1.2 Ziele & Funktionen des Sachrechnens Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

Transkript

1 des Sachrechnens Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 Umwelt SR Mathematik Individuum 2

3 Das Dilemma des Sachrechnens: Aus mathematischer Sicht um arithmetische Äquivalenz zu erkennen und Strategien zu transferieren sollten die Sachinformationen reduziert werden; aus ganzheitlicher Sicht im Sinne der Alltagsbewältigung und Umwelterschließung ist eine umfassende Darstellung der Situation erforderlich, in der die Mathematik letztlich eine untergeordnete Rolle spielt (Franke/Ruwisch 2010) Konsequenz: Die drei Zielrichtungen des Sachrechnens SR als Anwenden von Mathematik SR als Problemlösen SR als Umwelterschließung 3

4 Das Spannungsdreieck des Sachrechnens Umwelt (Sachorientierung) SR Mathematik (Fachorientierung) Individuum (Kindorientierung) 4

5 Das Spannungsdreieck des Sachrechnens Umwelt SR Mathematik Individuum Arithmetikübung Ziel: Anwenden von Mathematik 5

6 Das Spannungsdreieck des Sachrechnens Umwelt SR Mathematik Individuum Finden und Anwenden von Strategien Ziel: Problemlösefähigkeiten auf- und ausbauen 6

7 Das Spannungsdreieck des Sachrechnens Umwelt Schüler setzen sich mit einer Sache auseinander und nutzen dabei Mathematik als Werkzeug SR Ziel: Umwelterschließung Mathematik Individuum 7

8 SR als Anwenden von Mathematik - betont die Fachorientierung - traditionelle und häufig vorherrschende Zielrichtung - einseitiger Schwerpunkt Arithmetik: aktuelles Thema aus der Arithmetik bestimmt zu behandelnde Sachaufgaben Schokoladentafel, Getränkekisten Multiplikation 8

9 SR als Anwenden von Mathematik - betont die Fachorientierung - traditionelle und häufig vorherrschende Zielrichtung - einseitiger Schwerpunkt Arithmetik: aktuelles Thema aus der Arithmetik bestimmt zu behandelnde Sachaufgaben Schokoladentafel, Getränkekisten Multiplikation Regale mit gleichmäßiger Anordnung 9

10 SR als Anwenden von Mathematik - betont die Fachorientierung - traditionelle und häufig vorherrschende Zielrichtung - einseitiger Schwerpunkt Arithmetik: aktuelles Thema aus der Arithmetik bestimmt zu behandelnde Sachaufgaben Schokoladentafel, Getränkekisten Multiplikation Regale mit gleichmäßiger Anordnung Wiederholungen identischer Aktionen Jaqueline (Kevin) kauft jede(n) Woche (Tag, Stunde, ) zwei (3,4, ) Tafeln Schokolade (Flaschen Bier, Paar Schuhe, ). Wie viele Tafeln Schokolade (Flaschen Bier, Paar Schuhe, ) hat sie (er) nach sechs (7,8,9 ) Wochen (Tagen, Stunden, ) gekauft? 10

11 SR als Anwenden von Mathematik - betont die Fachorientierung - traditionelle und häufig vorherrschende Zielrichtung - einseitiger Schwerpunkt Arithmetik: aktuelles Thema aus der Arithmetik bestimmt zu behandelnde Sachaufgaben Schokoladentafel, Getränkekisten Multiplikation Regale mit gleichmäßiger Anordnung Wiederholungen identischer Aktionen Rechtfertigung: - Notwendigkeit der Operation im Alltag wird verdeutlicht - notwendige Übung der Operation Aber: - Aufgaben haben zwar Realitätsbezug, bleiben aber künstlich - der Sachbezug ist sehr reduziert. Die Sache ist in der Regel austauschbar 11

12 SR als Anwenden von Mathematik typisch für Aufgaben, die bloße Arithmetikübung darstellen, sind die sogenannten Signalwörter zusammen weniger als je 1-zu-1-Zuordnung: Addition Subtraktion Multiplkation - Schüler durchschauen und nutzen Signalwörter - sie werden oft direkt und unreflektiert übersetzt - damit werden sowohl die Sache, als auch strukturelle Zusammenhänge vernachlässigt 12

13 DEMAT 3+, Beltz Test SR als Anwenden von Mathematik Wir wollen nicht zu oberflächlichem Lösen verleiten: false friends widersprechen gewohnter 1-zu-1-Zuordnung üblich Der Affe Rudi hat 128 Bananen gesammelt. Der Affe Sepp hat 12 Bananen weniger gesammelt. Wie viele Bananen hat der Affe Sepp? false friend Sandra hat 139 Murmeln. Sie hat 23 Murmeln weniger als Bärbel. Wie viele Murmeln hat Bärbel? Trotz aller Kritik kann und soll auf Aufgaben dieser Art nicht verzichtet werden! Standardmodellierungen sind wichtiges Ziel des Sachrechnens. Die Kritik bezieht sich v.a. darauf, dass dies die vorherrschende Aufgabenart ist 13

14 SR als Problemlösen Mathematik Individuum Finden und Anwenden von Strategien Ziel: Problemlösefähigkeiten auf- und ausbauen Algorithmus: - eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Bearbeitung einer Aufgabe - jeder Einzelschritt ist wohldefiniert - eine bestimmte Eingabe wird in eine bestimmte Ausgabe umgewandelt Heurismus: - altgriechisch: heurísko ich finde - die Kunst, mit begrenztem Wissen zu guten Lösungen zu kommen (wikipedia) - Lehre von den Verfahren, Probleme zu lösen, methodische Anleitung zur Gewinnung neuer Erkenntnisse (Duden) 14

15 SR als Problemlösen Auf dem Bauernhof sind 14 Tiere, Hühner und Kühe. Zusammen haben die Tiere 36 Beine. Algorithmus: Gleichungssystem h = Anzahl der Hühner k = Anzahl der Kühe h + k = 14 2h + 4k = 36 k = 4, h= 10 15

16 SR als Problemlösen Auf dem Bauernhof sind 14 Tiere, Hühner und Kühe. Zusammen haben die Tiere 36 Beine. erste heuristische Strategie: Ausprobieren 7 Hühner, 7 Kühe 42 Beine (zu viel) 5 Hühner, 9 Kühe 46 Beine (zu viel) 12 Hühner, 2 Kühe 32 Beine (zu wenig) 9 Hühner, 5 Kühe 38 Beine (zu viel) 10 Hühner, 4 Kühe 36 Beine RICHTIG! 16

17 SR als Problemlösen Auf dem Bauernhof sind 14 Tiere, Hühner und Kühe. Zusammen haben die Tiere 36 Beine. zweite heuristische Strategie: systematisches Ausprobieren 1 Huhn, 13 Kühe 54 Beine 2 Hühner, 12 Kühe 52 Beine 3 Hühner, 11 Kühe 50 Beine (ein Muster kann entdeckt werden) 10 Hühner, 4 Kühe 36 Beine 17

18 SR als Problemlösen Aus solchen Erfahrungen können dann echte heuristische Strategien entwickelt werden. Mehr dazu im Kapitel Problemlösen übrigens: Was ist eigentlich ein Problem? - eine Aufgabe, die nicht mit einem bekannten Algorithmus lösbar ist - eine Aufgabe, die neue Strategien erfordert Auch hierzu mehr im Kapitel Problemlösen 18

19 SR als Umwelterschließung Umwelt Schüler setzen sich mit einer Sache auseinander und nutzen dabei Mathematik als Werkzeug Ziel: Umwelterschließung Individuum 19

20 SR als Umwelterschließung SR soll der Umwelterschließung dienen und zur Alltagsbewältigung beitragen - Situationen sollen komplex sein ( Modellierung) - Die Bedeutung des mathematischem Wissens für das Alltagswissen soll deutlich werden besondere Herausforderungen - Realistische Situationen erfordern bestimmte mathematische Fähigkeiten. - Wenn das Thema der Aufgabe interessant ist, beschäftigen sich Schüler mitunter so sehr damit, dass eigentliche Ziele der Aufgabe vergessen werden - Lernen im situativen Kontext: schulisches Lernen ist immer simulierendes Lernen - Beschäftigung mit der Sache (insbesondere bei langfristigen Projekten) kostet wertvolle Rechnenübenzeit 20

21 Funktionen des Sachrechnens (nach Heinrich Winter) 1. Sachrechnen als Lernstoff 2. Sachrechnen als Lernprinzip 3. Sachrechnen als Lernziel (als Beitrag zur Umwelterschließung) 21

22 Funktionen des Sachrechnens Sachrechnen als Lernstoff Umgang mit den bürgerlichen Größenbereichen Physikalische Größen: Längen, Zeitspannen, Gewichte, Volumina, Flächeninhalte; außerdem Geldwerte, Anzahlen (siehe Vorlesung Kapitel 2) Erfahrungen mit elementaren Verfahren und Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Kombinatorik (siehe Vorlesung Kapitel 3) 22

23 Funktionen des Sachrechnens Sachrechnen als Lernstoff wichtigste Elemente dieses Lernstoffs (nach Winter): - Methoden zum Gewinnen von Daten - Kenntnisse der Maßsysteme, Verankern von Stützpunktwissen (Einheiten und Repräsentanten für Einheiten und Zahlen) - Methoden zum Darstellen von Daten (Modellieren, Symbolisieren, Zeichnen) - Formen der Verarbeitung von Daten (Sortieren, Vergleichen, Anordnen, Rechnen, Umwandeln) 23

24 Funktionen des Sachrechnens Sachrechnen als Lernprinzip Anstatt zunächst die Division zu lernen, und sie dann durch Sachaufgaben zu üben, kann diese in Sachsituationen entdeckt werden! 24

25 Funktionen des Sachrechnens Sachrechnen als Lernprinzip Sachrechnen wird zum Lernprinzip, wenn Sachsituationen nicht nur Anwendungs- und Übungsfeld für bereits erworbenes mathematisches Wissen ist sondern vor allem auch Ausgangspunkt für den Erwerb neuen mathematischen Wissens sind Lernen wird als Weiterlernen organisiert und ist so erfolgsversprechend Lernen soll von den Erfahrungen der Kinder ausgehen Sachsituationen sind nicht für Lernprozesse konstruiert sondern der Ausgangspunkt von Lernprozessen vorhandenes Wissen (Interesse, Gegebenheiten) wird aufgegriffen, umgeordnet, systematisiert und erweitert 25

26 Funktionen des Sachrechnens Sachrechnen als Lernziel die drei Zielrichtungen: Anwenden von Mathematik, Problemlösen, Umwelterschließung Winter betont aber das den Beitrag zur Umwelterschließung als Lernziel des Sachrechnens Dies ist die umfassendste Funktion des Sachrechnens, in ihr sind die vorgenannten (Sachrechnen als Lernstoff und als Lernprinzip) aufgehoben. Es ist auch die wichtigste und unterrichtspraktisch am schwierigsten zu verwirklichende Funktion. [ ] Entscheidend ist der Primat der Sache: Sachsituationen sind hier nicht nur Mittel zur Anregung, Verkörperung oder Übung, sondern selbst der Stoff, den es zu bearbeiten gilt. Sachrechnen ist damit ein Stück Sachkunde. (H.Winter) 26

27 Primo Mathematik 2, Schroedel Sandra hat 27 Murmeln. Sie hat 14 Murmeln weniger als Bärbel. Wie viele Murmeln hat Bärbel? DEMAT 3+, Beltz Test - Textaufgabe - einfache Situation, einfache Frage - Bildaufgabe - komplexe Situation, mehrere Fragen - Ausschnitt aus kindlicher Erfahrungswelt - eindeutiger Bearbeitungsweg 27

28 Sandra hat 27 Murmeln. Sie hat 14 Murmeln weniger als Bärbel. Wie viele Murmeln hat Bärbel? - Textaufgabe DEMAT 3+, Beltz Test SR nach Gullivers Reisen: Im Land der Riesen ergriff mich jemand vorsichtig mit zwei Fingern, so wie man kleine, gefährliche Tierchen, Wiesel oder Mäuse aufhebt! Erschrocken stellte ich fest, dass ich keinesfalls größer als ihr Zeigefinger war. keiner von ihnen war kleiner als ein Glockenturm einer Kirche Der Turm der Hauptkirche ragte in eine Höhe von mindestens einem Kilometer empor. Zahlenreise 3, einfache Situation, einfache Frage - Ausschnitt aus kindlicher Erfahrungswelt - eindeutiger Bearbeitungsweg - Ausschnitt aus Fantasiewelt - unterschiedliche Bearbeitungswege 28

29 - Textaufgabe - einfache Situation, einfache Frage - Ausschnitt aus kindlicher Erfahrungswelt - eindeutiger Bearbeitungsweg - Bildaufgabe - komplexe Situation, mehrere Fragen - Ausschnitt aus Fantasiewelt - unterschiedliche Bearbeitungswege 29

30 Allgemein gilt für Sachaufgaben heute: - Die Präsentation erfolgt nicht nur in Textform, sondern auch durch Bilder, Grafiken oder authentische Materialien - komplexe Situationen und vielfältige Fragen sind möglich - Sie behandeln nicht ausschließlich die kindliche Erfahrungswelt, sondern auch Fern- und Fantasiewelten - verschiedene Bearbeitungswege sind möglich - Textaufgabe - einfache Situation, einfache Frage - Ausschnitt aus kindlicher Erfahrungswelt - eindeutiger Bearbeitungsweg - Bildaufgabe - komplexe Situation, mehrere Fragen - Ausschnitt aus Fantasiewelt - unterschiedliche Bearbeitungswege 30