Zentrale Abschlussarbeit Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik - Korrekturanweisung -

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1 Zentrale Abschlussarbeit 00 Übungsheft Mittlerer Schulabschluss Mathematik - Korrekturanweisung -

2 A Kurzformaufgaben Lösungen A Mit welcher Zahl geht die Zahlenreihe, 9, 7, weiter? 8 A Welches Ergebnis ergibt die Division 00 : 0? 0 _ 000 X 00 A Aus welchem Netz lässt sich ein Würfel herstellen? X _ A4 Entscheide jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist und kreuze an! wahr falsch lg 00 = X _ sin 90 = _ X 8 = X _ 0 = _ X /4 P. A5 Welchen Wert muss man für n einsetzen, damit < n < gilt _ X 9 _ 0 _

3 A6 Eintagsfliegen leben tatsächlich länger als einen Tag, nämlich überwiegend drei ganze Tage. Wie viele Minuten sind das ungefähr? _ 7 min _ 600 min X 400 min _ 500 min A7 Eine Klasse hat folgende Temperaturen gemessen und die Ergebnisse in einer Tabelle notiert. Uhrzeit 8 Uhr 0 Uhr Uhr 4 Uhr 6 Uhr 8 Uhr 0 Uhr Temperatur 0 C 5 C 5 C 5 C 0 C 5 C 5 C Ergänze in dem Diagramm die Achsenbeschriftungen und trage die Messwerte in das Diagramm ein und verbinde sie. Für das richtige Eintragen aller Messwerte, der erbindungen und der richtigen Beschriftung der Achsen gibt es Punkte. Bei einem Fehler gibt Punkt, sonst 0 Punkte. / P.

4 A8 Wie groß ist der Grundwert, wenn 0% von diesem 5 betragen? X 75 _ 85 _ 95 _ 50 A9 Kreuze die richtige Lösung zu 8 0 x + = an. _ x = _ x= und x= X x= _ Es gibt keine Lösung. A0 Wie viele Liter entsprechen einem Kubikmeter? _ 00 l _ 500 l X 000 l _ 0000 l A In dem Diagramm wird die Notenverteilung einer Englischarbeit dargestellt, bei der die Hälfte der Klasse die Note drei erreichte. Welche Aussagen sind richtig? _ 50 % aller Schülerinnen und Schüler haben eine Note besser als. X Weniger als ein Drittel der Schülerinnen und Schüler hat eine bessere Note als. _ Mehr als ein Drittel der Schülerinnen und Schüler hat eine schlechtere Note als.

5 A Um 5 Räume anzustreichen benötigen 8 Arbeiter 6 Stunden. Wie lange wären 4 Arbeiter mit dieser Aufgabe beschäftigt? 4 Arbeiter würden dafür Stunden brauchen. A Kreuze an, ob die Aussagen bezüglich der Abbildung wahr oder falsch sind. wahr falsch Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck. X _ In der Abbildung lässt sich der Satz des Pythagoras erkennen. X _ Die Längen der Dreiecksseiten des Dreiecks ABC sind bekannt. X _ Das große graue Dreieck hat den gleichen Flächeninhalt wie die beiden kleinen grauen Dreiecke zusammen. X _ /4 P.

6 A4 Welche der folgenden Zeitangaben entspricht 50 Minuten? _,5 h _ 4 h _, h X,5 h A5 Aus den 6 Kärtchen wird eine Karte gezogen. Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass ein E gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit beträgt oder. 6 A6 Kreuze die wahren Aussagen an. Jede Raute hat vier gleichlange Seiten. X gegenüberliegende Innenwinkel, die gleich sind. X stets zwei Paar paralleler Seiten. X Diagonalen, die sich nicht halbieren. _ A7 An einem Tennisturnier sind insgesamt 5 Spielerinnen und Spieler beteiligt. Es sind sieben Jungen mehr als Mädchen. Wie viele Mädchen und wie viele Jungen nehmen an dem Turnier teil? Es sind 9 Mädchen und 6 Jungen.

7 A8 Anne kauft 0 CDs und einen CD-Player. Der CD-Player kostet 9,90. Eine CD kostet x Euro. Zusammen bezahlt Anne 8,90. a) Welche Gleichungen geben den Sachverhalt richtig wieder? _ 8,90 = 0x 9,90 X 0x = 8,90 9,90 _ 8,90 9,90 = 0 + x _ x =,89,99 b) Wie viel kostet eine CD? Eine CD kostet 9,90. / P. A9 Gleichgroße Dreiecke? Die Eckpunkte der Dreiecke liegen jeweils genau auf einem Kreuz des Gitternetzes. Sina behauptet: Die drei Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt. Hat Sina Recht? X Ja _ Nein Es muss aus der Begründung hervorgehen, dass die Dreiecke mit gleichlangen Grundseiten und gleicher Höhe denselben Flächeninhalt haben und die abgebildeten Dreiecke diesen Bedingungen genügen. Das muss nicht allgemein formuliert sein, es kann auch mit Maßangaben (Kästchen) belegt werden. Für die richtige Auswahlantwort in erbindung mit einer richtigen Begründung gibt es Punkte. /0 oder P.

8 A0 Die beiden Säulen in der Grafik verdeutlichen den Umsatz einer Firma in den Jahren 00 und 009. Um wie viel Prozent ist der Umsatz von 00 bis 009 gestiegen? Der Umsatz stieg um _5_ Prozent. A Forme 9a ab + 4b mit Hilfe einer Binomischen Formel in ein Produkt um. ( ) a b oder (a b)(a b) A Bei einem Spielwürfel beträgt die Summe der Augenzahlen der einander gegenüberliegender Seiten 7 Punkte. Zeichne die fehlenden Punkte in das Würfelnetz ein.

9 A Eine zylinderförmige Kerze brennt gleichmäßig ab. Welcher Graph entspricht diesem Sachverhalt? _ A _ B X C _ D A4 Die folgende Rechnung enthält einen Fehler. Kreise die Zeile ein, in der sich der Fehler zuerst auswirkt. x + = x + = ( x ) ( x ) + = 0 x x = = A5 Kreuze an, welcher der nachfolgenden Graphen zu der Funktion y= ( x ) + gehört. _ A _ B _ C X D

10 A6 Wie viele von den abgebildeten kleinen Würfeln braucht man noch, um den großen Würfel zu füllen? Lösung: Man braucht noch Würfel. A7 Gib die Funktionsgleichungen für f und g an. g( x) = x + f( x) = x / P. A8 on einer,5 m langen Stoffbahn werden 4,50 m verkauft. Danach kommt ein anderer Kunde, der 5,60 m kauft. Wie viel Meter Stoff sind noch übrig?,40 m Stoff sind übrig.

11 A9 Paul behauptet: Addiert man zwei Primzahlen die größer als zwei sind, ist deren Summe immer durch zwei teilbar. Hat Paul Recht? Begründe: X Ja _ Nein Es muss aus der Begründung hervorgehen, dass Primzahlen größer immer ungerade sind, und dass man bei der Addition von zwei ungeraden Zahlen immer eine gerade Zahl erhält. Für die richtige Auswahlantwort in erbindung mit einer richtigen Begründung gibt es Punkte. /0 oder P.

12 B Komplexaufgabe: Power Race - Lösung a) α = β = 55 γ = γ = 70 β = β = 5 γ = γ = 0 Die Fahrtrichtung in den Punkten B und C muss um 5 bzw. 0 geändert werden. b) AB = c = 550 m; α = β = 55 / P. c = sinγ a = a = a a sinα c sinα sinγ 550 sin55 sin ,55 m Der Abstand der Bojen B und C beträgt 4577 m. / P. c) α = 0 ; a = BC = 700m; c = AB = 550 m sinα sinγ = a c c sinα sin γ = a 550 sin0 sinγ = 700 γ 4, 5 β = 80 α γ β 6, 75 Die Winkel zwischen den erbindungslinien der neuen Bojenpositionen betragen 0, 4,5 und 6,75. /4 P.

13 d) a = BC = 700 m; c = AB = 550 m; β 6,75 Lösung über Sinussatz oder Kosinussatz möglich. b² = a² + c² ac cos β b = a² + c² ac cos β b = 700² + 550² cos 6, 75 b 448,67 m (Lösung für β = 0 0, γ = 40 0 : b 7 m) Die Abstände der Bojen betragen 700 m, 550 m und 449 m. / P. e) Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist richtig. Oder: Paula hat Recht. Zeichnung Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden liegt innerhalb des Dreiecks, der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten nicht (, weil es ein stumpfwinkliges Dreieck ist). / P.

14 B Komplexaufgabe: Eisladen - Lösung a) s außen = m r außen =0,4 m Zuschlagfaktor:, M = π r s außen außen M = π 0,4 M,5 m O = M, O,0 m Die Oberfläche beträgt rund m. / P. b) Innenvolumen der Eistüte in ganzen Litern. r = 5 cm =,5 dm s = 80 cm = 8 dm s = h + r h = s r h h = 8,5 7, 66 dm = π r h = π,5 7,66 6,5dm = 6,5 l Das olumen beträgt rund 7 Liter. / P.

15 c) Anzahl = Container Kugel Container Container Container Kugel Kugel Kugel Anzahl Anzahl = a b c = 7 8 = 799 cm 4 = πr 4 = π =,5 cm = 799,5 = 8,5 Es können rund 40 Kugeln entnommen werden. Die Angabe 0 Kugeln wird wegen der Abrundung auch akzeptiert. / P. d) d = 4 cm r = cm 4 = π r 4 = π,5cm Eismenge kk = 4 kk 4,04 cm d = 5, 8 cm r =, 9 cm 4 = π r 4 = π,9 0,6 cm Eismenge gk = gk 04, cm Bei den großen Eiskugeln erhält man eine größere Eisportion. /4 P.

16 e) Durchmesser große Kugel: d gk =? Innendurchmesser große Tüte : dgt = 70 cm Innendurchmesser kleine Tüte : dkt = 5 cm Durchmesser kleine Kugel: dkk = 4 cm d d gt kt gk d = d gk kk 70 dgk = dgk = 5 d = 56 Die große Kugel müsste einen Durchmesser von 56 cm haben. / P.

17 B Komplexaufgabe: Brücken- Lösung a) Richtig ist die Gleichung. a muss negativ sein, weil die Parabel nach unten geöffnet ist. Der Scheitelpunkt liegt über der Wasseroberfläche, also muss c positiv sein. / P. b) y = x +, 5 Die höchste Öffnung des Brückenbogens beträgt, m. y = x +, 5 0 = x +, 5 x =, 5 x = 6 x = 4 oder x = 4 Die Öffnung auf Höhe des Wasserspiegels beträgt 8 m. / P. y = x +, 5 Gesucht ist die Höhe (y) des parabelförmigen Brückenbogens an der Stelle x y y y =,,, = + 5 = 0, 968 +, =, Die Brückenhöhe würde für die Durchfahrt des Schiffes nicht ausreichen. /4 P.

18 c) c=,56 und Schnittpunkt mit der x-achse z.b. P(, / 0) y = a x² + c 0 = a, ² + 56, ( ) 0 = 04, a + 56, 04, a = 56, a = 05, ( ) Die Gleichung lautet: y = 05, x² + 56, Oder: y = x² + 56, 4 /4 P.

19 B4 Komplexaufgabe: Konfirmation - Lösung a) Welches Kapital haben die Geschwister jeweils nach 5 Jahren einschließlich Zinsen zur erfügung und wer hat sein Geld am besten angelegt? Peter: Steffen: q =,05 Kn K K 5 5 = K q 0 n = 0005, 56, ( ) 5. Jahr : , = 750,. Jahr: , = 85,. Jahr : 00 00, = 900, 4. Jahr: , = 050, 5. Jahr: , = 00, Summe der Zinsen : 475, ( ) Gesamt = , = 475, ( ) Peter hat sein Geld gewinnbringender angelegt. b) Wie lange dauert es, bis er über 00,- Euro verfügen kann? /5 P. K n K 0 = 00 = 6,8 q =,0 k = k q n n 0 n lgk = lgk + n lg q 0 lgkn lgk n = lgq 0 lg00 lg6, 8 n = lg, 0 n 7, 9999 Nach 8 Jahren kann er über 00 verfügen. /4 P.

20 c) Welche Bank bietet die bessere durchschnittliche jährliche erzinsung? ergleiche dazu die Zinssätze. Bank A: Anfangskapital: 500 ; Endkapital: 900 ; Laufzeit: 0 Jahre k = k q n na 0A A q q q p A A A A = n k k na 0A 900 = =,06 = 6,% Bank B: Anfangskapital: 600 ; Endkapital: 800 ; Laufzeit: 5 Jahre k = k q n nb 0B B q B = n k k nb 0B q q p B B B = = ,059 = 5,9% Die Bank A bietet die bessere erzinsung. /6 P.

21 B5 Komplexaufgabe: Freizeitpark-Lösung a) Zeit: h; 4 Personen in Minuten; 4 0 = 480 Personen pro Stunde 480 = 580 Personen am Tag Die Achterbahn kann maximal 5000 Personen an einem Tag befördern. / P. b) on 9:00 bis 9: haben sich 5 = 480 Personen angestellt. Davon sind schon 4 0 = 40 Personen weg. Für die restlichen 40 Personen braucht die Achterbahn noch 0 Minuten. Familie Jung muss ca. 0 Minuten warten. / P. c) Es gibt 0 Ziffern, die alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können. Bei der Familie Jung haben wir vier verschiedene Ziffern. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn 4 p = = 0, 4 = 40%. 0 d) Bei einer Geschwindigkeit von 8 m/s legt man in einer Stunde (600 s) die m Strecke s = m = 00,8 km zurück. Damit ist s v = m km 8 00,8 s = h. Mit v a = und t m v = 8 bzw. t =,4 s ergibt sich für die Beschleunigung: s v 8 a = = = 0 t,4 m Die Beschleunigung in den ersten,4 Sekunden beträgt a = 0. s

22 Beschleunigung 0 m/s² s = a t = 0,5 0, 4 = 9,6 Der Zug legt eine Strecke von 9,6 m zurück. Dieser Wert darf auch aus der Tabelle bestimmt werden. Für die Bestimmung der beiden fehlenden Werte in der Tabelle gibt es einen Punkt. t [s] 0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4 s [m] 0 0,4,6,6 6, 4 0 4,4 9,6 s[m] , 0,4 0,6 0,8,,4,6,8 t[s] Für die korrekte Beschriftung des Diagramms und die Zeichnung des Graphen erhält man jeweils Punkt. / P.

23 e) Es gibt 9 Gewinne auf 00 Eintrittskarten (,,,, 99). 9 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,09 9% 00 = =. Die Angabe 0,09 wird auch akzeptiert. f) Der Park hatte in den Jahren an 4 Monaten geöffnet und verzeichnete insgesamt Besucher. d = : 4 = 508, Die durchschnittliche monatliche Besucherzahl in den Jahren betrug rund Besucher. 5 Monate à Tage = 465 Tage 9 Monate à 0 Tage = 70 Tage 75 Tage d = : Die durchschnittliche tägliche Besucherzahl in den Jahren betrug rund 5000 Besucher. Es werden auch die Rechnungen mit 4 0 = 70 Tagen akzeptiert, oder 5000 : / P.

24 . Zusatzaufgabe: Gymnasium - Lösung Generell gilt: Alle Lösungswege, die nachvollziehbar dargestellt und richtig sind, erhalten die volle Punktzahl. Bei abweichenden Lösungswegen, die nur teilrichtig sind, muss die Lehrkraft nach Einschätzung der Bedeutung des richtigen Anteils an der Gesamtlösung bewerten. a) c = a + b c = c = 80 cm Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes mit A als Zentrum liefert wegen AM M B AM =, dass M C MM parallel zu BC ist. () Nach dem zweiten Strahlensatz ist wegen AM AB = dann MM = BC. () Da dies mit jedem Eckpunkt möglich ist, ist der Umfang des Dreiecks MMM daher genau die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also beträgt der Umfang cm 0,47 cm. () Da die Seite AC parallel zu Seite MM ist und ebenfalls die Seite BC parallel zu MM verläuft, gilt MMM = γ = 90. Die einzelnen Strecken und Winkel können auch über die Winkelsätze berechnet werden, die Punkte sind dann entsprechend zu vergeben. /8 P.

25 . b) Beim allgemeinen Dreieck liefert die Umkehrung des ersten Strahlensatzes mit A als Zentrum wegen AM M B AM =, dass M C M M parallel zu BC ist. () Nach dem zweiten Strahlensatz ist wegen AM AB = dann MM = BC. () Genauso liefern die Strahlensätze M M = AC und MM = AB. () Jedes der vier Dreiecke hat also als Seitenlängen AC, BC, AB ; sie sind also alle kongruent. /7 P. Alternative: AB, AC parallel verschieben ABCD ist ein Parallelogramm mit BAC = CDB, ACD = DBA () M ist Mittelpunkt von AC, M ist Mittelpunkt von BC und M 4 ist Mittelpunkt von BD MM4 AB und BAC = MM4C. () M Schnittpunkt der Diagonalen AD und BC M ist das Symmetriezentrum vom Parallelogramm und M Mittelpunkt von MM 4 Da MM = AB MM = AM. Außerdem gilt AM = CM und mit BAC = MMC ergibt sich AMM CMM (analog für die übrigen Dreiecke)