ist eine gute Näherung für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage.

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1 6.1 Anharmonischer Oszillator Lorentz-Oszillator (LO): Klassisches Model für die lineare elektrische Polarisierbarkeit eines Mediums. Das zugehöriges harmonische Potential U LO (x) = 1 2 m eω 2 0x 2 (6.1.1) ist eine gute Näherung für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage. Für größere Auslenkungen können Abweichungen von einem harmonischen Potential eine Rolle spielen. Ansatz für ein Medium ohne Inversionssymmetrie:. U AO (x) = 1 2 m eω 2 0x m eax 3 (6.1.2) Bewegungsgleichung für den anharmonischen Oszillator: ẍ + 2γẋ + ω 2 0x + ax 2 = qe(t)/m e (6.1.3) Das eingestrahlte äußere elektrische Feld habe die Form E(t) = E 1 e iω 1t + E 2 e iω 2t + c.c. (6.1.4) Annahme: ω 2 0x ax 2. Lösung der Bewegungsgleichung tels Störungstheorie: E(t) ξe(t) dem Störungsparameter ξ [0, 1]. Die Bewegungsgleichung (6.1.3) lautet so: ẍ + 2γẋ + ω 2 0x + ax 2 = ξqe(t)/m e (6.1.5) 6-1

2 U(x) Anharmonisches Potential Harmonisches Potential Abbildung 6.1: Vergleich zwischen einem harmonischen (blau) und einem anhormonischen (rot) Potential. x Suche Lösung die sich als Potenzreihe in ξ darstellen lässt: x = ξx (1) + ξ 2 x (2) + ξ 3 x (3) + (6.1.6) Einsetzen und sotieren nach Potenzen von ξ liefert: O(ξ) : ẍ (1) + 2γẋ (1) + ω0x 2 (1) = qe(t)/m e (6.1.7) O(ξ 2 ) : ẍ (2) + 2γẋ (2) + ω0x 2 (2) + a [ x (1)] 2 = 0 (6.1.8) O(ξ 3 ) : ẍ (3) + 2γẋ (3) + ω0x 2 (3) + 2ax (1) x (2) = 0 (6.1.9) Gleichung (6.1.7) [O(ξ)] beschreibt wieder einen harmonischen Oszillator. Bekannte Lösung (eingeschwungener Fall): x (1) (t) = x (1) (ω 1 )e iω 1t + x (1) (ω 2 )e iω 2t + c.c. (6.1.10) x (1) (ω j ) = q E j m e D(ω j ). (6.1.11) Hierbei ist D(ω j ) = ω 2 0 ω 2 j 2iω j γ. (6.1.12) 6-2

3 6.1 Anharmonischer Oszillator Zugehörige lineare Suszeptibilität: χ (1) (ω j ) = Nq2 /m e ǫ 0 D(ω j ) (6.1.13) [ x (1) (t) ] 2 wirkt in Gleichung (6.1.8) [O(ξ 2 )] als treibende Kraft Frequenzenkomponenten ±2ω 1, ±2ω 2, ±(ω 1 + ω 2 ), ±(ω 1 1ω 2 ) und 0. Betrachte zunächst Beitrag bei Frequenz 2ω 1 : ẍ (2) + 2γẋ (2) + ω 2 0x (2) = a (qe 1/m e ) 2 e i2ω 1t D 2 (ω 1 ) (6.1.14) Lösung (eingeschwungener Fall): x (2) (t) = x (2) (2ω 1 )e i2ω 1t + c.c. (6.1.15) x (2) (2ω 1 ) = a(q/m e) 2 E 2 1 D(2ω 1 )D 2 (ω 1 ). (6.1.16) Zugehörige Polarisation: P(t) = P (2) (2ω 1 )e i2ω 1t + c.c. (6.1.17) P (2) (2ω 1 ) = Nqx (2) (2ω 1 ) = ǫ 0 χ (2) (2ω 1, ω 1, ω 1 )E 2 1. (6.1.18) Vergleich liefert Suszeptibilität 2. Ordnung: χ (2) (2ω 1, ω 1, ω 1 ) = Na(q 3 /m 2 e) ǫ 0 D(2ω 1 )D 2 (ω 1 ), (6.1.19) = ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (2ω 1 ) [ χ (1) (ω 1 ) ] 2. (6.1.20) 6-3

4 Analog: χ (2) (2ω 2, ω 2, ω 2 ) = ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (2ω 2 ) [ χ (1) (ω 2 ) ] 2, (6.1.21) χ (2) (ω 1 + ω 2, ω 1, ω 2 ) = 2 ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (ω 1 + ω 2 )χ (1) (ω 1 )χ (1) (ω 2 ), (6.1.22) χ (2) (ω 1 ω 2, ω 1, ω 2 ) = 2 ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (ω 1 ω 2 )χ (1) (ω 1 )χ (1) ( ω 2 ), (6.1.23) χ (2) (0, ω 1, ω 1 ) = 2 ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (0)χ (1) (ω 1 )χ (1) ( ω 1 ). (6.1.24) χ (2) (0, ω 2, ω 2 ) = 2 ǫ2 0m e a N 2 q 3 χ(1) (0)χ (1) (ω 2 )χ (1) ( ω 2 ). (6.1.25) x (3) (t) ergibt sich durch einsetzen von x (1) (t) und x (2) (t) in Gleichung(6.1.9) [O(ξ 3 )], usw. Für Medien Inversionssymmetrie kann der folgende Ansatz verwendet werden: U NO (x) = 1 2 m eω 2 0x m ebx 4. (6.1.26) Eine kurze Rechnung zeigt, dass hierbei alle geraden Ordnungen der Suszeptibilität identisch verschwinden. Beispiel: Suszeptibilität 2. Ordnung eines Mediums Inversionssymmetrie. χ (2) ist im Allgemeinen ein Tensor: P (2) i (ω 1 + ω 2 ) = ǫ 0 χ (2) ijk (ω 1 + ω 2, ω 1, ω 2 )E j (ω 1 )E k (ω 2 ) (6.1.27) Bei Inversion aller Koordinaten (r r) wechseln sowohl das elektrische Feld als auch die Polarisation das Vorzeichen: E E, P (2) P (2). So gilt: χ (2) ijk (ω 1 + ω 2, ω 1, ω 2 ) = χ (2) ijk (ω 1 + ω 2, ω 1, ω 2 ). (6.1.28) Diese Bedingung ist nur für χ (2) ijk = 0 erfüllbar! 6-4

5 6.2 Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien 6.2 Wellenausbreitung in nichtlinearen Medien Im Folgenden nehmen wir an, dass die Polarisation P als Potenzreihe in E dargestellt werden kann 1 : P(t) = ǫ 0 [ χ (1) E(t) + χ (2) E 2 (t) + χ (3) E 3 (t) + ] (6.2.1) Der erste Term ist die bekannte lineare Polarisation: P L (t) = ǫ 0 χ (1) E(t). (6.2.2) Alle höheren Terme werden zur nichtlinearen Polarisation zusammengefasst: P NL (t) = ǫ 0 [ χ (2) E 2 (t) + χ (3) E 3 (t) + ] (6.2.3) Zugehörige Wellengleichung (M = 0, j = 0): 2 E 1 2 E c 2 0 t 2 2 E n2 2 E c 2 0 t 2 = µ 0 2 P L t 2 + µ 0 2 P NL t 2 (6.2.4) = µ 0 2 P NL t 2 (6.2.5) Die nichtlineare Polarisation P NL tritt als Quellterm auf der rechten Seite der Wellengleichung auf Erzeugung neuer Frequenzkomponenten! 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung Frequenzkonversion Im Folgenden betrachten wir Effekte, die auf der nichtlinearen Polarisation zweiter Ordnung beruhen: P NL (t) = ǫ 0 χ (2) E 2 (t). (6.3.1) Das eingestrahltes äußere elektrische Feld besitze Beiträge bei den Frequenzen ω 1 und ω 2 : E(t) = E 1 e iω 1t + E 2 e iω 2t + c.c.. (6.3.2) 1 Der Vektor-Charakter der Felder wird hier wieder ignoriert. 6-5

6 Für die nichtlineare Polarisation erhalten wir: P NL (t) = P NL (0) + [P NL (2ω 1 )e i2ω 1t + P NL (2ω 2 )e i2ω 2t + P NL (ω 1 + ω 2 )e i(ω 1+ω 2 )t + P NL (ω 1 + ω 2 )e i(ω 1 ω 2 )t + c.c.] (6.3.3) P NL (0) = 2ǫ 0 χ (2) (0, ω 1, ω 1 ) E ǫ 0 χ (2) (0, ω 2, ω 2 ) E 2 2 (6.3.4) P NL (2ω 1 ) = ǫ 0 χ (2) (2ω 1, ω 1, ω 1 )E1 2 (6.3.5) P NL (2ω 2 ) = ǫ 0 χ (2) (2ω 2, ω 2, ω 2 )E2 2 (6.3.6) P NL (ω 1 + ω 2 ) = 2ǫ 0 χ (2) (ω 1 + ω 2, ω 1, ω 2 )E 1 E 2 (6.3.7) P NL (ω 1 ω 2 ) = 2ǫ 0 χ (2) (ω 1 ω 2, ω 1, ω 2 )E 1 E2 (6.3.8) P NL weist Beiträge bei den Frequenzen ω = 0, ω = 2ω 1, ω = 2ω 2, ω = ω 1 + ω 2 und ω = ω 1 + ω2 auf: P NL (0) führt zur optischen Gleichrichtung (OR: optical rectification), d.h einem statischen Feld im nichtlinearen Medium. P NL (2ω 1 ) oszillieren der Frequenz ω = 2ω 1. Als Quellterm in der Wellengleichung führt dieser Beitrag zur Erzeugung von Strahlung der Frequenz ω = 2ω 1. Dieser Prozess wird Frequenzverdopplung (SHG: second harmonic generation) genannt. P NL (2ω 2 ) führt zur Frequenzverdopplung ω = 2ω 2. P NL (ω 1 + ω 2 ) ist die Quelle für Strahlung der Frequenz ω = ω 1 + ω 2. Dieser Prozess wird Summenfrequenzerzeugung (SFG: sum frequency generation) genannt. P NL (ω 1 ω 2 ) ist die Quelle für Strahlung der Frequenz ω = ω 1 ω 2. Dieser Prozess wird Differenzfrequenzerzeugung (DFG: difference frequency generation) genannt. SHG, SFG und DFG können im Photonen-Bild als Wechselwirkung von jeweils drei Photonen interpretiert werden. Die Wechselwirkung wird hierbei durch das nichtlineare Medium vertelt. 6-6

7 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung ħ 1 ħ 1 ħ 1 ħ 2 ħ 1 ħ ) ħ 1 ħ 2 ħ 1-2) SHG SFG DFG Abbildung 6.2: Interpretation von SHG, SFG und DFG im Photonen-Bild. Virtuelle Zwischenzustände sind jeweils durch gestrichelte Linien dargestellt Gekoppelte Amplitudengleichungen für SHG Wir wollen im Folgenden den Prozess der Frequenzverdopplung 2 genauer untersuchen. Betrachte hierzu die fundamentale Welle und die frequenzverdoppelte Welle die sich in einem χ (2) -Medium in z-richtung ausbreiten: 2 E(z, t) = E j (z)e i(k jz ω j t) + c.c. (6.3.9) j=1 ω 2 = 2ω 1, k 1 = k 0 n(ω 1 ) und k 2 = k 0 n(2ω 1 ) (6.3.10) Durch die nichtlineare Wechselwirkung werden sich die Amplituden der beiden Frequenzkomponenten nur langsam im Vergleich zur entsprechenden Wellenlänge ändern: 2 E j (z) z 2 k E j (z) j (6.3.11) z Da gilt: 2 z 2 E j(z)e i(k jz) e i(k jz) [ ] 2ik j z k2 j E j (z) (6.3.12) In dieser Näherung lautet die Wellengleichung: 2 e ik jz 2ik j j=1 z k2 j + n2 (ω j )ωj 2 2 c 2 E j(z)e iωjt ωj 2 + c.c. = P (2) (ω 0 }{{} j=1 ǫ 0 c 2 j )e iωjt + c.c Erste experimentelle Beobachtung: P. A. Franken, A. E. Hill, C. W. Peters, and G. Weinreich, Phys. Rev. Lett. 7, 118 (1961). 6-7

8 (6.3.13) Für die beiden Frequenzen ω 1 und 2ω 1 erhält man die Amplituden-Gleichungen: z E 1(z) = z E 2(z) = iω 1 2ǫ 0 c 0 n(ω 1 ) P (2) (ω 1 )e ik 1z iω 1 ǫ 0 c 0 n(2ω 1 ) P (2) (2ω 1 )e ik 2z (6.3.14) (6.3.15) (6.3.16) Es gilt: P (2) (ω 1 )e ik 1z P (2) (2ω 1 )e ik 2z = 4ǫ 0 de 2 (z)e ik 2z E 1(z)e ik 1z e ik 1z = 2ǫ 0 de 1 (z) 2 e 2ik 1z e ik 2z (6.3.17) (6.3.18) d = χ(2) 2. (6.3.19) Definiere Phasenfehlanpassung: k = k 2 2k 1 (6.3.20) Kollineare Propagation: k = 2ω 1 c 0 [n(2ω 1 ) n(ω 1 )]. (6.3.21) Einsetzen liefert: z E 1(z) = z E 2(z) = i 2ω 1 d c 0 n(ω 1 ) E 2(z)E1(z)e i kz (6.3.22) i 2ω 1 d c 0 n(2ω 1 ) E 1(z) 2 e i kz (6.3.23) Führe normierte Amplituden ein: A j (z) = n(ω j) E j (z). (6.3.24) 2ω j 6-8

9 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung Intensität der Welle Frequenz ω j : I j = c 0 ǫ 0 ω j A j 2 (6.3.25) Da: z A 1(z) = iκa 2 (z)a 1(z)e i kz (6.3.26) z A 2(z) = iκa 2 1(z)e i kz (6.3.27) dem Kopplungskoeffizient κ = 2d ω1 3 c 0 n(2ω 1 )n 2 (ω 1 ). (6.3.28) Schwache Konversion Wir betrachten jetzt den Fall, dass nur die fundamentale Welle von außen eingestrahlt wird und die frequenzverdopplete Welle erst im nichtlinearen Medium entsteht (A 2 (0) = 0). Weiterhin nehmen wir an, dass die fundamentale Welle nur geringfügig abgeschwächt wird (A 1 (z) const.). Nach der Strecke z = l besitzt die frequenzverdoppelte Welle die Amplitude A 2 (z = l) = iκ l A 2 i kl/2 sin( kl/2) 1e. (6.3.29) kl/2 Mit dem Konversionskoeffizient Γ 2 = κ2 c 0 ǫ 0 ω 1 (6.3.30) erhält man die Intensität der frequenzverdoppelten Welle: I 2 (l) = Γ 2 l 2 I 2 1 sin 2 ( kl/2) ( kl/2) 2. (6.3.31) Hierbei wurde ausgenutzt, dass I 1 = c 0 ǫ 0 ω 1 A

10 Definiere Kohärenzlänge: l coh = π k. (6.3.32) Bei verschwindender Phasenfehlanpassung ( k = 0) wächst die Intensität der zweiten Harmonischen quadratisch im nichtlinearen Kristall an. Für k 0 wächst I 2 innerhalb der ersten Kohärenzlänge an. Danach fällt I 2 wieder ab und verschwindet nach zwei Kohärenzlängen k=0 k=0.25 k=0.5 k= I SHG l Abbildung 6.3: Berechnete Intensität der zweiten Harmonischen als Funktion der Propagationslänge für verschiedene Phasenfehlanpassungen. Einschub - Wellen in anisotropen Medien Betrachte lineares anisotropes Medium : D i = j ǫ 0 ǫ ij E j (6.3.33) Im Folgenden nehmen wir an, dass der Dielektrizitäts-Tensor symmetrisch ist: ǫ ij = ǫ ji. 6-10

11 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung Wähle Koordinatensystem so, dass der Dielektrizitäts-Tensor ǫ nur Diagonalelemente besitzt: ǫ ǫ = 0 ǫ 22 0 (6.3.34) 0 0 ǫ 33 Definiere jetzt die elektrische Impermeabilität: η = ǫ 1 (6.3.35) Da: E = η ǫ 0 D. (6.3.36) Im gewählten Koordinatensystem ist η ebenfalls diagonal (und da auch symmetrisch) η ii = 1 = 1. ǫ ii n 2 i (6.3.37) η besitzt als symmetrischer Tensor zweiter Stufe die folgende quadratische Repräsentation: η ij x i x j = 1 (6.3.38) ij Im gewählten Koordinatensystem gilt daher: x 2 1 n x2 2 + x2 3 n 2 2 n 2 3 = 1. (6.3.39) Dies ist ein Ellipsoid den Hauptachenlängen n 1, n 2 und n 3 Optische Indikatrix. Betrachte im Folgenden einen uniaxialen Kristall n 1 = n o, n 2 = n o und n 2 = n e. Negativ uniaxialer Kristall: n e < n o. Positiver uniaxialer Kristall: n e > n o. Die Symmetrieachse (hier x 3 -Achse) wird als optische Achse bezeichnet. Aus den Maxwellgleichungen folgt für einen ebene Welle Wellenvektor k: ik D = 0, (6.3.40) 6-11

12 ik H = 0, ik E = iµ 0 ωh, ik H = iωd. (6.3.41) (6.3.42) (6.3.43) Hieraus folgt: k k E = ω2 D. (6.3.44) ǫ 0 c 2 0 Kurze Umformung liefert: [ ] D = ǫ 0 n 2 k(k E) E k 2 (6.3.45) n = c 0k ω. (6.3.46) ObdA: k ê 1 = 0 (Propagation in der x 2 x 3 -Ebene). Der Fall E = (E, 0, 0) liefert (k E) = 0 sofort n = n 0 (ordentlicher Strahl). Betrachte jetzt den Fall, dass das elektrische Feld in der x 2 x 3 -Ebene liegt (außerordentlicher Strahl). Zerlege den Wellenvektor in Komponenten senkrecht und parallel zur optischen Achse: k = k ê + k ê. (6.3.47) Da: k E = n2 k 2 (k E) (n 2 n 2 o) k 2 (6.3.48) und k E = n2 k 2 (k E) (6.3.49) (n 2 n 2 e) k 2 Aus k E + k E = (k E) folgt 1 n = k2 /k 2 + k2 /k2. (6.3.50) 2 n 2 n 2 o n 2 n 2 e 6-12

13 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung Mit k /k = sin(θ) und k /k = cos(θ) erhalten wir schließlich nach kurzer Rechnung: 1 n = cos2 (θ) 2 n 2 o + sin2 (θ). (6.3.51) n 2 e Diese Gleichung definiert die Index-Ellipse. Optische Achse Außerordentlicher Strahl n o n( D e k n e D o Ordentlicher Strahl Abbildung 6.4: Wellenausbreitung in einem uniaxialen Kristall. Der Wellenvektor k schließt einen Winkel θ der optischen Achse ein. Der zugehörige Brechnungsindex n(θ) kann Hilfe der Index-Ellipse konstruiert werden. Phasenanpassung Effiziente SHG erfordert k = 0. Problem: Normale Dispersion n(2ω 1 ) > n(ω 1 ). Idee: Nutze unterschiedliche Brechungsindizes für den ordentlichen und außerordentlichen Strahl in einem uniaxialen Kristallen aus, um die Dispersion zu kompensieren. Betrachte hierzu als Beispiel einen positiv uniaxialen Kristall n o (2ω 1 ) < n e (ω 1 ). Typ I Phasenanpassung: Die fundamentalen Welle läuft als außerordentlicher Strahl und die frequenzverdopplete Welle als ordentlicher Strahl durch den nichtlinearen Kristall. Phasenanpassung: (n o (2ω 1 ) = n e (ω 1, θ)). Mit Hilfe der Index-Ellipse erhält man: sin 2 (θ) = 1/n2 o(2ω 1 ) 1/n 2 o(ω 1 ) 1/n 2 e(ω 1 ) 1/n 2 o(ω 1 ). (6.3.52) 6-13

14 Optische Achse n o(2 ) n o( ) o n e( ) n e(2 ) e Abbildung 6.5: Typ I Phasenanpassung für einen positiv uniaxialen Kristall. Die fundamentalen Welle läuft als außerordentlicher Strahl und die frequenzverdopplete Welle als ordentlicher Strahl durch den nichtlinearen Kristall. Für negativ uniaxiale Kristalle vertauschen fundamentale und frequenzverdopplete Welle ihr Rollen. Typ II Phasenanpassung: Die fundamentalen Welle wird auf den außerordentlichen und den außerordentlichen Strahl aufgeteilt, d.h. unter 45 zur optischen Achse eingestrahlt. Phasenanpassungsbedingung: Positiv uniaxialer Kristall: 2n o (2ω 1 ) = n o (ω 1 ) + n e (ω 1, θ). Negativ uniaxialer Kristall: 2n e (2ω 1,, θ) = n o (ω 1 ) + n e (ω 1, θ). Quasi-Phasenanpassung Typ I oder Typ II - Phasenanpassung ist aufgrund großer Dispersion nicht für alle nichtlinearen Medien möglich. Alternative: Quasi-Phasenanpassung. Idee: Das Vorzeichen des nichtlinearen Koeffizienten d wird periodisch umgedreht. Beispiel: PPLN (periodically poled LiNbO 3 ). LiNbO 3 ist ein ferroelektrischer Kristall. Zum polen werden periodisch angeordnete Elektroden auf den Kristall aufgebracht. Ein Hochspannungspuls richtet die ferroelektrischen Domänen periodisch aus. Da das Vorzei- 6-14

15 6.3 Nichtlineare Polarisation 2. Ordnung chen des nichtlinearen Koeffizienten von der Orientierung der ferroelektrischen Domäne abhängt, kann so der erwünschte periodische Vorzeichenwechsel von d erreicht werden. (a) (b) Abbildung 6.6: Schematische Darstellung eines nichtlinearen optischen Mediums. Die Orientierung der Pfeile gibt die Orientierung der Domänen und da das Vorzeichen des nichtlinearen Koeffizienten d an. (a) Homogener Kristall. (b) Periodisch gepolter Kristall. Annahme: d(z) wechselt alle Λ/2 das Vorzeichen. Entwickle nichtlinearen Koeffizienten in Fourier-Serie [ ( d(z) = d Bulk c m exp im 2π ) ] Λ z. (6.3.53) m= Entwicklungskoeffizienten c m = 2 sin(mπ/2). (6.3.54) mπ Einsetzen in Amplituden-Gleichung für die frequenzverdoppelte Welle liefert: z A 2(z) = iκ c m A 2 1(z)e i(m 2π Λ k 2+2k 1)z m= (6.3.55) Phasenanpassung für: m 2π Λ k 2 + 2k 1 = m 2π Λ k = 0 (6.3.56) Betrachte im Folgenden den Fall m = 1. Die Beiträge der anderen Fourierkoeffizienten m 1 können aufgrund der Phasenfehlanpassung in erster Näherung vernachlässigt werden. 6-15

16 Für die Periode erhält man: Λ = 2π k = 2l coh. (6.3.57) Der Kristall muss also jeweils nach einer Kohärenzlänge umgepolt werden. Der effektive nichtlineare Koeffizient lautet: d eff = c 1 d Bulk = 2 π d Bulk. (6.3.58) SHG Amplitude z/λ Abbildung 6.7: Amplitude der frequenzverdoppelten Welle als Funktion der Propagationslänge. Die schwarzen Pfeile geben das Vorzeichen des nichtlinearen Koeffizienten d an. Blaue Kurve: Perfekte Phasenanpassung ( k = 0). Grüne Kurve: Ohne Phasenanpassung ( k 0). Rote Kurve: Quasi-Phasenanpassung. Schwarze Kurve: Quasi-Phasenanpassung bei Vernachlässigung aller Fourier-Komponente m 1. Anwendung - Der grüne Laserpointer Kommerziell erhältliche grüne Laserpointer sind üblicherweise DPSSFD Laser (DPSS- FD:diode pumped solid state frequency-doubled), in denen der grüne Strahl Hilfe nichtlinearer Optik erzeugt wird: 6-16

17 6.4 Nichtlineare Polarisation 3. Ordnung Ausgangspunkt ist eine AlGaAs-Laserdiode, die bei λ = 808nm etiert und eine typische Leistung von 100 mw mw aufweist. Die abgegebenen Strahlung wird zum Pumpen eines Nd:YVO4-Laser Emissionswellenlänge λ = 1064nm verwendet. Der Nd:YVO4-Laser besteht aus einem Nd:YVO4-Kristall, einem KTP-Kristall und jeweils einem dielektrischen Spiegel an der Vorderseite des Nd:YVO4-Kristalls und der Rückseite des KTP-Kristalls. Der KTP-Kristall dient zur intracavity Frequenzverdopplung und liefert die grüne Strahlung λ = 532nm. Abbildung 6.8: Schema eines grünen Laserpointers. Quelle: Wikipedia. 6.4 Nichtlineare Polarisation 3. Ordnung Im Folgenden betrachten wir Effekte, die auf der nichtlinearen Polarisation dritter Ordnung beruhen: P NL (t) = ǫ 0 χ (3) E 3 (t). (6.4.1) Für eine einlaufende monochromatische Welle der Form E(t) = [E(ω 1 )e iω 1t + c.c.] liefert die nichtlineare Polarisation Beiträge bei den Frequenzen ω 1 und 3ω 1 : P NL (t) = (P NL (ω 1 )e iω 1t + P NL (3ω 1 )e i3ω 1t + c.c.) (6.4.2) 6-17

18 P NL (ω 1 ) = 3ǫ 0 χ (3) E(ω 1 ) 2 E(ω 1 ), (6.4.3) P NL (3ω 1 ) = ǫ 0 χ (3) E 3 (ω 1 ). (6.4.4) Frequenzverdreifachung Die Polarisation P NL (3ω 1 ) ist die Quelle für Strahlung der Frequenz 3ω 1. Die Frequenzverdreifachung (THG: third harmonic generation) kann analog zur Frequenzverdopplung behandelt werden. Man findet als Bedingung für die Phasenanpassung: k 3 3k 1 = 0. (6.4.5) Abbildung 6.9: Erzeugung neuer Frequenzkomponenten durch einen nichtlinearen Prozess dritter Ordnung in Glas bei räumlicher und zeitlicher Überlagerung zweier intensiver Nahinfrarot fs-impulse. Quelle: Dissertation Christiane Becker Optischer Kerr-Effekt Die nichtlineare Polarisation dritter Ordnung liefert auch einen Beitrag bei der Frequenz der einlaufenden Welle. Die gesamte Polarisation bei der fundamentalen Frequenz lautet: P(ω 1 ) = ǫ χ (1) + 3χ (3) E(ω 1 ) 2 E(ω ). (6.4.6) }{{} χ 6-18

19 6.4 Nichtlineare Polarisation 3. Ordnung Formal: χ(ω 1 ) = χ (1) + χ (6.4.7) Die Änderung der elektrischen Suszeptibilität χ verursacht einen intensitätsabhängigen Beitrag zum Brechungsindex: n n + n 2 I Aus n 2 = 1 χ und I = n 0 ǫ 0 c 0 E 2 /2 folgt: n 2 = 3 n 2 0c 0 ǫ 0 χ (3). (6.4.8) Dieses Phänomen ist in der Literatur als optischer Kerr-Effekt bekannt. Entsprechende nichtlineare Medien werden deshalb häufig Kerr-Medien genannt und n 2 als optischer Kerr Koeffizient bezeichnet. Selbstfokussierung Betrachte im Folgenden eine dünne Platte (Dicke: d) eines Kerr-Mediums linearem Brechungsindex n 0 und optischem Kerr Koeffizient n 2. Ein Gaußscher Strahl verursacht in der Platte eine lokale Variation der Brechzahl. Befindet sich die Platte in der Strahltaillie, so variiert die Intensität in der Nähe der Strahlachse näherungsweise quadratisch: I(ρ, 0) = I 0 exp ( 2ρ2 W 2 0 ) I 0 ( 1 2ρ2 W 2 0 ). (6.4.9) Da gilt: ( ) n(ρ) = n 0 + n 2 I 0 1 2ρ2. (6.4.10) W0 2 Mit k = k 0 n erhält man für die Transferfunktion der Platte: h(ρ) = exp [ik(ρ)d] = exp [i (k 0 n 0 + k 0 n 2 I 0 ) d] exp [ i2k 0 n 2 I 0 dρ 2 /W 2 0 ]. (6.4.11) Die Transferfunktion einer Linse lautet: h(ρ) = exp [ ik 0 ρ 2 /2f ]. (6.4.12) Der Vergleich zeigt, dass der intensitätsabhängige Brechungsindex n(ρ) des Kerr-Mediums wie eine Linse wirkt: 6-19

20 n 2 > 0: Sammellinse. n 2 < 0: Streulinse. x d I Kerr Medium Abbildung 6.10: Selbstfokusierende Wirkung eines Kerr Mediums positivem optischen Kerr Koeefizient. Die roten Kurven repräsentieren die Phasenfronten der Welle. Selbstphasenmodulation Betrachte Propagation eines kurzen optischen Impulses A(t)e iω 0t Pulslaänge τ p durch ein dünnes Kerr Medium. Annahme: Das Kerr Medium besitzt eine instantane Antwort n(t) = n 0 + n 2 I(t). (6.4.13) Elektrisches Feld des Impulses nach dem Kerr Medium: E out (0, t) = A(t)e iω 0t e iφ NL(t) (6.4.14) Φ NL (t) = ω 0 c 0 n 2 I(t)d. (6.4.15) Der nichtlineare Brechungsindex führt zu einer zeitlich veränderlichen Phase des Impulses, die proportional zur momentanen Intensität des Impulses ist. Selbstphasenmodulation (SPM: self phase modulation). Spektrum des Pulses nach dem Kerr Medium: S(ω) = E in (t) e ω0t e iφ(t) e ıωt dt 2. (6.4.16) 6-20

21 6.4 Nichtlineare Polarisation 3. Ordnung Definiere instantane Frequenz: ω(t) = ω 0 + δω(t) (6.4.17) δω(t) = d dt Φ NL(t). (6.4.18) Durch die zeitliche Variation der nichtlinearen Phase entstehen neue Frequenzkomponeneten im Impuls-Spektrum. Abschätzung der maximalen Frequenzverschiebung: δω max Φ(max) NL τ p /2 (6.4.19) Φ (max) NL ω 0 c 0 n 2 I 0 d. (6.4.20) 6-21

22 - Φ NL (rad) (a) (max) Φ NL =0 (max) Φ NL =π (max) Φ =2π NL t(τ ) p dφ NL /dt ( ω) (b) t(τ p ) (c) S(ω) ω( ω) Abbildung 6.11: Selbstphasenmodulation eines Gaußschen Impulses Pulslänge τ p und spektraler Halbswertsbreite ω für verschiedene Werte von Φ (max) NL. 6-22