Aufgabe 1. Aufgabe 2. Lineare Algebra I Gruppe 09 - Daniel Heiß Zusatzaufgaben

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1 Ich wünsche euch nochmal ein frohes ruhiges Weihnachten und einen Guten Rutsch! Für diejenigen, die ein paar algebraische Fragezeichen killen möchten habe ich ein paar Aufgaben zusammengestellt, die mir damals die Augen partiell geöffnet haben. Ihr könnt euch ja mit ner guten Tasse Kaffee mal ransetzen und grübeln. Sie sind jeweils nicht übermächtig schwer. Sie sollen ja Erleuchtung bringen und keine Verwirrung! Am Ende der PDF sind Hinweise zu den jeweiligen Aufgaben, aber ich möchte vor frühzeitigem Spicken abraten! Erst wenn es lückenlos am Papier steht oder wenn man nach ausreichend Bedenkzeit noch keinen Ansatz gefunden hat, ist der richtige Zeitpunkt für einen Hinweis! Besonderen Augenmerk möchte ich auf die Aufgaben (sind zusammenhängend) 4,5 und 6 legen! Aufgabe 1 Sei k ein Körper und V, W zwei k-vektorräume sowie f Hom k (V, W ) (das heißt f ist eine k-lineare Abbildung von V nach W ). Dann gilt f( V ) = W. Bemerkung: V bzw. W sind symbolische Schreibweisen für den Nullvektor in V bzw. W. Dabei heißt Nullvektor das neutrale Element in der Gruppe V bzw. W (ein Vektorraum ist ja insbesondere eine Gruppe). Das heißt je nach dem wie abstrakt der Vektorraum ist, hat V keine Ähnlichkeit mit einem Ding, das so aussieht:.. All dies ist jedoch für die Aufgabe irrelevant. Aufgabe 2 Sei X eine Menge und U := f : X R f Abbildung }. Dann ist U ein R-Vektorraum. Beachte: Um dies zu zeigen reicht es nicht die Untervektorraum-Axiome nachzuweisen! Bemerkung: Für diese Aufgabe muss man sehr viel schreiben. Es reicht für den Lerneffekt auch sich einfach zu überlegen was man zeigen müsste und nur die interessanten Dinge schriftlich beweist und den Rest im Kopf zusammenschustert. Die Zeit, die für unnötiges Schreiben von Banalitäten draufgeht, könnt ihr viel(!) sinnvoller nutzen um die unteren Punkte der Bemerkung durchzudenken. Besonders gut finde ich die Übung sich die lineare Unabhängigkeit zu überlegen (ein paar Punkte weiter unten!) Es gilt dim R (U) =. Dies müsst ihr nicht zeigen. Wenn ihr es doch macht, wird es einen sehr erhellenden Effekt für denjenigen haben, der es schafft. Hinweis dazu: 1

2 Versucht erst die lineare Unabhängigkeit, die im dritten Punkt dieser Bemerkung erwähnt ist zu zeigen!! Beachtet den hohen Abstraktheitsgrad dieses Vektorraums! Man kann ja z.b. für X die Menge Punkt, Viereck, Kreis} wählen. Dann ist U ein R-Vektorraum dessen Vektoren nicht Pfeile sind, sondern Abbildungen die Punkt, Viereck, Kreis auf reelle Zahlen abbildet, also ist zum Beispiel ein Vektor gegeben durch Punkt 1, Kreis π, Viereck 3 e 2. Im Spezialfall X = R ist U = f : R R f Abbildung }. Das heißt alle Funktionen von R nach R bilden einen R-Vektorraum. Beispiele für Vektoren darin sind damit x 2, sin und cos. Diese drei Vektoren sind übrigens linear unabhängig. Wer dies zeigen kann/will ist herzlich eingeladen dies zu versuchen. Ist nicht schwer und zieht auch einen guten Lerneffekt nach sich. Im oberen Punkt wurde erläutert, dass die Menge f : R R f Abbildung } ein R-Vektorraum ist. Dieser hat interessante Untervektorräume. Zum Beispiel: (i) C := f : R R f stetig }. (ii) L := f : R R f integrierbar }. } (iii) N := f : R R lim f(x) =. x Konsequenzen: Dass zum Beispiel C ein Untervektorraum ist, bedeutet z.b. dass die Summe zweier stetiger Abbildungen wieder stetig ist, ebenso ein R-faches Vielfaches! Zusatzaufgabe: Man überlege sich ob die Menge N := f : R R } lim f(x) = 1 x ein R-Untervektorraum von U ist! Beachte, dass N wie oben in der Liste ein R-UVR ist. Kommentar? Aufgabe 3 In der Situation von Aufgabe 2 ist U nicht nur ein R-Vektorraum, sondern zusätzlich ein Ring. Zusammen heißt das, dass U eine R-Algebra ist. Überlege dir, was du zusätzlich zu dem bisher gezeigtem zeigen müsstest um nachzuweisen, dass U ein Ring ist! (Mache das nicht, dass ist nur zeitraubend!) 2

3 Aufgabe 4 Sei k ein Körper und n k[x] := a i X i a i k, n N = i= a + a 1 X + a 2 X a n X n n N, ai k der sogenannte Polynomring in der Variablen X über k. Du darfst ohne Beweis verwenden, dass k[x] ein k-vektorraum ist. Zeige, dass die Menge V := f k[x] deg(f) 3 } k[x] ein k-untervektorraum ist. Dabei ist deg(f) der Grad von f und ist definiert als die höchste Potenz aller auftretenden X-Terme. Also es gilt deg(3x 2 + 4X 4) = 2, deg(x 1 ) = 1, deg(2 + 4X 2 + 8X 6 ) = 6 Das heißt es gilt V = a + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 a,..., a 3 k. Aufgabe 5 Seien k und V wie in Aufgabe 4. Bestimme explizit eine Basis für den k-vektorraum V. Aufgabe 6 Seien wieder k und V wie in Aufgabe 4. Betrachte die folgende Abbildung: : V V, f f Dabei ist f einfach die Ableitung von f. Das heißt (a + a 1 X + a 2 X 2 + a 3 X 3 ) = a 1 + 2a 2 X + 3a 3 X 2. (i) Weise nach, dass eine k-lineare Abbildung ist. (ii) Bestimme die darstellende Matrix von bzgl. der Basis aus Aufgabe 3. (iii) Ist injektiv, surjektiv, bijektiv? Aufgabe 7 (Korrigierte Fassung!) Aufgabe war nahezu unlösbar, da ein Quadrat gefehlt hat. Ist nun in rot ausgebessert, außerdem soll bei (i) über Q und nicht über R gearbeitet werden. Als Entschuldigung 3

4 wurde zu dieser Aufgabe noch ein großer Tipp gegeben (siehe Ende der PDF). Betrachte das Polynom f := X 3 + 2X k[x] für einen Körper k. Faktorisiere f soweit wie möglich. Das heißt finde Polynome f 1, f 2,..., f n k[x] mit f = f 1 f 2 f n. (i) Für k = Q. (ii) Für k = C. (iii) Für k = F 5 = Z/5Z. Bemerkung: Man kann natürlich mit der Zerlegung in C beginnen und daraus alle anderen Zerlegungen erschließen. Die Aufgabe ist aber so gedacht dass ihr eine Nullstelle ratet und mit Polynomdivision rausteilt. Besonderes Highlight dabei ist (iii) die Polynomdivision in F 5. Beachtet bei jedem Schritt dass ja z.b. 2 3 oder 1 4 in Z/5Z gilt! Hinweise Nicht zu früh mit Hinweisen schummeln! Aufgabe 1 Ihr wisst, dass f eine lineare Abbildung ist. Das heißt es gilt f(x + y) = f(x) + f(y) und eine Gruppe ist, gilt auch 1 k! f(λv) = λf(v). Beachte dass in jedem Körper k gilt, dass 1 k und weil k bzgl. Plus Aufgabe 2 Dabei bedeutet die Nullfunktion, die alle Werte x auf abbildet. Beachtet dass die Standard-Ansatz: Seien λ1, λ 2, λ 3 R mit λ1 x 2 + λ 2 sin +λ 3 cos =. Vektorraum sein). Definiere dann λf als die Abbildung, die x abbildet auf λ f(x) R. Für die Skalarmultiplikation beachte, dass die Skalare λ aus R sind (soll ja ein R- Zeige zunächst, dass U eine abelsche Gruppe bzgl. Plus. Dafür definierte f + g punktweise. Das heißt die Abbildung f +g bildet x X ab auf die reelle Zahl f(x)+g(x) R. Lineare Unabhängigkeit bei Aufgabe 2 Gleichung oben eine Gleichung von Abbildungen ist! Das heißt wenn ihr beliebige x- Nein N ist kein R-UVR! x-wert in die Nullabbildung einsetzt. selbe raus (für alle x!). Beachte, dass immer Null rauskommt, wenn ihr einen beliebigen Werte in die Abbildung einsetzt die links bzw. rechts vom = -Zeichen steht, kommt das Aufgabe 2: Untervektorräume 4

5 ist dann bereits eine Basis. Überlegt euch, ob euch klar ist, warum das so ist Es gilt dimk (V ) = 4. Das heißt ihr sucht ein Erzeugendensystem aus 4 Elementen! Diese Untervektorraums-Axiome nachrechnen... und g setze f g als die Abbildung die x schickt auf f(x)g(x) R. Ihr müsst euch überlegen, wie ihr die Multiplikation definiert. Für zwei Abbildungen f Siehe Skript. Lineare Algebra I Gruppe 9 - Daniel Heiß Zusatzaufgaben Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Eine mögliche Basis wäre gegeben durch B := 1, X, X2, X 3 In F5 ist [2] eine Nullstelle von f. Teiler von 9 ist). ist, ihr müsst nur die Teiler von f() durchprobieren (beachte, dass z.b. auch 1 ein Das heißt: Es ist unmöglich dass ihr einen Bruch findet, der eine Nullstelle des Polynoms unser f) eine rationale Nullstelle x Q hat, dann gilt bereits x Z und x teilt f(). Eine Folgerung des Lemmas von Gauß besagt, dass wenn ein normiertes Polynom (wie wenn man die darstellende Matrix bestimmen will. }. Jetzt geht vor wie immer Aufgabe 7 5