ETWR Teil B. Einleitende Worte

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1 ETWR Teil B Einleitende Worte

2 Team Marcel Lichters Übung Stephan Schosser Vorlesung Stephan Schosser 2 Einleitende Worte

3 Stephan Schosser 3 Einleitende Worte Unser Lehrstuhl in der Forschung Ralf Morgenstern Entscheidungsverhalten und Hirnaktivität Lotterien und Wahrscheinlichkeiten Eike Benjamin Kroll Risikoeinstellung, Wahrscheinlichkeitswahrnehmung Implikationen für Gesundheits- und Steuerpolitik Judith Trarbach Bestimmung von Lebensqualität Ressourcenverteilung im Gesundheitssektor Bodo Vogt Forscht an vielem Weitere ufgaben: Lehrstuhlleiter

4 Einleitende Worte 4 Literatur Bamberg, Baur & Krapp (2011): Statistik. Oldenburg Verlag, 16. uflage Bamberg, Baur & Krapp (2008): Statistik-rbeitsbuch. Oldenburg Verlag, 8. uflage Fahrmeir, Künstler, Pigeot & Tutz (2011): Statistik. Springer Verlag, 7. uflage Caputo, Fahrmeir, Künstler, Lang, Pigeot & Tutz (2009): rbeitsbuch Statistik. Springer Verlag, 5. uflage Schwarze (2005): Grundlagen der Statistik II Verlage neue Wirtschaftsbriefe, 7. uflage

5 Einleitende Worte 5 WICHTIG: Terminänderung Neue Veranstaltungstermine (gültig ab ) Vorlesung Di: 11:00-13:00 Di: 15:00-17:00 Übung Mi: 07:30-09:00 Teil / B von Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko geblockt : nur Teil B : nur Teil

6 Einleitende Worte 6 Veranstaltungstermine (Planung) Vorlesungstermine Übungstermine Mi Di :00 Bewertung von Ereignissen 15:00 Urnenexperimente Mi Übungsblatt I Di :00 Bewertung von Urnenexperimenten 15:00 Zufallsvariablen Mi Übungsblatt II Di :00 Verteilungsparameter 15:00 Übungsblatt III Mi Reformationstag Di :00 Verteilungsparameter 15:00 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Mi Übungsblatt IV Di :00 Mehrdimensionale Zufallsvariablen 15:00 Verteilungsparameter II Mi Übungsblatt V Di :00 Spezielle Verteilungen (diskret) 15:00 Spezielle Verteilungen (stetig) Mi Übungsblatt VI Mi Klausurvorbereitung

7 Einleitende Worte 7 Vorlesungsunterlagen Foliensatz zur Vorlesung Online verfügbar URL: Übungsblätter Keine Musterlösung URL: lte Klausuren Fachschaftsrat Keine Lösung von uns!

8 Einleitende Worte 8 Klausur Durchführung Bisher: Multiple Choice/usfülltexte Rechenweg nicht bewertet Künftig: Besprechung letzte Vorlesung Vorbereitung Teilnahme an der Plenarübung Rechnen alter Klausuraufgaben ber auch: Gründen einer Lerngruppe Termine (vgl. nmeldung: Prüfungszeitraum:

9 Einleitende Worte 9 Kommunikation Fragen, nmerkungen, Kritik an Stephan.Schosser@ovgu.de, Marcel.Lichters@ovgu.de Mindestanforderungen für Beantwortung von s Freundlicher Ton ( Netiquette ) Kurz, prägnant formuliert Keine nfragen à la Ich habe die Übung verpasst. Wie ist die Lösung für ufgabe X? Ich war das Semester über surfen. Was kommt in der Klausur? Letzter Termin für Fragen (Letzte Vorlesung) lle späteren Fragen werden nicht beantwortet

10 Einleitende Worte 10 Inhalt der Veranstaltung Wahrscheinlichkeitsrechnung Gefühl für Wahrscheinlichkeit Mathematische Operationen auf Wahrscheinlichkeiten Beschreibung von Ereignissen Charakterisierung von erwarteten Ergebnissen Wahrscheinliche Intervalle für Stichproben

11 Einleitende Worte 11 Beispiel Geh aufs Ganze! / Let s make a deal! Fernsehsendung Deutschland: US: seit 1963 Situation Spieler sieht drei geschlossene Tore Hinter einem Tor steht ein uto, hinter zweien eine Ziege Spieler muss sich für ein Tor entscheiden Moderator öffnet dann eines der beiden anderen Tore (mit Ziege) Spieler kann Tor wechseln oder bei seinem bleiben Spieler erhält uto, wenn hinter Tür, sonst nichts

12 Einleitende Worte 12 Beispiel Geh aufs Ganze! / Let s make a deal! Womit kann Spieler (nach Bestehen von ETWR) rechnen? 1/2 uto oder etwas mehr? Was passiert nachdem Moderator das Tor mit Ziege geöffnet hat? lternative 1: uto Wahrscheinlichkeit beider Tore 1/2 Idee: Spieler weiß nichts über die Tore lternative 2: uto Wahrscheinlichkeit bei Wechsel 2/3 Idee: Spieler wettet eingangs gegen sich selbst

13 Einleitende Worte 13 Beispiel Geh aufs Ganze! / Let s make a deal! Ergebnis durch uszählen (Bsp. Spieler wählt eingangs Tor 1) Moderator will Tor 2 öffnen Moderator will Tor 3 öffnen Spieler gewinnt bei Wechsel in 4 von 6 Fällen: Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3

14 Einleitende Worte 14 Beispiel Geh aufs Ganze! / Let s make a deal! Warum interessant? Umgang mit Wahrscheinlichkeiten nicht intuitiv Rechtzeitiger Lernbeginn Licht geht mit Verzug auf Umgang mit Wahrscheinlichkeiten ist praktisch relevant Neben Geh aufs Ganze! z.b. Lotto, Versicherungen, Eheschließung Insbesondere Betrachtung der erwarteten uszahlung Umgang mit Wahrscheinlichkeiten ist oft falsch Unterschied Prozent vs. Prozentpunkte Beispiel Kernkraft: Möglichkeiten vs. Wahrscheinlichkeiten

15 Einleitende Worte 15 Wechselbeziehungen zu anderen Veranstaltungen Mathematische Grundlagen Explorative Datenanalyse (1. Semester) (Rückwärtsgerichtete) nalyse empirischer Beobachtungen Datenbeschreibung Diese Veranstaltung Vorbereitung auf (vorwärtsgerichtete) Vorhersagen nwendung der Konzepte aus Explorative Datenanalyse Schätzen und Testen (3. Semester) Treffen von (vorwärtsgerichteten) Vorhersagen Testen ob Hypothesen zutreffen nwendungen Investition und Finanzierung (2. Semester) Finanzierungsentscheidungen meist mit ungewisser Zukunft Einsatz der Mathematischen Grundlagen... und viele andere... Wir vermitteln Grundlagen, die sie für das Studium benötigen sind aber nicht der Nabel zur Welt.

16 ETWR Teil B

17 17 Zufall Zufall ist überall vorausgesetzt wir sehen von göttlicher Fügung ab. Zufällige Ereignisse Regenschauer heute Lottogewinn Hörsaaltechnik geht kaputt Ihr zukünftiger Partner sitzt jetzt in diesem Hörsaal Zufällige Größen Dauer von der Universität nach Hause Kosten eines PKW-Unfalls Lebenszeit von Menschen Ergebnis von Fußballspielen

18 18 Zufall und Risiko Erwünschter Zufall: Glückspiel Werfen von Würfeln Roulettespiel Lotto Unerwünschter Zufalls: Fast alles sonst! Unfälle (Verkehr, Datenpannen, Naturkatastrophen) Klausurergebnisse Zufall verursacht Risiken, d.h. Gefahr entstandener Schäden Deshalb: Versuch Zufall einzugrenzen Gesetze, technische Überwachung, Schulungen Lernen der Folien, Bearbeiten der Übungsblätter ber: Zufall lässt sich nicht völlig unterdrücken Versuch Risiken einzuschätzen: Stochastik ( Mathe des Zufalls ) Bewertung von Chancen und Risiken

19 19 Ziele Ziel des Kapitels Erste Schritte zur Formalisierung von zufälligen Ereignissen (Zufallsexperiment, Ereignis,...) Beziehung zwischen zufälligen Ereignissen und Mengen (bbildung von Mengen auf Ereignisse) Beziehungen zwischen Mengen (Komplement, Vereinigung,...) Gesetzmäßigkeiten bei der Betrachtung von Mengen ( Rechengesetze ) Ziel der Mengenlehre Mengenlehre bildet Grundlage für Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ohne Verständnis Folgekapitel kryptisch ) Formalisierung von Zufällen in der Umwelt (Lotto, Entscheidungen per Münzwurf Fußball, Wahlen)

20 20 genda Zufallsvorgänge und Ereignisse Mengenlehre Bewertung von Ereignissen Urnenexperimente Bewertung von Urnenexperimenten Zufallsvariablen Verteilungsparameter Mehrdimensionale Zufallsvariablen Verteilungsparameter II Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

21 21 Zufallsvorgänge - Beispiel Beispiel für Zufallsexperimente (allgemein) Ziehung der Lottozahlen Roulette, Münzwurf, Würfelwurf Technische Versuche (Härtetest von Stahlproben) Beispiele für Zufallsexperimente (VWL) Oft keine Zufallsexperimente (historische Daten, Bedingungen nicht kontrollierbar) usnahme: Experimentelle Wirtschaftsforschung Charakteristika lle möglichen usgänge sind bekannt Sich einstellender usgang ist unbekannt

22 22 Zufallsvorgänge Definition: (Zufallsvorgang) Unter Zufallsvorgang verstehen wir einen Vorgang, bei dem im Voraus feststeht, welche möglichen usgänge dieser theoretisch haben kann, der sich einstellende, tatsächliche usgang im Voraus unbekannt ist. Definition: (Zufallsexperiment) Zufallsvorgänge, die geplant sind und kontrolliert ablaufen, heißen Zufallsexperimente.

23 23 Ergebnis, Ergebnismenge Beispiel Jetzt: Versuch der Formalisierung Es gibt zu jedem Zufallsexperiment mehrere usgänge usgänge bilden eine Menge Ω Zufallsvorgang (Einmaliges) Werfen eines Würfels : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zufallsvorgang (Einmaliges) Werfen einer Münze : Ω = {K, Z} Zufallsvorgang (Zweimaliges) Werfen einer Münze : Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ} Zufallsvorgang Werfen einer Münze bis Kopf erscheint : Ω = {K, ZK, ZZK, ZZZK} Zufallsvorgang Wartezeit auf Straßenbahn (unter 10 Minuten) : Ω = x x R, 0 x 10 { } = [ 0,10] Bemerkung: Die nzahl der Ergebnisse kann endlich sein Die nzahl der Ergebnisse kann unendlich sein... dazu später mehr!

24 24 Ergebnis, Ergebnismenge Definition: (Ergebnis) Ein möglicher usgang eines Zufallsvorgangs heißt Ergebnis ω Definition: (Ergebnismenge) Die Menge aller möglichen usgänge ω i eines Zufallsvorgangs heißt Ergebnismenge und wird mit Ω bezeichnet. Wir notieren die nzahl aller Elemente von Ω (d.h. die nzahl aller Ergebnisse) mit Ω. nzahl der Elemente in einer Menge: Kardinalität

25 25 Ereignis - Beispiele Zusammenfassen von Ergebnissen zu Ereignissen möglich Ereignis Bei drei Münzwürfen erscheint genau einmal Zahl = {KKZ, KZK, ZKK} Ereignis Beim Münzwurf erscheint genau einmal Kopf-Zahl-Kopf = {KZK, ZKZK, KKZK, ZZKZK,...} Ereignis Bei einem Münzwurf erscheint Kopf und Zahl = {} = (unmögliches Ereignis) Ereignis Bei einem Münzwurf erscheint Kopf oder Zahl = {Z, K} = Ω (sicheres Ereignis) Ereignis Bei einem Münzwurf erscheint Kopf = {K} (Elementarereignis)

26 26 Ereignis Definition: (Ereignis) Unter einem Ereignis verstehen wir ein Zusammenfassung von Ergebnissen eines Zufallsvorgangs, d.h. ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge Ω. Bemerkungen: Man sagt Ereignis tritt ein, wenn der Zufallsvorgang ein ω aus als Ergebnis hat. Notation von Ereignissen:, B, C,... oder 1, 2,... = Ω heißt sicheres Ereignis, da für jedes ω: ω aus. = heißt unmögliches Ereignis, da für jedes ω: ω nicht in. Ein-elementige Ereignisse heißen Elementarereignisse.

27 27 genda Zufallsvorgänge und Ereignisse Mengenlehre Bewertung von Ereignissen Urnenexperimente Bewertung von Urnenexperimenten Zufallsvariablen Verteilungsparameter Mehrdimensionale Zufallsvariablen Verteilungsparameter II Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret) Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

28 28 Venn-Diagramm Idee: Visualisierung von Mengen und deren Beziehungen Beispiel: Einmaliger Wurf eines Würfels Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ereignis gerade Zahl = {2, 4, 6} Ereignis B Zahl kleiner 4 B = {1, 2, 3} B Ω 5 3

29 29 Operationen und Ereignisse Ereignisse sind Mengen è die üblichen Mengenoperationen sind möglich / sinnvoll Wir betrachten im Folgenden die Ereignisse (Werfen eines Würfels): = {1, 2, 3}; B = {1, 3, 5}; C = {6}

30 30 Komplementärereignis Definition: (Komplementärereignis) = {ω ω Ω,ω }=Ω \ Ω Interpretation (lles, was in Ω ist, aber nicht in ) Beispiele = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} C = {6} = {4, 5, 6} B = {2, 4, 6} C = {1, 2, 3, 4, 5}

31 31 Vereinigungsereignis Definition: (Vereinigungsereignis) B = { ω ω Ω,ω oder ω B} tritt ein, wenn oder B Interpretation (lles, was entweder in oder in B (oder in beiden) enthalten ist) B Ω Beispiele = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} C = {6} { } C = { 1, 2, 3, 6} B C = { 1, 3, 5, 6} B = 1, 2, 3, 5

32 32 Durchschnittsereignis Definition: (Durchschnittsereignis) B = { ω ω Ω, ω und ω B} tritt ein, wenn und B Interpretation (lles, was sowohl in als auch in B enthalten ist) B Ω Beispiele = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} C = {6} B = 1, 3 { } C = { } B C = { }

33 33 Differenzereignis Definition: (Differenzereignis) \B = { ω ω Ω,ω,ω B} tritt ein, wenn aber B nicht B Ω Interpretation (lles, was in, aber nicht in B enthalten ist) Beispiele = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} C = {6} \ B = {2} \ C = {1, 2, 3} B \ C = {1, 3, 5} B \ = {5} C \ = {6} C \ B = {6}

34 34 Disjunktion Definition: (Disjunktion) Gilt B =, dann heißen und B disjunkt (unvereinbar). Sind die Ereignisse und B disjunkt, können sie nicht gleichzeitig eintreten. B Ω

35 35 Rechenregeln Menge und Komplement I = Ω Ω = Ω

36 36 Rechenregeln Menge und Komplement II = Ω Ω Ω = Ω

37 37 Rechenregeln Verknüpfung mit sicherem Ereignis Ω = Ω Ω = Ω Ω

38 38 Rechenregeln Verknüpfung mit leerem Ereignis = Ω = Ω

39 39 Rechenregeln - Sonstige = ( B) B Ω

40 40 Rechenregeln Kommutativgesetz B = B B Ω B = B B Ω

41 41 Rechenregeln ssoziativgesetz ( B) C = (B C) C B ( B) C = (B C) C B

42 42 Rechenregeln Distributivgesetz ( B C) = ( B) ( C) C B ( B C) = ( B) ( C) C B

43 43 Rechenregeln de Morgan B = B B Ω B = B B Ω

44 - Übersicht Menge und Komplement = Ω Verkn. mit sicherem Ereignis Ω = Verknüpfung mit leerem Ereignis = = = Ω Ω = Ω = Ω = Sonstige = ( B) Kommutativgesetz B = B ssoziativgesetz Distributivgesetz B C De Morgan B = B B = B ( B) C = (B C) ( B) C = (B C) ( ) = ( B) ( C) ( B C) = ( B) ( C) B = B

45 ETWR Teil B (ddendum)

46 46 Widerspruch Mengenlehre / Boolesche lgebra? Vereinigungsereignis Definition: (Vereinigungsereignis) B = {ω ω Ω, ω ω B} Durchschnittsereignis Definition: (Durchschnittsereignis) B = {ω ω Ω, ω ω B} B Ω B Ω Vereinigung... Elemente in und in B enthalten in oder B Durchschnitt... Elemente in und auch in B enthalten in und B Fazit: Sprache im Kontext boolescher lgebra / Mengenlehre unpräzise... ber: Vergessen Sie das Wissen aus der Schule nicht!