Vorkurs Mathematik. für Studierende der Fachrichtungen Mathematik und Informatik. Wintersemester 2014/15

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1 Vorkurs Mathematik für Studierende der Fachrichtungen Mathematik und Informatik Wintersemester 2014/15 Alexander Ullmann CAU Kiel (PerLe)

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3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis iv Einleitung 1 1 Aussagen, Mengen und Quantoren Aussagen und logische Verknüpfungen Mengen Die Quantoren und Verneinung (Negation) von Aussagen Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R Bruchrechnung Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen Intervalle Beweistechniken und einige Beweise Teil I 19 4 Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen Potenzen und Wurzeln Der Logarithmus Die Logarithmengesetze Der Betrag Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Quadratische Gleichungen und Quadratische Ergänzung Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen Wurzelgleichungen Bruchungleichungen Betragsungleichungen in zwei Variablen iii

4 iv INHALTSVERZEICHNIS 6 Funktionen Definition und Grundlagen Eigenschaften von Funktionen Die Umkehrfunktion Spezielle Funktionen Die Potenzfunktion Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion Polynomfunktionen Allgemeine (affin-)lineare Funktionen Stückweise lineare Funktionen Trigonometrische Funktionen Herleitung und Definition Die Additionstheoreme Die komplexen Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen Die Gaußsche Zahlenebene Lösen quadratischer Gleichungen in C Polardarstellung und Einheitswurzeln Analytische Geometrie in Ebene und Raum Der Vektorraum R n Die euklidische Ebene R Geraden in der Ebene Der Schnitt von Geraden in der Ebene und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Norm und Skalarprodukt in der euklidischen Ebene Der euklidische Raum R Geraden und Ebenen im Raum Beweistechniken und einige Beweise Teil II Bearbeitung von Übungsaufgaben Beispiele Index 89

5 Einleitung 1 Einleitung Dieser Kurs soll wichtige Bereiche Ihres Schulwissens möglichst konsistent aufbereiten. Er richtet sich insbesondere an Studierende, die Unsicherheiten im Umgang mit dem mathematischen Schulstoff haben, deren Mathematikunterricht länger zurückliegt oder deren mathematischer Schulstoff nicht alle für das Studium notwendige Voraussetzungen umfasste. Der Vorkurs muss sich auf das Notwendigste beschränken, soll Sie aber schon vertraut machen mit der präzisen Darstellung mathematischer Sachverhalte, wie sie das Studium vermitteln und verlangen wird. Die dargestellten Inhalte sind vielerorts, sei es frei erhältlich im Internet, oder auf dem Büchermarkt in guten Darstellungen zu finden. In diesen Kurs fließen aber die speziellen Erfahrungen des Lehrbetriebes von Dozenten der ersten Semester Mathematik ein. Über Jahre konnten wir gravierende Lücken vieler Studienanfänger im Umgang mit elementaren Rechentechniken und Definitionen, wie Rechnen mit Beträgen oder den sicheren Umgang mit Ungleichungen beobachten. Wenn solche Lücken nicht aufgearbeitet werden, kann daran leicht das erfolgreiche Studium scheitern. Auch beobachteten wir bei vielen Studienanfängern und -anfängerinnen große Hemmungen, sich eigenständig an das Lösen auch einfacherer Übungsaufgaben zu machen. Das ist aber unumgänglich um mit dem Fortschreiten des Stoffes Schritt zu halten und nicht irgendwann abgehängt zu werden. Eine weitere Hürde für das Studium stellt für viele das Formulieren und Aufschreiben eines vollständigen Beweises dar. Auch an diesen Aspekt des Mathematikstudiums wollen wir Sie in diesem Vorkurs bereits heranführen. Dieser Vorkurs soll jedem Studienanfänger und jeder Studienanfängerin die Chance bieten, im Studium von Anfang an alle Übungsangebote optimal für sich nutzen zu können und damit die Grundlage für ein erfolgreiches Mathematikoder Informatikstudium an der CAU Kiel bieten. Dieses Skript basiert auf einer überarbeiteten Version eines Vorkurses Mathematik, der seit 2009 am KIT in Karlsruhe gehalten wird und ursprünglich von Frau Dr. Johanna Dettweiler entworfen wurde, und es wurden Elementee aus bereits am Mathematischen Seminar in Kiel gehaltenen Vorkursen von Herrn Prof. Hermann König und Herrn Dr. Hauke Klein übernommen. Kiel, im Herbst 2014 Alexander Ullmann

6 2 Einleitung

7 Kapitel 1 Aussagen, Mengen und Quantoren 1.1 Aussagen und logische Verknüpfungen Wenn man sich über Mathematik verständigen will, ist es unumgänglich zu verstehen, was mathematische Aussagen sind und wie sie verknüpft werden können. Erst dann kann man verstehen, was bspw. ein mathematischer Beweis ist. Daher fängt dieser Vorkurs mit mathematischen Aussagen an und behandelt in Kürze, wie daraus durch verschiedene Verknüpfungen neue Aussagen entstehen. Definition ((Mathematische) Aussagen). Eine Aussage im mathematischen Sinne ist ein sprachliches Gebilde, dessen Wahrheitsgehalt stets mit wahr oder falsch angegeben werden kann. Beispiele (1) Folgendes sind mathematische Aussagen: Dienstag ist ein Wochentag. Dienstag ist Montag. 2 ist eine gerade Zahl. 2 = 1. (2) Folgendes sind keine mathematische Aussagen: Mathematik macht Spaß. x 2 + 2x + 1. x = 0. (Was ist x?). Diese Aussage ist falsch. Ein zentraler Aspekt besteht nun darin, verschiedene Aussagen miteinander in Relation zu setzen. Dazu verwenden wir die folgenden logischen Verknüpfungen von Aussagen A, B: 3

8 4 1. Aussagen, Mengen und Quantoren Bezeichnung Symbol Bedeutung der Verknüpfung 1. Negation A nicht A 2. Konjunktion (und) A B A und B 3. Disjunktion (oder) A B A oder B 4. Implikation (Folgerung) A B aus A folgt B 5. Äquivalenz (genau dann, wenn) A B A und B sind äquivalent, d.h. es gilt A B und B A Sie werden definiert über Wahrheitstafeln (dabei steht w für wahr und f für falsch): A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w Aussagen, die durch logische Verknüpfung von anderen Aussagen entstehen, nennen wir gelegentlich auch zusammengesetzte Aussagen. Definition (Tautologische Äquivalenz). Zwei (ggf. zusammengesetzte) Aussagen A und B heißen tautologisch äquivalent, wenn Sie dieselben Wahrheitstafeln besitzen. Wir schreiben in diesem Fall A = = B. Zum Beispiel gelten (Nachweis über Wahrheitstafeln): 1. (A B) = = ( A B ), 2. (A B) = = ( A B), 3. (A B) = = (A B), 4. (A B) = = ( B A), aber A B ist nicht tautologisch äquivalent zu B A. 5. (A B) = = ( A B B A )

9 1.2. Mengen 5 Beispiele aus dem alltäglichen Sprachgebrauch (Achtung, hierbei handelt es sich streng genommen nicht um Aussagen in unserem Sinn): Zu 2. Die Aussage Wenn Du nicht aufräumst, dann bekommst Du Stubenarrest läßt sich auffassen als Implikation A B mit den Aussagen A : Du räumst nicht auf und B : Du bekommst Stubenarrest. In der Tat ist diese Aussage auch umgangssprachlich gleichwertig mit Du räumst auf, oder Du bekommst Du Stubenarrest, also mit A B. Zu 3. Ebenso läßt sich die Aussage Wenn Du aufräumst, dann bekommst Du 10 Euro als Implikation A B auffassen, dieses mal mit den Aussagen A : Du räumst auf und B : Du bekommst 10 Euro. Diese Aussage ist offenbar falsch genau dann, wenn sie eine Lüge ist, wenn der Angesprochene also aufräumt, aber keine 10 Euro bekommt, wenn also A wahr und B falsch ist, bzw. wenn A B gilt. Zu 4. Die Aussage Wenn es regnet, wird die Straße naß läßt sich als Implikation A B auffassen mit den Aussagen A : Es regnet und B : Die Straße wird naß. Wenn die Straße also nicht naß wird, kann es nicht regnen, d.h. wir haben tautologische Äquivalenz zur Aussage B A, aber wenn die Straße (wie auch immer) naß wird, können wird daraus nicht folgern, daß es auch regnet. Man beachte: Das logische oder ist nicht-ausschließend, also nicht zu verwechseln mit entweder... oder. Ist A falsch, so ist die Implikation A B stets wahr ( ex falso quodlibet )! Zum Beispiel gilt 1 < 0 2 = 3. Die Negation einer Implikation ist eine und -Aussage, vgl. dazu auch Punkt 3. oben und das zugehörige sprachliche Beispiel. 1.2 Mengen Naiver Mengenbegriff nach Cantor: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Für jedes Objekt muß eindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge gehört oder nicht. Die zu einer Menge gehörenden Objekte heißen Elemente der Menge. Mengen werden üblicherweise mit Großbuchstaben A, B, C,... und ihre Elemente mit kleinen Buchstaben a, b, c,... bezeichnet. Wir schreiben a A für a ist Element von A und a A für a ist nicht Element von A. Darstellung von Mengen. Elemente von Mengen werden durch geschweifte Klammern {...} zusammengefaßt. Dies geschieht entweder durch die aufzählende Darstellung oder durch die beschreibende Darstellung:

10 6 1. Aussagen, Mengen und Quantoren (1) Ein Beispiel zur aufzählende Darstellung von Mengen: Die Menge A der Buchstaben des Namens Paula, mit Unterscheidung großer und kleiner Buchstaben, ist: A := {P, a, u, l, a} = {P, a, u, l} = {l, P, u, a}. oder durch die Darstellung {x x hat die Eigenschaft E}, wie zum Beispiel: (2) Die beschreibende Darstellung von Mengen hat allgemein die Gestalt {x x hat die Eigenschaft E}, wie zum Beispiel: B := {x x A, x ist ein Großbuchstabe } = {P } oder C := {x x ist eine ungerade Zahl}. (Dabei bedeutet X := Y X sei definiert als Y ). Ist für ein x aus einer Menge X die Eigenschaft E in Gestalt eines Ausdruckes E(x) gegeben, so sind gleichbedeutend {x X x hat die Eigenschaft E} sowie {x X E(x) ist wahr}, oder meist kurz {x X E(x)}. Die so definierte Menge ist dann eine Teilmenge von X (s.u.). Man beachte: Eine bedingte (also teilweise) aufzählende Darstellung von unendlichen Mengen mit Pünktchenschreibweise ist zwar oft intuitiv und auch anschaulicher, aber niemals exakt. Definiert man zum Beispiel M := {1, 2, 4, 8, 16,...}, so suggeriert dies zwar M = {n N n = 2 k für eine k N}, aber es könnte genauso gut sein M = {1, 2, 4, 8, 16, 30,...} = {n N n ist die Anzahl der Teiler von m! für ein m N}, oder { M = {1, 2, 4, 8, 16, 31,...} = n N n ist die maximale Anzahl von Gebieten, die man durch geradliniges Verbinden von m Punkten auf einem Kreisrand aus einer Kreisscheibe ausschneidet für ein m N }. Eine beeindruckende Übersicht über bekannte Zahlenreihen (der auch diese Beispiele entnommen sind), finden Sie unter Definition (Teil- und Obermengen). Es seien A und B Mengen. (1) Die Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes Element a aus A auch Element von B ist. Wir schreiben in diesem Fall A B 1. Ist A nicht Teilmenge von B, gibt es also eine Element a A welches nicht Element von B ist, so schreiben wir A B. (2) Ist A B, so nennt man B auch Obermenge von A und notiert B A. (3) Gilt A B und B A, so sind die Mengen gleich und wir schreiben A = B. 1 Oft wird in diesem Fall auch die Notation A B verwendet.

11 1.3. Die Quantoren und 7 Beispiel Definiere die Mengen A := {1, 2, 3}, B := {1, 2, 3, 4}, C := {1, 2, 3, 2, 1} und D := {2, 4}. Dann gilt: A B, A C, C A, A = C und A D. Definition (Leere Menge). Die Menge, die kein Element besitzt, wird als leere Menge bezeichnet. Achtung: Die leere Menge ist nicht zu verwechseln mit { } oder {0}; insbesondere ist { }, aber { } und { } (Anschaulich: Ein Sack, in dem ein leerer Sack ist, ist selbst nicht leer). Definition (Schnitt- und Vereinigungsmenge, relatives Komplement). Seien A, B Mengen. Die Schnittmenge A B von A und B wird definiert als A B := {x x A und x B}. Die Vereinigungsmenge A B von A und B wird definiert als A B := {x x A oder x B}. Als relatives Komplement von B in A definiert man A \ B := {x A x B}. Definition (Das kartesiche Produkt von Mengen). Seien A, B Mengen. Dann heißt die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a A und b B A B := {(a, b) a A, b B} das sog. kartesische Produkt od. auch Kreuzprodukt von A und B. Man beachte: Zwei geordnete Paare (a, b), (c, d) sind genau dann gleich, wenn a = c und b = d gilt. Es gilt also zum Beispiel (1, 2) (2, 1), aber hingegen {1, 2} = {2, 1}! Beispiel Definiere die Mengen A := {1, 2, 3} und B := {1, 3, 5}. Dann gilt A B = {1, 3}, A B = {1, 2, 3, 5} ; und A\B = {2}, sowie A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)}. 1.3 Die Quantoren und Die Quantoren und sind logische Symbole, die der abkürzenden Schreibweise in der Aussagenlogik dienen.

12 8 1. Aussagen, Mengen und Quantoren Sei X eine Menge und E eine Eigenschaft, durch die für jedes x X eine Aussage E(x) gegeben ist. Wir schreiben in diesem Fall auch E( ), wobei der Punkt als Platzhalter für ein einzusetzendes Element steht. Dann bedeuten: ( x X : E(x) ) : Es existiert ein x X so, daß E(x) wahr ist. (1.3.1) bzw. Es existiert ein x X mit der Eigenschaft E. ( x X : E(x) ) : Für alle x X gilt E(x). (1.3.2) Beispiel Sei X die Menge der Teilnehmer dieses Vorkurses und E(x) die Aussage: x trägt eine Brille. 1. Dann bedeutet (1.3.1): Mindestens ein Teilnehmer trägt eine Brille. In welchen Konstellationen ist diese Aussage wahr bzw. falsch? 2. (1.3.2) bedeutet: Alle Teilnehmer tragen eine Brille. Diese Quantoren kann man auch iterativ verwenden: Seien X, Y Mengen, und sei E eine Eigenschaft auf X Y. Da man in diesem Fall zwei (möglicherweise) verschiedene Argumente für die Eigenschaft E hat, schreibt man hier auch E(, ). Dann bedeutet bspw. x X : ( y Y : E(x, y)) : Es existiert ein x X so, daß für alle (1.3.3) y Y die Aussage E(x, y) gilt. Beispiel Sei X := Y := R. F(x, y) sei die Aussage x y = 0. Dann bedeutet (1.3.3): Es existiert ein x R so, daß für alle y R x y = 0 gilt. Ist diese Aussage wahr? Wenn ja, für welche x? Beispiel (Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren). Die Reihenfolge der auftretenden Quantoren ist für die Bedeutung der formulierten Aussage entscheidend. Die Aussagen x y : E(x, y) und y x : E(x, y) haben eine unterschiedliche Bedeutung. So unterscheiden sich die Aussagen Alle Anwesenden haben einen Schuh, der paßt. und Es gibt einen Schuh, der allen Anwesenden paßt. oder auch die Aussagen x R \ {0} y R : x y = 1 und y R x R \ {0} : x y = Verneinung (Negation) von Aussagen Oft gelingt es bei einfachen Aussagen, diese nach Gefühl zu verneinen. Bei Aussagen, die selbst wieder Verknüpfungen anderer Aussagen sind, wird das jedoch immer unzuverlässiger. Es gibt aber eine ganz einfache Regel, wie das Negieren einer Aussage ganz mechanisch zu bewerkstelligen ist: Behalte die Reihenfolge bei! Vertausche und sowie und.

13 1.4. Verneinung (Negation) von Aussagen 9 Verneine alle auftretenden Aussagen. Die folgende Zusammenstellung listet Negierungen typischer Aussagetypen auf. Seien dabei A, B Aussagen, X, Y Mengen und E eine Eigenschaft. 1. A := ( A) = = A. 2. (A B) = ( A) ( B). 3. (A B) = ( A) ( B). 4. ( x X : E(x)) = = ( x X : E(x)). Die Negation der Aussage Alle Teilnehmer waren pünktlich da ist die Aussage Mindestens ein Teilnehmer war unpünktlich. 5. ( x X : E(x)) = = ( x X : E(x)). Die Negation der Aussage Es gibt einen Teilnehmer mit Brille ist Alle Teilnehmer tragen keine Brille, was natürlich eher als Kein Teilnehmer trägt eine Brille formuliert wird. 6. ( x X : ( y Y : E(x, y)) ) = = ( x X : ( y Y : E(x, y)) ). Die Negation der Aussage Jeder Teilnehmer findet mindestens einen Satz des bisherigen Stoffes trivial ist die Aussage Es gibt einen Teilnehmer der alle bisherigen Sätze nicht-trivial findet 7. ( x X : ( y Y : E(x, y)) ) = = ( x X : ( y Y : E(x, y)) ). Die Negation der Aussage Es gibt einen Teilnehmer, der alle Anwesenden bereits kennt ist Alle Teilnehmer kennen mindestens einen der Anwesenden nicht. Beispiel Seien X, Y Mengen und E eine Eigenschaft auf X Y, welche für alle (x, y) X Y eine Aussage E(x, y) definiert. Formulieren Sie mithilfe von Quantoren die Aussage Zu jedem x X findet man genau ein y Y so, daß E(x, y) gilt.. Bilden Sie zudem die Negation dieser Aussage.

14 10 1. Aussagen, Mengen und Quantoren

15 Kapitel 2 Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R Wir gehen an dieser Stelle davon aus, daß die grundlegenden Zahlenbereiche N, Z, Q, R bekannt sind und werden daher nur unformal and die wesentlichen Eigenschaften erinnern. Im Rahmen von fortführenden Vorlesungen werden Sie zumindest teilweise auch eine stringente Konstruktion dieser Zahlenbereiche und Herleitung der charakterisierenden Eigenschaften kennenlernen. Die natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4,...}: Es gibt eine kleinste natürliche Zahl, und jede Zahl n hat einen Nachfolger n + 1; es gibt also keine größte natürliche Zahl. In N sind die Rechenoperationen + und uneingeschränkt ausführbar, d.h. für a, b N gilt a + b, a b N. Die Frage, ob die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, ist nicht einheitlich geregelt, und hängt von der in der jeweiligen Veranstaltung bzw. vom Autor verwendeten Konvention ab. In den Grundvorlesungen wird aber meist die hier vorgestellte Variante gewählt, in der 0 keine natürlich Zahl ist, und man verwendet die zusätzliche Bezeichnung N 0 := N {0} = {0, 1, 2, 3,...}. Die ganzen Zahlen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}: In Z besitzt die Gleichung x + b = a (a, b N, x unbekannt, a, b bekannt) in Z stets eine Lösung. Es gilt N Z. In Z gibt es im Gegensatz zu N keine kleinste Zahl. In Z sind die Rechenoperationen +, und uneingeschränkt ausführbar. Die rationalen Zahlen Q = {x x = a } b für ein a Z und ein b N : Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen stets noch (unendlich viele) andere rationale Zahlen. Es gilt Z Q. In Q sind die Rechenoperationen +, und sowie teilen durch Elemente q Q\{0} uneingeschränkt ausführbar. Die reellen Zahlen Es gibt keine Zahl q Q, für die gilt q 2 = q q = 2. Also: 2 ist irrational. Beweis. Siehe Kapitel 3. Jede rationale Zahl läßt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben und umgekehrt stellt jede endliche oder periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. In diesem Kontext soll 11

16 12 2. Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R es genügen, sich unter der Menge R der reellen Zahlen alle möglichen Dezimalzahlen vorzustellen, also endliche, periodische und nicht endliche, nicht periodische Dezimalzahlen. Es gilt N N 0 Z Q R. Beispiele N. 2. 1, 17 Q = Q besitzt eine nicht abbrechende, aber periodische Dezimalentwicklung = 1, R besitzt eine nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalentwicklung. π = R besitzt eine nicht abbrechende und nicht periodische Dezimalentwicklung. Mit der Zahl π identifizieren wir die Länge eines Halbkreisbogens mit dem Radius Bruchrechnung Die Menge der rationalen Zahlen Q ist gleich der Menge aller sogenannten Brüche der Gestalt a b mit a, b Z und b 0. Dabei nennt man die Zahl a den Zähler und die Zahl b den Nenner des Bruchs a b. Zwei Brüche a b, c d Q haben den gleichen Wert bzw. stelle die gleiche rationale Zahl dar genau dann, wenn a d = b c ist, in diesem Fall gilt also a b = c d. Insbesondere ändert sich der Wert der durch einen Bruch dargestellten rationalen Zahl nicht, wenn man Zähler und Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (den Bruch erweitert) oder durch einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner teilt (den Bruch kürzt). Zum Beispiel gilt 2 5 = = 4 10 = 6 15, 2 = 2 1 = 10 5 und = = 2 3. Wir möchten die Kürzungs- und Erweiterungsregel zur Übung auch allgemein formulieren und beweisen: Kürzungs- und Erweiterungsregel für rationale Zahlen. Es sei a b und es sei n Z\{0}. Dann gilt a b = n a n b. Beweis. Es gilt a (n b) = n a b = b (n a), also ist a b = n a n b. Q eine rationale Zahl, (2.1.1) Den Übergang von links nach rechts in der Identität (2.1.1) nennt man Erweitern des Bruchs, und den umgekehrten Übergang von rechts nach links Kürzen des Bruchs. Vor und nach konkreten Rechenoperationen mit Brüchen ist es üblich und zum Rechnen auch oft sinnvoll, die Brüche zunächst zu kürzen, so daß Zähler und Nenner teilerfremd sind. Beispiele Seien a, b, p, q Z mit a + b, p, q 0.

17 2.1. Bruchrechnung 13 (a) 1 2 = a + b 2(a + b) = a + b 2a + 2b, (b) a2 b 2 a + b = (a + b)(a b) a + b = a b, (c) 24pq 8p 2 8p 3q = 8p p = 3q p, (d) p2 q + pq 2 pq Addition und Subtraktion von Brüchen = pq(p + q) pq = p + q. Brüche mit gleichem Nenner werden addiert/subtrahiert, indem man die Zähler addiert/subtrahiert: Seien a, b, c Z mit b 0, dann gilt a b + c b = a + c und a b b c b = a c. (2.1.2) b Brüche mit nicht-notwendigerweise gleichen Nennern werden hingegen zunächst auf den Hauptnenner gebracht und anschließend gemäß (2.1.2) addiert/subtrahiert: Seien a, b, c, d Z mit b, d 0, dann gilt a b + c d = a d b d + c b ad + bc =. d b bd Eine entsprechende Rechnung läßt sich auch für die Subtraktion durchführen, und wir erhalten allgemein die folgende Regel: a b + c ad + bc = d bd und a b c d ad bc =. (2.1.3) bd Beispiele Seien a, b, x Z mit a + b, a b, x, 2x (a) = (b) (c) (d) = 19 35, = = = = = 17 84, a a b + a a(a + b) + a(a b) = = a2 + ab + (a 2 ab) a + b (a b)(a + b) a 2 b 2 = 2a2 a 2 b 2, 2x 2x + 1 2x 1 = (2x)2 (2x + 1)(2x 1) = 4x2 (4x 2 1) = 2x 2x(2x + 1) 2x(2x + 1) 1 2x(2x + 1). In dem obigen Verfahren wurde der Hauptnenner stets durch Multiplikation der Nenner der zu verknüpfenden Brüche erzeugt. Dies ist nicht unbedingt notwendig, es reicht, ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner zu bilden, welches im allgemeinen kleiner als das Produkt der Nenner ist und somit zu einfacheren Rechnungen führt. In dem obigen Beispiel (b) lauten die Nenner 28 = 4 7 und 21 = 3 7, man erhält daher ein gemeinsames Vielfaches als (3 4) 7 = 12 7 = 84, denn es ist 3 28 = 3 (4 7) = 84 und 4 21 = 4 (3 7) = 84. Dies führt zu der einfacheren Rechnung = = = =

18 14 2. Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R Multiplikation von Brüchen Seien a, b, c, d Z mit b, d 0, dann wird das Produkt der Brüche a b und c d folgendermaßen erklärt: a b c d = a c b d. (2.1.4) Zwei Brüche werden also multipliziert, indem man jeweils Nenner und Zähler miteinander multipliziert. Beispiele Sei x Z mit x 1, x (a) = = 5 21, (b) = = 6 20 = 3 10, (c) x x 2 1 = 6(x 1) 2(x 1)(x + 1) = 3 x + 1. Dabei vereinfachen sich die Rechnungen unter Umständen, wenn man bereits vorab Zähler und Nenner über Kreuz kürzt, wie zum Beispiel: = = = Division von Brüchen Wir wollen nun zu einem gegebenen Bruch a b mit a, b Z\{0} das zugehörige multiplikativ inverse Element ( a b ) 1 bestimmen, also diejenige rationale Zahl r mit der Eigenschaft r a b = a b r = 1. Nach der Regel zur Multiplikation von Brüchen gilt a b b a = a b b a = ab ab = 1, also gilt ( a ) 1 b = b a. Mit den üblichen Notationen r 1 = 1 : r = 1 r a, b, c, d Z mit b, c, d 0: a b : c d = = a ( c ) 1 b a = d b d c = ad bc. a b c d für r 0 erhalten wir damit allgemein für Man dividiert also durch einen Bruch c d 0, indem man mit seinem Kehrbruch d c multipliziert. Beispiele Seien a, b Z mit a 0. (a) 1 6 : 3 2 = = = 1 ab, (b) 9 6 : a 3 = ab 6 3 a = 3 ab 6a = b 2. Wir formulieren abschließend alle Rechenregeln für Brüche in einer Übersicht.

19 2.2. Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen 15 Regeln der Bruchrechnung Seien a, b, c, d Z mit b, d 0. Addition von Brüchen Subtraktion von Brüchen Multiplikation von Brüchen Teilen durch einen Bruch a b + c ad + bc = d bd a b c ad bc = d bd a b c d = a c b d ( a b ) 1 = b a (falls a 0) Division von Brüchen a b : c d = a b c d = a ( c ) 1 b a = d b d c = ad bc (falls c 0) 2.2 Rechenregeln für reelle Zahlen und Ordnungsrelationen Für das Rechnen mit den reellen Zahlen a, b, c R gelten folgende Rechenregeln: Kommutativgesetz der Assoziativgesetz der Addition Multiplikation Addition Multiplikation a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac Distributivgesetz 1. binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 3. binomische Formel (a + b)(a b) = a 2 b 2 Vorzeichenregeln ( a) = a (a + b) = a b (a b) = a + b Wir vereinbaren für x, y R: x = y steht für x ist gleich y, x < y steht für x ist echt kleiner als y, x y steht für x ist kleiner oder gleich y, x > y steht für x ist echt größer als y, x y steht für x ist größer oder gleich y.

20 16 2. Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R Man beachte: Nach Definition gilt x < y x y für alle x, y R, aber im allgemeinen gilt x y x < y! Die reellen Zahlen können auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jeder reellen Zahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt. Für zwei beliebige reelle Zahlen x, y kann eindeutig entschieden werden, ob x < y, x = y oder x > y gilt. Auf der Menge der reellen Zahlen ist also eine Ordnungsstruktur gegeben. Für diese gelten folgende Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen. Seien a, b, c R. Dann gilt Aus a < b und b < c folgt a < c. Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc Aus a < b folgt a + c < b + c ab > 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0) ab < 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0) ab = 0 gilt genau dann, wenn (a = 0 oder b = 0) Entsprechende Aussagen gelten auch für und anstelle von < bzw. >. Beispiel Lösen Sie die folgenden Ungleichungen und geben Sie die Lösungsmenge L := {x R Ungleichung bzw. Gleichung ist für x definiert und x erfüllt sie} an: x 2 > 2x 1 2(x 1) < 6(x ) 2.3 Intervalle Seien a, b R mit a b. Definition (Intervalle). Das offene Intervall (a, b) ist die Menge (a, b) := {x R a < x < b}. Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge [a, b] := {x R a x b}. Die halboffenen Intervalle sind definiert als die Mengen (a, b] := {x R a < x b}, [a, b) := {x R a x < b}

21 2.3. Intervalle 17 Ist speziell a = b, so gelten [a, a] = {a}, bzw. [a, a) = (a, a] = (a, a) =. Als Intervallgrenzen sind auch ± zugelassen. Daraus ergeben sich fünf weitere unbeschränkte Intervalltypen: (, a) := {x R x < a} (, a] := {x R x a} (a, ) := {x R x > a} [a, ) := {x R x a} (, ) := R Der Schnitt zweier Intervalle ist stets ein Intervall (evtl. die leere Menge). Die Vereinigung zweier Intervalle kann ein Intervall sein, muß es aber nicht. Beispiel (a) [3, 4] [1, ) = [3, 4]. (b) [ 2, 0) ( 1, 0] = ( 1, 0). (c) [4, 7] [8, 9) =. (d) [7, 8] [8, 9) = [8, 8] = {8}. (e) [4, 5) ( 3, 1] ist kein Intervall. (f) [4, 5] ( 3, 4) = ( 3, 5].

22 18 2. Die Zahlenbereiche N, Z, Q, R

23 Kapitel 3 Beweistechniken und einige Beweise Teil I Mathematische Beweise Kann eine Behauptung B allein durch logische Verknüpfungen aus einer gegebenen Voraussetzung A, bereits bewiesenen Aussagen und geltenden Axiomen gefolgert werden, so gilt B als bewiesen. Wir unterscheiden die folgenden Beweistechniken: 1. Der direkte Beweis. Man zeigt direkt die Implikation A B. Dazu setzt man A voraus und folgert die Gültigkeit von B. Übliche Formulierung: Es gelte A. Zu zeigen: Es gilt B Beweis über Kontraposition. Man zeigt die tautologisch äquivalente Aussage B A direkt. Übliche Formulierung: Es gelte B. Zu zeigen: Es gilt A Beweis durch Widerspruch. Man zeigt (A B) (C C) für eine weitere Aussage C. Übliche Formulierung: Es gelte A. Annahme: Es gilt B... also gilt C C. Dies ergibt einen Widerspruch, also ist die Annahme falsch, und somit gilt B.. In der Praxis sind die zu beweisenden Aussagen nicht einfach Implikationen, sondern mittels Junktoren und Quantoren zusammengesetzte Aussagen. Wir wollen kurz darauf eingehen, wie man einfache Typen solcher zusammengesetzten Aussagen beweistechnisch behandelt. Sei dazu X eine Menge und A( ) eine Eigenschaft auf X. 1. Zu beweisen ist eine Aussage vom Typ: x X : A(x). Übliches Beweisschema: Sei x X. Zu zeigen: Es gilt A(x)..... Man leitet nun die Aussage A(x) her unter Verwendung der Information, daß x X ist. 2. Zu beweisen ist eine Aussage vom Typ: x X : A(x). Übliches Beweisschema: Setze x :=... Dann ist x X, und wir zeigen: Es gilt A(x)..... Bei diesem Typ Beweis muß man in der Regel viel Vorarbeit leisten (z.b. Rechnungen, Gleichungen lösen etc.), um den Kandidaten x zu finden, den man hier angibt. Dieser 19

24 20 3. Beweistechniken und einige Beweise Teil I Herleitung wird im Beweis aber nicht mehr notiert, stattdessen wird nach Angabe das Kandidaten x direkt nachgewiesen, daß die Aussage A(x) wahr ist. Beweis von Mengengleicheiten. Oft sind Aussagen vom Typ A = B für Mengen A, B zu zeigen. In diesem Fall ist die folgende Beweisstrategie auf Basis der Äquivalenz (A = B) ( (A B) (B A) ) üblich: : Sei x A. Zeige: x B. : Sei x B. Zeige: x A. Wir zeigen nun einige einfache Beispiele für mathematische Beweise auf. Weitergehende und auch komplexere Beispiele werden wir zum Ende des Vorkurses betrachten. Beispiele Beispiel 1 Beweisen Sie: Das Quadrat jeder geraden natürlichen Zahl ist gerade. Wir werden diese Aussage zunächst weiter formalisieren. Setze G := {n N k N : n = 2k}, dann ist G die Menge der geraden Zahlen, und die zu beweisende Aussage lautet: n G : n 2 G. Beweis. Sei n G. Wähle ein k N mit n = 2k. Dann gilt n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2 (2k 2 ). Mit k := 2k 2 N folgt n 2 = 2k, also ist n 2 G nach Definition. Beispiel 2 Beweisen Sie: Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl n ist ungerade. Diesen Beweis überlasse ich (erstmal) Ihnen. Machen Sie sich außerdem klar, daß mit Beispiel 2 auch die Kontraposition der Aussage bewiesen ist, welche lautet: n N : n 2 G n G. ist ein- Beispiel 3 Beweisen Sie: Die Darstellung einer rationalen Zahl r als gekürzter Bruch p q deutig. Wir führen hierzu nur einen informellen Beweis, da uns einige Grundlagen (z.b. aus der Teilbarkeitstheorie) noch nicht zur Verfügung stehen.

25 21 Beweis. Vorbemerkung: Nach Definition der rationalen Zahlen bezeichnen zwei Zahlen m n, j k, m, j Z, n, k N, das gleiche Element r Q, falls m k = j n gilt. Bsp. 6 9 = 4 6, da 6 6 = 4 9 gilt. Zum Beweis: Sei r Q. Wir geben zwei Darstellungen von r als gekürzter Bruch vor, seien also p, p Z und q, q N mit ggt(p, q) = ggt(p, q ) = 1 und r = p q = p q (ggt bezeichne den größten gemeinsamen Teiler). Wegen p q = q p gilt q p q ( q teilt p q ), wegen ggt(q, p) = 1 muß zudem q q gelten. Analog zeigt man q q. Aus q q und q q folgt nun aber q = q und damit p = p. Damit ist die behauptete Eindeutigkeit gezeigt. Wir bemerken außerdem ohne Beweis, daß jede rationale Zahl r = p q auch eine Darstellung als gekürzter Bruch besitzt. Es reicht dazu, aus p und q den größten gemeinsamen Teiler ggt(p, q) zu kürzen. Unter Verwendung von Beispiel 3 können wir uns nun dem folgenden bereits angekündigtem Beispiel zuwenden. Beispiel 4 Beweisen Sie: 2 ist irrational. Diese Formulierung setzt bereits voraus, daß wir wissen, daß es ein Objekt 2 gibt, und wir zeigen, daß es nicht in Q liegt. Beim axiomatischen Aufbau der Zahlenbereiche geht es aber gerade darum, ausgehend von der Menge Q zu beweisen, daß Q unvollständig ist (vgl. Kapitel 1), und dies zur Motivation für die Konstruktion der reellen Zahlen zu nehmen. Man kennt also zu diesem Zeitpunkt noch keine reellen Zahlen und insbesondere ist das Objekt 2 noch gar nicht definiert. Wie in Kapitel 1 beschrieben, wählen wir stattdessen die Formulierung: Es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist. Dies formalisieren wir als: q Q : q 2 2. Beweis. Wir führen den Beweis durch Widerspruch, wir nehmen also an, es gibt ein q Q mit q 2 = 2. Nach der Bemerkung im Anschluß an Beispiel 3 finden wir m, n N mit ggt(m, n) = 1 und q = m n. Mit unserer Annahme folgt 2 = q 2 = m2 n 2 ( ) und damit 2n 2 = m 2. Also ist m 2 gerade, und nach Beispiel 2 (Kontraposition!) ist auch m eine gerade Zahl, d.h. wir finden ein k N mit m = 2 k. Damit folgt 2n 2 = m 2 = 4k 2, also n 2 = 2k 2. Also ist auch n 2 und damit n eine gerade Zahl (Hier verwenden wir wieder die Kontraposition von Beispiel 2). Dies ist ein Widerspruch zur Annahme ggt(m, n) = 1. Also ist unsere Annahme falsch und somit die Behauptung wahr. Zum Abschluß des Kapitels bringen wir einen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen, der in dieser Form auf Euklid zurückgeht. Dabei verwenden wir die Tatsache, daß jede natürliche Zahl außer der Zahl 1 stets einen Primteiler besitzt.

26 22 3. Beweistechniken und einige Beweise Teil I Beispiel 5 Beweisen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis. Wir führen den Beweis durch Widerspruch, wir treffen also die Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen. Sei {p 1,..., p n } N mit n N die Menge aller Primzahlen. Betrachte nun das Produkt all dieser Primzahlen m := p 1 p 2... p n und die Zahl q := m + 1 > 1. Sei p N ein Primteiler von q. Dann ist p {p i i = 1...n}, wähle also j {1,..., n} mit p = p j. Dann teilt p sowohl m als auch m + 1 und damit auch die Differenz 1 = m + 1 m, also ist p = 1. Dies ist ein Widerspruch dazu, daß p eine Primzahl ist. Also ist unsere Annahme falsch, und es gibt unendlich viele Primzahlen.

27 Kapitel 4 Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen In den folgenden Kapiteln werden wir uns mit verschiedenen Rechenregeln und -methoden beschäftigen, die Ihnen auch in der Schule bereits begegnet sein sollten. Bitte beachten Sie in Hinblick auf Ihr bald beginnendes Studium der Mathematik folgende Punkte: 1. Die mathematischen Begriffe werden hier nicht ganz exakt, aber dafür in einem Stil eingeführt, der Ihnen auch aus der Schule noch geläufig sein sollte. Tatsächlich ist es ohne ausreichendes mathematisches Grundlagenwissen, wie Sie es in den ersten Wochen des Studiums erlernen werden, zumeist gar nicht möglich, die hier verwendetetn Begriffe exakt zu definieren. Beachten Sie aber, daß im Verlauf Ihres Studiums natürlich die in den jeweiligen Vorlesungen angegebenen Definitionen und Herleitungen relevant sind und nicht die zuweilen unexakten Begriffsbildungen aus der Schule oder diesem Vorkurs. 2. Bei dem hier präsentierten Stoff handelt es sich im wesentlichen um Rechentechniken, aber nicht um formale Beweise! Sie werden zu Beginn Ihres Studiums Aufgaben gestellt bekommen, die einigen dieser Rechenaufgaben sehr ähnlich sehen, werden in dem Fall aber aufgefordert, einen formalen Beweis zu erstellen, der meist erheblich von diesen Rechentechniken abweicht. Dennoch sind ausreichende Rechenfähigkeiten unerläßlich, um überhaupt auf Lösungen bzw. Aussagen zu kommen, die man anschließend auch beweisen kann. 3. Wir verwenden keine Taschenrechner und außer zu Übungs- und Anschauungszwecken keine Computer-Algebra-Systeme (CAS). Bedenken Sie, daß Taschenrechner aufgrund des Problems endlichen Speichers so gut wie nie exakt rechnen können, da sie (fast) immer runden müssen. CAS sind hier im Vorteil, aber natürlich ist es gerade ein Bestandteil des Mathematik-Grundstudiums, die Theorie zu erlernen, die diesen Systemen zugrunde liegt (Vgl.: Ein Kfz-Mechaniker ist gerade jemand, der ein Auto nicht nur fahren können soll, sondern auch genau wissen, wie es funktioniert). 23

28 24 4. Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen 4.1 Potenzen und Wurzeln Definition (Ganzzahlige Potenzen). Für Zahlen a R und m Z wird die m-te Potenz von a definiert als a m := 1, falls m = 0, a m := a } a {{... a}, falls m > 0, m mal a m := 1, falls m < 0, a 0. a m Die Zahl a heißt Basis, m heißt Exponent. Für alle a, b R \ {0} und n, m Z gelten die folgenden Potenzgesetze: (a) a 0 = 1 und 0 0 = 1, (b) a n a m = a n+m, (c) an a m = a n m, (d) a n b n = (a b) n, (e) an b n = ( a b ) n, (f) (a m ) n = a m n. Definition (Die q-te Wurzel). Für a 0 und q N ist die q-te Wurzel aus a diejenige Zahl x R mit x 0, für die x q = a gilt. Notation: a 1 q oder q a. Für ungerade q N läßt sich q a auch für a < 0 definieren: in diesem Fall ist x = die Lösung der Gleichung x q = a, wir definieren daher q a := q a. (Z.B. ist x = 2 = 3 8 die Lösung von x 3 = 8, also 3 8 = 2.) Beispiele (a) = = ( 10 2 ) 10 = 2. (b) 6 = 4 9 = 4 9 = 36 = 6. (c) = 4 = 16 = 4. (d) = = 6 64 = 2. (e) = = 5. Man beachte, daß der Ausdruck 5 im letzten Beispiel bereits als Endergebnis angesehen wird, da mit diesem Symbol eine wohldefinierte reelle Zahl bezeichnet wird. Falls zusätzlich (warum auch immer) eine Dezimaldarstellung gewünscht wird, schreibt man z.b. = 5 2, Achtung: die (zuweilen in der Schule verwendete) Notation 5 = 2, 2361 ist hingegen nicht zulässig! Gleichheit im mathematischen Sinn ist die (abstrakte) Gleichheit zweier Objekte (vgl. Kapitel 1) und kann nicht durch irgendwelche Konventionen (wie Runden nach der vierten Nachkommastelle ) relativiert werden. Selbst für einen Computer ist es unmöglich, eine exakte Dezimaldarstellung der Zahl 5 anzugeben, da er nur endlichen Speicher besitzt, die Zahl 5 aber irrational ist.

29 4.1. Potenzen und Wurzeln 25 Definition (Potenzen mit rationalem Exponenten). Für a R, a > 0 und r Q mit r = p q, p Z, q N definieren wir die (gebrochene) Potenz a r durch a r := a p q := ( a 1 q ) p. Exkurs: Um die Definition von a r mathematisch sauber zu rechtfertigen, muß man noch zeigen, daß die Potenz a r wohldefiniert ist, also unabhängig von der konkreten Darstellung der rationalen Zahl r als Bruch p q : man kann dieselbe Zahl r auf verschiedene Arten als Bruch schreiben, zum Beispiel ist 3 9 = 2 6 = 1 3, und es ist zu zeigen, daß durch die a priori verschiedenen Ausdrücke ( ) p, ( ) 3, ( ) 2, a 1 q in diesem Beispiel a 1 9 a a 3, jedesmal dieselbe Zahl definiert wird. Formal ist also zu zeigen: ist r = p q = m n mit p, m Z und q, n N, liegen also zwei - möglicherweise verschiedene ( ) - Darstellungen der Zahl r Q vor, so ist (dennoch) a 1 p ( ) m. q = a 1 n Wir geben kurz an, wie man dies einsehen kann: Es sei r Q und seien p, m Z und q, n N mit r = p q = m n, also np = qm. Unter Verwendung der bereits bekannten Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln (aber nicht durch Vorgriff auf Rechenregeln für allgemeine Potenzen!) erhalten wir: (a 1 q ) p = n ((a 1 q ) p) n = n ((a = n 1 n ) n) m n = (a 1q ) np = n (a 1 q ) qm = n ((a 1 q ) q) m = n a m (a 1 n ) mn = n ((a 1 n ) m) n = (a 1 Auch für rationale Exponenten gelten die obigen Potenzgesetze: Für alle a, b (0, ) und r, s Q gilt: n ) m. (a) a 0 = 1 und 0 0 = 1, (b) a r a s = a r+s, (c) ar a s = a r s, (d) a r b r = (a b) r, (e) ar b r = ( a b ) r, (f) (a r ) s = a r s. Dies läßt sich auf die Definition von Wurzeln sowie die bereits formulierten Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten zurückführen, was wir hier nicht beweisen wollen. Der Anschauung halber formulieren wir hier einige Gesetze noch mit der Wurzelschreibweise: Seien a 0 und n, k N und m Z. Dann gelten die sogenannten Wurzelgesetze (a) n a m = ( n a) m und n a n = ( n a) n = a, (b) n a n b = n ab, (c) n a n b = n a b, (d) n k a = nk a = k n a, (e) n a k a = nk a k+n. Achtung: Wir haben für a > 0 den Ausdruck a x nur für rationales x definiert. Im Rahmen der Vorlesung Analysis 1 werden Sie sehen, wie man die Definition auch auf beliebige x R ausdehnen kann.

30 26 4. Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen Beispiel Rationalmachen des Nenners Treten Brüche mit irrationalen Nennern n a m = a m n, a > 0, n, m N, m < n auf, so erweitert man den Bruch mit a 1 m n. Zum Beispiel ist 1 3 = / /3 2 2/3 = 2. Ist der Nenner der Gestalt a± b mit a b, so wird der Bruch mit a b erweitert, Beispiel: = = = Der Logarithmus Definition (Der Logarithmus). Es seien a, b R mit a, b > 0 und b 1. Unter dem Logarithmus von a zur Basis b c = log b (a), a > 0, b > 0, b 1 versteht man diejenige reelle Zahl c R mit der Eigenschaft b c = a. Notation: c = log b (a).. Die Identität c = log b (a) ist also äquivalent zur Gleichung b c = a. Achtung: Es handelt sich hierbei um die übliche Definition für Logarithmen, die Ihnen auch aus der Schule geläufig sein sollte. Diese ist jedoch aus mehreren Gründen problematisch: Wie oben bereits erwähnt, haben wir den Ausdruck b c für irrationales c R\Q noch gar nicht definiert! Wir werden dies jedoch zunächst stillschweigend hinnehmen, in unseren konkreten Rechenbeispielen werden wir nur Ausdrücke b c mit rationalem c behandeln, bzw. es ist stets sichergestellt, daß die aufretenden Logarithmen rational sind. Zudem muß sichergestellt werden, daß für alle a, b R mit a, b > 0 und b 1 tatsächlich genau eine Lösung x R der Gleichung b x = a exisitiert. Dies wird ebenfalls im Rahmen der Vorlesung Analysis I geklärt werden. Beispiele (a) 2 x = 16 x = 4, (b) 3 x = 1 9 x = 2, ( (c) log x (36) = 2 x = 6, (d) log 1 x 64) = 6 x = 2, ( (e) log 5 (125) = x x = 3, (f) log ) = x x = 4, (g) log 3 (x) = 5 x = 243, (h) log 2 (x) = 5 x = 1 32.

31 4.2. Der Logarithmus 27 Eine besondere Rolle spielt die sog. Eulersche Zahl e. Eine exakte Definition für e wollen und können wir zu diesem Zeitpunkt nicht geben, es sei nur daran erinnert, daß ungefähr gilt e 2, (eine exakte Definition der Zahl e erfolgt in der Vorlesung Analysis 1). Für a > 0 notieren wir ln(a) := log(a) := log e (a). für den natürlichen Logarithmus. Wegen seiner herausragenden Rolle wird in der Mathematik der natürliche Logarithmus oft einfach als der Logarithmus bezeichnet. Es gilt insbesondere a = b log b a und a c = e c ln a für alle a, b > 0, b 1, c Q, und es gilt immer log b 1 = 0, log b b = 1 für alle b > 0, b Die Logarithmengesetze Es seien x, y, b > 0 mit b 1 und z R. Dann gelten die folgenden Logarithmengesetze: (a) log b (x y) = log b (x) + log b (y), ( x ) (b) log b = log y b (x) log b (y), (c) log b (x z ) = z log b (x). Für spezielle Werte von x, y, z erhält man weitere Regeln, zum Beispiel erhält man mit x = 1 aus (b) die Regel log b (1/y) = log b (y), und ein Spezialfall von (c) für Wurzeln lautet zum Beispiel log b ( n x ) = 1 n log b(x) für alle n N. Die Logarithmen einer Zahl bezüglich verschiedener Basen lassen sich ineinander umrechnen: Seien a, b, d > 0 mit b, d 0. Dann gilt also gilt die folgende Umrechenformel: log b (a) = log b ( d log d a ) = (log d (a))(log b (d)) log d a = log b a, für alle a, b, d > 0 mit b, d 0. log b d Beispiele Beispiele zu den Logarithmengesetzen: Man vereinfache die folgenden Ausdrücke! 1. log(32) + log(4) + log(18) + log(81) 2. log 2 a + ba 3 b 2 3 c(a + c) 2 3. log(a + b) + 2 log(a b) 1 2 log(a2 b 2 )

32 28 4. Potenzrechnung, Logarithmen und Rechnen mit Beträgen 4.3 Der Betrag Definition (Der (reelle) Betrag). Es sei a R. Dann wird der Betrag a von a definiert als { a für a 0, a := a für a < 0. Beispiel = ( 3) = 3, da 3 < 0; 3 = 3, da 3 > 0; 0 = 0. Man kann sich also den Betrag a als den (nicht-negativen) Abstand der Zahl a zur 0 auf der Zahlengerade vorstellen. Allgemeiner definieren wie den Abstand zweier beliebiger Zahlen a, b R als Betrag der Differenz a b. Es seien a, b R, dann gelten die folgenden Rechenregeln (a) a 0, und a = 0 genau dann, wenn a = 0, (b) a b = a b, (c) a + b a + b ( Dreiecksungleichung ), (d) a = a 2. Beispiel Geben Sie alle a R an, für die folgenden Aussagen zutreffen: (a) a 2 = 4, (b) a 2 > 3 Beispiel Schreiben Sie die folgenden Mengen als Vereinigung von Intervallen und skizzieren Sie diese. (a) A := {x R 1 < x 2}, (b) B := {x R x 2 < 5} Beispiel Auflösen von Betragsungleichungen Sei ε > 0. Geben Sie die Menge aller x R als Intervall an, für die folgenden Ungleichungen erfüllt sind. (a) x ε, (b) x 2 < ε.

33 Kapitel 5 Gleichungen und Ungleichungen In diesem Abschnitt sollen aus der Schule bekannte Techniken zum Lösen bestimmter Gleichungen und Ungleichungen wiederholt werden. 5.1 Gleichungen und Ungleichungen in einer Variablen Allgmein gesprochen handelt es sich bei der Aufgabe "Lösung einer Gleichung in einer Unbekannten" darum, einen vorgegebenen Term, in dem eine unbekannte Variable auftaucht (die wir meistens mit x bezeichnen) so gemäß bekannter zulässiger Regeln äquivalent umzuformen, daß man die Menge aller möglichen v, die die durch diesen Term definierte Identität erfüllen, ablesen kann. Wir wollen uns zunächst mit dieser mathematisch nicht exakten Beschreibung zufrieden geben, und betrachten ein konkretes Beispiel. Bestimme die Menge aller x R\{ 1}, die die Gleichung x x + 1 = 2 (5.1.1) erfüllen. Man nennt den vorgegebenen Bereich D := R\{ 1} auch die Definitionsmenge der Gleichung (5.1.1), und die gesuchte Menge L := {x D x erfüllt (5.1.1)} die Lösungsmenge (siehe auch Beispiel ) der Gleichung (5.1.1). Zum Lösen einer Gleichung ist es fundamental, daß der Defintionsbereich D explizit angegeben wird, damit man weiß, in welchem Zahlenbereich eine Lösung gesucht wird! Zum Beispiel hat die Gleichung (x 2 2)(x 2 1) = 0 genau eine Lösung im Fall D = N, genau zwei Lösungen im Fall D = Q und genau vier Lösungen im Fall D = R (nämlich jeweils welche?). Oft wird jedoch durch den Namen der Variablen bereits suggeriert, in welchem Zahlenbereich gerechnet wird: mit x wird üblicherweise eine reelle Variable bezeichnet, mit n eine Variable aus den natürlichen Zahlen und mit z eine Variable aus den komplexen Zahlen, und es wird dem Leser als Aufgabe überlassen, einen maximalen Definitionsbereich zu ermitteln, für den die Gleichung noch sinnvoll definiert ist. Wird werden hier jedoch in der Regel den jeweiligen Definitionsbereich angeben. Wir kommen nun zur konkreten Lösung der Gleichung (5.1.1). Dazu sei x R\{ 1}, dann gilt: x = 2 x = 2 (x + 1) x = 2x = x + 2 x = 2, x

34 30 5. Gleichungen und Ungleichungen und da in jedem Schritt tatsächlich Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden, folgt damit L = { 2}. Wir nehmen eine analoge Begriffsbildung für Ungleichungen vor, welche wir wieder an einem Beispiel erläutern wollen: Beispiel. Bestimme die Menge aller x R\{ 1}, die die Ungleichung x x + 1 < 2 (5.1.2) erfüllen. Auch in diesem Fall bezeichnet D := R\{ 1} die Definitionsmenge und L := {x D x erfüllt (5.1.2)} die Lösungsmenge der Ungleichung (5.1.2). Man geht nun nun analog zum Lösen eine Gleichung vor, indem man versucht, durch Äquivalenzumformungen die gegebene Ungleichung so umzuformen, daß man die Lösungsmenge ablesen kann. Hierzu muß man nun aber die Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen beachten. In einem ersten Schritt wollen wir wieder die gegebene Ungleichung mit dem Term x+1 multiplizieren, müssen hierbei jedoch das Vorzeichen beachten! Daher nehmen wir eine Fallunterscheidung vor (dies wird uns auch in späteren Beispielen zum Lösen von Ungleichungen öfter begegnen): Es sei x R\{ 1}. Fall 1: x + 1 > 0, also x > 1. In diesem Fall gilt x < 2 x < 2 (x + 1) x < 2x < x + 2 x > 2. x + 1 Da wir x > 1 vorausgesetzt haben, gilt insbesondere auch x > 2, also ist die Ungleichung < 2 für alle x ( 1, + ) erfüllt, es gilt also L ( 1, + ) = ( 1, + ). x x+1 Fall 2: x + 1 < 0, also x < 1. In diesem Fall gilt x < 2 x > 2 (x + 1) x > 2x > x + 2 x < 2. x + 1 Dies zeigt L (, 1) = (, 2). Die gesamte Lösungsmenge ist also L = (, 2) ( 1, + ) = R\[ 2, 1]. Neben dem rechnerischen Weg läßt sich die Lösung in beiden Fällen auch graphisch veranschaulichen - man beachte aber, daß eine Skizze zwar hilfreich sein kann, aber in der Regel niemals eine konkrete Recnung ersetzt!

35 5.2. Quadratische Gleichungen und Ungleichungen 31 Bild 5.A 5.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Quadratische Gleichungen und Quadratische Ergänzung Es seien p, q R. Unter einer quadratischen Gleichung verstehen wir eine Gleichung der Gestalt x 2 + px + q = 0, D = R. (5.2.3) Allgemeiner wird auch eine Gleichung der Gestalt ax 2 + bx + c = 0, D = R mit a, b, c R und a 0 als quadratische Gleichung bezeichnet diese läßt sich jedoch durch Teilen durch a in die Gestalt (5.2.3) (mit p = b/a und q = c/a) überführen. Die Lösungsmenge L von (5.2.3) läßt sich allgemein mithilfe der sogenannten Methode des Quadratischen Ergänzens bestimmen: Zunächst werden die Terme in x 2 und x durch eine binomische Formel ausgedrückt, und anschließend ein Korrekturterm eingeführt, um den x-freien Teil des binomischen Terms zu neutralisieren: x 2 + px + q = x p 2 x + ( p 2 ) 2 p q = (x + p 2 ) 2 ( p 2 4 q ). (5.2.4) Somit gilt ( x L x + p ) 2 p 2 = 2 4 q. Dies stellt eine andere Schreibweise der sogenannten p-q-formel zur Lösung quadratischer Gleichungen dar: Ist p2 4 q 0, so ist L = { p 2 + p 2 4 q, p 2 p 2 4 q}.

36 32 5. Gleichungen und Ungleichungen Wir betrachten dazu zunächst ein einfaches Zahlenbeispiel: Beispiel Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 2 x 6 = 0, D = R. Quadratisches Ergänzen liefert formal x 2 x 6 = (x 1 2 )2 ( 1 2 )2 6 = (x 1 2 )2 25 4, also gilt für alle x R x 2 x 6 = 0 (x 1 2 )2 = 25 4 x 1 2 = ± 25 4 x = 1 2 ± 5 x = 2 x = 3. 2 Die Lösungsmenge der gegebenen quadratischen Gleichung ist also L = { 2, 3}. Wir kehren zu dem allgemeinen Fall zurück: Offenbar gibt es genau drei mögliche Fälle für die Gestalt der Lösungsmenge der quadratischen Gleichung (5.2.3): Fall 1: Fall 2: p 2 4 q > 0 (5.2.3) besitzt genau zwei Lösungen, L = { p p p 4 q, p q}, p 2 4 q = 0 (5.2.3) besitzt genau ein Lösung, L = { p 2}, Fall 3: p 2 4 q < 0 (5.2.3) besitzt keine Lösungen, L =. Dies läßt sich auch den den folgenden Schaubildern veranschaulichen, in denen jeweils die zur Gleichung (5.2.3) in den drei verschiedenen Fällen skizziert ist. Bild 1 Bild 2 Bild Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen Quadratische Ungleichungen können stets auf die Form x 2 + px + q 0, bzw. x 2 + px + q > < 0