4. Bildentrauschen: Filtertechniken 4. Bildentrauschen: Filtertechniken für additives Rauschen FILTER FILTER. B F = B + η

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1 4. Bildentrauschen: Filtertechniken 4. Bildentrauschen: Filtertechniken für additives Rauschen FILTER FILTER Originalbild B Verrauschtes Bild B F = Filter(B) + η FILTER: Scanner, digitale Cameras, Internetübertragung... Verrauschtes Bild B F = B + η Entrauschtes Bild B η: additives Rauschen = unvorhersehbare Filterfehler Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung FILTER: Transformation zur Rauschunterdrückung 4. Datenunabhängiges Rauschen: Gaußsches weißes Rauschen 4. Datenunabhängiges Rauschen: Salt-und-Pepper, Schnee η N(0,σ ) Originalbild p = 0. p = 0.3 p = 0.5 Originalbild σ = 3 σ = 0 σ = 3 p := Anzahl von fehlerbehafteten Pixeln Anzahl von Pixeln

2 4. Lineare zeitinvariante Filter: -dim Faltung 4. Lineare zeitinvariante Filter: Definition (-dim Faltung): Seien h, B l(z ). Filter h F : (H B)[m, k] = B[n,l]H[m n, k l], m, n Z. n,l Z Satz (Faltungseigenschaft): Seien h l (Z ) und B l p (Z ), p. Dann gilt H B lp H l B lp, d.h H B l p (Z ). Berechnung von (h B)[, ] = i B[0, 0] + h B[, 0] + g B[, 0] + f B[0, ] Lineare zeitinvariante Filter (LTI Filter) Einheits-Impulsfolge δ l 0 (Z ) 4. Lineare zeitinvariante Filter: Fourier Transformation Definition: Sei h l(z ). Die π periodische Funktion ĥ(ξ) = h[m, k]e im ξ e ik ξ, ξ = (ξ,ξ ) R, m,k Z heißt die F Transofmierte von h, falls die Reihe konvergiert. Bemerkung: h l (Z ) ĥ : R C ist gleichmäßig stetig. Satz (Faltungssatz): Seien h, B l (Z ), dann gilt h B l (Z ) und Impulsantwort eines Filters ist eine Folge h = h F (δ) l(z ). Stabilität: h F : l p (Z ) l p (Z ) Stabile LTI Filter: h F (B) = h B l p (Z ) für B l p (Z ). (h B)(ξ) = ĥ(ξ) B(ξ), ξ R. Definition der Faltung und Indexsubstitution m = m n, k = k l ergeben (h B)(ξ) = k,m Z h[m, k ]e i(m,k ) ξ n,l Z B[n,l]e i(n,l) ξ

3 4. LTI Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ = 4. LTI Filter: Gaußsches weißes Rauschen σ = Verrauschtes Bild Gauß Filter: 3 3 Gauß Filter 5 5 Verrauschtes Bild Mittelwert Filter: LTI Filter: Salt und Pepper 5% 4. LTI Filter: Salt und Pepper 5% Verrauschtes Bild Gauß Filter: 3 3 Gauß Filter 5 5 Verrauschtes Bild Mittelwert Filter:

4 4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Salt und Pepper 5% 4.3 Nichtlineare Rangordnungsfilter: Gaußsches weißes Rauschen σ = Verrauschtes Bild Median Filter: Verrauschtes Bild Median Filter: Inverse Filter und Wiener-Filter Satz (Existenz von h inv ): Seien h l (Z s ) und ĥ(ξ) 0, ξ Rs. Dann existiert h inv l (Z s ), so dass ĥ inv (ξ) = ĥ(ξ), ξ Rs. dig. Camera Beispiel: Sei ĥ(ξ) = e iξ, ξ R. Die entsprechende Impulsantwort h l 0 (Z) l (Z) und ĥ(ξ) 0, ξ R. Dann gilt Originalbild B B F = Blur(B) + η ĥ inv (ξ) = e iξ = ( e iξ k=0 ) k Ziel: Umkehrung der Filtertransformation und Rauschunterdrückung und die Folge h inv = (h inv [k]) k Z l (Z) mit h inv [k] = { k k 0, 0 sonst.

5 4.4. Inverse und Pseudoinverse Filter 4.4. Wiener-Filter Originalbild B Blur(B) + η Näherung an B Originalbild B Blur(B) + η Näherung B an B ĥ (ξ) = {, h(ξ) ĥ(ξ) 0, 0, ĥ(ξ) = 0, mit Filter h F = Blur. ( B[m, ) Ziel: E k] B[m, k] min! m, k = 0,...,N. Nachteile: Rauschverstärkung Beispiel (bedingter Erwartungswert): dreiseitige Würfel wurden 400 mal zusammen geworfen. Ereignisraum Ω = {(, ),(, ),(, 3),(, ),(, ),(, 3),(3, ),(3, ),(3, 3)} Augensumme X : Ω {, 3, 4, 5, 6} und Y : Ω {,, 3}, Y(i, j) = min{i, j}, (i, j) Ω, X P(X = x) 3 Y 3 P(Y = y) 5 und die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y Y \ X Der bedingte Erwartungswert E(X Y) : {,, 3} R ist eine ZV mit Werten E(X Y)(j) = E(X Y = j) = x P(X = x Y = j), j =,, 3. x {,3,4,5,6} 3 Also mit P(X = x Y = y) = P(X=x,Y=y) P(Y=y) gilt E(X Y = ) = = 6 5 E(X Y = ) = = 4 3 E(X Y = 3) = 6 = 6 und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von E(X Y) ist 6 E(X Y) ) 5 ( P E(X Y) = E(X Y = y) ( ) Beachte: P E(X Y) = E(X Y = y) = P(Y = y) gilt nur weil E(X Y = y ) E(X Y = y ) für y y, y, y {,, 3}. Sonst soll man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten von Y addieren.

6 Satz: Seien X : Ω x Ω x und Y : Ω y Ω y ZVen mit WVen ( ) x, P(X = x) x Ω x und T : Ω y R eine ZVe mit WV Dann gilt ( ) E (X E(X Y)) Y = y und ( ) T(y), P(Y = y). y Ω y ( ) y, P(Y = y), y Ω y ( ) E (X T(Y)) Y = y, y Ω y. ) ( ) Korollar: E ((X T(Y)) ist minimal, wenn E (X T(Y)) Y minimal ist. Bemerkung: Diese Resultate gelten auch für stochastische N N Felde X = B und Y = h F (B). Der Wiener-Filter ist dann die ZVe (Abbildung) E(X Y) : Ω y R N N. Beispiel: (i) Seien X N(0,σ x), η N(0,σ ) unkorreliert, Y := X + η. Für 4.4. Wiener Filter λ = σ x σ x + σ sind die ZVen X λy und Y stochastisch unabhängig und ( E X E(X Y) ) ( = E X λy ) is minimal. (ii) Seien X N (0, diag(σ jj ) ), η N(0,σ I N ) unkorrelierte stochastische N Felde und Y := X + η. Dann gilt E X diag( σjj σjj + σ )Y is minimal. Originalbild B Gauss-Filter(B) + η Näherung an B mit Wiener-Filter Nachteil: funktioniert nur für h F = Blur

7 5. Bildentrauschen, Variationsmethoden. Ab jetzt: Bild ist eine Funktion B : [0, ] R. 5. Welche Funktionsräume benutzt man, um die Bilder zu klassifizieren? Definition+Resultate: Sei Ω R offen, beschränkt, mit Lipschitz-Rand Ω. Die Funktionsräume { ( L p (Ω) := f : Ω R f Lp = L := /p f(x, y) dxdy) p < Ω } { f : Ω R f L = esssup (x,y) Ω f(x, y), }, p <, W,p (Ω) := {f L p (Ω) distributionelle Ableitungen (,0) f, (0,) f L p (Ω)}, W k,p (Ω) := {f L p (Ω) α f L p (Ω), 0 < α = α + α k} Ziel: Bildkanten (Unstetigkeiten) zu erfassen. sind Banachräume mit f W k,p := f p L p + 0< α k /p α f p L p, p <, k N. Beispiele: Bemerkungen: (i) Es gilt L p (Ω) L q (Ω), < q < p. (ii) Die L p Räume lassen die stückweise konstante Funktionen zu, die entsprechenden Normen messen nur die Gesamtintensität (Helligkeit) eines Bildes. Damit kann man die Kanten nicht erfassen. (iii) Sei D Ω ein Gebiet mit C Rand. Dann ist die Funktion {, x D, f(x) = 0, x Ω \ D, nicht in W,p (Ω), p. Also stückweise konstante Funktionen und damit Unstetigkeiten (Kanten) sind nicht zugelassen. Definition+Resultate: Sei Ω R offen, beschränkt, mit Lipschitz-Rand Ω. Der Funktionsraum BV(Ω) := {f : Ω R f L (Ω), TV[f] < } Funktionen beschränkter Variation ist ein Banachraum mit f BV := f L + TV[f], { TV[f] = sup f div(ϕ)dxdy ϕ ( C0 (Ω; R ) ) }, ϕ. Ω Lemma: Falls f L (Ω), gilt TV[f] = Ω f(x, y) dxdy.

8 Definition: Sei f : Ω R und Die Rände E β := {(x, y) Ω f(x, y) β}, β R. E β := {(x, y) Ω f(x, y) = β}, β R, Höhenlinien eines Bildes mit Matlab: der Mengen E β heißen die Höhenlinien von f Bild B contour(b); 5. Bildentrauschen: Variationsmethoden und Filtermethoden Satz (Co-Area-Formel): Sei f BV(Ω). Dann gilt TV[f] = Beispiele: TV[χ Eβ ]dβ = Per(E β )dβ. B F (x, y) = B(x, y) }{{} + η(x, y) }{{}, (x, y) Ω. Originalbild Rauschen Grundform des Variationsproblems: Gegeben: B F : Ω R, V Banachraum und ein Funktional J = J BF,λ : V R +. Bestimme: B mit J(B ) = min u V J(u). Beispiele: Bemerkung: Um TV[f] zu minimieren, soll man die Rände von E β glätten. (i) V = W, (Ω) und J(u) = λ u B F L + u L, λ > 0. (ii) V = BV(Ω) und J(u) = λ u B F L + TV[u], λ > 0.

9 ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): minimiere Lineares Modell: minimiere J(u) = λ ku BF kl + k u kl, J(u) = u W, (Ω). λ ku BF kl + TV[u], u BV (Ω) Originalbild B BF = B + η minu J(u) Originalbild B BF = B + η minu J(u) ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): Glättung der Höhenlinien ROF-Modell (Rudin, Osher, Fratermi): Wahl von λ in J(u) = BF λ ku BF kl + TV[u], B, λ > 0 u BV (Ω). B, λ < λ

10 Definition: Ein Funktional J : V R heißt strikt konvex, falls ( ) J ( α)u + αv < ( α)j(u) + αj(v) für alle u, v V, u v, und α (0, ). Beispiele: Satz (Eindeutigkeit des Minimums): Seien V konvex und J : V R strikt konvex. Dann existiert höchstens ein globales Minimum von J in V. Satz (Existenz des Minimums): Sei J : V R ein Funktional auf einem topologischen Raum V mit Topologie τ und erfülle (i) (Folgen-Unterhalbstetigkeit) Für u k u in der Topologie τ gelte J(u) liminf k N J(u k ). (ii) (Kompaktheitsvoraussetzung) Es existiere λ R, so dass E λ = {u V J(u) λ} und E λ kompakt in der Topologie τ. Dann besitzt J ein Minimum J(B ), B V. siehe Satz. in muenster.de/num/vorlesungen/mathembv _SS07/Kapitel.pdf lineares Modell: Charakterisierung und Existenz des Minimums Definition: Seien V ein Banachraum, U V offen und J : V R. Dann ist das Gateaux-Differential dj(u; v) von J an der Stelle u U in der Richtung v V, falls es dort existiert, definiert durch J(u + tv) J(u) dj(u; v) = lim, t 0. t 0 t Definition: Seien V ein Banachraum, U V offen. Dann heißt J : U R Fréchet-differenzierbar an der Stelle u U, falls es einen beschränkten linearen Operator J : V R derart gibt, dass Beispiele: Satz: Ist J : V R ein konvexes Funktional und ist J überall auf V Frechet-differenzierbar, dann gilt J(B ) = min u V J(u) J (B ) = 0. J(u + v) J(u) J (u) lim = 0, v 0, v 0 v V gilt.

11 -dim Fall, V = W, (0, ): J(B ) = min u V J(u) B lösst die lineare Dgl..Ordnung mit konstanten Koeffitienten u (x) + λu(x) = λb F (x), x (0, ), und erfüllt die Neumann-Randbedingungen Beispiel: Sei B F gerade und Dann gilt u (0) = u () = 0. B F (x) = a 0 + a k cos (kπx), x (0, ). k= B (x) = a 0 + λa k (πk) + λ cos (kπx), B W, (0, ). k= Euler-Lagrange-Dgl.: (i) lineares Modell: mit Randbedingung u n Ω = 0. u + λu = λb F, (x, y) Ω, (i) ROF-Modell (TV-Minimierung): ( ) u div + λu = λb F, (x, y) Ω, u mit Randbedingung u n Ω = 0. Bemerkungen: (i) Divergenz des Normalenvektorfeldes u(x,y) u(x,y) ist die Krümmung K der Höhenlinie von u an der Stelle (x, y). (ii) Ist K L (Ω), so dürfen die Kantenmengen von u keine Ecken haben. Berechnung der Lösung von Variationsansätzen: I. Primales Optimierungsproblem II. Duales Optimierungsproblem III. Primales-Duales Optimierungsproblem IV.(a) Euler-Lagrange-Dgl. und lagged Diffusion IV.(b) Euler-Lagrange-Dgl. Anfangsrandwertproblem für u(t, x, y) ( ) u u t div + λu = λb F, (t, x, y) (0, ) Ω, u u(0, x, y) = u 0 (x, y) u n Ω = 0. Wähle u 0. Für k = 0,,,... löse: ( ) u k+ div u k + λu k+ = λb F, (x, y) Ω, mit Randbedingung u k+ n Ω = 0. u(t 0, x, y), t 0 > 0 u(t, x, y), t > t 0 u(t, x, y), t > t

12 Bilateral-Filter: Gauß- vgl. Bilateral-Filter: Sei G σ (r) = σ r π e 4σ, (x, y) R. Faltung mit Gauß-Filter: B G [m, k] = G σ ( (m n, k l) )B F [n,l], m, k Z. n,l Z Faltung mit Bilateral-Filter (Tomasi, Manduchi, 8): B B [m, k] = C G σ ( (m n, k l ))G σ ( B F [m, k] B F [n,l] )B F [n,l], m, k Z, n,l Z mit passendem Gewicht C > 0. Datenabhängiger Filter Bilateral-Filter vgl. anisotrope Diffusion: Originalbild gefaltet mit Bilateral-Filter