb 4 vorgeführt wird, hat der Experimentator ein wenig geschummelt Bei realen Flüssigkeiten tritt in der Flüssigkeit Reibung zwischen den Molekülen auf, welche für einen zusätzlichen Druckabfall sorgt: p 1 p 1 p 1 p 1 p 2 p 2 A 1,v 1 A 2,v 2 A 1,v 1 Abb 6: Hydrodynamisches Paradoxon bei realen Flüssigkeiten Diese innere Reibung wollen wir nun quantifizieren und im Versuch auch messen 4 Innere Reibung (Viskosität) Bei realen Flüssigkeiten tritt innere Reibung (Viskosität, Zähigkeit) auf, dh die Verschiebung der Flüssigkeitsteilchen gegeneinander ist durch Reibung gehemmt Unterschiedliche Flüssigkeiten haben unterschiedliche Zähigkeit, so ist etwa Honig viel zähflüssiger als Wasser Um die Stärke der inneren Reibung quantitativ erfassen zu können, führt man den sog Koeffizienten der inneren Reibung ein: Definition des Koeffizienten der inneren Reibung (dynamische Viskosität): Um in einer Flüssigkeit eine ebene Platte parallel zu einer ebenen Wand im Abstand x mit der konstanten Geschwindigkeit v 0 zu bewegen (vgl Abb 7), muß die Reibungskraft gerade kompensiert werden Dazu ist eine Kraft F erforderlich, die proportional zu der Fläche A der Platte und zum Geschwindigkeitsgefälle dv dx in der Flüssigkeit ist: F = η A dv dx (11) 30

8 In Abb 7 ist das Geschwindigkeitsgefälle als an jedem Ort in der Flüssigkeit gleich groß angenommen, also dv = v Der Proportionalitätsfaktor η ist eine temperaturabhängige Materialkonstante und heißt Koeffizient der inneren Reibung oder dyna- dx x mische Viskosität v 0 F x Abb 7: Zur Definition der Viskosität Die Einheit des Koeffizienten der inneren Reibung η ist: [η] = 1Pa s = 1 kg m s = 1 N s m 2 Die Zähigkeit von Flüssigkeiten ist stark temperaturabhängig (zb Motorenöle) 5 Laminare und turbulente Strömung Bei der Bewegung einer Flüssigkeit unterscheidet man neben der idealen Strömung, bei der keine innere Reibung vorhanden ist (oder aber vernachlässigbar klein ist), zwischen laminarer und turbulenter Strömung Von laminarer Strömung spricht man, wenn sich die Flüssigkeitsteilchen in geordneten, übereinander gleitenden Schichten bewegen, die sich nicht durchdringen Laminare Strömung liegt dann vor, wenn die Zähigkeit der Flüssigkeit groß und ihre Geschwindigkeit klein ist, genauer: wenn das Verhältnis aus Beschleunigungsarbeit und Reibungsarbeit einen bestimmten Wert nicht überschreitet Dieses Verhältnis von Beschleunigungs- zu Reibungsarbeit wird als Reynoldszahl bezeichnet Ist die Reynoldszahl größer als dieser kritische Wert, welchen man als kritische Reynoldszahl bezeichnet und der in der Größenordnung von 1000 liegt, so erfolgt der Umschlag zu turbulenter Strömung Bei dieser Strömungsform sind der mittleren Bewegung Wirbel überlagert, die unregelmäßig entstehen und vergehen 31

9 6 Laminare Strömungen in Rohren mit kreisförmigen Querschnitten Das Gesetz von Hagen und Poiseuille Wir wenden uns nun laminaren Strömungen homogener Flüssigkeiten in zylindrischen Rohren zu Hierfür haben der deutsche Wasserbauingenieur Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen ( ) und der französische Arzt (auch Mediziner können grundlegende physikalische Entdeckungen machen!) Jean Louis Marie Poiseuille ( ) das nach ihnen benannte Gesetz gefunden Abb 8: Geschwindigkeitsverteilung in einem Rohr bei laminarer Strömung (glatt frei von Wirbeln und Turbulenzen) In zylindrischen Rohren stellt sich bei laminarer Strömung eine Geschwindigkeitsverteilung ein, wie sie in Abb 8 gezeigt ist: Die Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren liegen auf einem Rotationsparaboloid Die durch das Rohr in der Zeit t fließende Flüssigkeitsmenge V erhält man durch Summation der durch die einzelnen Hohlzylinder fließenden Mengen Dadurch ergibt sich das Hagen-Poiseuillesche Gesetz zu Hierbei ist: I V = der Volumenstrom, r = der Radius des Rohres, I V := V t =πr4 p 8ηl p = die Druckdifferenz zwischen Anfang und Ende des Rohres l η = die Länge des Rohres, = die Viskosität der Flüssigkeit Es gilt also insbesondere (12) I V r 4, (13) dh der Fluß durch eine Kapillare ist proportional zur 4 Potenz ihres Radius ( V t r 4, wohingegen beim Ohmschen Gesetz I r 2 ) Hieran sieht man, daß schon geringfügige Veränderungen des Durchmessers von Blutgefäßen sehr starken Einfluß auf den Blutfluß in diesen haben 32

10 Man kann nun den Ausdruck 8ηl πr =: R 4 HP (14) zum Hagen-Poiseuilleschen Strömungswiderstand R HP zusammenfassen Er hat die Einheit [R HP ] = Pa s m 3 = N s m 5 = kg m 4 s Damit nimmt das Hagen-Poiseuillesche Gesetz (12) die Form I V = p R HP (15) an, ganz in Analogie zum Ohmschen Gesetz für elektrische Ströme, wo die elektrische Stromstärke I = q t gleich dem Quotienten aus der elektrischen Spannung (elektrischen Potentialdifferenz) U = ϕ und dem elektrischen Widerstand R ist: I = U R bzw U = R I (16) 7 Reihen- und Parallelschaltung von Strömungswiderständen Sowohl für elektrische Ströme (wo also elektrische Ladungen fließen) als auch für Flüssigkeitsströmungen gelten die Kirchhoffschen Regeln: Die Knotenregel (vgl V 31, Abb 4a) besagt, daß an jeder Verzweigungsstelle (Knoten) des Leitungsnetzwerks die Summe der ankommenden gleich der Summe der abfließenden Ströme ist Dies ist wie die Kontinuitätsgleichung ein Ausdruck der Tatsache, daß in dem Stromkreis Flüssigkeit [im elektrischen Fall: Ladung] weder irgendwo angestaut noch erzeugt oder vernichtet wird Die Maschenregel (vgl V 31, Abb 4b) besagt, daß in jeder Masche die Summe der an den dort vorhandenen Widerständen abfallenden Druckdifferenzen [elektrisch: Spannungen] gleich der Summe der durch in dieser Masche vorhandene Pumpen [elektrisch: Spannungsquellen] erzeugten Druckdifferenzen [elektrisch: Spannungen] ist Aus diesen Regeln lassen sich die Gesetze für die Reihen- und die Parallelschaltung (siehe Abb 9) von Strömungswiderständen ableiten Ganz analog zur Elektrizitätslehre ergibt sich auch für die Flüssigkeitsströmung, daß der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung gleich der Summe der Einzelwiderstände ist, während bei einer Parallelschaltung der Kehrwert des Ersatzwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist: Reihenschaltung: Parallelschaltung: R GesReihe = R 1 +R 2 +R 3 + (17) 1 R GesParallel = 1 R R R 3 + (18) 33

11 Der Widerstandswert der Parallelschaltung von nur zwei Widerständen ergibt sich daraus zu R GesParallel = R 1 R 2 R 1 +R 2 (19) Aus Gl(17) läßt sich übrigens auch ablesen, daß der Hagen-Poiseuillesche Strömungswiderstand (14) proportional zur Länge l des Rohres sein muß R 1 R 1 R 2 8 Dopplereffekt a) b) Abb 9: a) Reihenschaltung und b) Parallelschaltung von Strömungswiderständen Die Doppler-Sonographie, welche zb in der Geburtshilfe zum Nachweis der kindlichen Herztöne oder in der Angiologie zur Diagnose von Gefäßerkrankungen angewendet wird, beruht auf dem Dopplereffekt (benannt nach Johann Christian Doppler, österreichischer Physiker, ) Den Dopplereffekt kennen Sie alle schon: Wenn beispielsweise ein hupendes Auto vorbeifährt, ist der Hupton höher, wenn das Auto auf Sie zufährt, und wird plötzlich tiefer, wenn es sich von Ihnen entfernt Physikalisch bedeutet dies, daß die Frequenz einer Welle, wie sie Schall oder auch Licht darstellen, verändert erscheint, wenn sich der Sender [im Beispiel also das hupende Auto] oder aber der Empfänger bewegt Die Doppler-Sonographie zur Beurteilung der Strömungsverhältnisse in Blutgefäßen beruht darauf, daß man die Blutplättchen, die sich im Blutplasma bewegen, durch Einstrahlen einer Ultraschallwelle mit einer Frequenz im Megahertzbereich zu Schwingungen anregt Die Anregungsfrequenz der Blutplättchen hängt von ihrer Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) und der Senderfrequenz ab Je nachdem, ob sich die Blutplättchen auf den Ultraschallsender zu- oder von ihm wegbewegen, senden die Blutplättchen Kugelwellen mit höherer oder niedrigerer Frequenz als der Anregungsfrequenz aus Durch die Bewegung der Plättchen relativ zum Empfänger wird die empfangene Frequenz noch einmal gegen die Senderfrequenz dopplerverschoben Durch diese Verschiebungen beim Senden und beim Empfang kommt näherungsweise der Vorfaktor 2 in Glg (20) zustande Mischt man die Anregungs(Sender )frequenz f 0 und die von einem Blutplättchen ausgestrahlte, zweifach dopplerverschobene Frequenz, so beobachtet man die Differenzfrequenz f als Schwebung Sie ist gegeben durch: v d f 2 f 0 cosϕ, (20) c wobei f 0 die Sendefrequenz, ϕ der Einstrahlwinkel zwischen Strahlachse und Flußrichtung, v d die Fließgeschwindigkeit und c die Schallgeschwindigkeit ist Der Faktor R 2 34

12 cos ϕ in Gleichung (20) kommt dadurch zustande, daß nur die Geschwindigkeitskomponente in Richtung des Ultraschallkopfes gemessen wird; dies bedeutet, daß wenn man quantitative Werte für die Fließgeschwindigkeit erhalten will, man den Ultraschallkopf unter einem definierten Winkel (üblicherweise 60 ) an die Adern halten muß Ruhender Ultraschallkopf: Sender der Frequenz f 0 empfangene Frequenz f 0 f f 0 2 δf Bewegter Beobachter: Empfänger und Sender der Frequenz f 0 δf ϕ v 0 Abb 10: Messung der Fließgeschwindigkeit v d einer inhomogenen Flüssigkeit mittels Dopplereffekt ϕ ist der Winkel, unter dem der bewegte Beobachter den Ultraschallsender sieht Da sich die Blutplättchen bei der Strömung durch ein Rohr nicht mit einheitlicher Geschwindigkeit bewegen, sendet jedes von ihnen entsprechend der Geschwindigkeitsverteilung nach Abb 8 in der Flüssigkeit Kugelwellen mit einer unterschiedlichen Frequenz aus Wenn man diese Mischung aus verschiedenen Frequenzen verstärkt und mit einem Lautsprecher wiedergibt, hört man ein Rauschen Durch Spektralanalyse (Bestimmung der verschiedenen Frequenzen, die im Signal enthalten sind) dieses Rauschens kann man im Prinzip die Geschwindigkeitsverteilung der Blutplättchen und damit den Durchfluß ermitteln In der Medizin wird dieses Verfahren meist nur zur qualitativen Bestimmung des Blutflusses eingesetzt Technisch findet das Verfahren beispielsweise Anwendung in Durchflußmessern zur Heizkostenaufteilung in Mehrfamilienhäusern Das im vorliegenden Versuch zur Anwendung kommende Gerät arbeitet im Dauerschallverfahren (CW Doppler, continuous wave) Der Schallkopf ist in ein Element zum Senden und Empfangen aufgeteilt 35

13 E) Versuchsdurchführung und -auswertung 1 Messung der Viskosität von destilliertem Wasser Zur Messung der Viskosität η von destilliertem Wasser bei Zimmertemperatur wird die Zeit gemessen, in der eine Flüssigkeitsmenge von bekanntem Volumen laminar durch eine Kapillare mit bekanntem Durchmesser fließt Mit Hilfe der Beziehung (12) kann dann bei bekannter Druckdifferenz p die Viskosität des destillierten Wassers berechnet werden Der erweiterte Teil der Kapillare wird mit destilliertem Wasser gefüllt, ihr Ende, wie in Abb 11 dargestellt, in ein Gefäß mit destilliertem Wasser eingetaucht, damit sich keine Tropfen bilden können Die in Gleichung (12) vorkommenden Abmessungen der Kapillare werden gemessen Der Durchmesser d = 2 r ist auf jeder Kapillare angegeben p bedeutet in der Hagen Poiseuilleschen Formel die Druckdifferenz, die durch die Höhe h der Wassersäule entsteht (vgl Glg (3)) Während des Ausströmens der Flüssigkeit bleibt die Höhe der Flüssigkeitssäule nicht konstant Die Zeitabhängigkeit der Wassersäulenhöhe kann man berücksichtigen, indem man eine mittlere Höhe h = h +h 2 in die Formel einsetzt Bezeichnungen siehe Abb 11 Mitte h h l h Abb 11: Versuchsaufbau zur Bestimmung der Viskosität von destilliertem Wasser Achtung: Verwenden Sie in diesem Versuchsteil destilliertes Wasser! Es ist darauf zu achten, daß sich in der Kapillare keine Bläschen befinden (ansonsten fließt die Flüssigkeit nicht mehr laminar bzw gar nicht mehr) 36

14 Aufgabe: Bestimmen Sie die Zähigkeit η des Wassers mit zwei Kapillaren verschiedenen Durchmessers Notieren Sie sich hierzu den Durchmesser 2 r der Kapillare und messen Sie ihre Länge l sowie den Innendurchmesser des erweiterten Teils und den Abstand h ( h = h h ) zwischen der oberen und der unteren Markierung, außerdem die mittlere Höhe h Messen Sie die Zeitdauer t, die das Wasser braucht, um von der oberen bis zur unteren Markierung abzufließen (Literaturwert: η = 1,002mPa s) Wie gut stimmen Ihre beiden Ergebnisse überein? Daraus können Sie ersehen, wie gut Ihre Versuchsdurchführung war 2 Messung der Fließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit durch Dopplersonographie und Messung des Hagen-PoiseuilleschenWiderstandsR HP beieinerinhomogenenflüssigkeit Der vorliegende Versuchsaufbau ist ein einfaches Modell des Blutkreislaufs, bestehend aus einer Pumpe (die das Herz darstellen soll) und Röhren verschiedenen Durchmessers (parallel bzw in Reihe geschaltet), die die Blutgefäße darstellen Mittels der eingebauten Ventile kann der Strömungswiderstand R 1 einzeln in den Stromkreis eingebracht werden, oder R 2 kann parallel oder in Reihe dazugeschaltet werden Mit diesem Aufbau können Sie die Kirchhoffschen Regeln am Beispiel der Hintereinander bzw Parallelschaltung von Strömungswiderständen nachprüfen Eine Engstelle (Stenose) in einem Blutgefäß kann als großer Strömungswiderstand in einem Leitungssystem mit geringem Widerstand angesehen werden Sie führt dazu, daß der Hauptstrom durch parallel geschaltete Gefäße verläuft, und daß das Organ, das durch das Gefäß mit der Stenose versorgt werden soll, schlecht durchblutet wird! Der Hagen-Poiseuillesche Widerstand kann gemäß Gl (15) ermittelt werden, wenn sowohl der Volumenstrom (Durchflußmenge pro Zeiteinheit) als auch die Druckdifferenz bekannt sind Der Druck im Leitungssystem kann mit Steigrohren (vgl Glg (3) und Abb 12) durch eine einfache Messung der Höhe der Wassersäule bestimmt werden Die mittlere Fließgeschwindigkeit und damit die Durchflußmenge pro Zeiteinheit wird mit der Doppler Sonde gemessen Im Praktikumsgerät wird das Wasser von einer elektrischen Tauchpumpe durch das Leitungssystem gepumpt Die Durchflußanzeige und die Spannungsversorgung für die Pumpe sind in einem gemeinsamen Gehäuse untergebracht Die Pumpenspannung kann mit einem Drehknopf eingestellt werden 37

15 p h Kalibrierung Messung der Fließgeschwindigkeit V K V Pumpe R 1 V 1 R 2 V 3 V 2 Abb 12: Versuchsaufbau zur Doppler-Durchflußmessung Als inhomogene Flüssigkeit wird Wasser mit einem Spülmittelzusatz verwendet Wenn diese Mischung einige Minuten durch die Apparatur gepumpt wird, bilden sich kleine Bläschen, die die Blutplättchen als Sender ersetzen Der Doppler-Meßkopf gibt die ermittelte Frequenzdifferenz f, welche nach Glg(20) proportional zur Fließgeschwindigkeit v d der Flüssigkeit ist, in Form der Dopplerspannung U D an ein Zeigerinstrument (0 bis 50 Skalenteile (Skt)) weiter Da nicht bekannt ist, welche Skalenteilanzeige welchem Volumenstrom entspricht, kann der Volumenstrom also nicht direkt abgelesen werden Daher muß zunächst eine Kalibrierung des Volumenstroms vorgenommen werden 38

16 21 Kalibrierung 1 Der Vorratsbehälter wird mit Wasser gefüllt, wobei der Wasserstand möglichst hoch zu wählen ist, jedoch so, daß der Behälter nicht überläuft (Achtung: Das Wasser kann durch Öffnungen in der Gefäßwand unter der Gefäßoberkante auslaufen) Anschließend etwas Spülmittel zugeben, alle Ventile öffnen und dann etwa 20 Sekunden lang die maximale Pumpenspannung einstellen (zur Bläschenbildung, das kann jederzeit wiederholt werden, wenn zu wenige Bläschen im Wasser sind bzw die Anzeige stark schwankt) 2 Stellen Sie den Meßbecher unter das Auslaufventil V K (siehe Abb 12), und machen Sie sich mit der Funktionsweise der mechanischen Stoppuhr vertraut 3 Bestimmen Sie 8 Wertepaare für den Volumenstrom I V = V t in m3 s und den zugehörigen Skt-Wert Wählen Sie dabei die Betriebsspannungen der Pumpe derart, daß der ganze Skalenteilanzeigebereich abgedeckt wird Die einzelnen Wertepaare erhalten Sie folgendermaßen: 31 Zunächst müssen Sie 3 Dinge gleichzeitig tun: Öffnen des Auslaufventils V K Schließen des Ventils V, über welches das Wasser in den Vorratsbehälter zurückfließt Starten der Stoppuhr 32 Lesen Sie die Skalenteilanzeige der Dopplerspannung ab 33 Stoppen Sie die Uhr (und lesen Sie sie ab ), sobald 0,5 Liter Wasser in den Vorratsbehälter gelaufen sind 34 Stoppen Sie dann den Wasserauslauf, indem Sie gleichzeitig das Auslaufventil V K schließen und das Ventil V, über welches das Wasser wieder in den Vorratsbehäter fließen kann, öffnen 35 Schütten Sie das in den Meßbecher ausgelaufene Wasser wieder in den Kreislauf zurück 4 Zur Auswertung der so aufgenommenen Meßwerte bestimmen Sie aus der Auslaufzeit und -menge (0,5 Liter) jeweils den Volumenstrom I V = V in m3 Tragen Sie den Volumenstrom (in m3 ) als Funktion der Zeigeranzeige (in Skt) t s s in ein Diagramm ein (Millimeterpapier), und legen Sie eine Ausgleichskurve durch die Meßpunkte(Ausgleichskurve bedeutet, daß die Kurve möglichst nahe an möglichst vielen Meßpunkten vorbeigehen soll, dh lieber einen Ausreißer links liegenlassen und dafür an den anderen Punkten näher vorbeikommen) Aus der Ausgleichskurve kann dann zu den in der eigentlichen Messung (siehe nächster Abschnitt) gemessenen Skt-Werten der zugehörige Volumenstrom bestimmt werden 39

17 22 Widerstandsmessung Wir wollen die Strömungswiderstände R 1 und R 2 bestimmen Bei der vorgegebenen ApparaturläßtsichjedochR 2 nichteinzelnindenkreislaufeinbringen(durchöffnen oder Schließen von Ventilen) Daher muß R 2 aus den Widerstandswerten, die wir bei der Reihen- und Parallelschaltung von R 1 und R 2 messen, errechnet werden Aus diesen beiden Werten kann auch R 1 berechnet werden Wir können aber R 1 auch direkt messen Die beiden so erhaltenen Werte für R 1 wollen wir dann miteinander vergleichen 1 Führen Sie für jede der Verschaltungsmöglichkeiten R 1 einzeln, R 1 und R 2 in Reihe, R 1 und R 2 parallelgeschaltet zwei Messungen bei unterschiedlichen Einstellungen der Pumpenspannung durch: Messen Sie die Differenz der Wasserhöhen in den beiden Steigrohren Notieren Sie sich den Zeigerausschlag, welcher den Volumenstrom in Skalenteilen angibt 2 Zur Auswertung bestimmen Sie für jede dieser 6 Messungen aus der Höhendifferenz in den Steigrohren die Druckdifferenz p zwischen Anfang und Ende des Leitungssystems, vgl Abb 12 und Glg (3), sowie mit Hilfe der Kalibrierungskurve aus der Skalenteilanzeige den zugehörigen Volumenstrom I V = V t Aus der Spannungsdifferenz p und dem Volumenstrom I V können Sie dann den zugehörigen Strömungswiderstand R HP = p I bestimmen 3 Bilden Sie dann für jede der 3 Verschaltungsmöglichkeiten den Mittelwert der beiden Widerstandswerte, die sich bei den 2 unterschiedlichen Pumpenspannungen ergaben 4 Berechnen Sie aus den Widerstandswerten, die Sie für R 1 einzeln und für die Reihenschaltung erhalten haben, den Widerstand R 2 5 Berechnen Sie aus dem auf diese Weise bestimmten Wert für R 2 und dem Wert für R 1 den Widerstand der Parallelschaltung Vergleichen Sie den so erhaltenen Wert mit dem direkt gemessenen Worin dürfte die Ursache für den Unterschied zu suchen sein? 3 Anwendung des Doppler-Meßgerätes am eigenen Körper Lassen Sie sich vom Assistenten einen nicht eingebauten Doppler Meßkopf geben, stecken Sie diesen in Ihre Nachweiselektronik ein, und versuchen Sie blutdurchströmte Gefäße an der Hand (Fingerspitzen) oder am Handgelenk oder die das Gehirn versorgende Arterie am Hals zu finden 40

18 F) Fragen 111 Der systolische Blutdruck beim gesunden Erwachsenen beträgt in Ruhe 120mm Hg Bei einem Patienten wird ein systolischer Wert von 140mm Hg gemessen Um wieviel Pascal liegt dieser Blutdruck über dem Normalwert? (Dichte von Quecksilber: 13,6 kg/l) 112 Erklären Sie das hydrostatische Paradoxon 113 Erklären Sie das hydrodynamische Paradoxon 114 Wie lautet die Bernoulli-Gleichung, und welche Bedeutung hat sie für den Auftrieb einer Tragfläche? 115 Wodurch unterscheiden sich laminare und turbulente Strömung? 116 Was versteht man unter der Reynoldsschen Zahl? 117 An welchen Stellen im menschlichen Körper treten laminare bzw turbulente Strömungen auf (gasförmig und flüssig)? 118 Vergleichen Sie das Hagen-Poiseuillesche Gesetz mit dem Ohmschen Gesetz Welche Größen entsprechen einander? 119 Welche Bedeutung hat das Hagen Poiseuillesche Gesetz für den Blutkreislauf? 1110 Die Aorta verzweigt sich in 30 bis 40 Milliarden Kapillaren, von denen effektiv 8 bis 10 Milliarden genutzt werden Hierbei erhöht sich die Gesamtquerschnittsfläche auf das 800fache Wenn wir nun von 9 Milliarden Kapillaren ausgehen, die der Einfachheit halber alle als gleich dick angenommen werden, wie ändert sich dann der Widerstand pro Längeneinheit beim Übergang von der Aorta zu den zueinander parallelgeschalteten Kapillaren? 1111 Wie groß ist die Zähigkeit des Blutes? 1112 Warum hat das Blut beim Durchströmen feiner Arterien eine scheinbar geringere Zähigkeit als in Arterien großen Durchmessers? 1113 Was sagt das Stokessche Gesetz aus? 1114 Weshalb sinkt eine Kugel in einer zähen Flüssigkeit nach einer gewissen Zeit mit konstanter Geschwindigkeit? 1115 Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Kugelfallviskosimeter und Blutsenkung? 1116 Mit der Dopplertechnik kann man nicht nur Gefäßdiagnostik betreiben, sondern auch die fetale Herzfrequenz bestimmen Wie läßt sich das erklären? 1117 An einem windstillen Tag stehen Sie auf der Aussichtsplattform des Stuttgarter Fernsehturms und lassen auf Ihrem Mobiltelefon laut Ihre Lieblingsmusik laufen Wie würde sich die von Ihnen gehörte Musik verändern, wenn Sie das Telefon vom Turm fallen lassen würden? Wie würde es für einen Hörer klingen, der am Fuße das Turmes steht? 41