Simulation. Elke Warmuth WS 2008/09. Humboldt-Universität Berlin

Transkript

1 Simulation Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin WS 2008/09 1 / 45

2 1 Ziele n -Gesetz Zufallszahlen vom Taschenrechner 2 / 45

3 Was ist Simulation? Nachspielen von Vorgängen mit zufälligem Ergebnis mit einem Zufallsgenerator oder Pseudozufallsgenerator Simulieren kann man nur auf der Basis eines Modells! Triviales Beispiel: Geschlecht von Neugeborenen Modellannahme: P(Junge) = P(Mädchen) = 0, 5 Zufallsgenerator: guter Würfel Annahme! Realisierung: 1, 2, 3, Junge, 4, 5, 6 Mädchen Mit den Modellwahrscheinlichkeiten entstehen Jungen und Mädchen 3 / 45

4 Ziele: Erfahrungen mit dem Zufall sammeln Intuitionen überprüfen/korrigieren Wirkungen bekannter Wahrscheinlichkeiten erleben Unbekannte Wahrscheinlichkeiten oder andere Kenngrößen schätzen Modelle besser verstehen Auswirkungen von Modellparametern erkunden Modellbilden üben 4 / 45

5 Klasse 9/10 Kompetenzen Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten Tätigkeiten schätzen von Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Simulationen Sehr wenig, sehr schade, verschenkte Möglichkeiten 5 / 45

6 Problem der gerechten Teilung mein bevorzugtes Einstiegsbeispiel es ist nicht zu schwer Weniger ist mehr Einsatz des Arbeitsblattes ab Klasse 7 mit den Aufgaben 1 bis 4 In 9/10 aufgreifen: Modellierung mit Baumdiagrammen, Umgang mit Erwartungswerten 6 / 45

7 Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8,- versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil 40%des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen? 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile Zeit ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand Sieger Zeit 3. Gib einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird. Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung. Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele. 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten. 6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert für diese Anzahl. 7 / 45

8 Anton und Pünktchen spielen ein Spiel, bei dem es kein Unentschieden gibt. Der Sieger erhält in jeder Runde einen Punkt. Beide haben immer dieselbe Gewinnchance 0,5. Gesamtsieger soll sein, wer zuerst 5 Punkte hat. Die Oma hat dem Gesamtsieger 8 Euro versprochen. Beim Stand von 3:2 für Anton werden sie gestört und können das Spiel nicht fortsetzen. Anton fordert den gesamten Einsatz für sich ein, da er ja dem Sieg deutlich näher ist. Pünktchen verlangt einen Anteil von 40% des Preises, da sie ja 40% der Spiele gewonnen hat. 8 / 45

9 Mit diesem Problem beschäftigte man sich bereits im 15. Jahrhundert. Vollständig gelöst wurde es erst im 17. Jahrhundert durch Blaise Pascal und Pierre Fermat. Viele bezeichnen den Zeitpunkt der Lösung des Problems der gerechten Teilung als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Literaturempfehlung A. Rényi: Briefe über die Wahrscheinlichkeit. Berlin: Deutscher Verlag der Wissenschaften, / 45

10 1. Würdest Du eher der Argumentation von Anton oder eher der von Pünktchen oder keiner von beiden folgen? Wenn Du keiner folgst, nach welchem Prinzip würdest Du den Einsatz aufteilen? 10 / 45

11 2. Auch wenn die beiden nicht weiterspielen können, kannst Du durch Simulationen die Wahrscheinlichkeit schätzen, mit der Anton ausgehend vom gegenwärtigen Spielstand Gesamtsieger wird. Simuliere mit einem Würfel 20 weitere Spielverläufe ausgehend vom Spielstand 3:2. Beschreibe Deine Vorgehensweise und registriere den jeweiligen Gesamtsieger. Trage in der Zeile Zeit ein, wievielmal Du jeweils würfeln musstest, bis der Gesamtsieger feststand. Sieger Zeit Sieger Zeit / 45

12 3. Gib aufgrund Deiner Simulationen einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit an, dass Anton Gesamtsieger wird. Teile den Wetteinsatz im Verhältnis der Siegchancen auf. 4. Ermittle aus Deinen Simulationen die Häufigkeitsverteilung für die Anzahl T der Spiele bis zur Entscheidung. Werte für T abs. Häufigkeit rel. Häufigkeit Berechne die durchschnittliche Anzahl der noch nötigen Spiele. 12 / 45

13 5. Gib alle Möglichkeiten für den weiteren Spielverlauf an und berechne deren Wahrscheinlichkeiten. 6. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der noch erforderlichen Spiele und bestimme den Erwartungswert für diese Anzahl. 13 / 45

14 Hinweise Würfelbecher 1, 2, 3 Anton gewinnt: A 4, 5, 6 Pünktchen gewinnt: P Simulationsbeispiel: 3453 APPA Sieger Anton, Zeit: 4 gemeinsame Auswertung zwingend, siehe Excel-Blatt 14 / 45

15 Simulation "" n=20 n=100 n=200 n=400 n=800 abs. rel. abs. rel. abs. rel. abs. rel. Nr , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,60 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,80 15 / 45

16 Baumdiagramm Gewinnwahrscheinlichkeit für Anton: = , 69 Anton: 5,50 Euro Pünktchen: 2,50 Euro 16 / 45

17 Weitere Spiellänge: Anzahl der Spiele Wahrscheinlichkeit Erwartungswert der weiteren Spiellänge = 25 8 = 3, 125 Deutung? 17 / 45

18 Wer darf zuerst ziehen? 5 Kinder ziehen nacheinander ohne Zurücklegen aus einem Topf mit 5 Losen: 4 Nieten und ein Gewinn. Sie streiten sich über die Reihenfolge. Ist der Streit berechtigt? diskutieren lassen Simulationsideen? z. B. Würfel als Zufallszahlengenerator 1 Gewinn, 2, 3, 4, 5 Niete, 6 noch mal würfeln Bei jedem Durchgang verschwindet eine Augenzahl 18 / 45

19 Beispiel Anzahl der Simulationen voher festlegen nicht: die nächste Simulation könnte besser sein n = Kind gewinnt 1 1. Kind gewinnt Kind gewinnt Kind gewinnt Kind gewinnt Ergebnisse zusammentragen 19 / 45

20 Baumdiagramm: P(4. Kind gewinnt) = = 1 5 Streit ist nicht berechtigt. 20 / 45

21 problem 1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat? 2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen: Bezeichne dann mit x2 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der ersten gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x3 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach den ersten beiden gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw. Im obigen Beispiel ist x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3, x5 = 3 und x6 = 4. Für die erste Augenzahl braucht man immer x1 = 1 Versuch. Man hat also =13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen. Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle: Gesamtanzahl der Versuch x1 x2 x3 x4 x5 x6 Versuche Muster Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche. Überlege, welche Werte für x1, x2,..., x6 zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt. 3. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen zu erwarten ist. AB_problem_MAM.doc Lange/Warmuth, Berlin 21 / 45

22 problem 1. Eine Firma hat eine neue Serie Überraschungseier aufgelegt. Dabei gibt es die 6 beliebtesten Fußballer der Landes im Schlumpfdesign. Insgesamt werden alle 6 Motive in gleicher Anzahl hergestellt. Ihre Verteilung in den Kisten der Supermärkte sei aber völlig zufällig. Max ist begeisterter Fan und möchte natürlich alle Motive haben. Wie oft muss er vermutlich ein Überraschungsei kaufen, bis er alle 6 Fußballer zusammen hat? 22 / 45

23 2. Simuliere mit Würfeln den oben beschriebenen Prozess. Notiere dabei die Ausgänge des Würfelns, bis auch die letzte Augenzahl ein erstes Mal erreicht wurde. Eine solche Serie könnte z. B. so aussehen: Bezeichne dann mit x 2 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach der ersten gewürfelten Augenzahl eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Bezeichne mit x 3 die Anzahl der Versuche, die Du benötigt hast, um nach den ersten beiden gewürfelten Augenzahlen eine davon verschiedene Augenzahl zu erreichen. Usw. 23 / 45

24 Im obigen Beispiel ist x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 3, x 5 = 3 und x 6 = 4. Für die erste Augenzahl braucht man immer x 1 = 1 Versuch. Man hat also = 13 Versuche benötigt, um alle 6 Motive zusammen zu bekommen. 24 / 45

25 Wir benutzen dieses Beispiel als Muster in der folgenden Tabelle: Versuch x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Gesamtanzahl der Versuche Muster Erstelle 5 Serien, die diesen Zufallsversuch simulieren und berechne den Mittelwert x der Anzahl der jeweils benötigten Versuche. Überlege, welche Werte für x 1, x 2,..., x 6 im Durchschnitt zu erwarten sind und welcher Wert sich daraus für x ergibt. 25 / 45

26 3. Es gibt 120 verschiedene Pokémon-Karten, die man einzeln kaufen muss und die so verpackt sind, dass man die Motive nicht erkennen kann. Wenn man davon ausgeht, dass vom Hersteller jedes Motiv gleich oft hergestellt wird, bevor die Karten in völlig zufälliger Reihenfolge verkauft werden, stellt sich die Frage, wie viele Karten im Durchschnitt von Eltern gekauft werden müssen, bis ihr Kind alle Motive besitzt. Berechne, welche Anzahl von notwendigen Käufen im Durchschnitt zu erwarten ist. 26 / 45

27 Hinweise 2. x 1 = 1 x 2 =?, Erfolgswahrscheinlichkeit: 5 6. Bei 100 Käufen durchschnittlich mal Glück Durchschnittliche Wartezeit auf ein neues Motiv: = Fortsetzung der Idee und Additivität: x = x 1 + x x 6 = = 6 ( ) = , 7 Vergleich mit den Simulationswerten 27 / 45

28 3. Simulation höchstens mit Rechner Ansatz bleibt gleich: x = 120 k k=1 Summe ausrechnen oder abschätzen Harmonische Reihe verhält sich etwa wie die Logarithmusfunktion. Genauer: lim n ( n k=1 ) 1 (ln(n) + c) k = 0 c Eulersche bzw. Mascheronische Konstante, c = 0, / 45

29 Tabelle mit c = 0, n n n k=1 1 k Abschätzung Relative mit Eulerscher Abweichung Konstanten in % 20 71, ,459 0, , ,765 0, , ,67 0, , ,91 0, , ,98 0,007 Durchschnittlich 644 Käufe für 120 Pokémonkarten Modellkritik! 29 / 45

30 -Aufgabe (Klasse 9/10) n Schüler packen und verteilen -Geschenke. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer sein eigenes Geschenk zieht? Wenn ein Schüler sein eigenes Geschenk zieht, dann nennen wir das einen Fixpunkt (bei der zufälligen Zuordnung der Geschenke) n = 6: Zufallsgenerator Urne oder Würfel Beim Würfeln schon gewürfelte Zahlen übergehen! Ist das wirklich gleichwertig? 30 / 45

31 Schüler Anzahl Fixpunkte Nr. der Geschenk= Simulation Würfelzahl Ergebnisse auswerten, zusammentragen ähnlich wie beim Problem der gerechten Teilung Wahrscheinlichkeit schätzen durchschnittliche Anzahl Fixpunkte = 1! 31 / 45

32 n = 30 Taschenrechner oder Tabellenkalkulationsprogramm Pseudozufallszahlen EXCEL: Befehl Zufallszahl() imitiert das Ziehen auf gut Glück einer Zahl aus [0, 1) Problem: Es muss 30 mal Ziehen ohne Zurücklegen simuliert werden. 32 / 45

33 Mögliche Lösung: 1. Neue Nummern zuordnen mit 30 Zufallszahlen aus [0, 1) Übereinstimmung praktisch unmöglich 33 / 45

34 2. =KKLEINSTE(Bereich;k) findet die der Größe nach k-te Zahl in einer Liste, die Bereich heißt. Mit diesem Befehl werden nun die neuen Nummern sortiert. 34 / 45

35 Theoretischer Hintergrund Für n unabhängige auf [0, 1) gleichverteilte Zufallsgrößen X 1, X 2,..., X n hat jede Reihenfolge dieselbe Wahrscheinlichkeit 1 n!. Eine Anordnung der Größe nach ist also stochastisch gleichwertig dem Ziehen ohne Zurücklegen. Plausibel machen für n = 2 und n = 3 (räumliches Vorstellungsvermögen) Simulation durchführen Mit F9 neue Simulation starten. 35 / 45

36 Mögliche Fortsetzung in Sek II. Rekursionsformel für die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem Fixpunkt bei n Schülern P(mindestens ein Fixpunkt) 0, 63 ab n = 6 Auszug aus der Verteilung der Anzahl der Fixpunkte F 30 für n = 30 Wert von F Wahrscheinlichkeit 0,37 0,37 0,18 0,06 0,02 E(F n ) = 1 unabhängig von n. Literatur: Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band I, Stuttgart: Klett, / 45

37 (Klasse 9/10) Sehr einfaches Modell: radiaoaktives Präparat Atom kann zwei Energiezustände haben: angeregt (hohe Energie) oder Grundzustand (niedrige Energie) Kern geht spontan vom angeregten in einen Zustand geringerer Energie über (zerfällt). Zeitpunkt des Zerfalls ist zufällig und hängt nicht vom Lebensalter ab. Das heißt, der Kern hat zu jedem Zeitpunkt dieselbe Wahrscheinlichkeit, innerhalb der nächsten Minute zu zerfallen. Kerne handeln unabhängig voneinander Halbwertzeit ist die Zeit, innerhalb der ein Kern mit Wahrscheinlichkeit 0,5 zerfällt. 37 / 45

38 Simulation des Verhaltens von 1000 Kernen über mehrere Halbwertzeiten: angeregt = 1, nicht angeregt = 0 in Excel: Zufallszahl() liefert zufälligen Punkt im Intervall [0, 1), 2*Zufallszahl() liefert zufälligen Punkt im Intervall [0, 2), Ganzzahl(2*Zufallszahl()) liefert 0 oder 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5. 38 / 45

39 Simulieren 39 / 45

40 Die Halbwertzeit T ist die Zeit, nach der im Mittel die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne jeweils auf die Hälfte reduziert ist. N(t) Anzahl der zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Kerne Modell Binomialverteilung Erwartungswert Zerfallsgesetz: N(t) = N(0) exp( λt) Halbwertszeit T = ln 2 λ, λ Zerfallskonstante 40 / 45

41 Quelle:Bigalke/Köhler: Mathematik 13.2, Cornelsen, 1997, S zufällige Schritte simulieren mit Würfel, Münze, Taschenrechner Annahme: mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach Norden bzw. Osten Erfolgreiche Flucht gdw. 3 Schritte nach Norden und 4 nach Osten 41 / 45

42 Lehrbuch: Beobachtete relative Häufigkeit der erfolgreichen Flucht bei 50 Simulationen (d.h. 50 mal 7 Schritte): 26% Theoretische Wahrscheinlichkeit: ( 7 3) ( 1 2) 7 0, 27 Auffällige Nähe der beiden Werte. Ohne Kommentar im Lehrbuch. Bei n Versuchen ist mit Abweichungen der Größenordnung 1 1 n, hier 50 0, 14 zu rechnen Variation: Wenn ich mit Wahrscheinlichkeit p nach Osten gehe, was ist die wahrscheinlichste Position nach 7 Schritten? Buch zu altem Rahmenplan. Die Aufgabe gehört in Klasse 7/8 und nicht in Klasse / 45

43 1 n -Gesetz Zufallszahlen vom Taschenrechner Zur Streuung der relativen Häufigkeiten: Bei Simulationen ungefähre Vorstellung über die Geschwindigkeit der Annäherung an den theoretischen Wert notwendig. Hilfreich: 1 n -Gesetz Bei n unabhängigen Versuchen unterscheidet sich die relative Häufigkeit h n (A) eines Ereignisses A von der Wahrscheinlichkeit P(A) mit einer Sicherheit von mehr als 95% höchstens um 1 n. Beispiele: n n 0,22 0,10 0,07 0,05 0,04 43 / 45

44 1 n -Gesetz Zufallszahlen vom Taschenrechner Taschenrechner RAN, (RAND, RND) liefert Zufallszahl aus [0,1) mit drei Nachkommastellen. Deterministischer Algorithmus, Startzahl zufällig Beispiel: RND liefert 0,837. Fasse das Ergebnis als 3 Zufallsziffern auf: Welche Eigenschaften erwarten wir von einem guten Zufallszahlengenerator? Hat jede Ziffer dieselbe Wahrscheinlichkeit? Sind die aufeinanderfolgenden Ziffern voneinander unabhängig? 44 / 45

45 1 n -Gesetz Zufallszahlen vom Taschenrechner Pokertest für Zufallszahlengeneratoren Betrachte Muster: Muster verbal lauter gleiche zwei gleiche alle verschieden Muster symbolisch aaa abb abc Repräsentanten 111, , , Wahrscheinlichkeit 1000 = 0, = 0, = 0, 72 Zufallszahlen generieren und beobachtete rel. Häufigkeiten mit den Modellwahrscheinlichkeiten vergleichen Propädeutik des Testens. 45 / 45