Übung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS Übungsblatt 12

Transkript

1 Übung zur Vorlesung Statistik I für iowissenschaften WS Übungsblatt Januar 2016 ufgabe 39 (5 Punkte): etrachten Sie den Datensatz in lutdruckstudie.txt. (2 P) Führen Sie für die lutdruckveränderung (vorher - nachher) jeweils in der Placebo- (Gruppe=0) und Medikamentengruppe (Gruppe=1) den zweiseitigen t-test für verbundene Stichproben auf dem Niveau α = 0.05 durch. Geben Sie die P-Werte an und diskutieren Sie das Ergebnis. (2 P) Führen Sie für den lutdruck vorher, nachher und für die lutdruckveränderung Zweistichproben t-tests durch. (1 P) Mit welchem der Tests aus den vorangegangenen Teilaufgaben kann die Wirksamkeit des Medikaments am besten nachgewiesen werden? Hinweis: Nützliche R- efehle: subset und t.test. Verwenden Sie bei den Zweistichproben t-tests immer die Option var.equal=true. Lösung: > Daten <- read.table("lutdruckstudie.txt", header=true) > Daten$diff <- Daten$vorher - Daten$nachher > DatenPlacebo <- subset(daten, Gruppe==0) > DatenMedikament <- subset(daten, Gruppe==1) > # > TTEST_Placebo <- t.test(datenplacebo$vorher, DatenPlacebo$nachher, + paired=true) > PPlacebo <- TTEST_Placebo$p.value > PPlacebo

2 [1] > # > TTEST_Medikament <- t.test(datenmedikament$vorher, + DatenMedikament$nachher, paired=true) > PMedikament <- TTEST_Medikament$p.value > PMedikament [1] e-05 Sowohl in der Placebo- als auch in der Medikamentengruppe verringert sich der lutdruck signifikant auf dem 5% Niveau. Offensichtlich hat auch ein Scheinmedikament eine positive Wirkung (Placeboeffekt). llerdings ist die bnahme in der Medikamentengruppe ausgeprägter als in der Placebogruppe. Das weist darauf hin, dass das Medikament eine über den Placeboeffekt hinausgehende Wirkung hat. Der Nachweise der Überlegenheit des Medikaments über das Placebo kann aber nur durch einen Zweistichprobentest erfolgen. > TTESTvorher <- t.test(datenplacebo$vorher, DatenMedikament$vorher, + paired=flse, var.equal=true) > TTESTvorher$p.value [1] > # > TTESTnachher <- t.test(datenplacebo$nachher, DatenMedikament$nachher, + paired=flse, var.equal=true) > TTESTnachher$p.value [1] > # > TTESTdiff <- t.test(datenplacebo$diff, DatenMedikament$diff, + paired=flse, var.equal=true) > TTESTdiff$p.value [1] Durch die verbundenen t-tests kann die Wirksamkeit von Medikament und Placebo nachgewiesen werden. llerdings kann nicht gezeigt werden, dass das Medikament wirksamer als das Placebo ist. Deshalb werden in Medikamentenstudien in der Regel unabhängige Stichproben verglichen. Dafür kommt der Test der lutdruckwerte nachher oder der lutdruckdifferenz in Frage. Da die lutdruckveränderung während der Therapie

3 von primärem Interesse ist, hat der Test der lutdruckdifferenz (diff) die größte ussagekraft. Der Test der aselinewerte (vorher) ist eigentlich bedeutungslos, da in einer randomisierten Studie Unterschiede nur zufällig auftreten können. ufgabe 40 (4 Punkte): (1 P) Laden Sie das R Paket lasso2. In diesem Paket befindet sich der Datensatz Prostate. Machen Sie sich mit dem Datensatz durch ufruf der Hilfe (?Prostate) vertraut. Hinweis: Das R Paket lasso2 kann über de/cran/ mit dem efehl install.packages bezogen und installiert werden. m nfang einer jeden R Sitzung muss es mit library(lasso2) geladen werden. Der Datensatz Prostate wird dann schließlich durch data(prostate) verfügbar gemacht. (2 P) Erstellen Sie getrennt für die Gruppen 50 Jahre und > 50 Jahre Histogramme von lpsa und der Variable exp(lpsa). Warum ist es besser, den t-tests auf die logarithmierten PS Werte (lpsa) und nicht auf die ursprünglichen PS Werte (exp(lpsa)) anzuwenden? Hinweis: Sie müssen die Variable age zunächst dichotomisieren, d.h. eine neue Variable erzeugen, die für alle Männer 50 Jahren 0 und für alle > 50 Jahre 1 annimmt. (1 P) Vergleichen Sie mit Hilfe des zweiseitigen t-tests, ob sich der mittlere logarithmierte PS Wert (lpsa) in der Gruppe der Männer 50 Jahren von der > 50 Jahren auf dem 5% Niveau signifikant unterscheidet. Hinweis: Wenn Sie den t-test mit der Funktion t.test durchführen, müssen Sie die Option var.equal=true setzen. Lösung: uf meinem omputer kann das lasso2 Paket durch folgenden efehl installiert werden: > # install.packages("lasso2",repos=" Jedes Paket muss nur einmal installiert werden. Will man mit lasso2 arbeiten, muss es vor jeder Sitzung durch > library(lasso2) aufgerufen werden. Der Datensatz Prostate ist in lasso2 enthalten und wird mit

4 > data(prostate) verfügbar gemacht. Die ersten Zeilen erhält man durch > head(prostate) lcavol lweight age lbph svi lcp gleason pgg lpsa weiterführende Erläuterungen mit >?Prostate Das Patientenalter age kann durch > Prostate$age_dich <- as.numeric(prostate$age>50) dichotomisiert werden. Wir erstellen für beide ltersgruppen Histogramme des logarithmierten und des ursprünglichen PS Werts. > PR <- par(mfrow=c(2,2)) > hist(prostate$lpsa[prostate$age_dich==0], main="lpsa für <=50 Jahre") > hist(prostate$lpsa[prostate$age_dich==1], main="lpsa für >50 Jahre") > hist(exp(prostate$lpsa[prostate$age_dich==0]), main="psa für <=50 Jahre") > hist(exp(prostate$lpsa[prostate$age_dich==1]), main="psa für >50 Jahre") > par(pr)

5 lpsa für <=50 Jahre lpsa für >50 Jahre Prostate$lpsa[Prostate$age_dich == 0] Prostate$lpsa[Prostate$age_dich == 1] psa für <=50 Jahre psa für >50 Jahre exp(prostate$lpsa[prostate$age_dich == 0]) exp(prostate$lpsa[prostate$age_dich == 1]) Die Verteilung des logaritmierten PS Werts erscheint viel symmetrischer als die der ursprünglichen PS Werte. Da der t-test nur für normalverteilte Daten gültig ist, sollte er nur auf den logarithmierten PS angewandt werden Wir führen den zweiseitigen t-test für lpsa durch: > t.test(prostate$lpsa~prostate$age_dich, var.equal=true) Two Sample t-test data: Prostate$lpsa by Prostate$age_dich t = , df = 95, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean in group 0 mean in group Da der P-Wert P = größer als 0.05 ist, unterscheidet sich der lpsa Wert in den beiden Gruppen nicht signifikant auf dem 5% Niveau.

6 ufgabe 41 (5 Punkte): Ist die Normalverteilungsannahme nicht erfüllt, darf strenggenommen der t-test nicht verwendet werden. Trotzdem wird er in der Praxis auch auf Daten, die offensichtlich nicht normalverteilt sind, angewandt. Das kann dazu führen, dass der Fehler erster rt nicht mehr durch das vorgegebene Signifikanzniveau α beschränkt wird. Die tatsächliche Größe des Fehlers erster rt kann durch Simulationen geschätzt werden. Eine Verteilung, die besonders stark von der Normalverteilung abweicht, ist die Exponentialverteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte ist durch { 0 für t 0 f(t) = λe λt t > 0 definiert. 1 ist der Erwartungswert der Verteilung. In R können exponentialverteilte Zufallszahlen durch rexp erzeugt werden. λ eispielsweise erhält man mit rexp(n=100,rate=1/0.3) eine Stichprobe von 100 exponential verteilter Zufallszahlen mit Erwartungswert 0.3. (1 P) Stellen Sie eine Zufallsstichprobe S exponential verteilter Zufallszahlen mit Erwartungswert 0.3 vom Umfang n = 50 im Histogramm dar. eurteilen Sie anhand des Histogramms die Verteilung der Daten qualitativ. Ist die Verteilung symmetrisch, rechts- oder linksschief? D (1 P) Prüfen Sie für S die (wahre) zweiseitige Nullhypothese H 0 : µ = 0.3 mit dem Einstichproben t-test. erechnen Sie den Wert der Statistik T, geben Sie die nzahl der Freiheitsgrade an und berechnen Sie den P-Wert. (2 P) Untersuchen Sie die uswirkung der Verletzung der Normalverteilungsannahme auf den Fehler 1. rt durch eine Simulation: Erzeugen Sie N = Stichproben exponential verteilter Zufallszahlen mit Erwartungswert 0.3 und Stichprobenumfang n = 50. erechnen Sie für jede der N = Stichproben den P-Wert des Einstichproben t- Test (H 0 : µ = 0.3). estimmen Sie den nteil der P-Werte Interpretieren Sie das Ergebnis. Hinweis: enutzen Sie eine for- Schleife, die N = mal durchlaufen wird. Notieren Sie die P-Werte in einem Vektor PWERTE. estimmen Sie den nteil der P-Werte 0.05 in PWERTE. (1 P) Führen Sie die gleiche Simulation wie in der vorangegangenen Teilaufgabe, jetzt jedoch mit dem größeren Stichprobenumfang n = 1000, durch. Welche uswirkung scheint der Stichprobenumfang n, auf das Ergebnis zu haben?

7 Lösung: > set.seed(3697) > S <- rexp(n=50,rate=1/0.3) > hist(s) Histogram of S S Die Exponentialverteilung ist eine rechtsschiefe Verteilung, die wenig Ähnlichkeiten mit der Normalverteilung aufweist. > M <- mean(s) > SD <- sd(s) > n <- 50 > mu0 <- 0.3 > T <- (M-mu0)/SD*sqrt(n) > T [1] > DF <- n-1 > P <- 2*pt(-abs(T), df=df) > P

8 [1] > N < > n <- 50 > PWERTE <- numeric(n) > for(i in 1:N){ + S <- rexp(n=n,rate=1/0.3) + PWERTE[i] <- t.test(s,mu=0.3)$p.value + } > sum(pwerte<=0.05)/n [1] Offensichtlich begeht man etwas häufiger einen Fehler erster rt als durch α = 0.05 zugelassen wird. Die Erhöhung des α- Niveaus ist jedoch eher moderat. Der t-test scheint auch bei starker Verletzung der Normalverteilungsannahme noch brauchbar zu sein. D > N < > n < > PWERTE <- numeric(n) > for(i in 1:N){ + S <- rexp(n=n,rate=1/0.3) + PWERTE[i] <- t.test(s,mu=0.3)$p.value + } > sum(pwerte<=0.05)/n [1] Das α-niveau (Signifikanzniveau) wird fast exakt eingehalten. Je größer die Stichprobe, umso weniger scheint die Verletzung der Normalverteilung eine Rolle zu spielen. Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den direkt an Ihre(n) Tutor(in): r3p10id0@zedat.fu-berlin.de (Ivo Soares Parchao) nebenbahnhof@googl .com (en Hillmer)