Satz von Rolle und Mittelwertsatz

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1 Satz von Rolle und Mittelwertsatz Maren Groneberg Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Semester 009, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: An den Anfang dieser Arbeit möchte ich einen kurzen Abschnitt über Michel Rolle und seine mathematischen Leistungen stellen, da es mich sehr beeindruckt hat, wie dieser sich trotz geringer Bildung in seiner Jugend die Mathematik selbst beigebracht hat und neue mathematische Theorien aufstellen konnte. Danach soll neben dem gewöhnlichen Beweis des Satzes von Rolle, der die Beschränktheit der Funktion f verwendet und dass f in einem Punkt x = ξ sein Extremum erreicht, ein neuer Beweis gezeigt werden, der mit Hilfe des Zwischenwertsatzes geführt wird. Zum Schluss dieser Arbeit soll der Mittelwertsatz der Differentialrechnung näher betrachtet werden und dabei möchte ich besonders auf quadratische Funktionen (Parabeln) eingehen.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Michel Rolle Leben Werke Satz von Rolle 4 3 Der Mittelwertsatz der Dierentialrechnung 8 4 Der Mittelwertsatz bei quadratischen Polynomen Anwendungsaufgabe Resümee 13

3 1 Michel Rolle 1.1 Leben Michel Rolle wurde am 1. April 165 in Ambert, Basse-Auvergne, in Frankreich geboren. Er war der Sohn eines Ladenbesitzers und erhielt daher in jungen Jahren nur eine geringe Bildung. Allerdings begann er schon sehr früh, sich viele Dinge selbst beizubringen. Mit 4 Jahren ging er, auf der Suche nach einem besseren Leben, nach Paris. Er heiratete dort und bekam Kinder. Neben seiner Arbeit als Rechenexperte für einen Rechtsanwalt brachte er sich die höhere Mathematik selbst bei. Besonders Algebra interessierte ihn sehr. Die Mathematik verhalf ihm dann zum Durchbruch: 168 löste er ein mathematisches Problem, das von Jacques Ozanam öentlich gestellt wurde. Für diese sehr komplexe Aufgabe fand Rolle eine komplexe aber elegante Lösung. Das Problem war folgendes: "Finde vier Zahlen mit folgenden Eigenschaften: Die Dierenz von je zwei dieser Zahlen ist ein perfektes Quadrat (dh. eine Zahl, deren Wurzel man im Raum der natürlichen Zahlen ziehen kann). Zusätzlich muss die Summe der drei ersten Zahlen auch ein perfektes Quadrat sein." Ozanam hatte behaupet, dass die kleinste dieser vier Zahlen mindestens 50 Ziern hat. Rolle aber fand vier Zahlen, die das Problem lösten, mit nur sieben Ziern. Sein Ergebnis veröentlichte er in dem Journal des scavans. Mit dieser Lösung wurde er bekannt. Zusätzlich wurde er mit einer Pension belohnt, die ihm nanzielle Sicherheit bot, sodass er sich weiterhin mit der Mathematik beschäftigen konnte. Auÿerdem wurde er der Lehrer eines Sohnes eines mächtigen Ministers in Frankreich. Für kurze Zeit hatte er sogar einen Verwaltungsposten im Kriegsministerium inne, der ihm aber nicht geel, weshalb er ihn aufgab. Im Jahre 1685 wurde er als Mitglied in die Académie Royale des Sciences, der Pariser Akademie der Wissenschaft, aufgenommen. Diese Akademie war ein Zusammenschluss der hervorragensten französischen und ausländischen Vertreter der Wissenschaft. Das Ziel dieser Akademie war die Forschung. So führte sie im 17. Jahrhundert beispielsweise eine Erdmessung durch. Michel Rolle erlitt 1708 seinen ersten Schlaganfall, der ihn daran hinderte, weiterhin mathematische Beiträge zu liefern. Am 8. November 1719 starb er dann nach einem zweiten Schlaganfall in Paris. 1. Werke Im Jahre 1690 veröentlichte Michel Rolle seine Abhandlung über algebraische Gleichungen Traité d'algébre. Darin übernahm er die Bezeichnung n x für die n-te Wurzel, woraufhin diese Schreibweise zur Standardschreibweise wurde. Auÿerdem suchte er mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den gröÿten gemeinsamen Teiler zweier Polynome, um damit eine lineare diophantische Gleichung zu lösen. Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form a 1 x 1 + a x a n x n + c = 0 mit ganzzahligen Koezienten a i und es sind auch nur ganzzahlige Lösungen interessant. Auch seine "Cascades" Methode wurde sehr bekannt, obwohl er nie beweisen 3

4 konnte, dass seine Methode immer angewendet werden kann. Den bekannten Satz von Rolle, den er als Unterstützung für die Beweise seiner Methoden benötigte, veröentlichte er in Demonstration d'une Methode pour resoudre les Egalitez de tous les degrez in Jahre Jahre später erhielt dieser Satz seinen Namen nach Michel Rolle. Satz von Rolle Theorem.1 Satz von Rolle Sei f : [a, b] R und sei diese gegebene Funktion f stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] und auf dem oenen Intervall (a, b) dierenzierbar. Und es gelte f(a) = f(b). Dann gibt es mindestens ein ξ (a, b) mit f (ξ) = 0 (d.h. in ξ liegt ein Extremum von f vor) geometrische Deutung Der Graph von f besitzt in ξ eine waagerechte Tangente, die parallel zu der Sekante durch die Punkte (a f(a)) und (b f(b)) ist. 4

5 Um den Satz von Rolle zu beweisen, muss man auf den Zwischenwertsatz zurückgreifen: Theorem. Zwischenwertsatz Ist eine Funktion f : [a, b] R stetig, so nimmt sie jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Haben f(a) und f(b) auÿerdem verschiedene Vorzeichen, so existiert mindestens eine Nullstelle von f in dem Intervall (a, b). Nun zum Beweis Beweis.3 geläuger Beweis des Satzes von Rolle Beweisidee Bei diesem Beweis nutzt man, dass f beschränkt ist und in einem Punkt x = ξ ein Extremum erreicht, in dem die erste Ableitung gleich 0 ist. Fall 1: x [a, b] gilt f(x) = f(a) = f(b) = c, mit c konstant. Da f dann eine konstante Funktion ist, gilt x : f (x) = 0. Fall : x [a, b] mit f(x) f(a) f ist nicht konstant. Da aber f(a) = f(b), nach Voraussetzung, muss es mindestens ein x max beziehungsweise ein x min aus dem Intervall (a, b) geben. Deshalb gibt es mindestens ein Extremum für das gilt: f(x max/min ) = 0. Beweis.4 neuer Beweis Dieser Beweis wird nur mit Hilfe des Zwischenwertsatzes geführt. q.e.d. Beweisidee Mit Hilfe einer Zwischenbehauptung erhält man eine Folge von Intervallen, deren Grenzen für n gegen ξ laufen. Mit der Denition von Dierenzierbarkeit kann dann gezeigt werden, dass die erste Ableitung in ξ gleich 0 ist. Danach muss noch kontrolliert werden, dass ξ nicht die Werte der Intervallgrenzen [a 1, b 1 ] = [a, b] annimmt, um sicher zu stellen, dass die Funktion f nicht konstant ist. Sei [a, b] := [a 0, b 0 ] Zwischenbehauptung Es gibt ein Intervall [a 1, b 1 ] [a 0, b 0 ] mit b 1 a 1 = b 0 a 0 ( ) sodass f(a 1 ) = f(b 1 ). 5

6 Beweis der Zwischenbehauptung Deniere eine Hilfsfunktion g(x) = f(x + ) f(x). Dann ist: ( ) ( a + b a + b g = f + b a ) ( ) a + b f ( ) a + b = f(b) f ( = f a + b a ) + f(a) = g(a) g( a+b ) und g(a) haben verschiedene Vorzeichen. Da g als Komposition stetiger und dierenzierbarer Funktionen auf [a, b] stetig und auf (a, b) dierenzierbar ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz., dass es ein ξ (a, a+b) gibt mit g(ξ) = 0. Wähle nun ξ (a, b) so, dass f(ξ + ) = f(ξ). Dann gilt: g(ξ) = 0 [a 1, b 1 ] = [ξ, ξ + Auÿerdem gilt: (i) b 1 a 1 = ξ + ξ = ( ) (ii) da ξ < a+b (denn ξ (a, a+b )) ξ + < a+b + = b Mit (i) und (ii) folgt dann: [ξ, ξ + ] = [a 1, b 1 ] [a, b] Nun zum eigentlichen Beweis von Theorem.1: ] q.e.d.(der Zwischenbehauptung) Wende diese Zwischenbehauptung wiederholt an, um eine Folge [a n, b n ] von Intervallen zu bekommen, so dass gilt: (i) b n a n = n = 1,, 3,... n (ii) [a n, b n ] [a n 1, b n 1 ] (iii) f(a n ) = f(b n ) Dann wächst (a n ) n N und (b n ) b N nimmt ab. Beide Folgen sind aber nach Denition beschränkt. Seien diese Grenzen nun ξ und η mit ξ = η (denn: lim n = 0) n Auÿerdem sei a n ξ b n lim n ( f(bn) f(an) b n a n ) = f (ξ) (Denition Dierenzierbarkeit) 6

7 Wegen (iii) ist f(bn) f(an) b n a n = 0 f(ξ) = 0 zz. bleibt noch: ξ a oder b Dazu: Fall 1: Sei a = ξ dann ist [a 1, b 1 ] = [ξ, ξ + b a ] = [a, b + a sodass f(a) = f( a+b ) = f(3a+b 4 ). ] und [a, b ] = [ξ, ξ + b 1 a 1 Dann kann man [a, b ] so wählen, dass dieses Intervall gleich [ 3a+b gleich [a, 3a+b ]. 4 die Gefahr, dass ξ = a, besteht damit nicht., a+b 4 ] = [a, b + 3a ] 4 ] ist und nicht Fall : Sei b = ξ Dieser Beweis geht analog und er zeigt, dass die Gefahr, dass ξ = b, nicht besteht. q.e.d. Auÿerdem hat dieser Beweis gezeigt, dass nicht notwendigerweise ein Extremum in x = ξ vorliegen muss. In x = ξ kann nach diesem Beweis auch ein Sattelpunkt vorliegen. 7

8 Gegenbeispiele a) Sei eine Funktion f gegeben durch f(x) = 1 x Diese Funktion ist zwar stetig und f(1) = f( 1), aber f ist in x = 0 nicht dierenzierbar. Satz von Rolle ist nicht anwendbar. b) Sei eine Funktion g gegeben durch { x, für 0 x < 1 g(x) = 0, für x = 1 aber g ist in x = 1 unstetig Satz von Rolle ist nicht anwendbar. 3 Der Mittelwertsatz der Dierentialrechnung Theorem 3.1 Mittelwertsatz Sei f eine Funktion mit f : [a, a + h] R und sei diese in [a, a + h] stetig und in (a, a + h) dierenzierbar Dann existiert ein θ R : 0 θ 1 so, dass gilt: f(a + h) f(a) h = f (a + θh). (3.1) Bemerkung 3. bekannte Form des Mittelwertsatzes der Dierentialrechnung Setzt man in Theorem 3.1 h = b a und a + h = b so erhält man die aus ANA I bekannte Form des Mittelwertsatzes: Sei a < b, die Funktion in [a, b] stetig und in (a, b) dierenzierbar, dann folgt: ξ (a, b), sodass gilt: f(b) f(a) = f (ξ). geometrische Deutung Geometrisch bedeutet der Mittelwertsatz, dass die Steigung der Sekante durch die Punkte (a f(a)) und (b f(b)) gleich der Steigung der Tangente an den Graphen von f an einer gewissen Zwischenstelle (ξ f(ξ)) ist. 8

9 Lemma 3.3 (i) Komposition stetiger Funktionen Seien f, g : D R Funktionen, die in a D stetig sind und sei λ R. Dann sind auch die Funktionen f + g : D R λ f : D R f g : D R im Punkt a stetig. (ii) Komposition dierenzierbarer Funktionen Seien f, g : D R in x D dierenzierbare Funktionen und sei λ R. Dann sind auch die Funktionen f + g : D R λ f : D R f g : D R in x dierenzierbar. Beweis 3.4 Beweis des Mittelwertsatzes der Dierentialrechnung Beweisidee In diesem Beweis werde ich eine geeignete Hilfsfunktion F denieren, die die Bedingungen des Satzes von Rolle erfüllt = F (ξ) = 0. Durch Umformen erhält man dann am Ende die Aussage des Mittelwertsatzes. Sei F : [a, b] R mit F (x) = f(x) f(b) f(a) (x a) F ist stetig in [a, b] (als Komposition stetiger Funktionen mit 3.3(i)) F ist dierenzierbar in (a, b) (als Komposition stetiger Funktionen mit 3.3(ii) Auÿerdem gilt: F (a) = f(a) f(b) f(a) (a a) = f(a) und F (b) = f(b) f(b) f(a) (b a) = f(a) f(a) = F (a) = F (b) F erfüllt die Bedingungen des Satzes von Rolle. 9

10 Wendet man jetzt den Satz von Rolle an, so ξ (a, b) mit F (ξ) = 0. Dabei ist F (ξ) = f (ξ) f(b) f(a) = 0 f (ξ) = f(b) f(a) q.e.d. 4 Der Mittelwertsatz bei quadratischen Polynomen Nun soll das Theorem 3.1 speziell für quadratische Polynome der Form f(x) = A + Bx + Cx betrachtet werden. Theorem 4.1 Ist f ein quadratisches Polynom der obengenannten Form, dann ist stets θ = 1 in jedem Intervall [a, a + h] mit θ aus Theorem 3.1. Beweis 4. Für die Ableitung von f(x) gilt: f (x) = B + Cx Setze für a und h die für das quadratische Polynom geeigneten Werte in (3.1) ein: f(a + h) f(a) h = (A + B(a + h) + C(a + h) ) (A + Ba + Ca ) h h(b + Ca + Ch) = = B + C(a + h h ) = f (a + h ) θ = 1 q.e.d. geometrische Deutung Betrachte die Parabel P : y = A + Bx + Cx. Seien P 1 (x 1, y 1 ) und P (x, y ) zwei Punkte auf P. Dann ist die Abszisse x des Punktes P (x, y ) (in diesem Punkt ist die Tangente parallel zu der Sekante durch P 1 und P ) die arithmetische Mitte der Abszissen von dem Endpunkten der Sekante durch P 1 und P (d.h. x = x 1+x ). Daraus ergibt sich folgendes Corollar: 10

11 Corollar 4.3 Die Sekante durch P 1 und P ist parallel zu der Tangente in P, wobei gilt: Falls P 1 (x 1, y 1 ) und P (x, y ) ist, ist P ( x 1+x, y ) Beweis 4.4 zz. ist, dass die Sekante durch P 1 und P die gleiche Steigung hat wie die Funktion im Punkt P. Für die Sekantensteigung m sek gilt: m sek = y y 1 x x 1 = f(x ) f(x 1 ) x x 1 = A + Bx + Cx A Bx 1 Cx 1 x x 1 = B(x x 1 ) + C(x x 1 )(x + x 1 ) x x 1 = (x x 1 )(B + C(x + x 1 )) x x 1 = B + C(x + x 1 ) Das ist aber gerade die Tangentensteigung in P, denn: f (x ) = B + C(x + x 1 ) die Sekante durch die Punkte P 1 und P ist parallel zur Tangente in P. q.e.d. Durch diesen Beweis hat man ein Mittel bekommen, um in einem beliebigen Punkt P f eine Tangente zu konstruieren: Konstruktion einer Tangente in jedem beliebigen Punkt P (x, y) von f Seien zwei Punkte P 1 (x 1, y 1 ) und P (x, y ) gegeben. Da die Steigung der Sekante durch P 1 und P, wie gezeigt, gleich der Steigung der Tangente in P ist, muss man die Steigung der Sekante berechnen und diese mit der Ableitung in x gleichsetzen. Mithilfe dieser Steigung und dem gegebenen Punkt P kann man dann die Funktionsvorschrift für die Tangente in P berechnen. 11

12 4.1 Anwendungsaufgabe Frage: Gibt es für die Funktion f(x) = x im Intervall (0, 4) eine Tangente an den Graphen, die die gleiche Steigung wie die Sekante durch die Intervallendpunkte hat? Wenn ja, durch welchen Punkt S von f verläuft dann diese Tangente? Lösung 1.) Prüfe zuerst, ob f dierenzierbar ist f(x) = x f (x) = 1 x f(x) ist nur in x 0 = 0 nicht dierenzierbar, aber x 0 / (0, 4) Aus f dierenzierbar folgt, dass f auch stetig ist in (0, 4) der Mittelwertsatz der Dierenzialrechnung ist anwendbar x (0, 4) : f (x) = f(b) f(a)..) Berechnung des gesuchten Punktes S = (x f(x)) nach dem Mittelwertsatz gilt: Die Ableitung von f (x) = 1 x muss mit 1 a = 0 f(a) = f(0) = 0 b = 4 f(b) = f(4) = f (x) = f(b) f(a) = 1 gleichgesetzt werden, also 1 = 1 x = 1. x Berechne noch den Funktionswert von f(1) = 1 der gesuchte Punkt ist S = (1 1) 1

13 5 Resümee In dieser Arbeit habe ich gezeigt, dass der Satz von Rolle, mit der Voraussetzung f(a) = f(b), ein Spezialfall des Mittelwertsatzes der Dierentialrechnung ist. Der Beweis des Satzes von Rolle, der nur mit Hilfe des Zwischenwertsatzes geführt wird, war für mich neu und sehr interessant. Überrascht hat mich dabei, dass das ξ nicht unbedingt ein Extremum sein muss. Dass in ξ beispielsweise auch ein Sattelpunkt vorliegen kann, ist nämlich anhand des geläugen Beweises nicht ersichtlich. Eine weitere Verbindung des Mittelwertsatzes der Dierentialrechnung mit dem Satz von Rolle ist, dass der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle bewiesen werden kann. Sehr gefallen hat mir der Teil über den Mittelwertsatz bei quadratischen Funktionen, da hier die Behauptung, dass der Scheitelpunkt bzw. Hoch- bzw. Tiefpunkt einer Parabel immer in der Mitte liegt, näher untersucht und bewiesen wurde. Diese Behauptung habe ich nämlich in der Schule ohne richtigen Beweis gelernt und angewendet. Der Mittelwertsatz der Dierentialrechnung wird auÿerdem sehr häug in Beweisen eingesetzt. Mit ihm kann beispielsweise bewiesen werden, dass eine zweimal dierenzierbare Funktion genau dann konvex ist, wenn Oder, dass falls f (x) 0 für alle x aus dem Denitionsbereich. f (x) 0 für alle x gilt, f monoton steigend ist. Der erweiterte Mittelwertsatz der Dierentialrechnung wird beispielsweise auch in der Numerik benötigt, um die Restglieddarstellung von Quadraturformeln zu ermitteln. Zum Schluss möchte ich noch anmerken, dass ich mir gut vorstellen kann, Aufgaben, wie die Anwendungsaufgabe 4.1, auch meinen Schülern später als Tangentenproblem 13

14 zu stellen. Denn diese Aufgaben können leicht und, anhand von Schaubildern an der Tafel, sehr anschaulich erklärt und ausgerechnet werden. Literatur [1] Rajwade, A.R.: Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Hindustan Book Agency, Delhi 007. [] Forster, Otto: Analysis 1: Dierential-und Integralrechnung einer Veränderlichen, 8.Auage, vieweg Verlag, Wiesbaden 006. [3] andrews.ac.uk/biographies/rolle.html. 14