2. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise

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1 2. Stegreifaufgabe aus der Mathematik Lösungshinweise Gruppe A (a Unterscheidet man nur nach Zielort München oder nicht, kann man folgendermaÿen vorgehen: Aufgabe 1 Die drei (nicht unterschiedenen Päckchen mit Zielort München muss man auf die 10 möglichen Plätze verteilen, das geht auf ( 10 = = 120 verschiedene Weisen. Die restlichen 7 Päckchen muss man dann noch auf die verbliebenen 7 Plätze verteilen, das geht aber nur auf eine Weise. Man kann natürlich auch zuerst die 7 Päckchen, die nicht nach München gehen, auf 10 Plätze verteilen, das geht auf ( 10 = = = 120 verschiedene Weisen. Auch dann sind die Plätze für die restlichen 3 Päckchen festgelegt. (b Unterscheidet man alle 10 Päckchen, dann hat man 10! = verschiedene Möglichkeiten, sie anzuordnen. (Zwei gleichwertige Möglichkeiten sich das zu überlegen, vom Päckchen aus, oder von der Platznummer aus: 1 Für das erste Päckchen gibt es 10 Möglichkeiten, es auf einen Platz zu verteilen, für das zweite noch 9, etc oder 2 Um den ersten Platz zu besetzen, gibt es 10 Möglichkeiten (Päckchen, für den zweiten 9 Möglichkeiten, etc (c Für den ersten Platz gibt es 3 Möglichkeiten, ihn zu besetzen. Für den zweiten Platz 7 Möglichkeiten, die restlichen 8 Plätze kann man dann auf 8! Möglichkeiten (siehe b besetzen. Also hat man unterschiedliche Möglichkeiten ! =

2 Aufgabe 2 Damit jeder mit jedem anstöÿt, muss man sich anschauen, wieviele Paare man aus 56 Personen bilden kann. Man wählt also aus 56 Personen immer 2 aus. Dazu gibt es natürlich ( 56 2 = 1540 Möglichkeiten. (a In Labsaal gibt es 3-mal den Buchstaben a, 2-mal das l und jeweils einmal b und s. Um die a's auf die 7 Buchstabenplätze zu verteilen, hat man ( ( 7 3 Möglichkeiten, die zwei l's kann man auf 4 2 verschiedene Arten auf die übrigen 4 Plätze verteilen, für das b gibt es dann noch 2 Möglichkeiten und der letzte Platz wird durch das s besetzt, macht insgesamt ( ( ( = 7! ! 2! = 420 Aufgabe 3 verschiedene Wörter. (b Man hat insgesamt 420 verschiedene Worte, die herauskommen können, und nur eine von diesen Möglichkeiten ist die gewünschte, also ist die Wahrscheinlichkeit (nach Laplace Man kann sich das auch ohne Kombinatorik, analog zum stufenweisen Vorgehen bei einem Baumdiagramm, überlegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass man als ersten Buchstaben ein l zieht, beträgt 2 7 (von den 7 Buchstaben in der Urne sind zwei ein l, die Wahrscheinlichkeit, dass man als zweiten Buchstaben ein a zieht, ist dann 3 6, usw., insgesamt: P = = = = = Aufgabe 4 Damit der Lieblingsparkplatz nicht besetzt ist, müssen die 30 Autos auf den verbliebenen 49 Parkplätzen stehen, das geht auf 49! verschiedene Weisen. Insgesamt gibt es 50! Möglichkeiten, die Autos zu parken, also ist die Wahrscheinlichkeit: 49! = 50! = = 0, 4 49! 50! Man kann auch so tun, als würde man die Autos nicht unterscheiden können, dann erhält man für die Wahrscheinlichkeit: ( ( = 0, 4.

3 Gruppe B (a Unterscheidet man nur nach Zielort München oder nicht, kann man folgendermaÿen vorgehen: Aufgabe 1 Die vier (nicht unterschiedenen Päckchen mit Zielort München muss man auf die 12 möglichen Plätze verteilen, das geht auf ( = = verschiedene Weisen. Die restlichen 8 Päckchen muss man dann noch auf die verbliebenen 8 Plätze verteilen, das geht aber nur auf eine Weise. Man kann natürlich auch zuerst die 8 Päckchen, die nicht nach München gehen, auf 12 Plätze verteilen, das geht auf ( = = = verschiedene Weisen. Auch dann sind die Plätze für die restlichen 3 Päckchen festgelegt. (b Unterscheidet man alle 12 Päckchen, dann hat man 12! = verschiedene Möglichkeiten, sie anzuordnen. (Zwei gleichwertige Möglichkeiten sich das zu überlegen, vom Päckchen aus, oder von der Platznummer aus: 1 Für das erste Päckchen gibt es 10 Möglichkeiten, es auf einen Platz zu verteilen, für das zweite noch 9, etc oder 2 Um den ersten Platz zu besetzen, gibt es 10 Möglichkeiten (Päckchen, für den zweiten 9 Möglichkeiten, etc (c Für den ersten Platz gibt es 8 Möglichkeiten, ihn zu besetzen. Für den zweiten Platz 4 Möglichkeiten, die restlichen 10 Plätze kann man dann auf 10! Möglichkeiten (vergleiche b besetzen. Also hat man unterschiedliche Möglichkeiten. 8 0! =

4 Aufgabe 2 Damit jeder mit jedem anstöÿt, muss man sich anschauen, wieviele Paare man aus 56 Personen bilden kann. Man wählt also aus 50 Personen immer 2 aus. Dazu gibt es natürlich ( 50 2 = 1225 Möglichkeiten. (a In ananas gibt es 3-mal den Buchstaben a, 2-mal das n und s. Um die a's auf die 6 Buchstabenplätze zu verteilen, hat man ( 6 3 Möglichkeiten, die zwei n's kann man auf ( 3 2 verschiedene Arten auf die übrigen 3 Plätze verteilen und der letzte Platz wird durch das s besetzt, macht insgesamt ( ( = 6! 3 2 3! 2! = 60 Aufgabe 3 verschiedene Wörter. (b Man hat insgesamt 60 verschiedene Worte, die herauskommen können, und nur eine von diesen Möglichkeiten ist die gewünschte, also ist die Wahrscheinlichkeit (nach Laplace Man kann sich das auch ohne Kombinatorik, analog zum stufenweisen Vorgehen bei einem Baumdiagramm, überlegen: Die Wahrscheinlichkeit, dass man als ersten Buchstaben ein a zieht, beträgt 3 6 (von den 6 Buchstaben in der Urne sind drei ein a, die Wahrscheinlichkeit, dass man als zweiten Buchstaben ein n zieht, ist dann 2 5, usw., insgesamt: P = = = Aufgabe 4 Damit der Lieblingsparkplatz nicht besetzt ist, müssen die 40 Autos auf den verbliebenen 59 Parkplätzen stehen, das geht auf 59! verschiedene Weisen. Insgesamt gibt es 60! Möglichkeiten, die Autos zu parken, also ist die Wahrscheinlichkeit: 59! = 60! = = 1 0, ! 60! Man kann auch so tun, als würde man die Autos nicht unterscheiden können, dann erhält man für die Wahrscheinlichkeit: ( ( = 1 3.

5 Punkteschlüssel: Rohpunkte Note 0-2, , , , ,5-8, , , , , ,5-15, , , ,