7 Optische Modulatoren

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1 7.1 Elektrooptische Modulatoren Elektrooptische Medien Zur Erinnerung - Optische Indikatrix eines linearen anisotropen Mediums: η ij x i x j = 1. ij (7.1.1) Die optischen Eigenschaften eines elektrooptischen Mediums können durch ein äußeres statisches elektrisches Feld E geändert werden: η ij (E) = η ij (0) + η ij (E). (7.1.2) Hierbei ist η ij (0) das Element des Impermeabilität-Tensors ohne äußeres Feld und η ij (E) die Änderung des Tensorelements aufgrund von E. Entwickle η ij (E) in eine Taylorreihe: η ij (E) = k r ijk E k + kl s ijkl E k E l (7.1.3) Der erste Term beschreibt eine linearen Änderung der Impermeabilität aufgrund von E. Dieser lineare elektrooptische Effekt ist auch als Pockels-Effekt bekannt. Die Koeffizienten {r ijk } sind die zugehörigen Pockels-Koeffizienten. Die quadratische Änderung der Impermeabilität durch ein äußeres statischens E-Feld wird in der Literatur als Kerr-Effekt bezeichnet. Die zugehörigen Koeffizienten {s ijkl } des elektooptischen Materials sind die zugehörigen Kerr-Koeffizienten. Pockels-Effekt Betrachte im Folgenden ein elektrooptisches Medium, das den Pockels-Effekt aufweist: η ij (E) = k r ijk E k. (7.1.4) 7-1

2 Aufgrund der Symmetrie des Impermeabilitätstensors (η ij Koeffizienten: r ijk = r jik. = η ji ) gilt für die Pockels- Der Pockels-Tensor r besitzt somit maximal 6 3 verschiedene Elemente. Durch Kristallsymmetrien kann die Anzahl der verschiedenen Tensorelemente weiter reduziert werden. Insbesondere verschwinden bei Inversionssymmetrie sämtliche Elemente. Führe Kurznotation ein: mit r hk = r ijk h = 1 für ij = 11, 2 für ij = 22, 3 für ij = 33, 4 für ij = 23 oder 32, 5 für ij = 13 oder 31, 6 für ij = 12 oder 21. (7.1.5) (7.1.6) Damit: η h = k r hk E k. (7.1.7) Matrixschreibweise: η 1 r 11 r 12 r 13 η 2 r 21 r 22 r 23 η 3 η = r 31 r 32 r 33 4 r 41 r 42 r 43 η 5 r 51 r 52 r 53 η 6 r 61 r 62 r 63 E 1 E 2 E 3 (7.1.8) 1.) Beispiel: LiNbO 3 LiNbO 3 ist ein negativ uniaxialer Kristall, der der kristallographischen Punktgruppe 3m angehört. Die optische Achse zeige in x 3 -Richtung. Zugehöriger Pockels-Tensor: 0 r 22 r 13 0 r 22 r 13 r = 0 0 r 33 0 r 51 0 r r (7.1.9) 7-2

3 7.1 Elektrooptische Modulatoren Das äußere statische Feld E sei entlang der optischen Achse (x 3 -Achse) des LiNbO 3 - Kristalls angelegt. Zugehörige optische Indikatrix ( 1 n 2 o ) (x ( 2 1 +r 13 E 1 + x2) 2 + +r n 2 33 E e ) x 2 3 = 1. (7.1.10) Der Pockels-Effekt führt in diesem Fall nicht zu einer Änderung der Orientierung der Hauptachsen. Für den ordentlichen und außerordentlichen Brechungindex gilt: 1 n 2 o(e) = 1 n 2 o 1 n 2 e(e) = 1 n 2 e +r 13 E, (7.1.11) +r 33 E, (7.1.12) Aus r 13 E 1/n 2 o und r 33 E 1/n 2 e folgt: n o (E) n o 1 2 n3 or 13 E, (7.1.13) n e (E) n e 1 2 n3 er 33 E. (7.1.14) 2.) Beispiel: KDP KDP ist ein negativ uniaxialer Kristall, der der kristallographischen Punktgruppe 42m angehört. Die optische Achse zeige in x 3 -Richtung. Zugehöriger Pockels-Tensor: r = r r r 63 (7.1.15) 7-3

4 Das äußere statische Feld sei entlang der optischen Achse (x 3 -Achse) des KDP-Kristalls angelegt. Zugehörige optische Indikatrix: x x 2 2 n 2 o + x2 3 n 2 e + 2r 63 Ex 1 x 2 = 1. (7.1.16) Führe neues Koordinatensystem ein (45 Drehung um x 3 -Achse): x 1 = x 1 + x 2, 2 (7.1.17) x 2 = x 1 x 2, 2 x 3 = x 3. (7.1.18) (7.1.19) Optische Indikatrix in neuem Koordinatensystem: x 2 1 n 2 1(E) + x 2 2 n 2 2(E) + x 2 3 n 2 3(E) = 1 (7.1.20) mit 1 n 2 1(E) = 1 n 2 o 1 n 2 2(E) = 1 n 2 o n 3 (E) = n e. +r 63 E, (7.1.21) r 63 E, (7.1.22) (7.1.23) Nach kurzer Rechnung folgt: n 1 (E) n o 1 2 n3 or 63 E, (7.1.24) n 2 (E) n o n3 or 63 E, (7.1.25) n 3 (E) = n e. (7.1.26) Wird das elektrische Feld entlang der optischen Achse angelegt, so verhält sich KDP aufgrund des Pockels-Effekts wie ein biaxialer Kristall. 7-4

5 7.1 Elektrooptische Modulatoren Kerr-Effekt Betrachte im Folgenden ein elektrooptisches Medium, das den Kerr-Effekt aufweist: η ij (E) = kl s ijkl E k E l. (7.1.27) Aufgrund der Symmetrie des Impermeabilitätstensors (η ij = η ji ) gilt für die Kerr- Koeffizienten: s ijkl = s jikl. Zusätzlich können die Indizes k und l vertauscht werden: s ijkl = s ijlk. Somit besitzt der Kerr-Tensor s besitzt maximal 6 6 verschiedene Elemente. Durch Kristallsymmetrien kann die Anzahl der verschiedenen Tensorelemente weiter reduziert werden. In der Literatur wird üblicherweise auch für den Kerr-Effekt die oben eingeführte Kurznotation verwendet. Beispiel: Isotropes Medium mit Brechungsindex n. Zugehöriger Kerr-Tensor: s = s 11 s 12 s s 12 s 11 s s 12 s 12 s s s s 44, s 44 = 1 2 (s 11 s 12 ). (7.1.28) Das äußere elektrische Feld E sei entlang der x 3 -Achse angelegt. Damit: ( ) 1 (x n +s ) ( ) 12E x n +s 11E 2 x = 1. (7.1.29) Dies ist die optische Indikatrix eines uniaxialen Kristalls mit der optischen Achse in x 3 - Richtung. Für die ordentlichen und außerordentlichen Brechungsindizes gilt: 1 n 2 o(e) = 1 n 2 +s 12E 2, (7.1.30) 7-5

6 1 n 2 e(e) = 1 n 2 +s 11E 2. (7.1.31) Kurze Umformung liefert: n o (E) = n 1 2 n3 s 12 E 2, (7.1.32) n e (E) = n 1 2 n3 s 11 E 2. (7.1.33) Phasenmodulatoren Die Phase einer optischen Welle kann mit Hilfe des Pockels-Effekts moduliert werden. Hierzu wird die Polarisation des Lichtfeldes parallel zu einer der Hauptachsen des elektrooptischen Mediums gewählt. (a) (b) V V d L L Abbildung 7.1: (a) Schema eines transversalen Phasenmodulators und (b) Schema eines longitudinalen Phasenmodulators. Abhängig von der Orientierung des angelegten elektrischen Feld E relativ zur Ausbreitungsrichtung k der optischen Welle unterscheidet man zwei Konfiguratuionen: transversale Phasenmodulatoren: E k, longitudinale Phasenmodulatoren: E k. 7-6

7 7.1 Elektrooptische Modulatoren x 3 x 1 x 2 V E 0 O.A. d L Abbildung 7.2: Transversaler Phasenmodulator. Transversaler Phasenmodulator Die optische Achse eines LiNbO 3 -Kristalls sei entlang der x 3 -Achse und parallel zum äußeren elektrischen Feld E orientiert. Die optische Welle propagiere in Richtung der x 1 -Achse und sei in Richtung der x 3 -Achse polarisiert (außerordentlicher Strahl): E(x 1, t) = E 0 ê 3 exp(ik e x 1 iωt). (7.1.34) Nach der Propagationslänge L erhält man eine Phasenänderung: ϕ(e) = k 0 n e (E)L = 2π ( n e 1 ) λ 0 2 n3 er 33 E L. (7.1.35) Mit V = Ed und ϕ 0 = 2π λ 0 n e L gilt: ϕ(v ) = ϕ 0 π V V π. (7.1.36) Hierbei ist die Halbwellen-Spannung V π für einen transversalen Phasenmodulator definiert als: λ 0 V π = d. L n 3 er 33 (7.1.37) Für V = V π ändert sich die Phase der optischen Welle nach der Propagagtion durch den Modulator gerade um π im Vergleich zum Fall V = 0. Betrachte jetzt eine harmonische Modulation der angelegten Spannung mit der Frequenz Ω: V (t) = V 0 sin(ωt). (7.1.38) 7-7

8 Für das elektrische Feld der optischen Welle nach dem Modulator gilt: [ ( E(L, t) = E 0 ê 3 exp iϕ 0 exp i ωt + π V )] 0 sin(ωt). (7.1.39) V π Mit der Identität für Bessel-Funktionen folgt: exp [ iδ sin(ωt)] = n= E(L, t) = E 0 ê 3 exp iϕ 0 J n (δ) exp( inωt) (7.1.40) n= J n (πv 0 /V π ) exp( i(ω + nω)t). (7.1.41) Durch die Modulation entstehen also Seitenbänder mit den Frequenzen ω ±Ω, ω ±2Ω, ω ± 3Ω,. Longitudinaler Phasenmodulator x 3 V x 1 x 2 O.A. E 0 L Abbildung 7.3: Longitudinaler Phasenmodulator. Die optische Achse eines LiNbO 3 -Kristalls sei entlang der x 1 -Achse und parallel zum äußeren elektrischen Feld E orientiert. Die optische Welle propagiere in Richtung der x 1 -Achse und sei in Richtung der x 3 -Achse polarisiert (ordentlicher Strahl): E(x 1, t) = E 0 ê 3 exp(ik o x 1 iωt). (7.1.42) Nach der Propagationslänge L erhält man eine Phasenänderung: ϕ(e) = k 0 n o (E)L = 2π ( n o 1 ) λ 0 2 n3 er 13 E L. (7.1.43) 7-8

9 7.1 Elektrooptische Modulatoren Mit V = EL und ϕ 0 = 2π λ 0 n o L erhalten wir: ϕ(v ) = ϕ 0 π V V π. (7.1.44) Hierbei ist die Halbwellen-Spannung V π eines longitudinalen Phasenmodulators gegeben durch: V π = λ 0 n 3 or 33. (7.1.45) Bei einem longitudinalen Phasenmodulator hängt V π also nicht von der Kristalllänge L ab Polarisationsmodulatoren x 3 E out x 1 x 2 V=V b+vπ O.A. d E in L Abbildung 7.4: Polarisationsmodulator. Der Pockels-Effekt kann auch dazu genutzt werden, um die Polarisation einer optischen Welle zu verändern. Hierzu darf die Polarisation der einlaufenden Welle zu keiner der Hauptachsen des elektrooptischen Mediums parallel sein. Die einlaufende Welle ist dann die Superposition von zwei Eigenmoden, deren relative Phase durch das Anlegen einer Spannung kontrolliert werden kann. Betrachte wieder einen LiNbO 3 -Kristall, dessen optische Achse entlang der x 3 -Achse und parallel zum äußeren elektrischen Feld E orientiert ist. Die einlaufende optische Welle propagiere in Richtung der x 1 -Achse und sei in Richtung (ê 2 + ê 3 )/ 2 polarisiert. Nach der Propagationslänge L gilt: E(L, t) = E 0 ê 2 2 exp(ik o L iωt) + E 0 ê 3 2 exp(ik e L iωt). (7.1.46) 7-9

10 Man erhält somit eine Phasenunterschied ϕ zwischen der ê 2 -Komponente (ordentlicher Strahl) und der ê 3 -Komponente (außerordentlicher Strahl) der optischen Welle: ϕ = π [ 2 (n o n e ) L + ( n 3 λ er 33 n 3 or ) ] V L 13. (7.1.47) 0 d Beachte: Selbst ohne angelegte Spannung erhält man aufgrund der Doppelbrechung eine Phasenunterschied: ϕ 0 = 2π (n o n e ) L = 2mπ + 2π (n o n e ) L. (7.1.48) λ 0 λ 0 Hierbei ist m eine ganze Zahl, so dass π < ϕ 0 2mπ = 2π λ 0 (n o n e ) L π. (7.1.49) Kompensation von ϕ 0 durch anlegen einer Hintergrunds-Spannung V b mit V b = 2 (n e n o ) d L. (7.1.50) (n 3 er 33 n 3 or 13 ) L Durch anlegen einer Spannung V = V b + V π kann die Polarisation der optischen Welle um 90 gedreht werden. Hierbei ist die Halbwellen-Spannung V π gegeben durch V π = λ 0 d n 3 er 33 n 3 or 13 L. (7.1.51) Amplitudenmodulatoren Zur Modulation der Amplitude einer optischen Welle kann ein Phasenmodulator mit einem Interferometer oder ein Polarisationsmodulator mit einem nachgeschaltetem Polarisator kombiniert werden. Amplitudenmodulation: Phasenmodulator in einem Interferometer Betrachte ein Mach-Zehnder-Interferometer, in dessen einem Arm sich ein Phasenmodulator befindet. Für 50:50-Strahlteiler erhält man in einem Ausgang des Interferometers die Intensität: I out = 1 2 I in I in cos(ϕ) = I in cos 2 (ϕ/2). (7.1.52) 7-10

11 7.1 Elektrooptische Modulatoren I in V I out Phasenmodulator Abbildung 7.5: Amplitudenmodulator auf der Basis eines Phasenmodulators und eines Interferometers. Hierbei ist ϕ = ϕ 1 ϕ 2 die Differenz der Phasen der optischen Wellen in den beiden Armen des Interferometers. Durch den Phasenmodulator kann die Phase der optischen Welle in Arm 1 moduliert werden: ϕ 1 = ϕ 1,0 π V V π. (7.1.53) Mit ϕ 0 = ϕ 1,0 ϕ 2 erhält man für die Transmission des Interferometers: T(V ) = I out /I in = cos 2 ( ϕ0 2 π 2 V V π ). (7.1.54) T V π V Abbildung 7.6: Transmission eines Amplitudenmodulators als Funktion der angelegten Spannung. 7-11

12 Amplitudenmodulation: Polarisationsmodulator mit nachgeschaltetem Polarisator Übung! 7.2 Flüssigkristall Modulatoren Flüssigkristalle bestehen aus gestreckten Molekülen, die in der flüssigen Phase eine Orientierungsordnung aufweisen. Flüssigkristalle treten in verschiedenen Phasen auf: Nematische Phase: Die Moleküle sind parallel orientiert aber zufällig angeordnet. Smektische Phase: Die Moleküle sind in Schichten angeordnet, in denen sie eine einoder zweidimensional periodische Struktur ausbilden. Cholesterische Phase: Die Moleküle sind in Schichten parallel angeordnet. Die einzelnen Schichten sind helixförmig verdreht. (a) (b) (c) Abbildung 7.7: Flüssigkristalline Phasen: (a) Nematische Phase. (b) Smektische Phase. (c) Cholesterische Phase. (Quelle: Wikipedia). Für Modulatoren ist insbesondere die nematischen Phase von großem technischem Interesse. Diese hat optische Eigenschaften wie ein uniaxialer Kristall, dessen optische Achse parallel zu den Molekülen orientiert ist. Flüssigkristall-Moleküle können aufgrund ihrer anisotropen dielektrischen Eigenschaften durch ein äußeres elektrisches Feld ausgerichtet werden. Typischerweise orientieren sich die Moleküle mit ihrer langen Achse parallel zum Feld. Eine Nematische Drehzelle besteht aus zwei Glassplatten, die mit einer transparenten Elektrode aus Indium-Zinn-Oxid (ITO) und einem dünnen Polymid-Film beschichtet sind. Zwischen den Glasplatten befindet sich ein nematischer Flüssigkristall. Durch Bürsten 7-12

13 7.2 Flüssigkristall Modulatoren wird die Polymidschicht mit Rillen versehen. Die Flüssigkristall-Moleküle richten sich ohne angelegte Spannung parallel zu den Rillen aus. Werden die Vorzugsrichtungen der beiden Substrate um 90 zueinander verdreht, so ergibt sich eine kontinuierliche Drehung der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle um 90 entlang der Zelle. Die Polarisation einer linear polarisierten optischen Welle folgt der Vorzugsrichtung der Flüssigkristall-Moleküle, so dass die spannungslose Nematische Drehzelle die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90 dreht. Durch das Anlegen einer Spannung werden die Flüssigkristall-Moleküle entlang der Zelle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten. Die Anordnung einer nematischen Drehzelle zwischen zwei gekreuzten Polarisatoren bildet das Grundelement einer Flüssigkristall-Anzeige. (a) Polarisator Elektrode mit Rillen Verdrehter nematischer Flüssigkristall Elektrode mit Rillen Polarisator (b) V Abbildung 7.8: Nematische Drehzelle: (a) Ohne angelegte Spannung wird die lineare Polarisation einer optischen Welle um 90 gedreht. (c) Durch das Anlegen einer Spannung werden die Flüssigkristall-Moleküle ausgerichtet und die ursprüngliche Polarisation der optischen Welle bleibt erhalten. 7-13

14 7.3 Akustooptische Modulatoren Photoelastischer Effekt Eine Schallwelle, die durch ein Medium läuft, führt zu einer elastischen Deformation des Mediums, die durch den Verzerrungstensor S beschrieben wird: S ij = 1 ( ui + u ) j. (7.3.1) 2 x j x i Hierbei ist x i (i = 1, 2, 3) die Koordinate eines kleinen Volumenelements des Mediums und u i (i = 1, 2, 3) dessen Verschiebung im Vergleich zur Gleichgewichtsposition. Die Diagonalelemente des Verzerrungstensor S ii (i = 1, 2, 3, ) beschreiben eine Kompression oder Dehnung des Mediums während die Nichtdiagonalelemente eine Scherung des Mediums charakterisieren. Eine mechanische Deformation führt zu einer Änderung der optischen Eigenschaften des Mediums. Der photoelastische Tensor p verknüpft hierbei eine Änderung der Impermeabilität η mit dem Verzerrungstensor S: η ij = p ijkl S kl. (7.3.2) Für die Elemente des photoelastischen Tensors gilt aufgrund des Symmetrie von η und S: p ijkl = p jikl = p ijlk = p jilk. (7.3.3) In der Literatur wird üblicherweise auch hier die im Abschnitt eingeführte Kurznotation verwendet. Beispiel: Isotropes Medium mit Brechungsindex n. Zugehöriger photoelastischer Tensor: p = p 11 p 12 p p 12 p 11 p p 12 p 12 p p p p 44, p 44 = 1 2 (p 11 p 12 ). (7.3.4) 7-14

15 7.3 Akustooptische Modulatoren Eine longitudinale Schallwelle breite sich in x 3 -Richtung aus. Die Verschiebung eines kleinen Volumenelements des Mediums aufgrund der Schallwelle sei gegeben durch: u(z, t) = aê z cos (Kz Ωt). (7.3.5) Hierbei ist a die Amplitude, Ω die Kreisfrequenz und K der Wellenvektor der Schallwelle. Damit: S 3 (z, t) = Ka sin (Kz Ωt) = S 0 sin (Kz Ωt). (7.3.6) und η 1 η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 = p 11 p 12 p p 12 p 11 p p 12 p 12 p p p p S (7.3.7) Ausmultiplizieren liefert: η 1 = p 12 S 0 sin (Kz Ωt), (7.3.8) und η 2 = p 12 S 0 sin (Kz Ωt), (7.3.9) η 3 = p 11 S 0 sin (Kz Ωt) (7.3.10) η 4 = η 5 = η 6 = 0. (7.3.11) Zugehörige optische Indikatrix: ( ( ) 1 1 n + p 12S 2 0 sin (Kz Ωt)) x 2 + n + p 12S 2 0 sin (Kz Ωt) y 2 (7.3.12) ( ) 1 + n + p 11S 2 0 sin (Kz Ωt) z 2 = 1. (7.3.13) Kurze Umformung liefert Brechungsindizes für Hauptachsen: n x (z, t) = n 1 2 n3 p 12 S 0 sin (Kz Ωt), (7.3.14) 7-15

16 und n y (z, t) = n 1 2 n3 p 12 S 0 sin (Kz Ωt), (7.3.15) n z (z, t) = n 1 2 n3 p 11 S 0 sin (Kz Ωt). (7.3.16) Die longitudinale Schallwelle verursacht also eine periodische Modulation des Brechungsindex Bragg Streuung Die durch eine Schallwelle verursachte periodische Brechzahlvariation wirkt wie ein Gitter, an dem eine optische Welle gebeugt wird. z v s v s n(z) A O B Abbildung 7.9: Bragg Streuung einer optischen Welle an einer Schallwelle. Die Beugung kann anschaulich als Bragg-Streuung interpretiert werden. Die an den Netzebenen des Gitters reflektierten optischen Wellen interferieren konstruktiv miteinander, wenn der Einfallswinkel θ der optischen Wellen die Bragg-Bedingung erfüllt: sin(θ) = λ 2Λ. (7.3.17) Hierbei ist λ die Wellenlänge der optischen Welle im Medium und Λ die Wellenlänge der Schallwelle. 7-16

17 7.3 Akustooptische Modulatoren Beispiel: Schallwelle mit der Frequenz f = 1 GHz in Fint-Glass. Schallgeschwindigkeit: v s = 3 km/s Wellenlänge der Schallwelle: Λ = v s /f = ms 1 / s 1 = 3 µm Brechungsindex: n = 1.95 Optische Wellenlänge im Vakuum: λ 0 = nm (HeNe-Laser) Optische Wellenlänge im Medium: λ = λ 0 /n = nm Interner Braggwinkel im Medium: θ = 3.1 Zugehöriger externer Braggwinkel in Luft: θ nθ = 6 Die Schallwelle und damit das Brechzahl-Gitter bewegt sich mit der Schallgeschwindigkeit v s durch das Medium. Aufgrund des Doppler-Effekts erfährt die gebeugte optische Welle eine Frequenzverschiebung ω = 2ω v s sin(θ) c = Ω. (7.3.18) Die Bragg-Streuung läßt sich auch im Teilchenbild verstehen. Hierbei wird ein Photon der einlaufenden optischen Welle und ein Phonon der Schallwelle vernichtet während gleichzeitig ein Photon in der reflektierten optischen Welle erzeugt wird. Um den Impuls und die Energie zu erhalten, gilt: k in + K = k r, ω in + Ω = ω r. (7.3.19) (7.3.20) Photon ħω Photon ħω r Phonon ħω Abbildung 7.10: Bragg Streuung im Teilchen-Bild. 7-17

18 7.3.3 Gekoppelte Amplitudengleichungen für Bragg Streuung Betrachte periodische Brechzahlvariation verursacht durch eine Schallwelle mit Frequenz Ω und Wellenvektor K = Kê z : n(z, t) = n + n cos (Kz ωt). (7.3.21) Zugehörige Variation der elektrischen Permittivität: ǫ(z, t) = ǫ + ǫ cos (Kz ωt) = ǫ + 2n n cos (Kz ωt). (7.3.22) Für sichtbares Licht und infrarote Strahlung kann wegen Ω ω die zeitliche Variation der elektrischen Permittivität bei der Herleitung der Wellengleichung vernachlässigt werden. Man erhält somit für das von der Schallwelle durchlaufene Medium: [ 2 + ω 2 µ 0 ǫ 0 (ǫ + ǫ) ] E = 0. (7.3.23) Schallwelle Einlaufende Welle k 1 k 2 θ θ K Gebeugte Welle x=0 x=l Abbildung 7.11: Akustooptischer Modulator. Das elektrische Feld im Medium wird als Superposition von einlaufender Welle (Index 1) und gebeugter Welle (Index 2) angesetzt: E(x, z, t) = A 1 (x)e 1 e i(k 1 r ω 1 ) + A 2 (x)e 2 e i(k 2 r ω 2 ). (7.3.24) Hierbei sind k 1 = α 1 ê x + β 1 ê z und k 2 = α 2 ê x + β 2 ê z die jeweiligen Wellenvektoren. A 1 (x) und A 2 (x) sind die räumlich langsam variierenden Amplituden. Die Felder E 1 e i(k 1 r ω 1 ) und E 2 e i(k 2 r ω 2 ) sind Lösungen der Wellengleichung für ǫ = 0. Die Frequenzen der beiden Felder erfüllen die Bedingung ω 2 = ω 1 ± Ω. (7.3.25) 7-18

19 7.3 Akustooptische Modulatoren Die Amplituden der elektrischen Felder ändern sich nur langsam bei der Propagation durch das Medium die zweiten räumlichen Ableitungen 2 A 1 (x)/ x 2 und 2 A 2 (x)/ x 2 können vernachlässigt werden. Damit: ( ) ( ) 2iα 1 x A 1(x) E 1 e i(α 1x+β 1 z ω 1 t) + 2iα 2 x A 2(x) E 2 e i(α 2x+β 2 z ω 2 t) = ω 2 µ 0 ǫ 0 n n ( e i(kz Ωt) + e i(kz Ωt)) ( A 1 (x)e 1 e i(α 1x+β 1 z ω 1 t) + A 2 (x)e 2 e i(α 2x+β 2 z ω 2 t) ). (7.3.26) Führe Normierung für Feldvektoren E 1 und E 2 ein: E m = 2µ0 ω m α m ê m, m = (1, 2). (7.3.27) Skalare Multiplikation mit ( E l e i(α lx+β l z ω l t) ), l = 1, 2 und Integration über t und z liefert gekoppelte Gleichungen: x A 1(x) = iκa 2 e i α, (7.3.28) für x A 2(x) = iκ A 1 e i α (7.3.29) β 2 = β 1 ± K (7.3.30) und ω 2 = ω 1 ± Ω. (7.3.31) Die Kopplungskonstante κ ist gegeben durch κ = ω2 µ 0 ǫ 0 2 α 1 α 2 n n ê 1 ê 2. (7.3.32) α ist der Unterschied der x-komponente der beiden Wellenvektoren: α = α 1 α 2. (7.3.33) 7-19

20 Die Bragg-Bedingung (7.3.17) wird für β 1 = β 2 = K/2 (Absorption eines Phonons) bzw. β 1 = β 2 = K/2 (Emission eines Photnons) erfüllt. In diesen Fällen gilt α = 0. Damit: x A 1(x) = iκa 2, (7.3.34) x A 2(x) = iκ A 1. (7.3.35) Mit A 2 (0) = 0 folgt: A 1 (x) = A 1 (0) cos(κx) (7.3.36) A 2 (x) = i κ κ A 1(0) sin(κx) (7.3.37) Anteil der eingestrahlten optischen Leistung, der nach der Wechselwirkungslänge L durch die Schallwelle gebeugt wird: I 2 (L) I 1 (0) = A 2(L) 2 A 1 (0) 2 = sin2 (κl). (7.3.38) I 1 I 2 Intensität κ L Abbildung 7.12: Intensität der eingestrahlten und der gebeugten Welle als Funktion der Wechselwirkungslänge L. Besitzt die gebeugte Welle die gleiche Polarisation wie die einlaufende Welle (ê 1 = ê 2 ), so gilt wegen cos(θ) 1: κ = ωn3 ps 0 4c 0. (7.3.39) 7-20

21 7.3 Akustooptische Modulatoren Für die akustische Intensität einer Schallwelle gilt: I a = 1 2 ρv3 ss 2 0. (7.3.40) Hierbei ist ρ die Dichte des Mediums. Somit: 2Ia S 0 =. ρvs 3 (7.3.41) Einsetzen liefert das Endergebnis: I 2 (L) I 1 (0) = sin2 πl n6 p 2 I λ 2ρvs 3 a. (7.3.42) I a t Piezo Schallwelle Einlaufende Welle Gebeugte Welle I 1 I 2 t t Abbildung 7.13: Akustooptischer Modulator. Für kleine Schallintensitäten ist die gebeugte Lichtleistung proportional zur Schallintensität. 7-21