Wo liegt der optimale Standort

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1 aaeusch anagement athematics for European Schools Wo liegt der optimale Standort Horst W. Hamacher Diese Veröffentlichung ist Teil des Buchprojektes athematik und Ökonomie, das durch die BertelsmannStiftung unterstützt wird. Das Projekt aaeusch wurde veröffentlicht mit Unterstützung durch die EU mittels einer teilweisen Förderung im Rahmen des Sokrates Programms. Der Inhalt des Projektes reflektiert nicht notwendigerweise den Standpunkt der EU, noch unterliegt es irgendeiner Verantwortung seitens der EU. Technische Universität Kaiserslautern, Fachbereich athematik

2 Kapitel 3: Wo liegt der optimale Standort? Inhalt: 3.. Gespräch: Roboterplanung und Unfallhilfe zwei ganz verschiedene wirtschaftliche Probleme!? Standortwahl eines Notfallhubschraubers mit Hilfe elementarer Geometrie... 5 Übungsaufgaben Roboterplanung und edian Standortprobleme... 5 Übungsaufgaben Geometrische Lösung für = 3 und Euklidische Entfernung... 7 Übungsaufgaben Lösung für quadratische Euklidische Entfernung durch Kurvendiskussion... 5 Übungsaufgaben Gespräch: Standorttheorie als gemeinsames Werkzeug... 6 Übungsaufgaben Ausblick: Standortplanung in der Wirtschaft Restriktive Center-Standortprobleme Standortprobleme mit Rechteckentfernung... 3 Übungsaufgaben... 3 Anhang: Weitere Informationen Stichwörter der Schulmathematik: Geometrie: - ittelsenkrechte und ittelpunkt einer Strecke - Umkreis eines Dreiecks - Kreise und Kreisscheiben Kombinatorik: - Zählen von Teilmengen - Analytische Geometrie: - Berechnung des dritten Punktes eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebenen zwei Punkten - Berechnung von Geraden bei gegebenen Punkten - Berechnung des Schnittpunktes von Geraden Funktionen: - Umrechnen von Funktionen zweier Veränderlicher in Funktionen einer Veränderlichen - Zeichnen von stückweise linearen Funktionen Kurvendiskussion - Bestimmung von inima durch Differenzieren

3 3 - Beispiel für nicht-differenzierbare Funktionen - Bestimmung von inima nichtdifferenzierbarer Funktionen - Hinweise für Lehrer: Alle folgenden Zeichnungen finden Sie auf beiliegender CD als animierte PowerPoint Folie. Wenn Sie den Text online auf einem PC lesen, können Sie die Animation gleich im Text sehen: Einfach auf die Zeichnung doppelklicken. 3.. Gespräch: Roboterplanung und Unfallhilfe zwei ganz verschiedene wirtschaftliche Probleme!? In den letzten beiden Tagen haben sich die itglieder des Clever-Consulting Teams aufgeteilt: Oliver und Nadine waren bei der Elektronikfirma PI, während Selina und Sebastian die Hilfsorganisation White Cross (WhC besucht haben. Selina: Wie ihr wisst, ist WhC eine internationale Organisation, die sich um den Transport von Unfallopfern in Wintersportgebieten kümmert. Wir mussten also alle unsere Gespräche mit der Geschäftsführung in Englisch führen. Das hat aber ganz gut geklappt, nicht wahr Sebastian? Sebastian: Die vielen Stunden TV haben sich also doch gelohnt! Aber im Ernst: Ich glaube, dass wir mit den WhC Leuten gut ins Gespräch gekommen sind. Bisher war WhC ja darauf spezialisiert, Skiläufer, Snowboarder, usw., die sich verletzt haben mit Hilfe von speziellen Schlitten, auf denen Tragen montiert sind, und in besonders schweren Fällen auch mit Pistenbullies zu Tal zu transportieren. Selina: Jetzt haben sie Geld für die Anschaffung eines Hubschraubers bekommen und die einfache Frage, die uns WhC gestellt hat, ist die nach dem Standort: Wohin soll man den Hubschrauber stellen, damit man möglichst schnell bei den Unfallopfern ist? Oliver: Das ist doch wohl einfach: In die itte! Einsatzorte (bekannt Hubschrauberstandort (unbekannt Abbildung 3. Einsatzorte mit einem möglichen Standort für den Notfallhubschrauber Selina: Genau so haben wohl auch einige Firmenmitarbeiter die Antwort formuliert. Aber niemand weiß genau, was das heißen soll die itte. Die itglieder der Geschäftsführung sind sich wohl etwas in die Haare geraten, weil jeder so seine eigene Vorstellung darüber hatte. it Argumenten wie The mayor of the city is a good friend of mine. It would, therefore, be an ideal place for the helicopter. kam man irgendwie nicht weiter. Wir sollen WhC ein Exposé

4 schreiben, in dem wir genau erklären, wie man den Standort des Hubschraubers bewerten könnte. Als Beispiel haben sie uns Daten von Einsatzorten gegeben und wir sollen ihnen einen möglichst guten Standort vorschlagen. Insofern ist unser Auftrag erst mal ganz einfach und entsprechend schlecht bezahlt. Nadine: Wenn sich die Geschäftsführung aber über diese Frage gestritten hat, wie sollen wir das denn dann besser machen? Sebastian: WhC erhofft sich halt von uns, dass wir die Diskussion, die wohl teilweise recht emotional geführt worden ist, auf eine neutrale Ebene bringen. Wir haben ihnen erklärt, wie wir mit mathematischer odellierung an solche Probleme herangehen und sie waren immerhin so beeindruckt, dass sie uns den Auftrag gegeben haben. Übrigens können wir das Exposé in Deutsch machen, weil unser unmittelbarer Ansprechpartner aus der Schweiz kommt. Selina: Bitte vergessen Sie aber nicht, dass ich kein athematiker bin hat uns der Ansprechpartner der WhC beim Abschied noch gesagt. Wir sollten also unsere odellierungsvorschläge für die Standortwahl des Notfallhubschraubers so formulieren, dass jemand mit Kenntnissen der Schulmathematik nachvollziehen kann, was wir tun. Aber jetzt erzählt ihr einmal. Wie ist es euch bei PI ergangen? Oliver: Die Firma PI steigt jetzt in die Bestückung von Platinen ein. Dazu haben Sie ein Fliessband gebaut und Roboter angeschafft, mit denen die Platinen mit elektronischen Bauteilen wie Prozessoren, Speicher, usw. bestückt werden. Abbildung 3.3 Elektronische Bauteile auf einer Platine (Quelle: german/sektronik Abbildung 3. Platinenbestückung durch Roboterarme (Quelle: Nadine: Oliver hat gleich mit unseren SchokoLeb und AutoAG Projekten angegeben und wollte der Geschäftsführung unsere Linearen Programme zur Produktionsplanung und unsere ethoden zur Arbeitsablaufplanung schmackhaft machen. Unsere Gesprächspartner hörten uns zwar aufmerksam zu, waren aber nicht sonderlich interessiert. Sie benutzten Olivers Angaben eigentlich nur, um herauszufinden, ob wir in der Vergangenheit mit mathematischen odellierung etwas Sinnvolles haben bewirken können. Es hat sie beeindruckt, dass wir sehr erfolgreich waren und das hat bei dem anschließenden Gespräch sicherlich geholfen. Schließlich sagten sie uns aber, was sie wirklich wollen: Wir sollen uns darum kümmern die Roboter möglichst effizient einzusetzen. Sebastian: Und was heißt das genau? Oliver: Das müssen wir in den nächsten Tagen noch herausfinden. Es geht wohl darum, möglichst viele der Platinen innerhalb eines gegebenen Zeitraums zu bestücken, also die Produktivität zu maximieren. Wir haben bei PI einen Ansprechpartner, der uns Auskünfte geben kann und von dieser öglichkeit werden wir reichlich Gebrauch machen. siehe Kapitel und

5 5 Selina: Aber wie sieht denn jetzt die Vertragslage aus? it unserem WhC Auftrag wären zwei von uns für eine Woche ausgelastet. Oliver: Bei PI sieht die Sache etwas schwieriger aus: Wir sollen der Firma zuerst einmal beschreiben, was wir tun können und dann ein Angebot machen. D.h., dass wir im Prinzip genau wie ihr eine Beschreibung des Problems durch mögliche mathematischen odellierungen erstellen und dann mit den Damen und Herrn von PI verhandeln, ob wir einen Auftrag bekommen oder nicht. Selina: Euer Projekt ist also in Bezug auf die Bezahlung riskanter als unseres. Es könnte ja sein, dass PI mit eurer odellierung unzufrieden ist, und wir gar kein Geld sehen. Nadine: Ich schlage trotzdem vor, dass wir beide Projekte verfolgen. Oliver und ich kümmern uns um das PI Projekt und ihr um das WhC Projekt. Wie üblich fangen wir damit an, aufzuschreiben, was wir über die Probleme herausfinden. Wir können uns dann wieder zusammensetzen und darüber reden wie es weiter geht. 3. Standortwahl eines Notfallhubschraubers mit Hilfe elementarer Geometrie Die Daten des WhC Problems bestehen zunächst aus der Angabe der Einsatzorte (im Folgenden auch existierende Standorte genannt, die für den Hubschrauber in Frage kommen. In der Regel werden diese Einsatzorte Punkte auf einer digitalisierten Landkarte sein. Wir nehmen an, dass diese Punkte durch Koordinaten in einem Koordinatensystem beschrieben sind. Jeder einzelne dieser Punkte wird deshalb mit Ex m (a m a m bezeichnet, wobei a m die x-koordinate und a m die y-koordinate des m-ten existierenden Standorts ist. it bezeichnen wir die Anzahl der existierenden Standorte. Beispiel 3.: 3 Ex ( Ex (5 X(3 3 Algorithmus 3.: Optimaler Standort für = (Konstruktion der ittelsenkrechte und des ittelpunkts einer Strecke:. Zeichne um die beiden Endpunkte der Strecke gleich große Kreise mit genügend großem Radius.. Verbinde die Schnittpunkte der Kreise durch eine Gerade. Diese Gerade ist die ittelsenkrechte der Strecke 3. Der Schnittpunkte der ittelsenkrechten mit der Strecke ist ihr ittelpunkt. und der optimale Standort für den Hubschrauber. Abbildung 3. Algorithmus 3. 5 Wir betrachten den einfachen Fall von nur zwei Einsatzorten Ex (a a und Ex (a a, d.h. =. Sind z.b. die Punkte Ex (a a = Ex ( und Ex (a a = Ex (5 als Einsatzorte gegeben, so wird man sich schnell einig sein, was unter der itte zu verstehen ist, in der der Hubschrauber seinen Standort einnehmen soll,

6 6 nämlich der ittelpunkt der Strecke ExEx = X(3 (siehe Algorithmus 3. Wie man den ittelpunkt der Strecke konstruiert, ist Stoff der Unterstufenmathematik. Der entsprechende Algorithmus ist in Abbildung 3. wiederholt (auf der beiliegenden CD oder beim online Lesen dieses Texts auf dem PC kann man den Algorithmus animiert mit PowerPoint wiedergeben. Warum empfinden wir, dass der ittelpunkt die beste Standortentscheidung repräsentiert? Weil er gleich weit von beiden Einsatzorten entfernt ist und es keinen Punkt gibt, der näher an beiden Einsatzorten liegt. Wenn also ein Unfall passiert, ist der Hubschrauben gleich schnell in Ex wie in Ex. athematisch gesehen, lässt sich deshalb das WhC Problem durch die bekannte ittelpunktbestimmung einer Strecke lösen. Beispiel 3.: 6 - Ex ( 6 Ex ( - X( 6 Ex 3 (8 0 Algorithmus 3.: Optimaler Standort für = 3 bei (Konstruktion des Umkreises. Zeichne die ittelsenkrechten zu jeder der drei Seiten des Dreiecks.. Die ittelsenkrechten schneiden sich im ittelpunkt des Umkreises. Dies ist der optimale Standort 3. Zeichne den Umkreis Abbildung 3.5 Algorithmus spitzwinkligen Dreiecken Für den Fall = 3 betrachten wir drei Einsatzorte, z.b. Ex (a a = Ex ( -, Ex (a a = Ex ( 6 und Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (8 0. Wenn wir, wie im Fall =, also zwei Einsatzorte, argumentieren, suchen wir wieder als Standort für den Hubschrauben einen Punkt, der gleich weit von allen drei Einsatzorten entfernt ist. Dies ist der Schnittpunkt der ittelsenkrechten (siehe Algorithmus 3..

7 7 Beispiel 3.3: Wenn aber im Fall = 3 Einsatzorte das Dreieck mit den Eckpunkten Ex (a a, Ex (a a und Ex 3 (a 3 a 3 stumpfwinklig ist, findet man den besten Standort als ittelpunkt der längsten der drei Dreieckseiten (vgl. Algorithmus Ex ( X(5 5 Ex 3 (5 Ex ( Algorithmus 3.3: Optimaler Standort für = 3 bei stumpfwinkligen Dreiecken. Bestimme ittelpunkt der längsten Dreiecksseite.. Zeichne den Kreis um diesen Punkt mit Radius = halbe Länge der längsten Dreieckseite ( Ü.3. Abbildung 3.6 Algorithmus 3.3 Die Lösungen des Standortproblems in Beispielen 3. und 3. erfolgten nach dem gleichen Grundsatz, der noch einmal wiederholt sei: Der gefundene Standort X(x x ist von allen Einsatzorten gleich weit entfernt und hat zudem zu ihnen die kürzeste Entfernung. Wenn also ein Unfall passiert, ist der Hubschrauben gleich schnell in allen Einsatzorten. In Beispiel 3.3 sieht die Situation anders aus: Die Entfernung zwischen Ex ( und Ex (9 9 ist so groß, dass der ittelpunkt der Strecke als Standort gewählt werden muss. Wie wir aus dem Fall = (Beispiel 3. wissen, kann es für diese beiden Einsatzorte keinen besseren Standort geben. Wegen der Stumpfwinkligkeit des Dreiecks ist die Entfernung von diesem Standort zum dritten Einsatzort Ex 3 (5 kleiner als die halbe Entfernung zwischen Ex ( und Ex (9 9, so dass dieser Standort in der Tat der bestmögliche ist ( Ü.3.. Wir wollen diese sinnvolle Definition eines optimalen Hubschrauberstandorts aus den Beispielen nun auf den allgemeinen Fall von mehr als 3 Einsatzorten (= existierende Standorte verallgemeinern: Wenn wir annehmen, dass existierende Standorte Ex (a a, Ex (a a,..., Ex (a a zu beachten sind und X(x x irgendein Standort für den Hubschrauber ist, so ist für m =,, (, = ( + ( 0 l Ex X a x a x m m m

8 8 die Euklidische Entfernung zwischen dem m-ten Standort Ex m (a m a m und X (siehe Abbildung 3.7. Beim Einsatz des Hubschraubers wissen wir nie, zu welchem Einsatzort er fliegen muss. Das Leben der Verletzten kann aber davon abhängig sein, das er möglichst schnell am Unfallort ist. Aus diesem Grund wollen wir die größte Euklidischen Entfernung a m x l (Ex m,x X a m -x Ex m a m -x x a m Abbildung 3.7 Berechnung der Euklidischen Entfernung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras g( X : = max l ( Ex, X m= zu einem der möglichen Einsatzorte möglichst klein machen. g(x ist die Zielfunktion des Standortproblems, genauer - in besten Denglisch - eine Center-Zielfunktion (weil man die itte englisch: Center sucht und man nennt das Problem ( = ( min g X : max l Ex, X X Punkt in derebene ein Standortproblem in der Ebene mit Center-Zielfunktion oder kurz Center Standortproblem, bei dem man den besten Standort X in der Ebene sucht. Eine Optimallösung dieses Problems nennt man den Center-Standort. m= m m Diskussionsthemen im Schulunterricht: - Statt das Standortproblem in der Ebene mit Centerzielfunktion zu lösen, kann man die e- xistierenden und den neuen Standort auch im (Euklidischen dreidimensionalen Raum suchen. Ist dies nur eine mathematische Verallgemeinerung oder kann man sich sinnvolle Anwendungsbeispiele aus der Wirtschaft denken? - Wie kann man das odell ändern, falls es Datensätze über die Einsatzhäufigkeit an den verschiedenen Einsatzorten gibt? Beispiel 3.: Wenn Ex (a a = Ex (, Ex (a a = Ex (3 6, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (8 und Ex (a a = Ex ( die existierenden Standorte sind und X(6 der Standort des Hubschraubers ist, so berechnen wir ( ( m { } g X : = max l Ex, X = max 9,5,, 5 = 9 m= (siehe Abbildung 3.8. Kann man einen besseren Standort finden? Was ist etwa mit X(5 3? Ist der besser als X(6? Wenn ja, ist dies nun der beste Standort? ( Ü.3.3

9 9 8 6 Ex (3 6 Ex ( Ex ( X(6 6 8 Ex 3 (8 Abbildung 3.8 Center-Zielfunktion (die Zahlen auf den Strecken sind die Euklidischen Entfernungen der Endpunkte Ex m und X 0 Wie Beispiel 3. zeigt, kann man recht lange probieren, um einen optimalen Standort zu finden. Es ist sogar unklar, ob Probieren überhaupt zum Ziel führt! Denn wenn wir einen optimalen Standort hätten, müssten wir die Optimalität auch beweisen können. Genau das machen wir jetzt für den Fall von = und = 3 indem wir die formale Definition des Center- Standorts mit der Erfahrung zusammenbringen, die wir in den Beispielen gemacht haben. Satz 3.: Der optimale Center-Standort ist. für = der ittelpunkt der Strecke ExEx. für = 3 - der ittelpunkt des Umkreises, falls das durch Ex (a a, Ex (a a und Ex 3 (a 3 a 3 gebildete Dreieck spitzwinklig ist - der ittelpunkt der längsten Dreieckseite ExiEx j, falls das durch Ex (a a, Ex (a Beweis: zu : a und Ex 3 (a 3 a 3 gebildete Dreieck stumpfwinklig ist Für den ittelpunkt X*(x * x * der Strecke ExEx gilt 3 r * r * Ex ( X * (3 Ex (5 3 5 In der (gelben Kreisscheibe um Ex mit Radius r * hat jeder Punkt X außer X * eine Entfernung von Ex, die größer als r * ist. Analog hat jeder Punkt X außer X* in der (grünen Kreisscheibe um Ex mit Radius r * eine Entfernung von Ex, die größer als r * ist. Außerhalb der beiden Kreisscheiben ist die Entfernung sowohl von Ex als auch von Ex größer als r *. Abbildung 3.9 Zum Beweis von Satz 3.

10 0 * * * ( = (, = (, = (, * g X l Ex X l Ex X l Ex Ex =: r. Für jeden anderen Punkt X(x x ist dagegen l (Ex,X > r* oder l (Ex,X > r* (siehe Abbildung 3.9. Also können wir * * ( { ( ( } g X = max l Ex, X, l Ex, X > r = g( X, folgern, so dass X* der Center-Standort ist. zu : 6 Ex ( 6 X*( Ex 3 (8 0 Nach Definition des ittelpunkts des Umkreises als Schnittpunkt der ittelsenkrechten der Dreiecksseiten gilt Ex ( - Abbildung 3.0 Der einzige Punkt mit Euklidischer Entfernung kleiner oder gleich r* zu allen drei existierenden Standorten ist X*. (an benutzte dieselbe Argumentation wie in Abbildung 3.9 ( * = ( * ( * ( *, =, = 3, g X l Ex X l Ex X l Ex X = : r Wie Abbildung 3.0 zeigt, gilt für jeden anderen Punkt X, dass l (Ex,X > r* oder l (Ex,X > r* oder l (Ex 3,X > r*, falls das aus den Punkten Ex (a a, Ex (a a und Ex 3 (a 3 a 3 gebildete Dreieck spitzwinklig ist (Denn in jeder der Kreisscheiben mit Radius r* und ittelpunkt Ex m ist der Abstand jedes Punkts zu einem der beiden anderen Standorte größer als r* - mit Ausnahme des Punkts X*. Jeder Punkte außerhalb der Kreise hat zu jedem der Ex m einen Abstand größer als r*.. Also können wir wie im. Teil des Beweises folgern: * * { 3 } ( ( max (,, (,, (, g X = l Ex X l Ex X l Ex X > r = g X, so dass X* der Center-Standort ist. Die Argumentation aus Abbildung 3.0 wird falsch, wenn das Dreieck stumpfwinklig ist (warum?. In diesem Fall ist jedoch der ittelpunkt X* der längsten Seite sicherlich der beste Standort bezogen auf die beiden Endpunkte der Seite, denn dies entspricht genau dem Fall mit = existierenden Standorten, den wir schon bewiesen haben. Nehmen wir an das wie in der Abbildung zu Algorithmus 3.3 Ex und Ex die Endpunkte dieser längsten Seite sind. Dann ist für jeden Standort X, der von X* verschieden ist *

11 { 3 } * * l ( Ex X l ( Ex X l ( Ex 3 * X * { l ( Ex X l ( Ex * X } ( * ( = max (,, (,, (, g X l Ex X l Ex X l Ex X { } > max,,,,, = max,,, = g X QED Das Center Standortproblem kann für = und = 3 mit Hilfe des Satzes als vollständig gelöst angesehen werden. Für beliebig viele existierende Standorte > 3 lässt sich die Lösung auf einen der drei im Satz besprochenen Fälle zurückführen: Wir betrachten jeweils Paare und Tripel (also Dreiermengen von existierenden Standorten und lösen entsprechend dem Satz nur für diese zwei bzw. drei existierenden Standorte das Center Standortproblem. Den so erhaltenen optimalen Standort verwenden wir als ittelpunkt für einen Kreis mit Radius r* := g(x*. Falls die entsprechende Kreisscheibe alle anderen existierenden Standorte enthält, ist X* der ittelpunkt der kleinsten Kreisscheibe, die alle existierenden Standorte überdeckt und damit der optimale Standort. Ansonsten, müssen wir ein anderes Paar oder Tripel wählen. Algorithmus 3.: Lösung des Center Standortproblems Input: enge Ex := {Ex (a a, Ex (a a,..., Ex (a a } aller existierenden Standorte Output: Optimaler Center Standort X*(x * x * und optimaler Center- Zielfunktionswert r* = g(x* Für alle Paare und Tripel (Teilmengen mit zwei bzw. drei Elementen in der enge Ex mache das folgende: Schritt : Bestimme den optimalen Center Standort X und den optimalen Zielfunktionswert r für das Center Standortproblem mit zwei bzw. drei existierenden Standorten. Schritt : Bestimme den Kreis mit Radius r um X. Falls die entsprechende Kreisscheibe alle Punkte in Ex enthält, output X* = X und r* = r Beispiel 3.5: Sei = und Ex := {Ex (a a = Ex ( -, Ex ( (a a = Ex 6, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (6, Ex (a a } = Ex ( (8 0. Es gibt insgesamt = 6 ( Paare und 3 = Tripel.

12 Die entsprechenden optimalen Standorte der Center Standortprobleme mit bzw. 3 existierenden Standorten sind in Abbildung 3. dargestellt. (Warum werden nur statt der vorher berechneten Center Standortprobleme mit drei existierenden Standorten gelöst? Wie man sieht gibt es nur einen Kreis, der in der zugehörigen Ex,Ex 3 Ex,Ex Ex,Ex Ex,Ex 3 Ex,Ex Ex 3,Ex Lösung aller Center Standort-probleme mit zwei und drei existierenden Stand-orten (blaue Punkte Ex,Ex,Ex 3 Ex,Ex,Ex Abbildung 3. Lösung aller Center Standortprobleme mit zwei oder drei existierenden Standorten. Kreisscheibe alle existierenden Standorte enthält, nämlich den, der dem Ex, Ex, Ex Problem entspricht. Die Lösung ist dieselbe wir in Beispiel 3.. ( Ü.3. Statt den Center Standort aus der Zeichnung abzulesen, kann man ihn auch mit Hilfe der Analytischen Geometrie berechnen. Dabei wollen wir genauso vorgehen, wie es Algorithmus 3. angibt, nur das wir an statt zu zeichnen rechnen werden. Für alle Paare und Tripel in der enge Ex gehen wir daher wie folgt vor: Zunächst bestimmen wir den optimalen Center Standort X für jedes Paar oder Tripel mit Zielfunktionswert r. Für ein Punktepaar AB, mit A(a a und B(b b, ist der optimale Center Standort der ittelpunkt der Verbindungsstrecke. Den ittelpunkt dieser beiden Punkt finden wir, indem wir zunächst die ittelwerte der beiden x-koordinaten a und b und der beiden y-koordinaten a und b berechnen. Diese ittelwerte sind die Koordinaten des ittelpunktes. Es gilt also: a b a b + + Den Zielfunktionswert r (X für X = erhalten wir, indem wir den euklidischen Abstand von zu A(a a oder B(b b berechnen, also:

13 3 a + b a + b a a + b a a + b r' = a a + = + a a b a a b a b a b = + = + Für ein Punktetripel ist der optimale Center Standort der ittelpunkt U(u u des Umkreises, also der Schnittpunkt der ittelsenkrechten der drei Verbindungsstrecken. Die ittelsenkrechte einer Strecke AB geht immer durch ihren ittelpunkt, dessen Koordinaten wir eben bestimmt haben. Weiterhin steht die ittelsenkrechte der Strecke AB senkrecht auf der Geraden durch AB. Die Steigung der Geraden durch die Punkte A(a a und B(b b hat den Wert: an kann sich klarmachen, das die Senkrechte zu einer Geraden mit der Steigung 6 a a b b a Steigung Gerade AB: a b b = = 6 3 b a Steigung Senkrechte zu AB: a b 6 = = 3 B(b b =B(8 A(a a =A( a b = 8 = -6 (5 3 a b = = Abbildung 3. Zur Steigung einer Geraden und ihrer Senkrechten. die Steigung a a b b a b a b b a : = = a b a b a b haben muss. Die ittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke von A(a a und B(b b geht also durch

14 und hat die Steigung a b a b + + b a a b Für die Geradengleichung x = mx + n der ittelsenkrechten gilt daher:. ( b a ( b+ a n n ( ( ( a + b ( a b ( a b ( a b ( a b a + b b a a+ b b a = + = + = + a b a b a b n a + b a b a b n = + = + ( ( ( ( a b a b a a a b b b + a b + + = + = = a b a b a b a b ( Die Geradengleichung der ittelsenkrechten der Verbindungsstrecke von A(a a und B(b b ist also: x ( a + a b + b b a = x + a b ( a b Den Schnittpunkt (x s x s zweier ittelsenkrechten x = m x + n und x = m x + n findet man schließlich durch lösen des Gleichungssystems x = mx + n s s x = mx + n s s Dieser Schnittpunkt ist der gesuchte Punkt U(u u. Den Zielfunktionswert r (X für X = U(u u erhalten wir, indem wir den euklidischen Abstand zwischen U und einem der Punkte des Punktetripels, z.b. A(a a berechnen, also: ( ( r' = a u + a u Nun überprüfen wir, ob die Kreisscheibe um X mit Radius r alle Punkte in Ex enthält. Dazu müssen wir überprüfen, ob die euklidische Entfernung zwischen X und jedem dieser Punkte kleiner oder gleich r ist, also ob ( ( g X ' : = max l Ex, X ' r' m= gilt. Wenn dies der Fall ist, so enthält die Kreisscheibe alle Punkte. Wenn es allerdings einen Punkt Ex n gibt, dessen euklidische Entfernung von X größer als r, also der Radius der Kreisscheibe, ist, d.h. g X ' : = max l Ex, X ' l Ex, X ' > r' ( ( ( m= m m so kann dieser Punkt nicht innerhalb der Kreisscheibe um X liegen. Die Kreisscheibe enthält also nicht alle Punkte in Ex und der Punkt X muß für die Suche nach dem optimalen Standort verworfen werden. n

15 5 Der optimale Standort X* bestimmt sich schließlich durch: * = ( * = min '( r r X r X X { nicht verworfene Punkte} Diskussionsthemen im Schulunterricht: - Kann man eine obere Grenze für die Anzahl der im Algorithmus zu 3. zu lösenden Zweiund Dreipunktprobleme berechnen? - Kann man Algorithmus 3. auf die Berechnung von Center Standorten im dreidimensionalen Raum erweitern? Übungsaufgaben Ü.3. Finden Sie die optimalen Standorte für einen Notfallhubschrauber, wenn die folgenden Einsatzorte gegeben sind: a Ex := {Ex (a a = Ex (-, Ex (a a = Ex (5 9, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (5 -} b Ex := {Ex (a a = Ex (3,5 6, Ex (a a = Ex (-,5 0} c Ex := {Ex (a a = Ex (5-5, Ex (a a = Ex (8 6, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (7 9} Sie können diese Aufgabe auch interaktiv lösen, indem sie die Dateien Ü-3--a.html bis Ü-3-- c.html öffnen. Ü.3. Vergleichen Sie für die folgenden Einsatzorte, die ein stumpfwinkliges Dreieck bilden, die euklidischen Entfernungen der Einsatzorte zum ittelpunkt der längsten Dreiecksseite und zum ittelpunkt des Umkreises: Ex := {Ex (a a = Ex (-5 3, Ex (a a = Ex ( 3, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (5 -} Sie können diese Aufgabe auch interaktiv lösen, indem sie die Dateien Ü-3-.html öffnen. Ü.3.3 Lösen Sie das Center Standortproblem rechnerisch, wenn als Standorte nur die Punkte X ( 5, X (5 und X 3 (5 5 zur Verfügung stehen und die existierenden Standorte durch Ex := {Ex (a a = Ex (0 0, Ex (a a = Ex (9 -, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (7 3, Ex (a a = Ex ( 5} gegeben sind. Ü.3. Lösen Sie das Center Standortproblem gemäß Algorithmus 3. für die folgenden existierenden Standorte: Ex := {Ex (a a = Ex (-, Ex (a a = Ex ( 7, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (8-6, Ex (a a = Ex (-9-5} Sie können diese Aufgabe auch interaktiv lösen, indem sie die Dateien Ü-3-.html öffnen. 3.3 Roboterplanung und edian Standortprobleme Wir betrachten zunächst eine sehr einfache Version des Bestückungsproblems der Firma PI: Die Platine stellen wir als ein Rechteck dar und wir nehmen erst einmal an, dass nur Stück von einem einzigen Typ eines elektronischen Bauteils einzubauen sind. Die Einbauplätze für die Bauteile sind bekannt und sind schon so vorbereitet, dass die Bauteile dort nur noch einzustecken

16 6 sind. Wir nehmen an, dass sie als Punkte in einem Koordinatensystem gegeben sind, dessen Ursprung in der linken unteren Ecke des Koordinatensystems liegt. Wie im Notfallproblem des Abschnitts 3. nennen wir diese Punkte existierende Standorte und bezeichnen sie mit {Ex (a a, Ex (a a,..., Ex (a a }. Die Bauteile sind in einem Behälter gelagert und der Roboterarm holt die Teile in diesem Behälter ab und steckt sie in die Einbauplätze. Das Einstecken der Bauteile in die Einbauplätze erfordert keine nennenswerte Zeit, so dass die Bestückungszeit nur davon abhängt, welche Weglänge der Roboterarm bei seinen Bewegungen zwischen dem Standort des Behälters und den Einbauplätzen zurücklegen muss. Ist X = (x x der (noch zu bestimmende! Standort des Behälters und ist d(ex m,x eine näher zu bestimmende Distanz oder ein Abstand zwischen dem m-ten existierenden Standort (= Einbauplatz und X, so wollen wir X so wählen, dass die edian-zielfunktion möglichst klein ist. Das Problem f X : = d Ex, X ( ( m= min f X : = d Exm, X X Punkt in derebene m ( ( nennt man das edian-standortproblem. Abbildung 3.3 zeigt ein Beispiel eines solchen Problems. m= Im Beispiel der Abbildung 3.3 ist die edian Zielfunktion die Summe der Längen der Verbindungsstrecken. Wir haben also in diesem Fall als Abstand zwischen Punkten die Euklidische Entfernung Abbildung 3.3 Platinenbestückungsproblem mit drei Einbauplätzen Ex (, Ex (6 und Ex 3 (8 als grüne Punkte. Als zwei Alternativen für die Wahl eines Standortes für den Behälter sind X(5 und X(3 dargestellt. Welche ist die bessere? verwendet. an überzeugt sich leicht, dass X(5 ein besserer Standort ist als X(3 ( Ü.3.5. Aber ist X(5 der edian-standort, also der bestmögliche Standort? Diese Frage ist schwieriger zu beantworten als die Frage nach dem Center Standort in Abschnitt 3.. Es gibt jedoch einige einfache Spezialfälle, die zunächst behandelt werden. Übungsaufgaben Ü.3.5 Berechnen Sie die edian-zielfunktion f(x für X (5 und X (3, wenn die existierenden Standorte wie folgt gegeben sind: Ex := {Ex (a a = Ex (, Ex (a a = Ex (6, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (8 }. Als Distanz soll die Euklidische Entfernung verwendet werden.

17 Geometrische Lösung für = 3 und Euklidische Entfernung Für das edian-standortproblem im Beispiel von Abbildung 3.3 gibt es einen sehr einfachen geometrischen Algorithmus, der immer dann gilt, wenn = 3 existierende Standorte vorliegen und das durch die drei Standorte aufgespannte Dreieck keinen Winkel hat, der größer als 0 ist. Algorithmus 3.5: Lösung des edian Standortproblems mit euklidischer Entfernung und = 3 existierenden Standorten Input: enge Ex := {Ex (a a, Ex (a a, Ex 3 (a 3 a 3 } von = 3 existierenden Standorten, so dass in dem durch diese Punkte aufgespannten Dreieck kein Winkel größer als 0 ist. Output: Optimaler edian-standort X*(x * x * und optimaler edian- Zielfunktionswert f(x*. Schritt: Zeichne das Dreieck A,B,C (A = Ex, B = Ex, C = Ex 3. Schritt: Errichte auf jeder Seite des Dreiecks ein gleichseitiges Dreieck 3. Schritt: Verbinde jeweils den neu entstandenen Punkt des gleichseitigen Dreiecks mit dem Eckpunkt des Dreiecks A,B,C, welcher nicht zu diesem gleichseitigen Dreieck gehört. (Simson-Linien.. Schritt: Die Simson-Linien schneiden sich in einem Punkt, dem Fermat- Punkt X*(x * x *. Output X* und f(x*. ( Ü.3.6 Die Simson-Linien sind benannt nach Robert Simson, einem englischer athematiker Den optimalen edian Standort nennt man Fermat Punkt, weil Pierre de Fermat ( dieses Standortproblem in seinen "Abhandlungen über axima und inima" 63/ gestellt hat. Einen Gültigkeitsbeweis dieses Algorithmus findet man auf der beiliegenden CD. Abbildung 3. zeigt, wie das Beispiel aus Abbildung 3.3 mit Hilfe von Algorithmus 3.5 gelöst wird. Als edian- Standort lesen wir X*(5,8 3, ab mit Zielfunktionswert 6 8 Abbildung 3. Lösung des Platinenbestückungsproblems mit drei Einbauplätzen Ex (, Ex (6 und Ex 3 (8 mittels Algorithmus 3.5. Den optimalen edian Standort liest man ab als X*(5,8 3,

18 8 (( ( ( m ( m ( m m= m= f 5,8 3, = d Ex, 5,8 3, = a 5,8 + a 3, ( 5,8 ( 3, ( 6 5,8 ( 3, ( 8 5,8 ( 3, = = 7,9 Wir können natürlich nicht sicher sein, dass das Ablesen des edian-standorts aus Abbildung 3. tatsächlich exakt ist. Um uns dessen sicher zu sein berechnen wir den edian-standort im Folgenden mit Hilfe der Analytischen Geometrie. Wir gehen dabei genau so vor, wie es Algorithmus 3.6 angibt, nur dass wir nicht zeichnen, sondern rechnen. Zunächst benennen wir die Punkte Ex (a a, Ex (a a und Ex 3 (a 3 a 3 so in A(a,a, B(b,b und C(c,c um, dass A, B und C im mathematisch positiven Sinne aufeinander folgen, also gegen den Uhrzeigersinn. Dann beginnen wir mit den gleichseitigen Dreiecken auf den Seiten des Dreiecks ABC aus den existierenden Standorten. Statt die Dreiecke zu zeichnen, berechnen wir für jedes gleichseitige Dreieck den noch fehlenden Eckpunkt (dies werden wir exemplarisch für die Dreiecksseite AB tun, denn nur diesen benötigen wir für die Simson Linien. Dazu werden wir mit Vektoren im arbeiten, also mit der enge {( v v : v, v } = {( v, v : v, v }. Diese können wir uns als Pfeile in einer Ebene mit Koordinatensystem vorstellen. Der Vektor (v v oder (v,v ist nämlich als Pfeil darstellbar, dessen Spitze um v weiter in x -Richtung und v in x -Richtung gegenüber seinem Anfang liegt. Beispiel 3.6: 5 (6, (3,9 6 3 (-, (-3,-3 (0,-5-6 (-7,- -9 Abbildung 3.5 Darstellung von Vektoren als Pfeile in einer Ebene mit Koordinatensystem

19 9 Wir werden den fehlenden Punkt P des gleichseitigen Dreiecks über AB wie folgt berechnen: Zunächst bestimmen wir den ittelpunkt der Strecke AB. Dann gehen wir von senkrecht zur Strecke AB um h nach außen. Für h gilt nach dem Satz des Pythagoras: mit B(b,b A(a,a Abbildung 3.6 Zur Herleitung der Formel für h. P g h g/ g g g g g g g h + = g h + = h = = 3 h= 3, ( ( g = a b + a b Nun zur Bestimmung von. Von A(a,a nach B(b,b führt der Vektor (b a,b a, denn (a,a + (b a,b a = (a + (b a,a + (b a = (a + b a, a + b a = (b,b. Zum ittelpunkt der Strecke AB gelangen wir deshalb mit a a b a b a a+ b a a, + b a = a+ b a + b =, ( a, a + ( b a, b a =, +, Dies verwundert uns nicht, da wir den ittelpunkt der Strecke AB ohne zu überlegen wohl auch als ittelwert von A und B, oder genauer, als ittelwert der x -Koordinaten und als ittelwert der x -Koordinaten berechnet hätten. Von gehen wir nun um a + b a + b =, h = 3 g g

20 0 senkrecht zur Strecke AB nach außen, also vom Dreieck, das durch die existierenden Punkte gebildet wird, weg. Zu einem Vektor (v,v findet man einen senkrechten Vektor, indem man zunächst die Einträge v und v vertauscht und dann das Vorzeichen von v oder v verändert. So steht z.b. (v,-v steht also senkrecht auf (v,v, denn a d A B B (,,(, ( v v v v = v v + v v = v v v v = 0. A b e B Abbildung 3.7 Zur Veranschaulichung des Vorzeichenwechsels bei der Bestimmung einer Senkrechten, die aus dem Dreieck heraus geht. B A A c A f A an kann sich überlegen, dass man immer das Vorzeichen des zweiten Eintrags ändern muss, wenn man senkrecht zur Dreiecksseite AB nach außen und nicht nach innen gehen will, d.h. aus (v,v wird (v,-v (s. Abbildung 3.7. Ein senkrechter Vektor zu (b a,b a ist also (b a,-(b a = (b a,a b. Wie geben wir diesem Vektor nun aber die Länge h? Betrachten wir zunächst nochmals einen Vektor (v,v. Diesen Vektor kann man sich als Pfeil in einer Ebene mit Koordinatensystem vorstellen. An den Vektorpfeil kann man zwei Strecken der Längen v und v parallel zu den Koordinatenachsen anlegen, so dass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht, in dem der Vektorpfeil die Hypotenuse und die Strecken der Längen v und v die Katheten bilden. Nach dem Satz des Pythagoras hat der Vektor (v,v also die Länge: v + v Wenn wir nun aber einen Vektor benötigen, dessen Richtung die Gleiche ist, wie die von (v,v, dessen Länge aber h sein soll, so nehmen wir einfach den Vektor h ( v, v, v + v also den Vektor (v,v, dessen Länge geschickt verändert wurde. Ein Vektor, der die gleiche Richtung hat, wie (b a,a b aber mit Länge h wäre also: h h ( b a, a b = b a, a b b a + a b a b + b a ( ( ( a b + ( a b B B ( ( ( b a, a b ( b a, a b ( h h = = g Wenn wir nun h einsetzen erhalten wir:

21 h g 3g 3 g ( b a, a b = ( b a, a b = ( b a, a b Um den Punkt P zu erhalten müssen wir wie schon gesagt, senkrecht nach außen gehen, und zwar in Richtung des gerade berechneten Vektors und genau so weit, wie dieser lang ist. Das machen wir mathematisch, indem wir zu den obigen Vektor addieren: a + b a + b 3 3 P =,,, + b a a b = a + b a + b + b a a b = (( a + b, a + b + ( 3b 3 a, 3a 3b = (( a + b + 3b 3 a, a + b + 3a 3b = (( a a 3+ b + b 3, a 3+ a b 3+ b ( ( (, Wir können nun entweder direkt in diese Formel für P einsetzen, oder wir gehen schrittweise vor, indem wir die einzelnen Schritte, die zur Erarbeitung der Formel nötig waren, durchgehen. Wir wollen zunächst die fehlenden Punkte für die gleichseitigen Dreiecke der Daten aus Abbildung 3. berechnen: Beispiel 3.7: Zuerst benennen wir die Punkte um: A(a,a = Ex (, B(b,b = Ex 3 (8, C(c,c = Ex (6. Die Eckpunkte des Dreiecks ABC sind nun im mathematisch positiven Sinne benannt. Berechnung des dritten Punktes für das gleichseitige Dreieck über der Strecke AB: Zunächst berechnen wir die itte der Strecke AB: a + b a + b ,,, = 5, = = = Nun bestimmen wir den senkrechten Vektor auf (b a,b a = (8, = (6,-, der nach außen zeigt, also vom Dreieck ABC weg. Zunächst vertauschen wir die Komponenten und erhalten (-,6. Dann ändern wir das Vorzeichen des nun zweiten Eintrags und erhalten (-,-6. Um diesem Vektor die richtige Länge zu geben, bestimmen wir zunächst g als ( ( ( ( ( g = a b + a b = 8 + = 6 + = 36+ = 0 Der Vektor, der sowohl in die richtige Richtung zeigt, als auch die richtige Länge hat ist also: h ( b a, a b = ( b a, a b = (, 6 =, g =, 3 3 Dies addieren wir nun zu : , +, 3 3 = 5, 3 3 =,,3, 3,70 ( Das gleiche Ergebnis erhalten wir auch, wenn wir direkt in die Formel für P einsetzen: P = ( , = 0 3, ( ((

22 Nun berechnen wir den Punkt P, den Punkt der noch zum gleichseitigen Dreieck über BC fehlt. Dazu ändern wir die Formel für P so ab, das wir die Einträge von A durch die von B und die Einträge von B durch die von C ersetzen. Wir erhalten so: P = (( b b 3+ c + c 3, b 3+ b c 3+ c = (( , = (( + 3 3, ,60,, 3 ( Den Punkt P 3, den Punkt der zum gleichseitigen Dreieck über CA fehlt berechnen wir schließlich, indem wir die Formel für P so abändern, das wir die Einträge von B durch die von C und die Einträge von C durch die von A ersetzen. Wir erhalten so: P3 = (( c c 3+ a + a 3, c 3+ c a 3+ a = (( , = (( 8 3, 6+ 3, 7, 6, 6 ( Nun zur Bestimmung der Simson Linien. Dies ist ein Standartproblem der Schulmathematik, auch wenn uns das vielleicht noch nicht bewusst ist. Die Simson Linien sind nichts anderes als Geraden, oder genauer gesagt, Graphen einer linearen Funktion und somit in der Form x = mx + n darstellbar. Für jede der Simson Linien kennen wir nun zwei Punkte, da eine Simson Linie durch einen neu berechneten äußeren Punkt eines gleichseitigen Dreiecks geht und durch den existierenden Standort, der nicht zu diesem gleichseitigen Dreieck gehört. Diese beiden Punkte, z.b. P (p,p und C(c,c, müssen also die Gleichung x = m x + n erfüllen, da sie sonst nicht auf dieser Gerade liegen würden. Wir erhalten also ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, nämlich m und n : p = p m + n c = c m + n Dieses Gleichungssystem müssen wir nun nur noch lösen, um die Werte für m und n und somit die Simson Linie durch P und C zu bestimmen. Beispiel 3.7 (Fortsetzung: Im folgenden wollen wir mit den gerundeten Werten weiterrechnen. Zunächst berechnen wir die Gleichung x = m x + n der Simson Linie die durch den Punkt P (p,p und C(c,c geht. Dazu lösen wir folgendes Gleichungssystem: p = pm + n ( i 3,70 =,3m + n c = c m + n ( ii,00 = 6,00m +n Dabei haben wir die erste Gleichung mit (i und die zweite Gleichung mit (ii bezeichnet. Wir subtrahieren nun (i von (ii und erhalten: (,00 3,70 = 7,70 =,87m = 6,00 m + n (,3 m + n

23 3 also: 7,70, 78m = 7, 70 m =,, 87 Dies setzen wir nun in (ii ein und erhalten: 7,70,00 = 6,00 + n,7+ n n,00,7 = 0,7,87 Die Simson Linie durch P und C hat genügt also der Gleichung: x =,x 0, 7 Nun zur Simsonlinie durch P (p,p und A(a,a. Wir müssen das folgende Gleichungssystem lösen: Wir subtrahieren nun (ii von (i und erhalten: also: p = pm + n ( i, 3 = 9,60m + n a = am + n ( ii,00 =,00m + n, 3,00, 3 7,60 9,60,00 ( n = = m = m + n m +, 3 7,60m =,3 m = 0,9 7,60 Dies setzen wir nun in (ii ein und erhalten:, 3, 00 =, 00 0,59, 00 0,59, 7,60 + n + n n = Die Simson Linie durch P und A hat genügt also der Gleichung: x = 0,9x +, Nun zur Simsonlinie durch P 3 (p 3,p 3 und B(b,b. Wir müssen das folgende Gleichungssystem lösen: Wir subtrahieren nun (ii von (i und erhalten: also: p = p m + n ( i 6,6 =,7m + n b = bm + n ( ii,00 = 8,00m + n , 6,00 5, 6 5,73, 7 8,00 Dies setzen wir nun in (ii ein und erhalten: ( n = = m3 = m3+ n3 m3+ 3 5, 6 5, 73m3 = 5, 6 m3 = 0,95 5,73 5, 6,00 = 8,00 + n3 7,6 + n3 n3,00 ( 7,6 =,00 + 7,6 = 8,6 5,73 Die Simson Linie durch P 3 und B hat genügt also der Gleichung: x = 0,95x + 8, 6

24 Nachdem alle Simson Linien bestimmt sind, berechnen wir nun die Schnittpunkte zwischen Ihnen. Es genügt dabei, den Schnittpunkt zweier Simson Linien zu bestimmen, da sich alle Simson Linien in einem Punkt schneiden sollten. Beispiel 3.7 (Fortsetzung: Wir werden zwei der drei möglichen Schnittpunkte bestimmen, um zu überprüfen, ob uns kein Rechenfehler bei der Bestimmung der Simson Linien unterlaufen ist. Wir müssen dazu nicht alle der Schnittpunkte ausrechnen, denn schneiden sich die Geraden g und h in einem Punkt D und die Geraden h und i in einem Punkt E und gilt E = D, so müssen sich auch g in i in D schneiden. Wir berechnen zunächst den Schnittpunkt von und (i x Dazu subtrahieren wir (ii von (i und erhalten: also: =,x 0, 7 (ii x = 0,9x +, ( x x = 0 = 3,83x, =,x 0,7 0, 9x +,, 3,83x =, x = 5, 78 3,83 Dies setzen wir nun in (ii ein und erhalten:, x = 0,9 +, 3,08 3,83 Der erste von uns berechnete Schnittpunkt hat also die Koordinaten: Wir berechnen nun den Schnittpunkt von und ( x x = ( 5,78 3,08 (i x (ii x Dazu subtrahieren wir (ii von (i und erhalten: also: =,x 0, 7 = 0,95x + 8, 6 ( x x = 0 = 5,07x 9,33 =,x 0,7 0,95x + 8,6 9,33 5, 07x = 9,33 x = 5, 79 5,07 Dies setzen wir nun in (ii ein und erhalten: 9,33 x = 0,95 + 8, 6 3, 5,07 Der nun berechnete Schnittpunkt hat also die Koordinaten: ( x x = ( 5,79 3,

25 5 Die beiden Schnittpunkte stimmen bei einer Rundung auf Zehntel überein, die Abweichungen kommen durch Rundungsfehler zustande. ( Ü.3.7 Übungsaufgaben Ü.3.6 Lösen Sie das edian Standortproblem für die folgenden existierenden Standorte (gem. Algorithmus 3.5 und durch Berechnung. Ex := {Ex (a a = Ex (, Ex (a a = Ex (6, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (8 }. Sie können diese Aufgabe auch interaktiv lösen, indem sie die Datei Ü-3-6.html öffnen. Ü.3.7 Überprüfen Sie ihr zeichnerisch gewonnenes Ergebnis aus Ü.3.6, indem sie den edian Standort berechnen Lösung für quadratische Euklidische Entfernung durch Kurvendiskussion Wenn in der edianzielfunktion der Abstand zwischen Punkten durch die quadratische Euklidische Entfernung gegeben ist, dann will man die folgende Funktion minimieren: ( ( ( ( (, ( ( ( f X = d Ex X = a x + a x = a x + a x m m m m m m= m= m= Dies sieht schwierig aus, da die Funktion von zwei Variablen abhängig ist den Koordinaten x und x des gesuchten edian-standorts. Tatsächlich ist die inimierung aber mit klassischen ethoden der Schulmathematik zu lösen, da wir die Summe in f(x wie folgt umformulieren können: ( ( ( f X = am x + am x m= m= = : f ( x = : f ( x Da alle Summanden größer oder gleich Null sind, ist f(x(x x genau dann minimal, wenn sowohl f (x als auch f (x minimal ist. Letztere sind aber wohlbekannte, differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen. it Standardmethoden der Differentialrechnung erhalten wir aus die Werte 0 ( ( f x = a x = und f ( x = ( am x m m= x = * m= a m und x * m= a = 0 Da die zweiten Ableitungen für beide Funktionen konstant den Wert > 0 haben, liegen bei x * und x * die eindeutig bestimmten inima der Funktionen f und f vor. Also ist X*(x * x * das eindeutige inimum der Funktion f(x und damit der edian-standort ( Ü.3.8. Wir haben damit das folgende Ergebnis bewiesen. Satz 3.: Das edian-standortproblem = m m=

26 6 ( m m ( = ( + ( min f X : a x a x X Punkt inderebene m= mit existierenden Standorten und quadratischer euklidischer Entfernung hat die eindeutige Lösung X*(x * x *, wobei x * das arithmetische ittel der x-koordinaten und x * das arithmetische ittel der y-koordinaten der existierenden Standorte ist. Beispiel 3.8: it den Daten des Beispiels aus Abbildungen 3.3 und 3. berechnet man den edian-standort mit quadratischer Euklidischer Entfernung durch a = = = = 5,3 3 3 * m m= + + x und x a 7 = = = =,3 3 3 m * m= + + Dies ist ein anderer edian-standort als der, der für die (nicht-quadratische Euklidische Entfernung in Abbildung 3. bestimmt wurde. ( Ü Übungsaufgaben Ü.3.8 Kann man eine ähnliches Lösungsverfahren für quadratische Euklidische Entfernungen ableiten, wenn man statt der bisherigen Zielfunktion die gewichtete edian-zielfunktion ( ( = (, = ( + ( f X w d Ex X w a x a x m m m m m m= m= mit Gewichten w m 0 betrachtet? acht eine solche Zielfunktion in der Anwendung der Firma PI oder in anderen wirtschaftlichen Zusammenhängen Sinn? Ü.3.9 Berechnen Sie den optimalen edian Standort für quadratische Euklidische Entfernung und die Punkte Ex := {Ex (a a = Ex (0 0, Ex (a a = Ex (7, Ex 3 (a 3 a 3 = Ex 3 (-7 7, Ex (a a = Ex (9-78, Ex 5 (a 5 a 5 = Ex 5 (8-56, Ex 6 (a 6 a 6 = Ex 6 (-7 9, Ex 7 (a 7 a 7 = Ex 7 (6 6, Ex 8 (a 8 a 8 = Ex 8 (59 3, Ex 9 (a 9 a 9 = Ex 9 (-00 5}. Ü.3.0 Berechnen Sie den optimalen edian Standort für quadratische Euklidische Entfernung mit gewichteter Zielfunktion für die Standorte aus Ü.3.9 und die Gewichte: w =, w = 9, w 3 =, w = 0, w 5 =, w 6 =, w 7 =, w 8 = 3, w 9 = Gespräch: Standorttheorie als gemeinsames Werkzeug Nadine: Das ist ja ganz erstaunlich, dass unsere beiden Gruppen an völlig verschiedenen Problemen arbeiten, aber die odelle, die wir benutzen doch sehr ähnlich sind: Wir haben beide eine enge Ex := {Ex (a a, Ex (a a,..., Ex (a a } von existierenden Standorten bei uns sind das die Einbauplätze für die elektronischen Bauteile, bei euch die Einsatzorte für den Notfallhubschrauber. Im Koordinatensystem sieht man kaum einen Unterschied, obwohl beim PI Problem die Entfernungen auf der Platine sehr klein sind, bei dem WhC Problem dagegen sehr groß. Die Zielfunktionen sehen sich auch sehr ähnlich, denn unsere edian-zielfunktion und eure Center-Zielfunktion

27 7 ( = (, X und g( X : = max d( Ex, X f X d Ex m= m unterscheidet sich nur dadurch, dass bei der einen die Summe während bei der anderen das aximum der Einzelentfernungen betrachtet wird. Sebastian: Komisch ist allerdings, dass wir Centerprobleme mit Euklidischer Entfernung wunderbar lösen können, während wir das edianproblem für beliebig viele existierende Standorte nur für die quadratische Euklidische Entfernungen in den Griff bekommen. Oliver: Ja das stimmt. Wir wissen zwar jetzt schon Einiges über die Lösung von Standortproblemen, aber für unsere Berichte an die Firma PI und die WhC Organisation müssen wir uns doch noch einige Gedanken machen. Ich habe z.b. mit der Produktionsleiterin bei PI gesprochen und sie hat mir Auskunft darüber gegeben, wie sich die Roboterarme bewegen. Das Ganze ist recht kompliziert und man müsste bei der Bewegung des Roboterarms Beschleunigungen und Bremsvorgänge mit berücksichtigen. Sie meinte vor allem, dass das Entfernungsmaß, das wir bisher in unserem odell benutzt haben, die quadratische Euklidische Entfernung, definitiv ungeeignet ist. Selina: Bad news! Da könnt ihr ja alles, was ihr bisher im PI Projekt gemacht habt, wieder vergessen und völlig von vorne anfangen. Oliver: Nein, so schlimm ist es nicht. Die Produktionsleiterin meinte, dass man wegen der kleinen Ausmaße der Halbleiterplatine und der Technologie der verwendeten Roboterarme annehmen kann, mit der Rechteckentfernung (oder l -Entfernung ( ( m= d Exm, X = l Exm, X : = am x + am x den Abstand zwischen den Einbauplätzen und dem Standort des Behälters sehr gut messen zu können. Nadine: Ja, das macht Sinn, wenn ihr euch einmal aufzeichnet, was das bedeutet (siehe Abbildung 3.8. Die Roboterarme der Firma haben jeweils nur einen otor, a m Ex m der den Arm in Richtung der beiden Koordinatenachsen bewegen kann. Die Summe der beiden a m -x Abstände in Richtung der Koordinatenachsen entscheidet darüber, X x wie lange es dauert, bis sich der a m -x Roboterarm vom Standort X des Behälters zum Einbauplatz Ex m x a m des Bauteils bewegt hat. Dieselbe Art, Entfernungen zu messen, Abbildung 3.8 Berechnung der Rechteckentfernung. nennt man auch anhattan Entfernung, weil man sich in anhattan wegen der Anordnungen der Strassen auch nur entlang der Koordinatenachsen bewegen kann ( Ü.3.. Oliver: Auf geht s! Wir müssen also sehen, ob wir edian-standortprobleme mit einer Zielfunktion lösen können, die anstatt unserer bisherigen quadratischen Euklidischen Entfernung die Rechteckentfernung enthält. Wie sieht es denn bei eurem odell für das WhC Problem aus? Reicht das, was ihr bisher aufgeschrieben habt (siehe Abschnitt 3.? m

28 8 Sebastian: Nein, da tritt auch ein Problem auf, dass wir bisher nicht beachtet hatten. Wenn wir einen optimalen Center-Standort für den Hubschrauber bestimmt haben, kann es sein, dass dieser Standort mitten in einem Naturschutzgebiet oder Ähnlichem steht. Wir müssen also bestimmte Restriktionen bei der Standortauswahl berücksichtigen. Selina: Es sieht so aus, als ob wir unser odell, das wir bisher entwickelt haben noch weiter ausbauen müssen, damit wir das WhC Problem auch tatsächlich lösen können. Wir haben also alle noch Einiges zu tun. Sebastian und ich werden uns in den nächsten Tagen damit beschäftigen, während Oliver and Nadine sich mit der Lösung des edian-standortproblems mit Rechteckentfernung auseinandersetzen werden. Oliver: Ok. Außerdem schlage ich vor, dass ich aufschreibe, was ich sonst noch so über den Zusammenhang zwischen Standorttheorie und wirtschaftlichen Problemen gefunden habe. Ich glaube nämlich, dass die Arbeit, die wir uns jetzt machen eine gute Investition ist. Ich habe mich schon ein wenig in Büchern und im Internet umgesehen. Es gibt eine enge von anderen Problemen in der Wirtschaft, die mit Standortplanung zu tun haben und wir können mit unserem Beratungsteam da bestimmt noch viel machen Selina: und dabei tüchtig Geld verdienen. Nadine: Na mal langsam! Bisher wissen wir noch nicht einmal, wie wir die PI und WhC Probleme richtig lösen. Ich stimme deinem Vorschlag zur Aufgabenverteilung zu, und halte auch Olivers Idee für sehr gut. Das kann uns sehr weiterbringen. Lasst uns an die Arbeit gehen. Übungsaufgaben Ü.3. Berechnen Sie die l Entfernungen der folgenden Punktepaare: a (0 0 und (7 b (-7 7 und (9-78 c (8-56 und (-7 9 d (6 6 und (59 3 e (-00 5 und (7 f (8 8 und ( Ausblick: Standortplanung in der Wirtschaft Wegen seiner großen Bedeutung für das Erreichen kommerzieller oder sozialer Ziele ist die Entscheidung über einen guten Standort in vielen Bereichen der Wirtschaft von hervorragender Bedeutung. Nahezu täglich hören wir in den Nachrichten vom Standort Deutschland oder von dem Ausgleich der Standortnachteile, etc. Wenn Firmen z. B. eine neue Fabrik im Osten Europas aufbauen, weil dort die Lohnkosten viel niedrigen sind, so ist das odel, dass diese Entscheidung beeinflusst hat, komplizierter als die, die wir in den vorhergehenden Kapiteln betrachtet haben. Allerdings sind die Überlegungen, die wir bisher angestellt haben und auch noch in den folgenden Kapiteln anstellen werden Teil eines größeren Gesamtmodels. Die hier besprochenen Fragen sind also durchaus aktuell auch wenn die Standortplanung eines der ältesten Gebiete der Wirtschaftsmathematik ist. In der volkswirtschaftlichen Standorttheorie versucht man die Ansiedlung von Unternehmen oder Betriebe von Wirtschaftssektoren zu erklären oder zu optimieren. Ein erstes Beispiel der volkswirtschaftlichen Standorttheorie sind die Untersuchung des Johann Heinrich von Thünen ( Er modellierte die Anordnung landwirtschaftlicher Produktionszweige in einem isolierten Staat, in dem nur ein Absatzort vorhanden ist und berücksichtigt dabei den Bodenwert, die Entfernung zum Absatzort und Produktionskosten. Er wollte herausfinden, aus welchem Grund der landwirtschaftlich verwendbare Boden um eine Stadt herum einem bestimmten Nutzen zugeführt wurde, und warum die verschiedenen Aktivitäten, wie Acker-, Weide- und Holzwirtschaft, ilchproduktion, etc. immer in einer bestimmten Reihenfolge um die Stadt herum in Kreisen an-