Übung zur Vorlesung Statistik I für Biowissenschaften WS Übungsblatt 7

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1 Übung zur Vorlesung Statistik I für iowissenschaften WS Übungsblatt November 205 ufgabe 9 (4 Punkte): eim Gesellschaftsspiel Mensch ärgere ich nicht muss man eine Sechs würfeln, um eine Figur auf das Startfeld setzten zu dürfen. Man darf in jeder Runde genau einmal würfeln. ( P) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, genau beim vierten Versuch eine Sechs zu würfeln. ( P) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, schon innerhalb der ersten drei Runden eine Sechs zu würfeln? (2 P) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die nzahl der Würfe, die man braucht um eine Sechs zu würfeln, ungerade ist? Hinweis: Geben Sie zunächst für eine beliebige ungerade Zahl 2k, k =, 2,... die Wahrscheinlichkeit an, dass man genau 2k mal Würfeln muss, um eine Sechs zu würfeln. enutzen Sie dann die Summenformel der geometrischen Reihe: q k = für < q <. q k=0 Lösung: ie nzahl k der benötigten Würfe ist geometrisch verteilt (=Warten auf den Erfolg) mit Trefferwahrscheinlichkeit p = /6. Genau beim vierten Versuch eine Sechs zu würfeln bedeutet dreimal keine Sechs und beim vierten Versuch eine Sechs zu würfeln: ( )

2 > (5/6)^3*/6 [] Hier wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, dass ein, zwei oder drei Würfe benötigt werden: > p <- /6 > p+(-p)*p+(-p)^2*p [] p + ( p)p + ( p) 2 p Für eine beliebig vorgegebene ungerade Zahl 2k, k =, 2,... beträgt die Wahrscheinlichkeit, 2k mal würfeln zu müssen ( ) 2k Wir summieren diese Wahrscheinlichkeiten für k =, 2,... auf: ( ) [ 2k = (5 ) ] 2 k 6 6 k= k= [ (5 ) ] 2 k > /6/(-(5/6)^2) = 6 = 6 k=0 ( ) 2 [] ufgabe 20 (6 Punkte): ( P) erechnen Sie mit R die Wahrscheinlichkeit, dass die Standardnormalverteilung Werte zwischen und 3 annimmt. ( P) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Normalverteilung mit Erwartungswert µ = und Varianz σ 2 = 4 Werte zwischen 0.5 und 7 annimmt. ( P) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gleichverteilung in den Grenzen und 2 Werte zwischen und 3 annimmt.

3 E (2 P) Geben Sie die (kumulierte) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung für beliebigen Parameter λ > 0 an. ( P) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die hiquadrat-verteilung mit 3 Freiheitsgraden Werte kleiner oder größer 2 annimmt Hinweis: enutzen Sie die Funktionen pnorm, punif und pt. Lösung: ie Wahrscheinlichkeit ist > pnorm(3) - pnorm(-) [] > pnorm(7,mean=, sd=2) - pnorm(0.5,mean=, sd=2) [] ie ichte der Gleichverteilung ist { t 2 f(t) = 3 0 sonst ie gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt daher 3 f(t) dt = 2 3 dt = 3 ie ichte der Exponentialverteilung ist φ(t) = λe λt. amit errechnet sich die zugehörige kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu F (x) = φ(t) dt = λe λt dt = e λx E > -(pchisq(2, df=3)-pchisq(, df=3)) [] ufgabe 2 (5 Punkte):

4 ( P) Zeigen Sie, dass die Funktion f(t) = eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. { t 2 t 0 sonst Hinweis: Prüfen Sie die Normierungsbedingung. (2 P) erechnen Sie die (kumulierte) Verteilungsfunktion F (x) zur Wahrscheinlichkeitsdichte f(t). ( P) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die durch f(t) bzw. F (x) definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung Werte zwischen und 3 annimmt. ( P) Erstellen Sie in R einen Plot von F im ereich ( 6, 5). Lösung: Hinweis: Implementieren Sie F zunächst so, dass beliebige reelle Werte t (auch t <!) korrekt verarbeitet werden. a dazu eine if- Verzweigung benötigt wird, kann die so implementierte Funktion noch nicht geplottet werden (Warum?). Verwandeln Sie Ihre Funktion mit Hilfe der Funktion Vectorize in eine plottbare Funktion (Was macht Vectorize?). Es gilt für alle t IR f(t) 0 und f(t) dt = dt t 2 =. Es gilt { dt = x F (x) = t 2 x 0 sonst F (3) F () = 3 0 = 2 3. > FH <- function(x) if(x<) return(0) else return(-/x) > F <- Vectorize(FH) > plot(f,-6,5, ylim=c(0,))

5 F x emerkung: ie Funktion FH kann nicht geplottet werden, da die logische Verzweigung in der Implementation die korrekte Verarbeitung von Vektoren nicht erlaubt. urch Vectorize kann eine Funktion, die Vektoren nicht komponentenweise verarbeitet, in eine plottfähige umgewandelt werden. ufgabe 22 (2 Punkte): Welche der folgenden ussagen sind wahr? ie Wahrscheinlichkeitsdichte ist immer. ie Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung liegen im Intervall [0, ]. Ist F (x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, dann gilt lim x F (x) = und lim x F (x) = 0. ie Wahrscheinlichkeitsdichte einer stetigen Verteilung ist stetig. Lösung: Falsch. Eine Wahrscheinlichkeitsdichte kann beliebige positive Werte annehmen. eispiele: Normalverteilung mit kleiner Varianz oder hiquadratverteilung mit einem Freiheitsgrad.

6 Richtig. ie Werte einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sind Wahrscheinlichkeiten und liegen damit in [0, ]. Richtig. Ist φ(t) die zugehörige ichte, dann gilt lim F (x) = lim x x φ(t) dt = φ(t) dt = und lim F (x) = lim φ(t) dt = 0. x x Falsch. ie ichte kann auch unstetig sein (z.. Gleichverteilung). usschlaggebend ist, dass die Verteilungsfunktion stetig ist. Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den direkt an Ihre(n) Tutor(in): r3p0id0@zedat.fu-berlin.de (Ivo Soares Parchao) nebenbahnhof@googl .com (en Hillmer)