2. Schiffshebewerk Das Schiff verdrängt genau die selbe Masse an Wasser, die es wiegt, also 4500t. M ges. M Wasser ITrog. M verdrängteswasser

Transkript

1 1. Archimedes und die goldene Krone von Hiero Die Krone und das überlassene Gold haben die gleiche Masse. Gold hat aber eine wesentlich größere Dichte als Silber, nämlich Gold 19,3 t/m³ zu Silber mit 10,5 t/m³. Damit müsste eine Krone, der Silber beigemischt worden wäre, bei gleicher Masse mehr Volumen besitzen. Und dies hat Archimedes mit Hilfe des Füllstandes eines Wasserbehälters nachgewiesen. Die Krone hatte weniger als sieben Pfund Gold das hat Archimedes im Anschluss berechnet 2. Schiffshebewerk Das Schiff verdrängt genau die selbe Masse an Wasser, die es wiegt, also 4500t. M ges M Trog M Schiff M Wasser ITrog M verdrängteswasser 11500t 3. Ruderboot Lässt man den Stein los, taucht das Ruderboot aus, und zwar um folgendes Volumen: V Wasser M Stein Wasser. In diesem Moment fällt auch um genau dieses Volumen der Wasserspiegel des Sees. Da die Dichte des Steins erheblich größer ist als die des Wassers, geht der Stein unter. Der Stein verdrängt aber nur ein fünftel des Wassers in See verglichen mit dem Volumen, das er an Bord verdrängte. Damit fällt qualitativ der Wasserspiegel des Sees. Abhängig vom Größenverhältnis zwischen See und Stein sollte der Nachweis in der Realität entsprechend schwierig zu führen sein. 4. Ponton Schwimmfähigkeit Zunächst ist das Volumen des Pontons zu berechnen: V Ponton L B H 75,0 m 10,5m 2,5 m1968,75m 3 Mit der angegebenen Masse von 2000t ergibt sich eine Dichte von: 2000 t 1968,75 m 3 1,016 t m 3 Diese Dichte ist größer als die Dichte von Süßwasser mit 1 t /m 3. Der Ponton würde in Süßwasser untergehen. In Seewasser mit einer Dichte von 1,025 t /m 3 würde der Ponton jedoch gerade schwimmen. 5. Ponton Tiefgang Zunächst muss das Volumen des verdrängten Wassers des unbeladenen Pontons berechnet werden: V verdr.wasser M Ponton 850t Wasser 1 t /m 3 850m3. 1/28

2 Aus diesem Volumen lässt sich nun der Tiefgang des Pontons berechnen: V verdr. Wasser V verdr.wasser L B T T 850m3 L B 68,0m 10,5m 1,19m Analog folgt für den beladenen Ponton: V verdr.wasser 1288m 3 und T 1,80m. 6. Numerische Integration 1 Es handelt sich um die Funktion f x x. Das bestimmte Integral lautet: Trapezregel: 7,5 1,5 x dx12,4683. Die allgemeine Berechnungsformel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet: x 1 A x 0 y dx 1 2 y 0 y 1 x 1 x 0 Durch wiederholtes berechnen von Trapezinhalten kann ein Integral angenähert werden. Sind die Stützstellen äquidistant, vereinfacht sich die Trapezregel zu: A h y 0 2 y 1 y 2 y 3 y n 2 mit x i x i 1 h ; i1 n Die Streifenbreite h ist mit 1 immer gleich, somit folgt: A 1,225 2,739 1,581 1,871 2,121 2,345 2, ,45 Simpsonregel Zur Integration eines Intervalls bestehend aus einer graden Anzahl n Streifen der gleichen Breite h wird folgender Zusammenhang verwendet: A 2 3 h y 0 2 2y 1 y 2 2y 3 y n 2 2y n 1 y n 2 Die Streifenbreite h ist wieder äquidistant 1 und somit folgt: A ,225 2, ,581 1, ,121 2, , ,468 Es handelt sich bei der vorliegenden Funktion um eine monoton steigende Funktion. Sowohl die Trapezregel, als auch die Simpsonregel sind Näherungsverfahren, bei denen der Graph der Kurve durch einen Polygonzug angenähert werden. Dieser Polygonzug liegt stets auf dem Graph in den Stützstellen, sonst darunter, da monoton steigend. Folglich wird die so angenäherte Fläche zu klein angenommen. 2/28

3 Bei der Simpsonregel wird im Gegensatz zur linearen Annäherung der Trapezregel die Kurve durch ein Polynom 2.Grades angenähert. Das erhöht die Genauigkeit. 1. Numerische Integration 2 Die gegebenen Stützstellen sind nicht durchgängig äquidistant, deshalb empfiehlt sich ein Integrationsverfahren das nicht auf äquidistante Stützstellen angewiesen ist, wie z.b. die Trapezregel. Zu beachten ist, dass nicht über eine Nullstelle hinweg integriert werden darf, da sonst die Flächeninhalte zwischen Graph und Abszisse voneinander abgezogen werden. Deshalb sind die Integrale so aufzustellen, dass sie grade bei Nullstellen beginnen bzw. enden. Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat lautet: f x 1 10 x Analytisch ergibt sich damit für den Flächeninhalt: 4,71442 A[ x 2 3 dx ] 7,5 1 x 2 3 4, dx 48,472 15,94864,42 Allgemein lassen sich für jedes Stützstellenpaar Integrale formulieren: x n A x 0 x 1 y x dx x 0 x 2 y x dx x 1 x n y x dx x n 1 y x dx Daraus ergibt sich die Trapezregel für nicht äquidistante Abszissenabschnitte: A 1 2 [ x 1 x 0 y 0 y 1 x 2 x 1 y 1 y 2 x n x n 1 y n 1 y n ] Mit den eingesetzten Zahlenwerten bis zur Nullstelle: A [ ,6 8, ,4 2,8 ] [ 0,5 0 2,8 2,3375 1,5 0,5 2,3375 2,0125 ] 1 [ 3 1,5 2,0125 1,9 4, ,9 0 ] 2 A 51,2224 Mit den eingesetzten Zahlenwerten ab der Nullstelle: A 1 [ 5 4, , ,7 4,4 7,5 6 4,4 10,5 ] 2 A13,825 Für die Gesamtfläche folgt daraus: A ges. 51, ,82565,0474 Alternativ kann auch eine Berechnung mittels Simpsonregel für den Bereich der ersten drei Stützstellen erfolgen, da diese äquidistant angeordnet sind, für die restlichen Stützstellen muss dann allerdings trotzdem mit der Trapezregel gerechnet werden. Zu beachten ist, dass die 3/28

4 Übergangsstützstelle doppelt vorkommt, damit die einzelnen Segmente direkt aneinander anschließen. Die abgeänderte Berechnungsformel stellt sich folgendermaßen dar: A ,6 2 8,4 2, [ 0,5 0 2,8 2,3375 1,5 0,5 2,3375 2,0125 ] 1 2 [ 3 1,5 2,0125 1,9 4, ,9 0 ] A 48,0224 Es fällt sofort auf, dass die mit der Simpsonregel berechneten Werte stark von denen der Trapezregel abweichen. Bei Gegenüberstellung des linear und des quadratisch approximierten Funktionsverlaufes leuchtet diese Tatsache jedoch unmittelbar ein: S c h i f f s h y d r o s t a t i k, Ü b u n g y x Da die Funktion im betreffenden Bereich verhältnismäßig konkav verläuft und die Stützstellen weit auseinander liegen, überschätzt die Trapezregel den tatsächlichen Flächeninhalt merklich. In realen Anwendungen ist immer ein Kompromiss zwischen Rechenaufwand und erzielter Genauigkeit einzugehen bzw. zu optimieren. Die restliche Berechnung erfolgt analog zum ersten Rechenweg und wird hier deshalb nicht nochmal angeführt. 4/28

5 y Aufgabensammlung Hydrostatik - Lösungen 8. Numerische Integration 3 Auch bei den hier angegebenen Stützstellen empfiehlt sich ein Verfahren, das nicht auf äquidistante Stützstellen beruht. Bei dieser Aufgabe ist darauf zu achten, dass an der Stelle x1 eine Sprungstelle vorliegt. Mit der Trapezregel kann man über Sprungstellen hinwegintegrieren, weil das Verfahren sehr robust ist. Es kommt hinzu, dass wiederum ein Teil der Funktionswerte negativ sind und die entstehenden Flächen nicht voneinander abgezogen werden dürfen. Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat, lautet für x 1 : f x 1 4 x Die Funktion, die die Stützstellen generiert hat lautet für x 1 : f x x Anmerkung: Die Funktion ist natürlich mathematisch strenggenommen im Punkt x1 eine Relation. Analytisch gelöst, ergeben die beiden Integrale folgenden Flächeninhalt: 1 4,5 A x 1 2 dx 20, , A41, x dx 1 Mit den eingesetzten Zahlenwerten bis zur Sprungstelle ergibt sich: A 1 2 [ 2,5 4 8,25 5,0625 1,5 2,5 5,0625 3,5625 ] 1 [ 1 1,5 2, , ] 2 A 20,5469 Mit den eingesetzten Zahlenwerten ab der Sprungstelle ergibt sich: A 1 [ 1, ,5 2,5 1,5 2,25 4,25 3 2,5 4,25 6 ] 2 1 [ 4, ,25 ] 2 A 22,125 Für die Gesamtfläche ergibt sich daraus: A ges 20, ,12542,6919 Auch bei dieser Aufgabe könnte man im Bereich der drei Stützstellen vor der Unstetigkeit eine Berechnung mit Hilfe der Simpsonregel in Betracht ziehen, doch bei Veranschaulichung der Funktion wird klar, dass damit keine wesentliche Zunahme der Genauigkeit zu erwarten ist, die Fläche wird von der Trapezregel nur leicht überschätzt (Abweichung ca. 0,02%): S c h i f f s h y d r o s t a t i k, Ü b u n g x 5/28

6 9. Schiffsfestes Koordinatensystem In aller Regel wird der Nullpunkt des schiffsfesten Koordinatensystems im Hinteren Lot (HL oder AP für Aft Perpendicular) auf Höhe der Basis gesetzt. Dadurch nimmt die z-koordinate zur Beschreibung des Rumpfes ausschließlich positive Werte an. Bei der üblichen Spantdarstellung, also Backbord-Hinterschiff in der linken Bildhälfte und Backbord-Vorschiff in der rechten Bildhälfte, wird nur die Backbordseite des Schiffes gezeigt, die in einem rechtshändischen, kartesischen Koordinatensystem durch positive y- Werte beschrieben werden. Es kann Ausnahmen geben, wenn unsymmetrische Rümpfe, wie z.b. bei manchen Katamaranen, zu beschreiben sind. 10.Containerschiff Zunächst soll die fehlende Spantfläche berechnet werden. Allgemein gilt für die Berechnung der Spantflächen von der Basis bis zur Wasserlinie: T A Sp 0 n y z dy 1 2 i1 y i y i 1 z i 1 z i Es handelt sich um äquidistante Stützstellen mit dem Abstand 1m, wodurch sich die Trapezregel deutlich vereinfacht. Siehe Aufgabe 6. Es empfiehlt sich grundsätzlich bei Handrechnungen die Einheiten mitzunehmen! Das dient der Nachvollziehbarkeit für Andere und ist eine sehr gute Kontrollmöglichkeit, ob die errechnete Größe zumindest die richtige Einheit besitzt (z.b. ein Drehmoment wirklich Nm ist). A Sp 2 1m 0,25 m 1,65m 2,4m 2,8m 3,25 m 3,6m 3,9 m 4,2 m 4,5 2 m 6,6 m 1m 4,8m 5,15m 5,6m 2 A 45,275m 2 Da nur die Backbordseite mit den Stützstellen dargestellt worden ist, muss nun der berechnete Wert mit dem Faktor 2 multipliziert werden, um die vollständige, symmetrische Spantfläche wiederzugeben. A Sp18 2 A Sp ,275 m2 90,55 m 2 Nun sind die Spantflächen aller Entwurfsspanten gegeben und es lässt sich das verdrängte Volumen auf Design Draft (Tiefgang) berechnen. Allgemein gilt für das verdrängte Volumen bis zu einem bestimmten Tiefgang: Sp n A Sp x dx 1 Sp n Sp 1 2 Sp 1 A Spi A Sp i 1 x i 1 x i mit: Sp 1 als erstem benetzten Spant Sp n und als letztem benetzten Spant. 6/28

7 Es handelt sich wieder um äquidistante Stützstellen mit dem Abstand 14,16m. Somit folgt: 14,16 m ,413m2 146,171 m 2 229,009 m 2 292,763 m 2 334,002 m 2 14,16 m 357,164 m 2 370,758m 2 376,436m 2 378,463m 2 379,174 m 2 14,16 m 376,826 m 2 368,418m 2 350,686m 2 318,345m 2 269,510 m 2 14,16 m 207,236 m2 145,758 m 2 90,550 m 2 50,249 m 2 33,920 m ,9 m 3 Nun kann XCB, der Längenschwerpunkt des Auftriebs, berechnet werden: Allgemein gilt: XCB XCB Das Volumen ist gerade berechnet worden. Den Ausdruck XCB (Moment 1. Ordnung) wird allgemein wie folgt berechnet: Sp n XCB A Sp x Sp x dx 1 Sp n A Spi x Spi A Spi 1 x Sp 1 2 Sp Spi 1 x i 1 x i 1 mit: Sp 1 als erstem benetzten Spant Sp n und als letztem benetzten Spant. Damit ergibt sich: XCB 14,160m 0,000m 0,000 m2 14,160m 50,413m ,160 14,160m 50,413 m 2 28,320m 146,171m 2 14,160 28,320m 146,171m 2 42,480m 229,008 m 2 14,160 42,480m 229,763m 2 70,800m 334,022 m 2 14,160 56,640m 292,763m 2 70,800m 334,022m 2 14,160 70,800 m 334,022m 2 84,960m 357,614m 2 14,160 84,960m 357,614m 2 99,120m 370,758m 2 14,160 99,120 m 370,758m 2 113,280 m 376,436m 2 14, ,280m 376,436 m 2 127,440 m 378,845m 2 14, ,440m 378,845 m 2 141,600m 379,174m 2 14, ,600m 379,174 m 2 155,760 m 376,826m 2 14, ,760m 376,826 m 2 169,920 m 368,418m 2 14, ,920m 368,418 m 2 184,080m 350,686m 2 14, ,080m 350,686 m 2 198,240 m 318,345m 2 14, ,240m 318,345 m 2 212,400m 269,510m 2 14, ,400m 269,510m 2 226,560m 207,236m 2 14, ,560m 207,236m 2 240,720m 145,758m 2 14, ,720m 145,758 m 2 254,880 90,550m 2 7/28

8 14, ,880 m 99,550m 2 269,040 m 50,249 m 2 14, ,040 m 50,249 m2 283,200 m 33,920 m 2 2 XCB ,112 m 4 Daraus folgt: XCB ,112m ,9 m 3 136,249 m Zur Berechnung von ZCB, dem Höhenschwerpunkte des Auftriebs, wird ein ähnlicher Rechenweg beschritten, wie bei der Berechnung des XCB. Allgemein gilt: n Sp 1 1 M Sp i z Spi A Spi i1 2 z z i 1 i y i z i y z i 1 i 1 n Sp 1 ZCB x i 1 x i M Spi M Spi 1 i 1 ZCB ZCB In der folgenden Tabelle befindet sich in der Spalte rechts außen das Ergebnis des 1. statischen Momentes. Da die Flächen der Entwurfsspanten und deren Schwerpunkte gegeben waren, berechnet sich das statische Moment aus dem Produkt dieser beiden Größen. x ZCB Sp in m A Sp in m² ZCB Sp* A Sp in m³ ,16 8,913 50, ,331 28,32 8, , ,841 42,48 7, , ,583 56,64 7, , ,417 70,80 6, , ,899 84,96 6, , ,279 99,12 6, , , ,28 6, , , ,44 6, , , ,60 6, , , ,76 6, , , ,92 6, , , ,08 6, , , ,24 6, , , ,40 6, , , ,56 7, , , ,72 7, , , ,88 7,213 90,55 653, ,04 6,792 50, , ,20 6,434 33, ,241 8/28

9 Die Trapezregel mit der Vereinfachung für äquidistante Stützstellen findet wieder Anwendung: ZCB 14,160m 0m ,331m3 1202,840 m ,583m ,417m 3 14, ,899m ,279m ,070m ,682m 3 14, ,712m ,203m ,189m ,034m 3 14, ,234m ,537m ,732 m ,494m 3 14, ,054m3 653,137 m 3 341,291 m 3 218,241m3 2 ZCB ,647 m 4 Um ZCB zu erhalten, muss nun noch der Ausdruck ZCB durch das Volumen, welches bereits weiter oben berechnet wurde, dividiert werden. ZCB ZCB ,647 m ,9 m 3 ZCB6,583 m Antworten auf Ein paar kleine Fragen : 1. Die Kurve, die entsteht, wenn man die Spantflächen über der Schiffslänge abträgt, heißt Spantarealkurve oder englisch Sectional Area Curve. 2. Entwurfsspant 20, der mit dem FP (Fore Perpendicular oder deutsch VL für Vorderes Lot) zusammenfällt, ist der vorderste Spant. Da es sich um einen modernen Entwurf eines Containerschiffes handelt, das zudem keine Eisklasse hat, ist davon auszugehen, dass das Schiff mit einem Wulstbug ausgestattet ist. Dieser liegt vor dem FP und wird somit bei der Volumenberechnung nicht berücksichtigt. 3. Ein Schiff darf maximal 294m lang und 32,30m breit sein, damit es noch in den Panama-Kanal einfahren darf. 9/28

10 11.Segelschiff in Negativform Das Segelschiff schwimmt in der Nagativform durch die dünne Wasserschicht bei dem Tiefgang, auf dem es auch in einem offenen Gewässer geschwommen wäre. Das Segelschiff schwimmt durch die hydrostatischen Kräfte, die auf den Rumpf wirken. Dabei es nicht entscheidend, ob das Schiff von einem Ozean oder nur von einer dünnen Wasserschicht umgeben wird. Wird die Wasserschicht zu dünn, treten Kapilarkräfte stärker hervor, die aber bei dieser Betrachtung keine Rolle spielen sollen. Das mechanische Grundprinzip actioreactio gilt auch in diesem Falle: Die Kräfte, die auf den Rumpf wirken, haben ihre Entsprechung in Kräften, die auf gleicher Wirkungslinie, gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Somit wird die Gesamtkraft, die zum Schwimmen des Schiffes notwendig ist, in gleicher Größe an die Negativform weitergegeben. 12.Pantokarene Eine Pantokarene w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie der Auftriebskraft bei vorgegebener Krängung. 13.Klausuraufgabe vom Zu Frage 1: Der Ponton befindet sich in einer Gleichgewichtslage, es muss also der Aufrichthebel gleich dem Krängungshebel sein. Der Aufrichthebel ergibt sich aus der Pantokarene beim Krängungswinkel zu wycb cos ZCB sin was gleich dem Krängungshebel YCG cos ZCG sin sein muss. Man muss also die Koordinaten des Verdrängungsschwerpunktes der Gleichgewichtslage berechnen. Der Tiefgang auf der Steuerbordseite beträgt 10m, auf der Backbordseite 0m, d.h. der Boden taucht gerade aus. Der getauchte Spantquerschnitt ist also nur ein Dreieck. Da die Breite des Pontons 15m beträgt, ergibt sich für den Krängungswinkel atan bzw. 33,7 Damit ist klar, dass man nicht mit den Vereinfachungen für kleine Neigungen rechnen darf. Die Lage des Verdrängungsschwerpunktes ergibt sich für ein 1 Dreieck einfach auf 3 bzw. 2 der jeweiligen Seite. Daraus folgt 3 ZCB1over 3 10m3,333 ma.bl (a.bl heißt above Base Line, über Basis) 10/28

11 analog gilt für YCB2over 3 15 m B 2,500 m f.cl (f.cl heißt from Center Line) 2 auf Steuerbordseite. Damit ergibt sich die Pantokarene w mit der berechneten Lage von YCB und ZCB für 33,7 zu w3,929 m. Da die Höhenlage des Schwerpunktes stimmen soll, zieht man davon ZCG sin ab und erhält damit einen (Rest-)Hebel von 0,154m, der gleich YCG cos sein muss, woraus man dann ein YCG von 0,189m aus Mitte Schiff erhält. Aufrichtender HebelKrängender Hebel YCB cos ZCB sin YCG cos ZCG sin 3,929 mycg cos ZCG sin 3,929 mycg cos 33,7 6,800 m sin 33,7 YCG0,189 m Zu Frage 2: Der kleinste Freibord ist erdfest anzugeben. Er ergibt sich zu Seitenhöhe Tiefgang cos. Der kleinste Freibord ist auf der Steuerbordseite, dort ist der Tiefgang 10m, und mit 33,7 und einer Seitenhöhe von 13m erhält man einen minimalen Freibord von 2,496m. Zu Frage 3: Das Aufrichtmoment wäre bei einer Linearisierung über das Metazentrum M A GM sin Das Anfangsmetazentrum GM ergibt sich dann für die aufrechte Lage zu GM KM KGKB BM KG. Der Ponton muss einen mittleren Tiefgang von 5m haben. Daraus folgt KB2,50 m. BM für einen Ponton ergibt sich aus BM I WL LB 3 12LBT B2 12T 3,750 m Daraus ergibt sich ein GM von GM 2,500 m 3,750m 6,800 m 0,550 m 11/28

12 Der Ponton hat damit ein negatives Anfangs-GM, d. h. die aufrechte Lage bei 0 ist in jedem Fall instabil, selbst wenn der Massenschwerpunkt in der Mitte liegen würde. Diesen Fehler hat der Schiffbauer noch gemacht. Dass der Ponton trotz außermittigem Gewichtsschwerpunkt nach dem Stapellauf noch eine stabile Gleichgewichtslage finden kann, liegt an der Formzusatzstabilität bei größeren Neigungen. Die Ermittlung des Krängungswinkeles aus dem Anfangsmetazentrum ist in diesem Fall eben nicht eindeutig möglich das war der Trick, weil die Annhame kleiner Neigungsänderungen a priori nicht erfüllt war. 14.Ponton in einer Schleusenkammer Für die eigene Übersicht ist es empfehlenswert, sich zunächst eine Skizze zu machen. Der Ponton in der Schleusenkammer befindet sich in einer Gleichgewichtslage, der aufrichtende Hebel ist gleich dem krängenden Hebel. Es kommt allerdings der auf der Seite des krängenden Hebles noch der Hebel der Seilkraft hinzu. Es gilt somit: Aufrichtender HebelKrängender Hebel YCB cos ZCB sin YCG cos ZCG sin Hebel Seil Zunächst sollen die Auftriebsschwerpunkte bestimmt werden. Dazu wird die getauchte Fläche in zwei Teile zerlegt, ein Rechteck, das von der Basis bis zur Wasserlinie reicht mit seiner Steuerbordecke und einem rechtwinkligen Dreieck, das die übrige getaucht Fläche ausmacht. Schwerpunktbestimmung für das Rechteck: Da gilt, dass Symmetrieachsen Schwereachsen sind, ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Schwepunkt dieser Fläche. Somit ergibt sich YCB Rechteck 0 und die halbe Höhe des Tiefganges ZCB Rechteck T 2 1,158m 0,579 m. 2 Für das Dreieck gilt wieder die Berechnung des Schwerpunktes mit der 1 2 / Aufteilung. Dazu muss aber zunächst die Schenkellänge der 3 3 Gegenkathete berechnet werden: S Gegenkath. tan Ankathethetan 20 8,000 m2,912 m Damit folgt für das YCB und das ZCB beim Dreieck: YCB Dreieck 2 3 8,000 m B 2 1,333 m ZCB Dreieck 1 3 2,912m T Steuerbordeite2,129 m 12/28

13 Nun muss der Gesamtauftriebsschwerpunkt berechnet werden, wobei allgemein gilt: y YCB Gesamt i A i z und ZCB Gesamt i A i A i A i Deshalb müssen die Flächen noch berechnet werden: A Rechteck 8,000 m 1,158 m9,264 m 2 A Dreieck 1 8,000 m 2,912 mm11,648m2 2 Damit folgt für den Gesamtschwerpunkt: YCB Gesamt 0m 9,264m2 1,333 m 11,648 m 2 9,246 m 2 11,648 m 2 0,742 m ZCB Gesamt 0,579 m 9,264m2 2,129m 11,648m 2 9,246m 2 11,648 m 2 1,442 m Nun können die Zahlenwerte eingesetzt und damit der Hebel Seil ausgerechnet werden: Hebel Seil YCB cos ZCB sin YCG cos ZCG sin Heb. Seil 0,742m cos20 1,442 m sin 0m cos20 2,400 sin20 0,37m Da der Hebel Seil nun bekannt ist, kann das krängende Moment durch das Seil berechnet werden: M KrängendSeil g Hebel Seil Mit Zahlenwerten (mit SI-Einheiten!!!): M KrSeil 1000 kg m 3 9,81 m s 2 9,246m2 11,648m 2 42m 0,37m Nm Nun muss der Hebel Seil, also der Abstand zwischen Auftriebs- und Gewichtsvektor, noch auf den tatsächlichen Hebel umgerechnet werden. Der Ponton dreht um den Wasserflächenschwerpunkt. Das ist damit der erste Punkt des tatsächlichen Hebels und und der zweite Punkt ist Seite-Deck, über den das Seil geführt wird. Der Hebel ist die Hälfte der Hypotenuse des oben berechneten Dreiecks plus dem Zwickel, der zwischen Ponton und Schleusenwand auf Höhe der Wasserlinie entsteht. In Zahlenwerten: Hebel tatsächlich 1 2 2,912 m2 8 m 2 5 m 1,158 m 2,912 m sin 20 Hebel tatsächlich 4,575 m Dieser Hebel muss nun nur noch durch das oben berechnete Moment geteilt Nm werden, um die Kraft im Seil zu erhalten: F Seil 4,575m 696,226kN 13/28

14 15.Hebelarm in der Gleichgewichtslage In der Gleichgewichtslage herrscht Gleichgewicht zwischen aufrichtenden und krängenden Momenten. Deshalb muss der Hebelarm h 0 sein. 16.Metazentrum Ein Metazentrum ist der Schnittpunkt zweier benachbarter Auftriebsvektoren. Die Vektoren stehen erdfest senkrecht auf der Wasseroberfläche. Bereits durch eine infinitesimale Veränderung des Krängungswinkels können diese nicht parallel zueinander Verlaufen und müssen sich in einem Punkt, dem Metazentrum, schneiden. 17.Stabile Schwimmlage Eine Schwimmlage wird dann als stabil bezeichnet, wenn an dem schwimmenden Körper Arbeit verrichtet werden muss, um ihn aus der Schwimmlage zu bewegen. Das ist der Fall, wenn der aufrichtende Hebel h 0 ist. 18.Klausuraufgabe 1. Es existieren zwei Gleichgewichtsschwimmlagen. Eine bei 24 und eine bei 25. Jetzt müssen zwei Gleichungen für die beiden Schwimmlagen aufgestellt werden. Daraus ergeben sich aber zunächst zwei Gleichungen für vier Unbekannte. Zusätzlich muss noch ein Zusammenhang zwischen den beiden Gewichtsschwerpunkten hergestellt werden, was mit Hilfe der über Bord geworfenen Stahlrolle möglich ist. Die Gleichung für die Schwimmlage bei 24 lautet: y b24 cos 24 z b24 sin 24 y cg1 cos 24 z cg1 sin 24 2,232 m 0,914 5,484m 0,407 0,914 y cg1 0,407 z cg1 4,272m 0,914 y cg1 0,407 z cg1 Die Gleichung für die 25 -Schwimmlage ergibt sich, indem zur 24 - Schwimmlage das krängende Moment der Stahlrolle addiert wird. Das krängende Moment der Stahlrolle ist: M KR m Rolle y cgr cos z cgr sin 12t 13,500 m cos 25 14,100 m sin 25 12t 12,235 m 5,959m 218,328 mt Daraus folgt der krängende Hebel: 218,328 mt h KR 24456t 12t 23 0,009m 14/28

15 Damit ergibt sich dann die Gleichung für die 25 -Schwimmlage y b25 cos 25 z b25 sin 25 y cg1 cos 25 z cg1 sin 25 h Kr 2,082 m 2,347 m 0,906 y cg1 0,423 z cg1 0,009 m 4,420 0,906 y cg1 0,423 z cg1 Aus den beiden Gleichungen lässt sich nun ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannte formulieren: 0,407 z cg1 0,914 y cg1 4,272 m 0,423 z cg1 0,906 y cg1 4,420 m Das Gleichungssystem: 0,407 0,914 0,423 0,906 4,272 4,420 0,407 0,914 0,423 0,407 0,423 0,906 0,407 0,407 0,914 0,407 0,872 4,272 4,253 0,407 0, ,042 4,272 0,019 0,423 4,272 4,420 0,423 0,407 Daraus folgt für y cg1 und z cg1 : y cg1 0,019m 0,042 0,452 m z cg1 4,272 m 0,914 0,452 m 9,481 m 0, Die Metazentrische Höhe ergibt sich, wenn man den krängenden Hebel nach der Winkeländerung (hier: 1 ) ableitet: GM dh 0,009 m d EQ 0,017 0,529 m 3. Das krängende Moment beträgt: M KR 2 12t 10m240mt 15/28

16 Dann ergibt sich für die Winkeländerung: arctan M KR GM arctan 240mt 24180t 0,529m 1,075 Somit ist der Gesamtwinkel: 22, Der krängende Hebel muss gleich dem aufrichtenden Hebel sein. Für die 24 -Gleichgewichtschwimmlage ergibt sich insgesamt ein aufrichtender Hebel von: 2,232 m 0,914 5,484m 0,4074,272 m Daraus folgt der aufzubringende krängende Hebel: hw KG sin 4,272 m 3,856 m0,416 m Damit ist das Moment, das aufgebracht werden muss: M KR 0,416m 24456t t 1 12 t mt 19.Schwergutschiff mit Bordkran 1. Durch das Anheben der maximalen Hebelasten beider Kräne erhöht sich das Deplacement des Schwergutschiffes: neu m Hebelasten t t t Um die Krängung des Schwergutschiffes zu berechnen, fehlt noch das krängende Moment: M KR t 26m 9 m 2 55t 13 m 9m 4520 mt Nun kann der Krängungswinkel berechnet werden: M Kr d arctan neu GM 4520 mt arctan t 3,5 m 7,18 Es kann die maximale Hebelast von jeweils 120t bei maximaler Auslenkung der Kräne gehoben werden. 2. Für die Lösung dieser Aufgabe müssen in einer Momentenbilanz die maximal zulässigen mit den tatsächlich vorhandenen Momenten verglichen werden. Das Moment aus dem maximalen Hebegewicht der Kräne bei voller Auslenkung berechnet sich nach: M KRmax t 26m 9 m 2 55t 13m 9m mt 16/28

17 Das maximal zulässige Moment ist hingegen: M KRzul neu GM tan d 10420t 3,5m tan 7, mt Stellt man nun die Momentenbilanz auf, so muss man berücksichtigen, dass das Schiff während des Ballastvorgangs tiefer taucht: 10820mt m Ball. 9m 10240t m Ball. 3,5 m tan 7,5 m Ball. 645t Es müssen für diesen Be- oder Entladefall mindestens 645m³ Süßwasser oder 629m³ Sewasser gebunkert werden. 17/28

18 20.Übungen zum Formkurvenblatt 1. Da die Verdrängung von 80430t nicht exakt im Formkurvenblatt enthalten ist, muss interpoliert werden. Die Massen-Differenz zwischen 12,750m und 12,800m ist vergleichsweise gering, also ist eine lineare Interpolation ausreichend. Beispielsweise kann folgender Ansatz gewählt werden: y y 1 y 0 y 1 x 0 x 1 x x 1 Eingesetzt: 80430t80657,3t 80255,3 t 80657,3t T 12,800 m 12,750 m 12,800m Daraus folgt der Tiefgang für 80430t mit: T 12,772 m 2. Generell trimmen und krängen Schiffe um den Wasserlinienflächenschwerpunkt. Der Wasserlinienflächenschwerpunkt der Länge wird im Englischen bezeichnet als LCF Longitudinal Center of Flotation. Im Formkurvenblatt lässt sich der LCF für die verschiedenen Tiefgänge nachschauen, hier: bei T 11,750m entspricht einem LCF von 129,014m. 3. Das Moment, das man aufbringen muss, um das Schiff einen Meter zu vertrimmen, nennt man Einheitstrimmoment, ETM. ETM I wll ϱ L PP m 4 1,025 t m 3 283,200 m mt m 4. Der Verdrängungsschwerpunkt kann aus dem Formkurvenblatt für den Tiefgang direkt abgelesen werden: LCB136,635 m f. AP TCB 2,3E 9 m f.cl VCB6,573 ma. BL Anmerkung: Die Angabe für den TCB mit -2,3E-9 ist ein numerisches Problem sie kann und sollte für Rechnung durch Null ersetzt werden. 5. Zunächst soll das trimmende Moment ausgerechnet werden, wobei LCB und aus dem Formkurvenblatt abzulesen sind: M TR x CG x CB 134,214m 135,577m 83489,2t mt Da der Gewichtsschwerpunkt näher am hinteren Lot ist, als der Auftriebsschwerpunkt, trimmt das Schiff nach achtern. Das trimmende Moment für einen achterlichen Trimm ist negativ. 18/28

19 Zur Berechnung des Trimmwinkels gibt es zwei Möglichkeiten. Die Erste ist eine genaue Rechnung, die Zweite ist eine gut Annäherung. Zunächst die genaue Rechnung: I GM L wll KB KG m ,2 t 1,025 t m 3 501,411 m 7,231m 17,987 m Der Trimmwinkel lässt sich dann berechnen mit: M TR GM L mt 501,411 m 83489,2 t 0, Aus dem Winkel lässt sich die Tiefertauchung durch den Trimm am AP bestimmen: t H LCF tan 126,045 m tan 0,002718m 0,343 m Der Tiefgang am hinteren Lot ist damit: T H T t H 13,150m 0,343m 13,493 m Der zweite Weg, die Annäherung, hat den Vorteil, dass er ohne die Angabe des GM L auskommt. Für diesen Weg muss zunächst noch das Einheitstrimmoment bestimmt werden: ETM I ϱ m 4 1,025 t wll L PP 283,200 m m 3 Nun kann der Trimm t berechnet werden: t M TR ETM mt mt 0,754 m m mt m 19/28

20 Damit ergibt sich der hintere Tiefgang zu: T H T LCF L PP t 13,150 m 126,045 m 0,754 m 283,200 m 13,482 m Die geringe Differenz der beiden Rechenwege von nur 11mm zeigt, dass die Annäherung sehr brauchbar ist. Es zeigt aber auch, dass der Einfluss des KG auf das Trimmen des Schiffes offensichtlich nur gering ist. 6. Als erstes muss die parallele Tiefertauchung des Schiffes berechnet werden. Dazu wird aus dem Formkurvenblatt die zu dem Tiefgang gehörige Masse abgelesen: T 12,450m entsprechen 77857,1 t. Damit ist: neu m Cont ,1t 23 15t78202,1t Der dazugehörige Tiefgang lautet: 77857,1 t 78255,1 t 78202,1 t78255,1t T 12,500 m 12,450 m 12,500 m Daraus folgt der neue Tiefgang 78202,1t: T 12,493 m Nun kann das neue XCG errechnet werden. Hier ist XCG XCB, da das Schiff in der Ausgangslage unvertrimmt und ungekrängt ist. Die Werte können aus dem Formkurvenblatt abgelesen werden. XCG neu 77857,1 t 136,229m t 234,560 m 77857,1t 23 15t 136,663 m Die Differenz von XCB zu XCG neu ist der Hebel des trimmenden Momentes. Das trimmende Moment ergibt sich zu: M TR x CG x CB 136,663 m 136,229 m 78202,1 t 33939,7 mt Nun muss das Wasserlinienträgheitsmoment der Länge nach interpoliert werden: I wll m m m 4 12,493m 12,500m 12,450 m 12,500 m m 4 20/28

21 Mit diesem Wasserlinienträgheitsmoment nach kann das Einheitstrimmoment bestimmt werden: ETM I wll ϱ L PP m 4 1,025 t m 3 283,200 m Damit ergibt sich der Trimm zu: t M TR 33939,7 mt ETM mt 0,238 m m mt m Das Schiff nimmt eine ungekrängte, aber um 0,238m über den Bug vertrimmte Schwimmlage auf einem mittleren Tiefgang von 12,493m ein. 21.Mehrzweckschiff Formkurvenblatt 1. Das GM berechnet sich wie folgt: I GM wl KB KG m ,7 t 1,025 t m 3 0,960 m 5,895 m 12,579m 2. Um das neue GM zu ermitteln, muss zunächst das neue bestimmt werden: neu 45144,7t 515t 655t 234t 43740,7 t Der neue Massenschwerpunkt berechnet sich nach: KG neu 45144,7 t 12,579 m 515 t 8,236 m 655 t 6,66 m 234 t 8,323 m 43740,7 t 12,742 m Zur Berechnung des neuen GM fehlt der Auftriebsschwerpunkt und das Wasserlinienträgheitsmoment um die x-achse. Diese müssen interpoliert werden: 5,722 m 5,751 m VCB neu 5,751 m 43740,7 t 43805,1t 5,744 m 43538,9 t 43805,1 t I wl neu m m m ,7t 43805,1t m ,9t 43805,1t 21/28

22 Schlussendlich kann das neue GM ausgerechnet werden: I GM neu wlneu KB KG neu neu m ,7 t 1,025 t m 3 0,786 m 5,744m 12,742m 3. Drei Größen nehmen Einfluss auf das GM: BM, KB und KG. In diesem Fall besitzt die Ladung einen sehr tief liegenden Schwerpunkt, also verkleinert sie das KG. Sie hat somit einen stabilisierenden Einfluss auf die Schwimmlage ausgeübt. 4. Für das GM gilt folgender Zusammenhang: GM BM KB KG Die Werte für ablesen: I wl, und KB lassen sich aus dem Formkurvenblatt BM I wl m ,5 t 1,025 t m 3 7,255 m KB6,359 m Damit folgt für KG max : KG max 7,255 m 6,359 m 0,150m13,434 m 22.KG-Grenzkurve mit Formkurvenblatt 1. Das GM berechnet sich folgendermaßen: GM dh d dw d KG cos d y B cos z B sin KG cos d Da die Funktion der hier benötigten Ableitung nicht gegeben ist, muss ein Differenzenquotient gebildet werden. Dazu dienen die Formkurvenblätter für die Krängungswinkel für 0 und 1. Es ist für diese Übung ein Genauigkeitsanspruch genügend, der die gleichen Tiefgänge für die Berechnung des KG verwendet, auch wenn das Deplacement sich um wenige Tonnen unterscheidet. Der Differenzenquotient: GM y cos 0 y cos 1 z sin 0 z B0 B0 B0 B1 sin 1 KG cos 0 0 0,01745 Damit ergibt sich dieser Ausdruck für ein GM von 0,150m und einem Tiefgang von 3,500m: 22/28

23 0,301 m cos 1 1,872m sin 1 0,150m KG cos 0 0 0,01745 Daraus folgt ein KG max : KG max 18,969 m Für 6 beispielhafte Punkte ergeben sich auf diese Weise folgende Werte: T / t KG max 3,500m 11786,6 18,969 4,500m 15783,1 16,358 5,750m 21030,1 14,630 7,250m 27708,2 13,678 8,750m 34845,0 13,371 10,500m 43805,1 13, Der Aufrichthebel berechnet sich mit der Annahme YCG 0 zu: h y B cos z B sin KG sin Für den geforderten Hebel h 0,200m und einem Tiefgang von 2,000m folgt dafür bei 30 : 0,200 m7,362 m cos 30 3,722 m sin 30 KG sin 30 Daraus resultiert folgendes KG max : KG max 16,073 m Für 6 beispielhafte Punkte ergeben sich auf diese Weise folgende Werte: T / t KG max / m 2,000m 12228,4 16,073 3,000m 15921,4 15,429 4,250m 21136,7 14,807 5,500m 27003,0 14,351 7,000m 34837,6 14,021 8,750m 44170,0 13, Die KG-Grenzkurve ist bis zu einem Deplacement von fast 20000t der bordeauxfarbene Graph und ab diesem Deplacement der blaue Graph. Die KG-Grenzkurve ist der Graph mit den kleinsten KG-Werten zu einem Deplacement. 23/28

24 4. Die Fläche unter der Hebelarmkurve wird mit Hilfe der Trapezregel berechnet. Zur Vereinfachung wird das Integral über die Hebelarmkurve aufgeteilt und für eine gute Übersichtlichkeit wird die Trapezregel in Tabellenform angegeben. Das Integral für die Fläche unter der Hebelarmkurve: h d w d KG sin d 0 0 Die Integration mittels Trapezregel in Tabellenform: 30 / w 1 w 2 /m 2 da/ m 5 0,655 3, ,971 9, ,297 16, ,626 23, ,928 29, ,101 35, ,890 Die Flächenangabe ist in m und muss in mrad umgewandelt werden: 117,890 m 117,890 m 2,058 mrad /28

25 Damit ergibt sich: 0,055 mrad 2,058 mrad [ KG cos ] 30 2,058 mrad KG[0,866 1]rad 0 Nach Umformung erhält man: KG max 14,948m. 5. Da die KG-Grenzkurve für t graphisch nicht eindeutig ist, muss rechnerisch nachgewiesen werden, ob die KG-Grenzkurve für den betrachteten Fall ausreichend ist. Dazu muss zunächst das Deplacement für 20000t interpoliert werden: Allgemein: y y 1 y y 0 1 x x 1 x 0 x 1 Mit einem Deplacement von 20000t und 30 : VCB4,497m 4,613m 4,497m t 18972,3t 4,608m 20041,4t 18972,3t 6,180 m 6,315 m TCB6,315 m 20000t 18972,3t 6,185m 20041,4 t 18972,3 t Nun kann das KG max für ein Deplacement von 20000t und 30 berechnet werden: 0,200m6,185m cos 30 4,608 m sin 30 KG sin 30 Es folgt daraus: KG max 14,921 m Es hat sich mit der Rechnung gezeigt, dass die KG-Grenzkurve ausreichend niedrig verläuft und nicht für die weitere Bedingung des 30 - Flächenkriteriums abgesenkt werden muss. Denn das maximal zulässige KG aus Aufgabenteil 2 hat eine Grenzkurve erzeugt, die bei einem Deplacement 20000t einen maximalen Höhenschwerpunkt von 14,921m zulässt. Das 30 -Flächenkriterium hingegen ließe einen höheren Gewichtsschwerpunkt zu, nämlich 14,948m. 25/28