Die Cantor-Menge. Florian Röÿler

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1 Die Cantor-Menge Florian Röÿler Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemester 009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: In dieser Arbeit wird die Cantor-Menge als interessantes (Gegen)- Beispiel in der reellen Analysis vorgestellt. Am Beginn steht ein kurzer historischer Abriss vom Leben Georg Cantors und seiner Entwicklung der modernen Mengenlehre. Dieser Abschnitt soll explizit keine Biograe sein, sondern soll vielmehr vereinzelte interessante Facetten vom Leben und Schaen Georg Cantors zeigen. Im Hauptteil der Arbeit wird die Cantor-Menge selbst behandelt. Hierbei wird zunächst Cantors Motivation zur Konstruktion selbst beschrieben. Anschlieÿend wird die Konstruktion dieser Menge behandelt, gefolgt von einigen zum Teil verblüenden Eigenschaften dieser besonderen Menge. Inhaltsverzeichnis 1 Georg Cantor 1.1 Leben Werk Zeitgenössische Zitate Die Cantor-Menge.1 Allgemeines Konstruktion Länge der Cantor-Menge Mächtigkeit der Cantor-Menge Topologische Eigenschaften Weitere Eigenschaften Zusammenfassung Resümee 10

2 1 Georg Cantor 1.1 Leben Georg Cantor wurde am. März 1845 in St. Petersburg geboren. Er absolviert ein Studium an den Universitäten in Zürich, Göttingen und Berlin, das er 1867 mit der Promotion an der Universität Berlin abschlieÿt erleidet er einen ersten Anfall von schwerer Depression, dem lange Jahre psychische Krankheit folgen. Georg Cantor stirbt schlieÿlich am 6. Januar 1918 in einer Klinik für Geisteskranke in Halle (Saale). 1. Werk Georg Cantor wird heute im Allgemeinen als Begründer der Mengenlehre angesehen. Äuÿerst bemerkenswert ist dabei, dass er dies fast im Alleingang tat, lediglich mathematisch unterstützt von Richard Dedekind, einem guten Freund Cantors. Er prägte dabei die noch heute wichtigen und gebräuchlichen Begrie wie Mächtigkeit, Äquivalenz von Mengen, Durchschnitt von Mengen, innere Punkte, Kardinalzahlen (insbesondere deren Ausdehnung auf unendliche Mengen). Er zeigte weiter die Gleichmächtigkeit der natürlichen, rationalen und algebraischen Zahlen und nannte diese abzählbar unendlich. Er bewies, dass die reellen Zahlen eine gröÿere Mächtigkeit haben (überabzählbar). Eine auf den ersten Blick unscheinbare, aber zu seiner Zeit bahnbrechende Arbeit, war die Einführung der unendlichen Dezimalzahlen. Um die Tragweite und die Kontroversen, die Georg Cantor bei seinen Mathematiker-Kollegen auslöste, besser verstehen zu können, schauen wir uns kurz diese unendlichen Dezimalzahlen an einem Beispiel an: Die Theorie der unendlichen Dezimalzahlen Als Beispiel betrachten wir hier = 1, Die Frage, was diese Zahl eigentlich ist, war zu Cantors Zeit nicht eindeutig zu beantworten. Cantor postulierte, dass dies eine sogenannte unendliche Dezimalzahl sei, d.h. die gesamte Folge ihrer Ziern ist vorgegeben und existiert so. In der Philosophie wird diese Art des Unendlichen Aktual-Unendliches genannt. Mathematiker vor Cantor und auch seine mathematischen Gegenspieler, allen voran Leopold Kronecker, waren der Meinung, dass die Ziern nacheinander geschaen werden, d.h. ist eine endliche Zahl, der immer mehr endlich viele Zahlen angehängt werden (die Unendlichkeit der Zahl liegt also im Prozess und nicht in ihrem Wesen). Diese Art des Unendlichen wird Potentiell-Unendliches genannt. Ein Hauptargument seiner Gegner war, dass ja noch kein Mensch die unendliche Dezimalentwicklung von gesehen habe. Diese und andere Arbeiten Cantors verursachten starke Kontroversen und spalteten die zeitgenössischen Mathematiker, wie wir an den nachfolgenden zeitgenössischen Zitaten sehen.

3 1. Zeitgenössische Zitate Cantor gehört zu den gröÿten und genialsten Mathematikern aller Länder und aller Zeiten. (Edmund Landau) Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaen, soll uns niemand vertreiben können. (David Hilbert) Die Mengenlehre repräsentiert ein schwerwiegendes mathematisches Übel, eine perverse Krankheit, die eines Tages geheilt sein wird. (Henri Poincaré, in eigener Übersetzung) Es übersteigt nicht das erlaubte Mass, wenn ich sage, dass die Kroneckersche Einstellung den Eindruck hervorbringen muÿte, als sei Cantor in seiner Eigenschaft als Forscher und Lehrer ein Verderber der Jugend. (Arthur Schönieÿ)... er weiÿ, dass ich beim geringsten Anfang seinerseits mit dem schwersten Geschütz hervortreten und mit geschwungenem Pfeil ihn mitten ins Herz treen werde; darum ist es viel vorteilhafter für ihn, im Dunkeln gleich einem Maulwurf sowohl Weierstrass und seinen Verehrern und Schülern, wie auch mir und der Mengenlehre den Boden zu unterwühlen. (Georg Cantor über Leopold Kronecker) Ich sehe es, aber ich glaube es nicht. (Georg Cantor über seinen Beweis der Gleichmächtigkeit aller R n ) Die Cantor-Menge.1 Allgemeines Georg Cantor entwarf die Cantor-Menge, als er dabei war, das Kontinuum (Cantor verstand unter diesem Begri i.a. die reellen Zahlen) zu untersuchen, bzw. dessen Eigenschaften nachzuweisen. Dabei führt er die Cantor-Menge als Gegenbeispiel zum Kontinuum ein. Diese Menge ist wie das Kontinuum eine perfekte Menge, aber nicht wie dieses überall-dicht. Cantor deniert die Cantor-Menge in seiner Arbeit Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten V im Anhang zu Ÿ10 folgendermaÿen: Als ein Beispiel einer perfekten Punktmenge, die in keinem noch so kleinen Intervall überall dicht ist, führe ich den Inbegri aller reellen Zahlen an, die in der Formel z = c 1 + c cv +... enthalten sind, wo die Koezienten c v v nach Belieben die beiden Werte 0 und anzunehmen haben und die Reihe sowohl aus einer endlichen, wie aus einer unendlichen Anzahl von Gliedern bestehen kann. Die Cantor-Menge gilt im Allgemeinen als das früheste bekannte Fraktal (Objekte mit einem hohen Grad von Selbstähnlichkeit).

4 . Konstruktion Die Konstruktion der Cantor-Menge kann man geometrisch sehr anschaulich beschreiben: Starte mit dem Intervall [0,1] Teile es in drei gleich groÿe Intervalle Lösche das mittlere oene Intervall ( 1, ) Es bleibt also übrig: [0, 1 ] [, 1] Lösche aus den verbleibenden Intervallen wieder jeweils das oene mittlere Intervall Es bleibt also übrig: [0, 1 9 ] [ 9, 1 ] [, 7 9 ] [ 8 9, 1] Dieser Prozess wird unendlich oft wiederholt Die Cantor-Menge besteht aus allen Punkten aus [0,1], die bei diesem unendlichen Prozess nicht gelöscht werden. Wir erhalten folgende iterative Formel für die Cantor- Menge nach der n-ten Iteration C n = C n 1 ( + C ) n 1 Dabei soll die Division komponentenweise deniert sein. Denition.1 (Cantor-Menge) Sei von nun an C := C die Cantor-Menge.. Länge der Cantor-Menge (.1) Zunächst schauen wir uns die Länge der Intervalle der Cantor-Menge an. Die Länge des Ausgangsintervalls [0,1] beträgt 1. Nun berechnen wir die Länge des Komplements der Cantor-Menge C = [0, 1]\C (Anmerkung: Den Begri Länge haben wir hier intuitiv deniert, streng mathematisch gesehen, gewinnt man den Längenbegri aus der euklidischen Metrik auf R) Länge(C) = = 1 = 1 ( ) 1 1 = 1 = 1 n=0 n n = 1 Satz. Daraus folgt, dass die Länge der Cantor-Menge 0 ist, da n=0 ( ) n Länge(C) = 1 Länge(C) = 1 1 = 0 (.) 4

5 Die Cantor-Menge besitzt aber unendlich viele Punkte, denn jeder Intervall-Endpunkt (z.b. 1,, 1, 0, 1) bleibt in der Menge, da nur oene, innere Intervalle weggenommen 9 werden. Jetzt stellt sich die Frage, ob nur Intervall-Endpunkte in der Cantor-Menge enthalten 1 sind. Dies ist aber nicht der Fall, da z.b. ebenfalls in C liegt und kein Intervall- 4 Endpunkt ist ( 1 x ist nicht von der Form mit x, nɛ N geschickt gewählt). Der Beweis, 4 n dass 1 in C liegt, folgt im nächsten Kapitel. 4.4 Mächtigkeit der Cantor-Menge Um weitere Erkenntnisse über die Cantor-Menge gewinnen zu können, betrachten wir nun explizit die Punkte, die in der Cantor-Menge liegen. Für das weitere Vorgehen ist es geschickt, die Punkte in der Ternärdarstellung zu betrachten. Denition. (Ternärsystem) Im Ternärsystem werden alle Zahlen folgendermaÿen dargestellt:...c c 1 c 0, c 1 c... =... + c + c 1 + c c c +... (.) 1 Bemerkung.4 Das Ternärsystem ist wie das Dezimal- und Binärsystem ein Stellenwertsystem. Die Basis ist hier. Beispiele: ( ) 1 = (0, 1) 10, ( ) = (0, ) 10, ( ) 1 = (0, 01) 9 10, ( ) 7 = (0, 1) 9 10 Diese Darstellung wenden wir nun auf die Punkte der Cantor-Menge an. Wir beginnen nun nicht mit C selbst, sondern mit C 1 = [0, 1] [, 1] in [0, 1] sind nur Zahlen der Form (0, 0...) auÿer ( ) 1 = (0, 1) 10 in [, 1] sind nur Zahlen der Form (0,...) auÿer (1) 10 = (1) Für C = [0, 1] [, 1] [, 7] [ 8, 1] gilt dann: in [0, 1 9 ] sind nur Zahlen der Form (0, 00...) auÿer ( 1 9 in [ 9, 1 ] sind nur Zahlen der Form (0, 0...) auÿer ( 1 in [, 7 9 ] sind nur Zahlen der Form (0, 0...) auÿer ( 7 9 ) = (0, 01) 10 ) = (0, 1) 10 ) = (0, 1) 10 in [ 8 9, 1] sind nur Zahlen der Form (0,...) auÿer (1) 10 = (1) Es wäre wünschenswert, folgende Eigenschaft zeigen zu können: Theorem.5 Alle c ɛ C lassen sich im Ternärsystem folgendermaÿen darstellen: c = 0, c 1 c c... mit c i ɛ {0, } (.4) 5

6 Beweis: Im iterativen Erzeugungsverfahren der Cantor-Menge wird im i-ten Schritt die Zahlen mit einer 1 in der i-ten Nachkommastelle im Ternärsystem entfernt. Da dieses Verfahren bis ins Unendliche fortgesetzt wird, folgt das Theorem.. bis auf die oben für C 1 und C erwähnten rechten Intervall-Endpunkte. Hier hilft aber die Mehrdeutigkeit der Ternärdarstellung (analog zur Mehrdeutigkeit der Dezimaldarstellung). Es gilt (0, 1) = (0, 0). Daraus folgt, dass sich jeder rechte Intervall-Endpunkt in der gewünschten Darstellung schreiben lässt. Bemerkung.6 Nun können wir auch zeigen, dass 1 4 = (0, 00) in der Cantor-Menge liegt. Wir können mit diesen zusätzlichen Informationen überprüfen, ob die Cantor-Menge abzählbar oder überabzählbar ist. Dass sie unendlich ist, haben wir bereits gezeigt. Um dies zu prüfen, brauchen wir folgende Denition: Denition.7 (Abzählbarkeit) Eine Menge M ist abzählbar (unendlich), wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen N. D.h. es gibt eine Bijektion zwischen M und der Menge der natürlichen Zahlen. Unendliche Mengen, die nicht abzählbar sind, nennen wir überabzählbar. Bemerkung.8 Aus dem Konstruktions-Verfahren ergibt sich unmittelbar, dass es abzählbar viele Intervall-Randpunkte gibt. Nun stellt sich die Frage wie es mit den anderen Punkten in C aussieht. Wir können folgenden Satz zeigen: Satz.9 Die Cantor-Menge ist überabzählbar. Beweis: (Cantors zweites Diagonalargument) Wir nehmen an, dass die Cantor-Menge abzählbar ist, und führen diese Aussage zum Widerspruch. Ist C abzählbar, dann muss es laut Denition eine Bijektion von C in N geben. Wir denieren uns eine beliebige Folge (a n ) nɛn mit a n ɛ C und eine bijektive Abbildung f: C N, a n n Jetzt können wir für jede beliebige Folge ein weiteres Element der Cantor-Menge nden, das nicht in der Folge enthalten ist. Sei nun c ni, n, i ɛ N die i-te Nachkommastelle des n-ten Folgenglieds (es gilt c ni ɛ {0, }). Sei d i die i-te Nachkommastelle der zu ndenden Zahl. Wenn wir nun fordern, dass d i a ii ist, erhalten wir die geforderte Zahl, da diese an mindestens einer Stelle verschiedenen ist von allen Elementen der Folge. Da dies für jede beliebige und somit unendlich viele Folgen gilt, folgt daraus die Überabzählbarkeit von C. Beispiel einer solchen Folge: Dann ist die gesuchte Zahl d = 0, a 1 = 0, a = 0, a = 0, a 4 = 0,

7 Corollar.10 Da es nur abzählbar viele Intervall-Endpunkte gibt, muss es überabzählbar viele Punkte in C geben, die nicht Intervall-Endpunkte sind. Eine noch interessantere Betrachtung der Mächtigkeit von C ist diese: Satz.11 C ist gleichmächtig zu [0,1] Beweis: Um die Gleichmächtigkeit zu zeigen, zeigen wir zwei Inklusionen: C [0, 1] und C [0, 1] (Bezeichnung: X Mächtigkeit der Menge X) (i) C [0, 1] folgt direkt daraus, dass C [0, 1] (ii) C [0, 1] : Wir denieren uns folgende Abbildungen: C {r ɛ [0, 1], r = 0, r 1 r... mit r i = 0 oder } {s ɛ [0, 1], s = 0, s 1 s... mit s i = 0 oder 1} {t ɛ [0, 1]} Dabei gehen wir von der Ternärdarstellung in eine Binärdarstellung und anschlieÿend in die Dezimaldarstellung. Die ersten beiden Schritte sind bijektiv, der letzte allerdings nicht, aufgrund der Uneindeutigkeit der Binärdarstellung (zur Erinnerung: (0, 01) = (0, 1) = (0, 5) 10 ). Man kann allerdings eine Bijektion auf eine Menge, die [0,1] als echte Teilmenge hat, erreichen (anschaulich: wir fügen [0,1] so viele Punkte, wie es Uneindeutigkeiten gibt, hinzu). Und daraus folgt C [0, 1] und damit die Behauptung, denn C [0, 1] und C [0, 1] C = [0, 1] (.5) Bemerkung.1 Interessant ist, dass die uneindeutigen Punkte den Endpunkten der herausgenommenen oenen Intervalle entsprechen, wenn man die Abbildungen rückwärts durchläuft. Beispiel (0, 01) = (0, 1) (0, 01) (0, 0) = (0, 1) 1.5 Topologische Eigenschaften (0, 1) (0, ) In diesem Kapitel zeigen wir einige grundlegende topologische Eigenschaften der Cantor- Menge Satz.1 Die Cantor-Menge ist eine abgeschlossene Menge. Beweis: Nach Denition ist eine abgeschlossene Menge M eine Teilmenge eines topologischen Raums X, dessen Komplement X\M eine oene Menge ist. In diesem Fall ist R der topologische Raum. Die Abgeschlossenheit folgt aus der Tatsache, dass C = C 1 C... Schnittmenge von abzählbar vielen abgeschlossenen Mengen C n, n ɛ N ist. 7

8 Satz.14 Die Cantor-Menge ist kompakt. Beweis: Wir benutzen den folgenden Satz: Satz.15 (Satz von Heine-Borel, eindimensionale Version) Für eine Teilmenge M R sind folgende Aussagen äquivalent: (i) M ist beschränkt und abgeschlossen (ii) M ist kompakt Es genügt also zu zeigen, dass C beschränkt ist. Dies können wir direkt schlieÿen mit der oberen Schranke o = 1 und der unteren Schranke u = 0. Um den nächsten Satz zu beweisen brauchen wir erst folgende Denitionen: Denition.16 (isolierter Punkt) Ein Element a einer Menge X ist ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der (auÿer a) keine weiteren Elemente von X liegen. Ein Punkt a ɛ X ist also genau dann isoliert, wenn a kein Häufungspunkt von X ist. Denition.17 (Perfekte Menge) Eine Menge, die mit ihrer derivierten Menge übereinstimmt, heiÿt perfekte Menge. Also eine Menge, die abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte hat. Perfekte Mengen sind insichdicht. Satz.18 C hat keine isolierten Punkte. Beweis: Um diesen Beweis zu führen, stellen wir erst ein Hilfstheorem auf, beweisen dieses und zeigen danach den Beweis des Satzes. Theorem.19 Sei X eine abgeschlossene, beschränkte, nicht-leere Teilmenge von R. Sei u die gröÿte untere Schranke und o die kleinste obere Schranke. Ein Punkt γ von X heiÿt isolierter Punkt von X genau dann, wenn (i) γ ist ein gemeinsamer Endpunkt zweier Komplementärintervalle von X oder (ii) γ = u und (u, u + δ) ist ein Komplementärintervall von X oder (iii) γ = o und (o δ, o) ist ein Komplementärintervall von X Beweis: " " ist klar. " ": Sei γ ein isolierter Punkt, und γ u, o. Dann existiert ein ε > 0, so dass (γ ε, γ + ε) keine Punkte in X hat, auÿer γ (γ ε, γ) und (γ, γ + ε) ɛ O = [u, o]\x Somit haben wir (i) gezeigt. Die Argumentation für (ii) und (iii) läuft analog. Dieses Theorem wenden wir nun auf die Cantor-Menge an, und können daraus direkt folgern, dass C keine isolierten Punkte hat, da O = [0, 1] \ C keine Intervalle der Formen (i), (ii), (iii) hat. Bemerkung.0 C ist somit eine perfekte Menge (die Abgeschlossenheit haben wir schon nachgewiesen) und insichdicht. 8

9 Bemerkung.1 Weiter ist aber C nicht dicht in [0,1], da es abgeschlossene Teilmengen von [0,1] auÿer [0,1] gibt, die C enthalten. Zum Ende dieses Abschnitts zeigen wir noch das Folgende: Satz. C ist total unzusammenhängend, da C keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt hat. Beweis: Wir müssen zeigen, dass für jedes a < b mit a, b ɛ C ein r ɛ O = [0, 1] \ C existiert, so dass a < r < b. Dies kann man aber direkt aus der Ternär-Darstellung der Cantor-Menge folgern. Da a echt kleiner als b ist, müssen sie sich mindestens an n-ter Stelle (auch wenn n gegen Unendlich geht) unterscheiden. Setzten wir diese und die nächste Stelle 1, dann haben wir das gesuchte r..6 Weitere Eigenschaften Bemerkung. C C = [ 1, 1] bei komponentenweise denierter Subtraktion, d.h. x ɛ [ 1, 1] c 1, c ɛ C : c 1 c = x Beweis: Wir können jedes c ɛ C folgendermaÿen eindeutig darstellen: c 1 c = c n n = c 1 + c 9 + c 7 + c mit n ɛ N, c n ɛ {0, } b n c n = b n c n = n n n Daraus folgt nun C - C = [-1,1], da man mit bn cn n mit bn cn ɛ { 1, 0, 1} bn cn n und der Bedingung bn cn ɛ { 1, 0, 1} alle reellen Zahlen in Ternärdarstellung erhalten kann und das Maximum der Folge ( ) b n c n 1 max = n = 1 1 n = 1 n = 1 (.6) n=0 und das Minimum analog ( min b n c n n ) = 1 (.7) ist. Dies ist leicht nachzurechnen. Corollar.4 Geometrisch interpretiert heiÿt das, dass jedes r ɛ [0, 1] sich als Abstand zweier Punkte der Cantor-Menge darstellen lässt. Wenn wir eine Strecke der Länge r haben, können wir sie so legen, dass die Endpunkte in der Cantor-Menge liegen. Corollar.5 Analog können wir im zweidimensionalen [0, 1] [0, 1] jedes beliebige Rechteck mit Kantenlängen 0 < a, b < 1 so legen, dass die Koordinaten der Eckpunkte in der Cantor-Menge liegen. 9

10 .7 Zusammenfassung In diesem Abschnitt möchte ich die interessanten Aussagen, die wir nun treen konnten, zusammenfassen und gegenüberstellen: Die Länge der Cantor-Menge ist 0, aber sie enthält überabzählbar viele Punkte. Obwohl wir ausgehend von [0,1] überabzählbar viele Punkte wegnehmen, ist C gleichmächtig zu [0,1] Die Mächtigkeit der Punkte, die kein Intervall-Endpunkt sind, ist gröÿer als die Mächtigkeit der Intervall-Endpunkte C ist insichdicht, aber nirgendsdicht in [0,1] Wir haben gezeigt, dass C keine isolierten Punkte hat, aber auch, dass C total unzusammenhängend ist (auÿerdem: es gibt überabzählbar viele Punkte, die keine Intervallendpunkte sind) Resümee Wir haben nun gesehen, dass die Cantor-Menge viele interessante und auch überraschende Eigenschaften besitzt. Einiges davon klingt sogar logisch widersprüchlich (z.b. die Tatsache, dass wenn man unendlich viele Punkte wegnimmt, immer noch unendlich viele übrig bleiben). Das Schöne an der Sache ist auch, dass eigentlich alle Beweise sehr elegant von der Hand gehen, und man mit relativ einfachen Mitteln schon vieles zeigen kann, ohne sich im Detail zu verlieren. Ebenso spannend fand ich die Beschäftigung mit dem historischen Hintergrund der Mengenlehre, wie diese aufgenommen oder abgelehnt wurde. Es war auch eine neue Erfahrung, die Original-Texte von Cantor zu lesen, die sich vom Stil sehr von den Lehrbüchern unterscheiden, mit denen man sonst im Studium zu tun hat. Trotz der Startschwierigkeiten kommt heute eigentlich keine Teildisziplin der Mathematik mehr ohne Mengen aus. Der Umstand, dass es Cantor erstmals gelungen ist, das Unendlich zu durchdringen und darin Abstufungen zu nden, war für mich ebenfalls sehr faszinierend. 10

11 Literatur [1] Cantor, Georg, Zermelo, Ernst [Hrsg.]: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Reprint, Springer Verlag, New York 1980 [] Dauben, Joseph Warren: Georg Cantor, Princeton University Press, Princeton 1979 [] Heuser, Harro: Unendlichkeiten, 1. Auage, B.G. Teubner Verlag, Wiesbaden 008 [4] Meschkowski, Herbert: Probleme des Unendlichen,. Auage, Vieweg Verlag, Braunschweig 1967 [5] Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Hindustan Book Agency, Delhi 007 [6] Schaefer, Helmut H.: Georg Cantor und das Unendliche in der Mathematik, Sitzungsbericht der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mathematischnaturwissenschaftliche Klasse, Jahrgang 198,. Abhandlung, Springer Verlag, Berlin 198 [7] Steen, Lynn Arthur: Counterexamples in Topology, Second Edition, Springer Verlag, New York 1978 [8] Taschner, Rudolf J.: Das Unendliche,. Auage, Springer Verlag, Berlin 005 [9] Wise, Gary L.: Counterexamples in probability and real analysis, Oxford University Press, New York, 19 11