Der Harmonische Oszillator mit singulären und nichtlinearen Störungen als Modell für PT-symmetrische Bose-Einstein-Kondensate

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1 Masterarbeit Der Harmonische Oszillator mit singulären und nichtlinearen Störungen als Modell für PT-symmetrische Bose-Einstein-Kondensate Jacob Cornelius Fuchs 2. November 2016 Prüfer: Apl. Prof. Dr. Jörg Main Mitberichter: Jun.-Prof. Dr. Thomas Weiss Universität Stuttgart, 1. Institut für Theoretische Physik

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3 Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Grundlagen Der Harmonische Oszillator mit singulären Störungen Physikalische Interpretation des Modells Der PT -Operator PT -symmetrische Systeme Exzeptionelle Punkte Numerische Behandlung des Harmonischen Oszillators mit singulären Störungen Numerische Methode Ergebnisse für eine reelle, gerade Störung Ergebnisse für eine rein imaginäre, ungerade Störung Ergebnisse für gemischte Störungen Anzahl der Kontrollparameter Grundlagen der Funktionalanalysis Hilberträume Beschränkte Operatoren Unbeschränkte Operatoren Resolvente und Spektrum Spezielle Klassen beschränkter Operatoren Kompakte Operatoren Schattenklassen Störungstheoretische Behandlung des harmonischen Oszillators mit singulären Störungen Herleitung der Störungsreihe Berechnung der Terme niedrigster Ordnung Berechnung der Faktoren J Berechnung der Terme niedriger Ordnung Approximation der Terme niedrigster Ordnung

4 Inhaltsverzeichnis 4.4 Exkurs: Numerische Berechnung von Reihen Numerische Berechnung von Reihen Klassifizierung der Arten von Konvergenz Wynn s Rho Algorithmus Exakte Berechnung der Störungsreihe Analytische Behandlung des Harmonischen Oszillators mit singulären Störungen Lösungsansatz Gleichungssystem für die Koeffizienten Erster Fall: Nullstelle der parabolischen Zylinderfunktion U bei x = b Zweiter Fall: keine Nullstelle der parabolischen Zylinderfunktion U bei x = b Exzeptionelle Punkte Entwicklung der Lösung für große Koeffizienten Störung der Lösungen außerhalb Zusammenfassung und Ausblick 79 Literatur 83 Danksagung 89 4

5 Einleitung Nach den Postulaten der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als hermitesche Operatoren ( Observablen ) in einem Hilbertraum dargestellt. Dies garantiert, dass man stets reelle Messwerte erhält. Jedoch hat sich gezeigt, dass auch die Untersuchung nicht hermitescher Operatoren lohnenswert ist [1]. So bieten diese z. B. eine einfache Beschreibung von Resonanzphänomenen oder von offenen Systemen, die mit der Umgebung wechselwirken. Dabei werden auch neue Phänomene beobachtet. Zum Beispiel ist für hermitesche Operatoren bekannt, dass ihre Eigenwerte eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. In nicht hermiteschen Systemen hingegen treten auch sog. exzeptionelle Punkte auf, an welchen nicht nur die Eigenwerte, sonder auch die Eigenzustände entarten [2]. Diese konnten auch schon vielfach experimentell beobachtet werden (siehe z. B. [3]). In letzter Zeit hat eine bestimmte Klasse nicht hermitescher Systemen besondere Aufmerksamkeit genossen: die sog. PT -symmetrischen Systeme [4]. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass sie invariant sind unter kombinierter Raum- und Zeitspiegelung. Ein wichtiger Grund für die Beschränkung auf hermitesche Operatoren in der Quantenmechanik ist, wie oben erwähnt, dass diese ein rein reelles Spektrum besitzen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass PT -symmetrische Systeme ebenfalls rein reelle Spektren aufweisen können, wofür im Wesentlichen die PT -Symmetrie verantwortlich ist [4a]. Eine experimentelle Realisierung fand z. B. in optischen Systemen [5] oder dissipativen Mikrowellen-Billards [6] statt. Außerdem wurden in vielen theoretischen Arbeiten Vorschläge für die Realisierung in echten quantenmechanischen Systemen untersucht, in [7, 8] z. B. wurden PT -symmetrische Bose-Einstein-Kondensate betrachtet. Ausgangspunkt dieser letztgenannten Arbeiten war die Beschreibung der Gesamtwellenfunktion Ψ(r, t) des Kondensates im Rahmen einer Molekularfeldtheorie (engl. mean field theory ). Die Wechselwirkung der Teilchen untereinander wird dabei durch die Kontaktwechselwirkung angenähert, also dem Pseudo-Potential V int (r, r ) = (4π 2 Na/m) δ(r r ), wobei N die Teilchenzahl, m deren Masse und a die Streulänge beschreibt. Die zeitliche Dynamik ist dann bestimmt durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung [9] i ( ) t Ψ(r, t) = 2 2m + V ext(r) + 4π 2 Na Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t), m 5

6 Einleitung wobei die Nichtlinearität Ψ(r, t) 2 Ψ(r, t) die Kontaktwechselwirkung wiedergibt. Für das externe Potential V ext (r) wurde in [7, 8] ein Doppelmuldenpotential gewählt mit einem zusätzlichen Imaginärteil, welcher das Einkoppeln von Teilchen in die eine Mulde und das Auskoppeln von Teilchen aus der anderen Mulde modelliert. Ein relativ einfach handhabbares Modell bot außerdem eine Realisierung, bei welcher das Doppelmuldenpotential durch ein (komplexes) Doppel-δ-Potential ersetzt wurde [10]. Bemerkenswert sind auch die mathematischen Arbeiten von Mityagin und Siegl, welche eine harmonische Falle mit zusätzlichen δ-potentialen untersucht haben [11, 12], sowie eine Arbeit von Haag u. a., welche diese mathematischen Untersuchungen durch eine numerische Rechnung stützt [13]. Dabei wurden störungstheoretische Methoden aus der Funktionalanalysis bzw. Spektraltheorie verwendet. Die Nichtlinearität der Gross-Pitaevskii-Gleichung (siehe oben) konnte dabei nicht berücksichtigt werden, da die Spektraltheorie lediglich lineare Operatoren behandelt. Auf diese Weise konnte bewiesen werden, dass die Eigenwerte in einem gewissen Parameterbereich für den PT -symmetrischen Fall alle reell sind [12a] (vgl. auch Abschnitt 4.1). Ferner konnte eine Abschätzung der Eigenwerte für kleine Parameter angegeben werden [12b]. An diese Untersuchungen knüpft auch die hier vorliegende Arbeit an. Es wird ein harmonischer Oszillator mit zusätzlichen Doppel-δ-Potentialen betrachtet. Das Spektrum dieses Modellsystems soll möglichst genau berechnet und dessen Abhängigkeit von den Parametern analysiert werden. Dazu werden drei verschiedene Methoden genutzt. Als erstes wird eine numerische Methode verwendet. Danach wird der störungstheoretische Ansatz von Mityagin [12] nochmals genauer untersucht und mit den numerischen Ergebnissen verglichen. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf der Frage, in welchen Parameterbereichen diese Methode angewandt werden kann und ob mit dieser Methode auch die Lage von exzeptionellen Punkten berechnet werden können. Als letztes wird das System noch mit Methoden aus der Analysis untersucht. Dabei sollen neben quantitativen auch auf qualitative Aussagen über das Spektrum eingegangen werden. Die Arbeit ist folgendermaßen strukturiert: Im ersten Kapitel wird auf die zugrundeliegenden physikalischen Grundlagen eingegangen. Diese umfassen das in dieser Arbeit betrachtete Modell und dessen physikalischen Interpretation, die PT -Symmetrie sowie die grundlegenden Eigenschaften PT -symmetrischer Systeme und die exzeptionellen Punkte. Danach wird in Kapitel 2 die numerische Behandlung besprochen und die damit erhaltenen Ergebnisse diskutiert. In Kapitel 4 wird der störungstheoretische Ansatz von Mityagin [12] vorgestellt und die darin aufgestellt Störungsreihe etwas genauer untersucht. Diesem Kapitel werden die für das Verständnis nötige Grundlagen der Funktionalana- 6

7 lysis vorangestellt (Kapitel 3). In Kapitel 5 wird das Modell noch mithilfe von Methoden der Analysis untersucht. 7

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9 1 Grundlagen 1.1 Der Harmonische Oszillator mit singulären Störungen In dieser Arbeit wird der (quantenmechanische) Harmonische Oszillator mit einem Doppel-δ-Potential betrachtet. Dabei sind die beiden δ-potentiale symmetrisch um den Ursprung bei x = ±b positioniert; die (vorerst beliebige, komplexe) Koeffizienten werden entsprechend mit s ± bezeichnet. Daraus erhält man die Schrödingergleichung ( ) 2 d + x 2 + s + δ(x b) + s δ(x + b) ψ(x) = µ ψ(x), (1.1) dx wobei der Einfachheit halber die Einheiten so gewählt wurden, dass die Vorfaktoren vor der Ableitung und dem Potential des harmonischen Oszillators gerade eins sind. Das gesamte Potential wird im Folgenden mit V (x) bezeichnet und die singuläre Störung (das Doppel-δ-Potential) mit W (x): V (x) = x 2 + W (x), W (x) = s + δ(x b) + s δ(x + b). (1.2) Das Doppel-δ-Potential lässt sich aufteilen in einen geraden Anteil W g (x) und einen ungeraden Anteil W u (x), wobei die jeweiligen Koeffizienten mit s g bzw. s u bezeichnet werden: W g (x) = s g (δ(x b) + δ(x + b)), s g = (s + + s )/2 und (1.3) W u (x) = s u (δ(x b) δ(x + b)), s u = (s + s )/2. (1.4) Eine Veranschaulichung des Potentials ist in Abb. 1.1 dargestellt. In den nachfolgenden Ausführungen wird oft der PT -symmetrische Fall betrachtet, also der Fall, wenn s g rein reell und s u rein imaginär ist (mehr über PT -Symmetrie ist in den Abschnitte 1.3 und 1.4 zu finden). Dann wird zumeist s g = s r und s u = is i geschrieben. Werden im umgekehrten Fall die Koeffizienten s r und s i verwendet, so ist im entsprechenden Kontext stets s g R und is u R anzunehmen. 9

10 1 Grundlagen V (x) x 2 W g (x) W u (x) x Abbildung 1.1: Der Harmonische Oszillator mit singulären Störungen. Dargestellt ist das gesamte Potential V (x), wobei der gerade Teil W g (x) des Doppel-δ-Potentials rot und der ungerade Teil W u (x) grün hervorgehoben ist. 1.2 Physikalische Interpretation des Modells Das oben eingeführte mathematische Modell kann z. B. als Modell für ein Bose-Einstein-Kondensat dienen. Da Bose-Einstein-Kondensate Vielteilchenphänomene sind, findet ihre adäquate Beschreibung im Rahmen der zweiten Quantisierung statt. Mithilfe der Molekularfeldtheorie (engl. mean field theory ) kann jedoch eine effektive Beschreibung mittels einer Gesamtwellenfunktion Ψ erhalten werden. Diese wird dabei durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung ( ) 2 2m + V (r) + 4π 2 Na m Ψ(r) 2 Ψ(r) = µ Ψ(r) (1.5) bestimmt, die neben dem externen Potential V (r) auch einen nicht linearen Potentialterm enthält. Dieser beschreibt die Kontaktwechselwirkung der Teilchen untereinander. Des weiteren beschreiben die Größen N, a und µ die Teilchenzahl, die Streulänge der Wechselwirkung und das chemische Potential. Eine genauere Darstellung findet man z. B. in dem Artikel [9]. Interpretiert man das Modell (1.1) als Gross-Pitaevskii-Gleichung, so stellt das harmonische Potential x 2 eine äußere Falle dar und der Realteil des Doppel-δ-Potentials zwei (je nach Vorzeichen) attraktive oder repulsive Potentialmulden. Der Imaginärteil hingegen kann (für positives Vorzeichen) als Zu- oder (für negatives Vorzeichen) als Abfluss von Teilchen interpretiert werden. Im Gegensatz zur Gross-Pitaevskii-Gleichung ist jedoch in Gleichung (1.1) 10

11 1.3 Der PT -Operator kein nicht linearer Term enthalten, sodass nur Bose-Einstein-Kondensate von nicht wechselwirkenden Bosonen beschrieben werden. Obwohl für die meisten Bosonen die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung nicht vernachlässigt werden kann, bieten Feshbach-Resonanzen eine Möglichkeit, die Stärke der Wechselwirkung zu beeinflussen, also insbesondere auch zu verringern [9]. 1.3 Der PT -Operator Zwei wichtige Symmetrien in der Physik sind die Raumspiegelung und die Zeitumkehr. Im folgenden werden diese durch die Operatoren P und T repräsentiert. Bei Anwendung dieser Operationen verhalten sich die Orte und Impulse wie folgt: P : ˆr ˆr, ˆp ˆp und T : ˆr ˆr, ˆp ˆp. (1.6) Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass diese Symmetrieoperationen die Physik nicht ändern. Beim Übergang zur Quantenmechanik bedeutet dies, dass die kanonischen Vertauschungsrelationen erhalten werden müssen: P [ˆr i, ˆp j ] P 1 = T [ˆr i, ˆp j ] T 1 = [ˆr i, ˆp j ] = i δ i,j. (1.7) Zusammen mit obigen Eigenschaften erhält man, dass dies nur erfüllt ist, wenn P ein linearer und T ein antilinearer Operator ist, d. h. und P(α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 Pψ 1 + α 2 Pψ 2 (1.8) T (α 1 ψ 1 + α 2 ψ 2 ) = α 1 T ψ 1 + α 2 T ψ 2. (1.9) Durch Komposition erhält man den PT -Operator. Dies ist ebenfalls ein antilinearer Operator; gegenüber Orts- und Impulsoperator verhält er sich wie folgt: PT : ˆr ˆr, ˆp ˆp. (1.10) Bezüglich der Wellenfunktionen lassen sich die Operatoren wie folgt beschreiben: (Pψ)(r, t) = ψ( r, t), (1.11) (T ψ)(r, t) = ψ(r, t) und (1.12) (PT ψ)(r, t) = ψ( r, t). (1.13) 11

12 1 Grundlagen 1.4 PT -symmetrische Systeme Eine physikalische Observable Ô nennt man PT -symmetrisch, wenn der Kommutator [PT, Ô] = 0 ist. Analog heißt ein physikalisches System PT -symmetrisch, wenn der Hamiltonoperator Ĥ des Systems PT -symmetrisch ist. Für ein zeitunabhängiges System (Ĥ = ˆp2 /2m + V (ˆr)) folgt aus PT V (ˆr) = V ( ˆr) PT (1.14) zusammen mit der PT -Symmetrie des Impulsoperators, dass ein Hamiltonoperator genau dann PT -symmetrisch ist, wenn das Potential V (ˆr) die Gleichung V (r) = V ( r) (1.15) erfüllt. Diese Bedingung ist gleichbedeutend damit, dass der Realteil des Potentials eine gerade und der Imaginärteil eine ungerade Funktion von r ist. Betrachte nun einen Eigenzustand ψ eines PT -symmetrischen Operators Ô zum Eigenwert λ. Dann ist der Zustand PT ψ ein Zustand zum Eigenwert λ: Ô (PT ψ) = PT (Ôψ) = PT (λ ψ) = λ (PT ψ). (1.16) Ist nun ψ ebenfalls PT -symmetrisch, d. h., gilt ψ = PT ψ, so folgt λ = λ und damit λ R. Daher sind die Eigenzustände von Ô entweder PT -symmetrisch oder sie treten als Paare (ψ, PT ψ) auf mit komplex konjugierten Eigenwerten. 1 Dies wiederum bedeutet, dass PT -symmetrische Systeme, welche nicht hermitesch sind, ebenfalls ein rein reelles Spektrum besitzen können. 1.5 Exzeptionelle Punkte Exzeptionelle Punkte treten in nicht hermiteschen Quantensystemen auf, die von mehreren Parametern abhängen. Betrachtet man die (i. Allg. komplexen) Eigenwerte einer (nicht hermiteschen) Observablen als Funktionen dieser Parameter, so ist es möglich, dass mehrere davon verschiedene Zweige einer Funktion repräsentieren. Die entsprechende Verzweigungssingularität nennt man dann einen exzeptionellen Punkt. An diesem entarten nicht nur die Eigenwerte, sondern auch die Eigenzustände. Als Grad des exzeptionellen Punktes bezeichnet 1 Im letzten Schritt wurde verwendet, dass wegen Gleichung (1.16) die Eigenwerte des PT -Operators einen Betrag von eins besitzen. Durch Multiplikation mit einer geeigneten globalen Phase erhält man daraus stets eine PT -symmetrische Wellenfunktion. 12

13 1.5 Exzeptionelle Punkte man den Grad des Verzweigungspunktes (also die Anzahl der verschiedenen Zweige). In der Literatur wird bei einem exzeptionellen Punkt N-ter Ordnung oft kurz von einem EPN gesprochen, siehe z. B. [2]. Beispielsystem Im Folgenden sollen diese Eigenschaften anhand eines einfachen Modellsystems veranschaulicht werden. Dieses ist gegeben durch die Matrix ( ) a ζ M(ζ) = ζ b mit a b und ζ C. Sie besitzt das charakteristische Polynom (1.17) χ M(ζ) (λ) = (a λ) (b λ) ζ 2 = λ 2 (a + b) λ + a b ζ 2 (1.18) und damit die Eigenwerte λ 1,2 = a + b 2 ± 1 2 (a b) ζ 2. (1.19) Man bemerke, dass die (komplexe) Wurzel zwei Zweige besitzt, welche den beiden Lösungen λ 1,2 entsprechen. Die exzeptionellen Punkte also die Verzweigungspunkte entsprechen gerade den Nullstellen des Radikanten, also ζ ± = ±i(a b)/2. Für diese gilt M(ζ ± ) a + b 2 ( ) 1 0 = 0 1 ( (a b)/2 ) ±i(a b)/2 ±i(a b)/2 (a b)/2 (1.20) und damit ist der jeweilige Eigenraum die lineare Hülle von (1, ±i). Man bemerke, dass dieser eindimensional ist und damit M(ζ ± ) nicht diagonalisierbar. Exzeptionelle Punkte in zweidimensionalen PT -symmetrischen Matrixmodellen Wie man im vorigen Abschnitt 1.4 gesehen hat, zeichnen sich PT -symmetrische Systeme dadurch aus, dass die Eigenwerte stets reell sind oder als komplex konjugierte Paare auftreten. Für Matrizen ist dies äquivalent dazu, dass das charakteristische Polynom reell ist (d. h., dass alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms reell sind). Betrachte nun eine allgemeine 2 2-Matrix ( ) a b M =. (1.21) c d 13

14 1 Grundlagen Ihr charakteristische Polynom lautet χ M (λ) = λ 2 (a + d) λ + ad bc, (1.22) sodass sie genau dann PT -symmetrisch ist, wenn die beiden Bedingungen Im(a + d) = 0 und Im(ad bc) = 0 (1.23) erfüllt sind. Erstere ist äquivalent zu Im(a) = Im(d), sodass man für letztere die Gleichung Im(a) (Re(d) Re(a)) Re(b) Im(c) Im(b) Re(c) = 0 (1.24) erhält. Für die Eigenwerte erhält man damit λ ± = 1 2 (a + d) ± 1 2 (a d) 2 + 4bc. (1.25) Man bemerke, dass die Diskriminante wegen der PT -Symmetrie stets reell ist. Damit erhält man einen kritischen Punkt (λ + = λ ), wenn die Parameter die Gleichung (a + d) 2 4 (ad bc) = (a d) 2 + 4bc = 0 (1.26) erfüllen. In diesem Fall gilt selbstverständlich ( ) (a d)/2 d det(m λi) = det = 1 ( (a d) 2 + 4bc ) = 0, (1.27) c (d a)/2 4 sodass der Nullraum von M λi nicht nulldimensional ist. Darüber hinaus sieht man an der Form von M λi, dass der Nullraum genau dann zweidimensional ist, wenn M λi die Nullmatrix ist, also a d = b = c = 0 gilt. Dies ist aber äquivalent dazu, dass M schon diagonal ist. Andernfalls ist er zweidimensional und es handelt sich bei dem kritischen Punkt um einen exzeptionellen Punkt, an welchem die Matrix nicht diagonalisierbar ist. 14

15 2 Numerische Behandlung des Harmonischen Oszillators mit singulären Störungen Zuerst soll das Modell (1.1) mit einer numerischen Methode untersucht werden und die dabei gewonnen Beobachtungen diskutiert werden, bevor in den Kapitel 4 und 5 eine störungstheoretische und eine analytische Methode verwendet werden. In Abschnitt 2.1 wird die numerische Methode, die verwendet wurde, besprochen. In den darauffolgenden Abschnitten werden dann die Ergebnisse für verschiedene Wahlen der Parameter besprochen. Hierbei soll ausschließlich der PT -symmetrische Fall s g = s r und s u = is i berücksichtigt werden, da dieser dem physikalisch interessanten Fall entspricht. 2.1 Numerische Methode Um die Differentialgleichung (1.1) numerisch zu lösen, ist es denkbar, die Funktionen in der Basis des Harmonischen Oszillators zu entwickeln. Dann lassen sich die Operatoren als unendlichdimensionale Matrizen darstellen, deren Eigenwerte es zu bestimmen gilt. Zur numerischen Lösung könnte man nun die Funktionen durch eine Linearkombination der ersten N Eigenwerte approximieren und die Operatoren entsprechend durch N N-Matrizen. Im Fall der δ-potentiale fallen die Matrixelemente jedoch sehr langsam ab. 1 Daher müssen zur korrekten Bestimmung der niedrigsten Eigenwerte schon sehr große Matrizen verwendet werden. Aus diesem Grund wird hier eine andere numerische Methode verwendet. Der Leitgedanke dieser Methode ist, die Differentialgleichung (1.1) zu lösen unter der Bedingung, dass die Wellenfunktion für x ± abfällt. Dazu wird dieses Randwertproblem mithilfe eines einfachen Schießverfahrens auf ein Anfangswertproblem reduziert, dessen numerische Behandlung sehr gut verstanden ist (vgl. z. B. [14, Kap. 18]). Weitere Vorteile dieser Methode sind, dass dabei nicht nur die Eigenwerte berechnet werden, sondern auch die Wellenfunktionen, und 1 Auf diese Problematik wird auf in Abschnitt 4.5 auf den Seiten 52 bis 54 nochmals eingegangen. 15

16 2 Numerische Behandlung ψ(x) 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,1 0,2 0,3 ψ( x end ) 2 ψ 2 ψ(0), ψ (0) ψ(x) 2 Re(ψ(x)) ψ(x end ) 2 0, x Abbildung 2.1: Veranschaulichung der numerischen Methode zur Bestimmung der Lösungen. dass sie sich auch bei vorhandener Nichtlinearität anwenden lässt, wie es z. B. schon in [7, 13] gemacht wurde. Zu Beginn werden ein Eigenwert µ sowie Anfangswerte ψ(0) und ψ (0) gewählt. Danach kann die Wellenfunktion ψ(x) berechnet werden, z. B. mithilfe eines Runge-Kutta Verfahrens 2. An den Positionen x = ±b der δ-potentiale müssen dabei die Anschlussbedingungen ψ(±b) = lim x ±b ψ(x) = lim x ±b ψ(x) und (2.1) s ± ψ(±b) = lim x ±b ψ (x) lim x ±b ψ (x) (2.2) berücksichtigt werden. Man erhält damit die Werte der Wellenfunktion und deren Ableitung an einem gewählten Endpunkt x end sowie die Norm der Wellenfunktion, wie es in Abb. 2.1 veranschaulicht ist. Für die gesuchten Lösungen sind ψ(x end ) 2 und ψ (x end ) 2 sehr klein und die Norm beträgt eins 3. Daher lassen sich die entsprechenden Eigen- und Anfangswerte mit einer Nullstellensuche 2 Für diese Arbeit wurde ein Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren mit Schrittweitensteuerung verwendet. 3 Im linearen Fall kann die Normierung durch Skalierung der Anfangsbedingungen erreicht werden. Im nicht linearen Fall ist dies nicht mehr möglich und daher muss die Normierungsbedingung explizit berücksichtigt werden. 16

17 2.2 Ergebnisse für eine reelle, gerade Störung oder einer Minimierung bestimmen. 4 Die Konvergenz des Verfahrens kann verbessert werden, indem die Zahl der unbestimmten Freiheitsgrade reduziert wird. Da Gleichung (1.1) eine lineare Differentialgleichung ist, ist mit ψ(x) auch c ψ(x), c C, eine Lösung. Aufgrund der Normierungsbedingung ψ = 1 muss c = 1 gelten, jedoch kann die Phase von c frei gewählt werden. Dieser Freiheitsgrad kann durch die Bedingung Im(ψ(0)) = 0 eliminiert werden. In bestimmten Fällen können auch weitere Symmetrien oder Eigenschaften der Differentialgleichung ausgenutzt werden: Für ein rein reelles Potential z. B. kann die Lösung stets reell gewählt werden, sodass man zusätzlich Im(ψ(x)) 0 voraussetzen kann. Weiter lassen sich die Lösungen im Falle eines geraden Potentials in gerade und ungerade Lösungen unterteilen. Für gerade Lösungen gilt ψ (0) = 0, für ungerade Lösungen ψ(0) = 0. Ebenso lässt sich für PT -symmetrische Lösungen Re(ψ (0)) = 0 und Im(ψ(0)) = 0 einsetzen (vgl. Abschnitt 1.4). Solche zusätzlichen Bedingungen haben zur Folge, dass zum einen die Dimension des Parameterraums für die Nullstellensuche reduziert wird, vor allem aber auch die Dimension des Lösungsraumes um eine Dimension verringert wird (und damit im besten Fall die Lösung eindeutig wird). Außerdem genügt es für gerade, ungerade und PT -symmetrische Lösungen, die Wellenfunktion für x > 0 oder x < 0 zu berechnen, was die Berechnung derselben verkürzt. 2.2 Ergebnisse für eine reelle, gerade Störung Zuerst wird das System für eine reelle, gerade Störung untersucht, wobei s u = 0 ist und s g = s r variiert wird. Die mit der oben beschriebenen numerischen Methode gewonnen Eigenwerte sind in Abb. 2.2 dargestellt. Verschwindet die Störung, so erhält man wie erwartet die Eigenwerte des Harmonischen Oszillators. Nimmt die Stärke der Störung zu, so werden die Eigenwerte kleiner. Dies liegt daran, dass das Doppel-δ-Potential wegen s g < 0 attraktiv ist. Zudem bleibt das Eigenwertspektrum stets reell; dies verkörpert den Umstand, dass eine reelle Differentialgleichung stets reelle (Fundamental-) Lösungen besitzt. Außerdem ist zu bemerken, dass die Störung dieselben Symmetrieeigenschaften wie das Potential des Harmonischen Oszillators besitzt. Dadurch bleibt die Symmetrie der Wellenfunktionen bei Zunahme der Störung erhalten. 4 Obwohl für die gesuchten Lösungen ψ(x end ) 2 und ψ (x end ) 2 i. d. R. nicht exakt verschwinden, hat sich in der Praxis gezeigt, dass eine Nullstellensuche mithilfe des Powell- Hybridverfahrens [15] gute Ergebnisse erzielt und dabei sehr effizient ist. 17

18 2 Numerische Behandlung µ 6 4 Re(µ 0 ) Re(µ 1 ) 2 Re(µ 2 ) Re(µ 3 ) 0 Re(µ 4 ) Re(µ 5 ) Re(µ 6 ) s r Abbildung 2.2: Eigenwerte µ im Falle einer reellen, geraden Störung mit s g = s r und s u = 0 sowie b = 1,0. n = 0 n = 1 1,0 0,5 0 0,5 1,0 1,0 0,5 0 0,5 s r = 0,2 s r = 1,5 s r = 3,0 1, x x Re(ψ(x)) ψ(x) 2 Abbildung 2.3: Wellenfunktionen ψ der zwei niedrigsten Zustände für eine reelle, gerade Störung mit s g = s r und s u = 0 sowie b = 1,0 (vgl. Abb. 2.2). 18

19 2.3 Ergebnisse für eine rein imaginäre, ungerade Störung Auffällig ist der starke Abfall der beiden niedrigsten Eigenwerte: Diese scheinen sogar gegen zu gehen. Dies kann dadurch erklärt werden, dass die Wellenfunktionen sich um die beiden δ-potentiale konzentriert. Damit erinnern sie an die beiden gebundenen Lösungen des geraden Doppel-δ-Potentials ohne Harmonischen Oszillator (vgl. z. B. [16]). Ferner ist zu bemerken, dass die übrigen Eigenwerte für s r gegen einen Grenzwert konvergieren. Auf dieses Verhalten wird in Kapitel 5 genauer eingegangen. 2.3 Ergebnisse für eine rein imaginäre, ungerade Störung Als nächstes wird das Verhalten für eine rein imaginäre, ungerade Störung untersucht. Das Ergebnis für die entsprechenden Eigenwerte ist in Abb. 2.4 dargestellt, und ein paar der entsprechenden Wellenfunktionen in Abb Für kleine Störungen sind die Eigenwerte ebenfalls reell zumindest diejenigen, welche in Abb. 2.4 abgebildet sind (in [12] wird dies für das gesamte Spektrum bewiesen, siehe Seite 41). Zudem sind in Übereinstimmung mit Abschnitt 1.4 sämtliche Wellenfunktionen PT -symmetrisch. Dies sieht man z. B. an den beiden linken Wellenfunktionen in Abb. 2.5: Ihr Realteil ist gerade und ihr Imaginärteil ungerade. Außerdem erkennt man bei diesen Wellenfunktionen Ähnlichkeiten zu den Wellenfunktionen des Harmonischen Oszillators: Das Betragsquadrat besitzt genau so viele Minima wie die entsprechenden Hermite-Funktionen Nullstellen. Bei Zunahme der Störstärke ändert sich jedoch das Spektrum: In Abb. 2.4 sind Paare von Eigenwerten zu erkennen, die jeweils bei einer bestimmten Störstärke s i = s crit i gleich werden. An diesem Punkt findet eine Bifurkation statt. Nach der Bifurkation sind die Eigenwerte nicht mehr reell, sondern treten als komplex konjugierte Paare auf wie es aufgrund der PT -Symmetrie zu erwarten ist (siehe Abschnitt 1.4). Bei der Bifurkation handelt es sich um einen exzeptionellen Punkt. Dies sieht man daran, dass an der Bifurkation nicht nur die Eigenwerte, sondern auch die Wellenfunktionen identisch sind (vgl. Abb. 2.5). Allgemein spricht man bei einem solchen Szenario auch von einer Brechung der PT -Symmetrie. Ändert man den Parameter b (also die Position der δ-potentiale), so ändert sich das Spektrum quantitativ, das oben beschriebene qualitative Verhalten beleibt jedoch erhalten: Es gibt viele Zustandspaare, welche ein solches Bifurkationsszenario durchlaufen, bei welchem die PT -Symmetrie gebrochen wird. Dies bedeutet jedoch auch, dass allein der Parameter s r genügt, um das Auftre- 19

20 2 Numerische Behandlung 12 µ 10 Re(µ 0 ) 8 Re(µ 1 ) Re(µ 2 ) 6 Re(µ 3 ) Re(µ 4 ) 4 Re(µ 5 ) Im(µ 0 ) 2 Im(µ 1 ) Im(µ 2 ) 0 Im(µ 3 ) Im(µ 4 ) Im(µ 5 ) s i Abbildung 2.4: Eigenwerte µ für eine rein imaginäre, ungerade Störung mit den Koeffizienten s g = 0 und s u = is i sowie b = 1,0. s i = 1,0 < s crit i s i = 2,38 s crit i s i = 3,0 > s crit i 0,5 n = 1 0 0,5 n = 2 0,5 0 0, x x Re(ψ(x)) Im(ψ(x)) ψ(x) 2 Abbildung 2.5: Wellenfunktionen ψ zur Quantenzahl n für rein imaginäre, ungerade Störung mit s g = 0. Die Zustände sind gerade diejenigen aus Abb. 2.4 mit der niedrigsten Energie, die für s i = s crit i eine Bifurkation durchlaufen. Die kleinere Quantenzahl entspricht einem kleineren Realbzw. einem negativen Imaginärteil des Eigenwertes. 20

21 2.4 Ergebnisse für gemischte Störungen ten eines exzeptionellen Punktes (zweiter Ordnung) im Spektrum zu erzwingen; die Position der δ-potentiale habe jedoch keinen Einfluss auf das qualitative Verhalten. Auffällig ist auch, dass der Betrag der Wellenfunktionen in Abb. 2.5 glatt erscheint. Dies liegt daran, dass die Lösungen PT -symmetrisch sind und der Realteil des Potentials verschwindet. Mit den Anschlussbedingungen (2.1) und (2.2) erhält man nämlich lim x b ( x ψ(x) 2) lim x b ( x ψ(x) 2) ( = lim ψ (x) ψ(x) + ψ(x) ψ (x) ) ( lim ψ (x) ψ(x) + ψ(x) ψ (x) ) x b x b ( ) ( ) = ψ(b) lim ψ (x) lim ψ (x) + ψ(b) lim ψ (x) lim ψ (x) x b x b x b x b = ψ(b) s + ψ(b) + ψ(b) s + ψ(b) = 2 Re(s + ) ψ(b) 2 (2.3) und analog ( lim x ψ(x) 2) ( lim x ψ(x) 2) = 2 Re(s ) ψ( b) 2. (2.4) x b x b Da in diesem Abschnitt s r = 0 vorausgesetzt wird, gilt Re(s + ) = Re(s ) = 0 und damit ist das Betragsquadrat stetig differenzierbar. Für die in Abb. 2.4 dargestellten Zustände gilt, dass jeweils nur eine Bifurkation durchlaufen wird. Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht der Fall. Dies und weitere Diskussionen des Falles s r = 0 ist auch in [13] zu finden. 2.4 Ergebnisse für gemischte Störungen Bislang wurde nur der Fall berücksichtigt, dass entweder der gerade oder der ungerade Teil der Störung null ist. Sind jedoch beide Teile der Störung ungleich null, so treten weitere Effekte auf. Wählt man die Parameter s i 0 und b fest und variiert s r, so können in diesem Fall auch Bifurkationen und eine Berechnung der PT -Symmetrie auftreten. In Abb. 2.6 sind die niedrigsten Eigenwerte eines solchen Spektrums dargestellt. Dabei führen die Eigenwerte für n = 3 und n = 4 eine Bifurkation durch. Außerdem ist bemerkenswert, dass der Zustand mit Quantenzahl n = 0 stets reell bleibt und für s r gegen einen (endlichen) Grenzwert strebt. Dagegen werden die Realteile der Eigenwerte der Zustände mit n = 1, 2 beliebig klein. Zudem sind deren Eigenwerte komplex (für s r = 0 wurde dies schon in 21

22 2 Numerische Behandlung 12 µ 10 Re(µ 0 ) 8 Re(µ 1 ) Re(µ 2 ) 6 Re(µ 3 ) Re(µ 4 ) 4 Re(µ 5 ) Im(µ 0 ) 2 Im(µ 1 ) Im(µ 2 ) 0 Im(µ 3 ) Im(µ 4 ) Im(µ 5 ) s r Abbildung 2.6: Eigenwerte µ bei Variation des Parameters s r. Dabei sind s i = 3,0 und b = 1,0 fest gewählt. Im Gegensatz zu einer rein reellen, geraden Störung, treten in diesem Fall auch Bifurkationen auf. Abb. 2.4 beobachtet) und der Betrag des Imaginärteils strebt ebenfalls gegen unendlich (für große Werte sogar scheinbar linear). Eine weitere Besonderheit ist in Abb. 2.7 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die zwei niedrigsten Eigenwerte eine Bifurkation durchlaufen, wonach sie komplex werden. Die Beträge der jeweiligen Imaginärteile werden nach der Bifurkation bei zunehmender Störstärke zuerst größer, nehmen dann aber wieder ab und werden bei einer gewissen Störstärke wieder reell. An genau diesem Punkt durchlaufen sie jedoch wieder eine Bifurkation, wobei hier neben den beiden bisher betrachteten auch der dritt-kleinste Eigenwert an der Bifurkation beteiligt ist. Ferner sieht man in Abb. 2.7, dass an diesem Punkt alle drei Wellenfunktionen zusammenfallen. Daher handelt es sich bei diesem Punkt um einen exzeptionellen Punkt dritter Ordnung. Weiter ist zu bemerken, dass der exzeptionelle Punkt dritter Ordnung kein isolierter Punkt im Parameterraum (s r, s i, b) ist: Ändert man einen der drei Parameter, so lassen sich die beiden übrigen so variieren, dass man wieder einen exzeptionellen Punkt dritter Ordnung erhält. Dies deutet darauf hin, dass im PT -symmetrischen Fall nur zwei Kontrollparameter nötig sind, um einen exzeptionellen Punkt dritter Ordnung zu erhalten. 22

23 2.4 Ergebnisse für gemischte Störungen µ Re(µ 0 ) 1 Re(µ 1 ) 0 Re(µ 2 ) Im(µ 0 ) 1 Im(µ 1 ) Im(µ 2 ) x s i Re(ψ(x)) Im(ψ(x)) ψ(x) 2 Abbildung 2.7: Exzeptioneller Punkt dritter Ordnung. Links sind die drei niedrigsten Eigenwerte für eine Störung mit den Parametern s r = 0,45 und b = 0,977 in Abhängigkeit von s i dargestellt. Auf der rechten Seite sind die drei jeweiligen Eigenfunktionen dargestellt für s i = 2,78 (nahe des exzeptionellen Punktes dritter Ordnung). 23

24 2 Numerische Behandlung 2.5 Anzahl der Kontrollparameter Wie in den vorigen Abschnitte 2.3 und 2.4 schon bemerkt wurde, genügt im PT -symmetrischen Fall u. U. die Variation eines Kontrollparameters, um einen exzeptionellen Punkt zweiter Ordnung, bzw. die Variation zweier Kontrollparameter, um einen exzeptionellen Punkt dritter Ordnung zu erhalten. In den nicht PT -symmetrischen Systemen waren jedoch stets zwei Kontrollparameter nötig um einen EP2 zu erhalten. Heiss gibt sogar an, dass zur Erzeugung eines EPN (zumindest für komplex symmetrische Matrizen) (N 2 + N 2)/2 reelle Parameter nötig seien, siehe [2a]. Damit wären jedoch für einen EP2 zwei Kontrollparameter nötig und für einen EP3 sogar fünf. Dies lässt darauf schließen, dass in PT -symmetrischen Systemen i. Allg. weniger Kontrollparameter notwendig sind. Um dies genauer zu untersuchen, soll nochmals das PT -symmetrische zweidimensionale Matrixmodell aus Abschnitt 1.5 betrachtet werden für den Spezialfall a i 0. Mit den Bezeichnungen a r = Re(a), a i = Im(a) usw. lautet Bedingung (1.26) für das Auftreten eines exzeptionellen Punktes (a r d r ) ( b r c r b i c i a 2 i ) = 0 (2.5) und Bedingung (1.24) für die PT -Symmetrie entsprechend a i (d r a r ) b r c i b i c r = 0. (2.6) Letztere kann in diesem Fall nach a r d r aufgelöst werden. Damit lautet Gleichung (2.5) (b r c i + b i c r ) a 2 i ( br c r b i c i a 2 i ) = 0. (2.7) Dies kann als eine quadratische Gleichung in den Variablen b r, b i, c r, c i und a 2 i betrachtet werden. Die Existenz einer (reellen) Lösung für eine dieser Variablen hängt nur von dem Vorzeichen der jeweiligen Diskriminante D ab. Bemerkenswert ist jedoch, dass diese stetig von den anderen Variablen abhängt. Ist damit aber D > 0 für einen gewissen Wert der anderen Variablen, so auch in einer Umgebung des selbigen und es existieren zwei Lösungen in eben dieser Umgebung. Zudem fällt jedoch auf, dass Gleichung (2.7) nicht von a r abhängt. Dadurch ist das Auftreten des exzeptionellen Punktes nicht von diesem Parameter abhängig. Dies bedeutet, dass für ein PT -symmetrisches System i. Allg. die Variation eines Kontrollparameters ausreicht, um einen EP2 zu erzwingen. Mithilfe eines zweiten Kontrollparameters kann höchstens bestimmt werden, ob das 24

25 2.5 Anzahl der Kontrollparameter System überhaupt einen exzeptionellen Punkt zweiter Ordnung besitzt oder nicht. Dabei muss dieser zweite Parameter jedoch nicht genau bestimmt sein: Es genügt, dass er in einem bestimmten Bereich liegt. Zudem gibt es auch Kontrollparameter, die keinerlei Einfluss auf das Auftreten von exzeptionellen Punkten besitzen. 5 Betrachte nun noch einmal den allgemeineren Fall eines exzeptionellen Punktes N-ter Ordnung. Da Ähnlichkeitstransformationen die Normalform der Matrix nicht ändern, ist es sinnvoll, für die Diskussion der Anzahl an Kontrollparametern charakteristische Größen von Matrizen zu betrachten, die invariant unter Ähnlichkeitstransformation sind. Eine ebensolche Größe ist das charakteristische Polynom. Um dieses so zu beeinflussen, dass N Eigenwerte aufeinanderfallen bzw. dieses die Form (λ λ 0 ) N besitzt, sind im allgemeinen komplexen Fall 2N 2 Parameter nötig (denn zwei Kontrollparameter ändern nur den Wert von λ 0 ). Im PT -symmetrischen Fall ist das charakteristische Polynom jedoch stets reell, sodass sich die Parameterzahl auf N 1 verringert (aus der Forderung, dass das charakteristische Polynom reell ist, erhält man N 1 zusätzliche Bedingungen ). In diesen Überlegungen wurde bisher allerdings nur die algebraischen Vielfachheit berücksichtigt, nicht jedoch die geometrische. In Anbetracht der obigen Diskussion ist zu vermuten, dass weitere Parameter nicht exakt gewählt werden müssen, um das System zum exzeptionellen Punkt zu bringen, sondern nur in einem bestimmten Bereich liegen müssen. Eine genauere, mathematische Untersuchung dieses Sachverhaltes wäre jedoch ein Thema für folgende Arbeiten. 5 Genau genommen müssten für die Aussagen, die in diesem Absatz gemacht wurden, auch noch der Fall a i = 0 und die Abhängigkeit von d r bzw. a r betrachtet werden. Darauf wird hier jedoch verzichtet. 25

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27 3 Grundlagen der Funktionalanalysis Ziel dieses Kapitels ist es, die Grundlagen der Funktionalanalysis, welche für die störungstheoretische Behandlung des harmonischen Oszillators in Abschnitt 4.1 benötigt werden, knapp darzustellen. Für eine ausführlichere Diskussion sei auf einschlägige Literatur verwiesen, z. B. [17 20]. 3.1 Hilberträume Betrachte einen Vektorraum H über C. Eine Abbildung (, ) : H H R heißt Skalarprodukt, wenn sie hermitesch, positiv definit und linear im ersten Argument ist: (v, w) = (w, v), (3.1) (v, v) 0 und (v, v) = 0 v = 0, (3.2) (v, α 1 w 1 + α 2 w 2 ) = α 1 (v, w 1 ) + α 2 (v, w 2 ) (3.3) für alle v, w, w 1, w 2 H und alle α 1, α 2 C. Damit ist eine Skalarprodukt auch sesqui-linear: (α 1 v 1 + α 2 v 2, w) = α 1 (v 1, w) + α 2 (v 2, w). (3.4) Ferner wird über v = (v, v) 1/2 eine Norm induziert. Eine Norm auf H nennt man eine Abbildung : H R, die definit und homogen ist und die Dreiecksungleichung erfüllt: v 0 und v = 0 v = 0, (3.5) αv = α v, (3.6) v + w v + w (3.7) für alle v, w H und alle α C. Sei nun H ein Vektorraum über C und (, ) eine Skalarprodukt auf H. Eine Folge (v n ) in H ist eine Cauchy-Folge, wenn sie die Bedingung ε > 0 N N : n, k > N v n v m < ε (3.8) 27

28 3 Grundlagen der Funktionalanalysis erfüllt. Ferner nennt man (v n ) konvergent, wenn ein Element v H (genannt Grenzwert) existiert, sodass ε > 0 N N : n > N v n v < ε. (3.9) Man erkennt leicht, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Diejenigen Räume H, in denen auch die Umkehrung gilt (d. h. jede Cauchy-Folge ist auch konvergent), nennt man Hilberträume. Eine weitere wichtige Eigenschaft ist die Separabilität: Einen Vektorraum nennt man separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge M besitzt, d. h., wenn jedes Element v H beliebig genau durch ein Element w der abzählbaren Menge M H approximiert werden kann. Im folgenden sollen stets separable Hilberträume betrachtet werden. Die lineare Hülle einer Menge M H ist definiert als lsp M = { n i=0 α i m i n N, αi C, m i M }. (3.10) Eine Familie (v n ) n N nennt man eine Basis von H, wenn der Abschluss ihrer linearen Hülle gleich dem gesamten Hilbertraum H ist. Eine besondere Rolle spielen Orthonormalbasen: Dies sind (abzählbare) Familien (v n ) n N, welche eine Basis bilden und (v n, v m ) = 0 sowie (v n, v n ) = 1 für alle n m für alle n erfüllen. Orthonormalbasen geben die Möglichkeit der Fourier-Zerlegung: Für all w H ist w = n (v n, w) v n und w = n (v n, w) 2. (3.11) Letztere Gleichung ist als Parseval-Gleichung bekannt. Man bemerke, dass jeder separable Hilbertraum eine solche Orthonormalbasis besitzt. Beispiele für Hilberträume sind die Räume L 2 (Ω) und l 2 (N). Dies sind die Räume aller quadratintegrierbaren Funktionen auf Ω bzw. aller quadratsummierbaren Folgen. Es kann gezeigt werden, dass jeder Hilbertraum isomorph ist zu l 2 (N). Der Isomorphismus ist dabei durch die Fourierzerlegung mittels einer beliebigen Orthonormalbasis (v n ) n N von H gegeben: H l 2 (N) : w ( (v n, w) ) n N (3.12) (vgl. Gleichung (3.11)). 3.2 Beschränkte Operatoren Eine Operator T ist eine lineare Abbildung H H, d. h. er erfüllt die Gleichungen T (α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 T v 1 + α 2 T v 2. (3.13) 28

29 3.2 Beschränkte Operatoren Mit dieser Definition folgt sofort, dass ein Operator genau dann (folgen-)stetig ist, wenn wenn er im Nullpunkt (folgen-)stetig ist. Einen linearen Operator T nennt man beschränkt, wenn eine positive reelle Zahl b existiert, sodass für alle v H T v b v (3.14) ist. Das Infimum über alle solche b ist die Operatornorm von T : T = inf{b > 0 T v b v v H}. (3.15) Aus der Linearität folgt, dass ein Operator genau dann stetig ist, wenn er beschränkt ist. Einen beschränkten Operator nennt man invertierbar, wenn die Inverse T 1 existiert. Diese ist der Operator, welcher die Gleichung T T 1 v = T 1 T v = v für alle v H erfüllt. Existiert die Inverse, so ist sie eindeutig bestimmt und erfüllt folgende Gleichungen: (T 1 ) 1 = T, (T 1 T 2 ) 1 = T 1 2 T 1 1 und (αt ) 1 = α 1 T 1. (3.16) Der adjungierte Operator T von T ist definiert als derjenige Operator, für welchen die Gleichung (v, T w) = (T v, w) für alle v, w H erfüllt ist. Jeder beschränkte Operator besitzt eine (eindeutig bestimmte) Adjungierte. Es gilt T = T sowie (T ) = T, (T 1 T 2 ) = T 2 T 1 und (α 1 T 1 + α 2 T 2 ) = α 1 T 1 +α 2 T 2. (3.17) Ist T invertierbar, so ist auch der adjungierte Operator T invertierbar und es ist (T ) 1 = (T 1 ). Neumann-Reihe Die Neumann-Reihe [20, Kap. I.4.4.] liefert ein nützliches Hilfsmittel zur Berechnung der Inversen eines Operators. Betrachte einen beschränkten Operator T mit T < 1. Dann gilt k T n l T n n=0 n=0 = k T n k T n=l+1 n=l+1 n (3.18) und aus der Konvergenz der geometrischen Reihe n T n folgt die Konvergenz der Reihe n T n. Ferner erhält man (I T ) k T n x = k (I T )x n=0 n=0 = x T k+1 x x für k. (3.19) 29

30 3 Grundlagen der Funktionalanalysis Dies zeigt, dass der Operator I T invertierbar ist, wobei die Inverse gegeben ist durch n T n. Eine Verallgemeinerung erhält man, wenn man zwei beschränkte Operatoren T und S betrachtet, wobei S invertierbar und T S 1 < 1 ist. In diesem Fall gilt: (S T ) 1 = S 1 (I T S 1 ) 1 = S 1 n (T S 1 ) n = S 1 + S 1 T S 1 + S 1 T S 1 T S (3.20) 3.3 Unbeschränkte Operatoren Die Praxis zeigt jedoch, dass es nicht ausreicht, beschränkte Operatoren zu betrachten. Der Ortsoperator der Quantenmechanik, ψ(x) x ψ(x), (3.21) kann in L 2 (R) nicht beschränkt sein: Für die Funktionen φ n mit 1 für n < x < n + 1 und φ n (x) = 0 sonst (3.22) gibt es keine reelle Zahl b, sodass Gleichung (3.14) für alle φ n erfüllt wird. Genauso ist der Harmonische Oszillator unbeschränkt: Dieser besitzt die Eigenwerte ω (n + 1/2); die Norm muss aber mindestens so groß sein, wie der Betrag jedes Eigenwertes. Des weiteren ist auch der Impulsoperator ψ(x) i x ψ(x) (3.23) in L 2 (R) unbeschränkt: Dieser lässt sich nur für die stetig differenzierbaren Funktionen definieren, nicht jedoch für beliebige Funktionen. Außerdem gibt es nach [18, Theorem ] keine beschränkte Operatoren P und Q, die die Kommutatorrelation [P, Q] = P Q QP = αi (3.24) für ein α C \ {0} erfüllt. Daher soll in diesem Abschnitt kurz auf unbeschränkte Operatoren eingegangen werden. Ausführliche Darstellungen findet man z. B. in [18, Kap. 3] oder [21, Kap. VIII.]. Unbeschränkte Operatoren T sind (siehe oben) i. d. R. nicht auf ganz H definiert, sondern nur auf einem Teilraum. Dieser wird das Definitionsgebiet von T genannt und mit D(T ) bezeichnet. Die Menge aller Bilder ist 30

31 3.4 Resolvente und Spektrum der Bildraum R(T ) = T D(T ). Der Nullraum von T ist die Menge N(T ) = {v D(T ) T v = 0}. Anstelle des fehlenden Stetigkeitsbegriffes tritt für unbeschränkte Operatoren der Begriff der Abgeschlossenheit. Ein Operator T ist abgeschlossen, wenn sein Graph {(v, T v) H H v D(T )} eine abgeschlossene Teilmenge von H H ist. Dies ist äquivalent dazu, dass für jede Folge (v n ) in H mit v n v und T v n w auch v D(T ) und T v = w gilt. 3.4 Resolvente und Spektrum Betrachte einen (beschränkten oder unbeschränkten) Operator T. Die Resolventenmenge ρ(t ) von T ist definiert als die Menge aller λ C, für die das Bild R(λI T ) dicht in H liegt und der Operator λi T stetig invertierbar ist. Die Inverse (λi T ) 1 wird als Resolvente R(λ, T ) bezeichnet. Das Spektrum σ(t ) ist die Komplementärmenge der Resolventenmenge: σ(t ) = C \ ρ(t ). Das Spektrum lässt sich in mehrere Teile aufteilen. Das diskrete Spektrum σ p (T ) besteht aus den Punkten λ, für die λi T nicht invertierbar ist, also der Kern N(λI T ) nicht leer ist. Dies bedeutet, dass die Eigenwertgleichung T v = λv (3.25) eine nicht triviale Lösung besitzt. Eine solche Lösung nennt man Eigenvektor, den zugehörigen Wert λ Eigenwert und den Unterraum N(λI T ) Eigenraum. Das stetige Spektrum σ c (T ) ist die Menge der komplexen Zahlen λ, für die das Bild R(λI T ) zwar dicht ist, aber nicht abgeschlossen. Für abgeschlossene Operatoren ist damit auch die Inverse (λi T ) 1 sofern sie existiert nicht beschränkt. Das diskrete und stetige Spektrum bilden zusammen den Kern ˆσ(T ) des Spektrums: ˆσ(T ) = σ p (T ) σ c (T ). Den letzten Teil des Spektrums bildet das Residualspektrum σ r (T ) = σ(t ) \ ˆσ(T ). Für λ σ r (T ) liegt das Bild R(λI T ) nicht dicht in H. Das Residualspektrum σ r (T ) ist disjunkt zum Kern ˆσ(T ) des Spektrums. 3.5 Spezielle Klassen beschränkter Operatoren In diesem Abschnitt wird auf ein paar besondere Klassen von beschränkten Operatoren eingegangen, die später eine Rolle spielen. 31

32 3 Grundlagen der Funktionalanalysis Kompakte Operatoren Ein beschränkter Operator T ist kompakt, wenn der Abschluss des Bildes T B der Einheitskugel B = {v H v 1} kompakt ist. Eine äquivalente Charakterisierung ist diejenige, dass die Bildfolge (T v n ) einer beliebigen Folge (v n ) eine Teilfolge besitzt, welche eine Cauchy-Folge ist. Das Spektrum kompakter Operatoren besitzt eine sehr einfache Struktur: Nach dem Spektralsatz von Riesz-Schauder besteht es aus abzählbar vielen Punkten, wobei 0 der einzig mögliche Häufungspunkt ist; zudem ist jeder Punkt λ 0 im Spektrum ein Eigenwert mit endlichdimensionalem Eigenraum (vgl. [17, Kap. X], [18, Kap. 3.9] oder [20, Kap. III.6.7.]). Für kompakte Operatoren T, die zusätzlich selbstadjungiert sind (also T = T gilt), lassen sich noch genauere Aussagen treffen: Für diese ist jeder Eigenwert reell und es existieren orthonormierte Vektoren v k, sodass T v = k λ k (v k, v) v k, (3.26) gilt. Dabei ist jedes v k ein Eigenvektor von T zum Eigenwert λ k. Mit Gleichung (3.17) sieht man, dass jeder beliebige kompakte Operator die Gleichung T T = T T erfüllt. Somit lässt sich insbesondere T T über Gleichung (3.26) darstellen: T T v = k λ k (v k, v) v k. (3.27) Außerdem gilt λ k = (v k, T T v k ) = (T v k, T v k ) = T v k, sodass alle Eigenwerte λ k nicht negativ sind. Damit lassen sich die Singulärwerte σ k = λ 1/2 k einführen. Mit diesen gilt T T v = k σ2 k (v k, v) v k, σ k 0. (3.28) Dann sind auch die Vektoren w k = σk 1 T v k orthonormiert [20, Kap. V.2.3.] und T lässt sich mithilfe der Schmidt-Reihe T v = k σ k (v k, v) w k (3.29) darstellen. Damit besitzen kompakte Operatoren eine große Ähnlichkeit zu (endlichdimensionalen) Matrizen Schattenklassen Eine wichtige Klasse von kompakten Operatoren sind die Schattenklassen- Operatoren. Die Schattenklassen besitzen dabei ähnliche Eigenschaften wie die l p -Räume. Eine genaue Diskussion der Schattenklasse ist in [22] zu finden. 32

33 3.5 Spezielle Klassen beschränkter Operatoren Für jeden kompakten Operator T lässt sich mithilfe seiner Singulärwerte σ k für 1 p < folgende Norm einführen: T Sp = ( k σp k) 1/p. (3.30) Die Räume S p = {T : H H T kompakt und T Sp < } heißen Schattenklassen und sind mit der Norm Sp Banachräume. Die Normen erfüllen dabei die Hölder-Ungleichung: Ist S S p und T S q (mit p, q 1), so gilt ST Sr S Sp T Sq für 1 r = 1 p + 1 q 1 (3.31) und damit liegt ST in S r. Außerdem folgt aus obiger Definition (3.30) der Norm und den entsprechenden Eigenschaften der l p -Normen, dass für alle p, q mit 1 p q die Ungleichung T Sp T Sq für alle T S q gilt und damit S p S q ist. Daher kann die Bedingung 1/r = 1/p + 1/q in Gleichung (3.31) durch die schwächere Bedingung 1/r 1/p + 1/q ersetzt werden. Außerdem gilt stets T T Sq, was sich mithilfe der Schmidt-Zerlegung (3.29) leicht nachprüfen lässt. Da stets 1/p 1/p + 1/p gilt, erhält man für alle S, T S p aus der Hölder- Ungleichung ST Sp S Sp T Sp. (3.32) Dies bedeutet, dass die Schattenklassen S p mit der Komposition von Operatoren Banachalgebren bilden. Eine weitere Besonderheit ist, dass die Schattenklassen zweiseitige Ideale in der Banachalgebra der beschränkten Operatoren darstellen. Das heißt, mit T 1 und T 2 liegt auch T 1 + T 2 in S p und mit T auch ST sowie T S für jeden beschränkten Operator S (außerdem gilt weder S p = {0} noch S p = B, wenn B die Menge der beschränkten Operatoren bezeichnet). Des weiteren gilt für alle beschränkten Operatoren S 1 und S 2 und alle T S p die Ungleichung S 1 T S 2 Sp S 1 T Sp S 2 (3.33) und für jeden Operator T von Rang eins ist T Sp = T. Ferner lässt sich für Operatoren T aus S 1 die Spur trace T = n (v n, T v n ) (3.34) 33

34 3 Grundlagen der Funktionalanalysis definieren, wobei (v n ) n N eine Orthonormalbasis von H ist. Diese konvergiert absolut und ist unabhängig von der gewählten Basis (v n ) n N. Damit gilt dann T S1 = trace T, (3.35) wobei T derjenige (eindeutig bestimmte) Operator ist, welcher T 2 = T T erfüllt. Daher nennt man die Operatoren aus S 1 Spurklasseoperatoren. Die Operatoren aus S 2 heißen auch Hilbert-Schmidt-Operatoren. Mit dem Skalarprodukt (S, T ) S2 = trace (T S) bilden sie einen Hilbertraum. 34

35 4 Störungstheoretische Behandlung des harmonischen Oszillators mit singulären Störungen In diesem Kapitel wird der Harmonische Oszillator mit singulären Störungen störungstheoretisch behandelt. Dabei werden die Eigenwerte µ der Gleichung (1.1) mithilfe einer Störungsreihe bestimmt. Im ersten Abschnitt werden die grundlegenden Schritte vorgestellt, die zur Herleitung der Störungsreihe nach [12] nötig sind. Danach werden die Terme niedrigster Ordnung berechnet und in Abschnitt 4.3 die Approximation aus [12b] vorgestellt. Zuletzt wird untersucht, welche Aussagen über das Spektrum mithilfe der Störungsreihe gemacht werden können. 4.1 Herleitung der Störungsreihe Mathematische Formulierung des Problems Bevor die Herleitung der Störungsreihe gezeigt wird, soll zuerst die mathematische Formulierung des Problems in der Sprache der Funktionalanalysis dargestellt werden. Dabei wird die Differentialgleichung (1.1) als Eigenwertgleichung eines Operators auf dem Raum L 2 (R) der quadratintegrierbaren Funktionen f : R C aufgefasst. Der Harmonische Oszillator ist dabei gegeben durch den Operator L 0 mit ( ) 2 d (L 0 ψ)(x) = ψ(x) + x 2 ψ(x). (4.1) dx Sein Spektrum ist diskret und besteht nur aus dem Punktspektrum. Es enthält die Werte z n = 2n + 1, n N, mit den dazugehörigen Eigenfunktionen h n (x) = ( 2 n n! n ) 1/2 exp( x 2 /2) H n (x), (4.2) wobei H n die Hermite-Polynome bezeichnen. Diese sind gegeben durch die Rodrigues-Formel ( ) n d H n (x) = ( 1) n exp(x 2 ) exp( x 2 ). (4.3) dx 35