BENOÎT MANDELBROT ( )

Transkript

1 BENOÎT MANDELBROT ( ) Erfinder der Fraktale wird er genannt und Vater des Apfelmännchens sowie der nach ihm benannten Mandelbrot-Menge M: Benoît Mandelbrot Mathematiker, Physiker, Informatiker, Pionier, Revolutionär? Es ist nicht leicht, ihn und sein Wirken zu beschreiben, weil die Welt, in der wir leben, sich in der Zeit seines Wirkens sehr geändert hat, nicht zuletzt durch seine Ideen: und weil er manche unserer Denkweisen so sehr geprägt hat, dass man sie heute für selbstverständlich hält und sich fragt, was es denn damals zu entdecken gab. Kleiner Rückblick: vor 30 oder 40 Jahren, als die ersten computer-animierten fraktalen Bilder das Licht der Öffentlichkeit erblickten, war Drucker ein ehrbarer Beruf, ausgeübt von Experten in blauer Arbeitskluft; die Rechner waren inzwischen elektronisch, aber die gesamte installierte Rechenleistung war vermutlich kleiner als sie heute in jedem einzelnen Handy zu finden ist. Und die Vorstellung geometrischer Objekte war Euklidisch: soweit man so komplizierte Objekte wie etwa Bäume überhaupt modellieren konnte, bestanden sie aus einer endlosen Verzweigung von zylindrischen Stäben mit flächigen Blättern. Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küstenlinien sind keine Kreise, und Borke ist nicht glatt : dies ist eines der bekanntesten Zitate von Mandelbrot (aus dem Vorwort seines Buchs The Fractal Geometry of Nature ). Viele Objekte lassen sich viel passender modellieren, wenn man sie nicht durch Euklidische Geometrie, sondern durch selbstähnliche (und damit meist fraktale) Strukturen beschreibt. Die entsprechende Mathematik gab es seit Jahrzehnten: Helge von Koch hat die Schneeflockenkurve konstruiert, bei der beliebig kleine Ausschnitte skalierte Kopien der gesamten Kurve sind; und seit Hermann Minkowski, Felix Hausdorff und anderen gab es einen Dimensionsbegriff, der solchen Objekten in natürlicher Weise eine oft nicht-ganzzahlige Dimension zuschrieb. Aber diese Objekte wurden als exotische Randerscheinungen der Mathematik abgetan, als mühsame Gegenbeispiele, die man vielleicht im Kopf haben sollte, wenn man schöne Sätze beweisen wollte. Mandelbrot prägte (und vermarktete) den Begriff Fraktale für Mengen, deren topologische Dimension echt größer ist als ihre Hausdorff-Dimension (was immer der Fall ist, wenn die Hausdorff-Dimension keine ganze Zahl ist, denn die topologische Dimension ist stets ganz). Und er wurde nicht müde darauf hinzuweisen, wie universell diese fraktalen Objekte in vielen Bereichen der Wissenschaft sind, innerhalb der Mathematik ebenso wie in allen der Mathematik zugänglichen Wissenschaften, von Physik (Phasenübergänge), Biologie (Grenzschichten wie etwa die menschliche Lunge, oder viele Gewächse), 1

2 2 BENOÎT MANDELBROT ( ) Geowissenschaften (Mandelbrots klassische Frage, wie lang die Küstenlinie von Großbritannien sei) bis hin zu aktueller Finanzmathematik mit den fraktalen Kurven der Aktienkurse. Mandelbrot war kein Mathematiker in dem Sinne, dass er Theoreme formuliert und bewiesen hätte; so hat er sich selber auch nicht gesehen. Aber er war experimenteller Mathematiker, der neue Denkrichtungen entwickelt und oft mit Computerhilfe Vermutungen aufgestellt hat; er war ein Pionier des Faches Experimentelle Mathematik, das es so eigentlich gar nicht gegeben hatte (und wurde dafür auch manches Mal schräg angesehen). Wenn es für klassische Mathematiker als peinlich angesehen wird, wenn von ihnen aufgestellte Vermutungen sich später als falsch herausstellen: dieses Problem hatte Mandelbrot nicht (soweit ich weiß); er warf Fragen auf und regte präzise Forschung an. Nicht ganz uneitel verkündete er auf einem Abendvortrag auf dem International Congress of Mathematicians 2006 in Madrid, wenige Tage nach Verleihung der Fields-Medaille an Wendelin Werner, dass nun schon eine vierte Fields-Medaille für den Beweis einer von ihm aufgestellten Vermutung verliehen worden sei (wobei wir es nicht zu genau nehmen wollen, welche Vermutungen er nun wie präzise aufgestellt oder auch nur bearbeitet hatte); im Falle von Werner war es die Aussage, dass ein ebener Brownscher Pfad ein Gebiet umschließt, dessen Rand Hausdorff-Dimension 4/3 hat. Die Brownsche Bewegung beschreibt die thermische Bewegung von Atomen, und die genannte Aussage lässt sich folgendermaßen veranschaulichen: in der Ebene springt ein (betrunkener) Floh jede Sekunde einen Zentimeter in eine zufällige Richtung und zeichnet einen Strich entlang seines Sprungs. Wenn er eine sehr große Anzahl von Sprüngen hinter sich hat, entsteht eine lange gezackte Linie. Das von dieser Linie umschlossene Gebiet wird von einer Kurve berandet, die (bei geeigneter Skalierung und im Grenzwert unendlich vieler Sprünge) gerade Dimension 4/3 hat. Eine solche fraktale Dimension kann man sich etwa so vorstellen: wenn man den Maßstab der Kurve um einen Faktor f > 1 vergrößert, vergrößert sich der Inhalt der von der Kurve durchlaufenen Menge um einen anderen Faktor, sagen wir c. Dann gibt es ein d > 0 mit f d = c, und dieses d ist die fraktale Dimension. Ein Quadrat, dessen Maßstab sich um einen Faktor f vergrößert, hat danach einen um den Faktor c = f 2 vergrößerten Inhalt, also hat es Dimension d = 2, bei einem Würfel erhält man c = f 3 und damit d = 3. Die von Kochsche Schneeflocken-Kurve wird bei Vergrößerung um den Faktor f = 2 gerade dreimal so groß wie zuvor (c = 3), und damit ist die Dimension 2 d = 3, also d = log 3/ log 2. Dieser Text wäre nicht vollständig ohne die nach Benoît Mandelbrot benannte Mandelbrot-Menge M. Für komplexe Parameter c betrachten wir die Folge 0 c c 2 + c (c 2 + c) 2 + c..., bei der jedes Glied aus dem vorherigen durch Quadrierung und Addition von c entsteht. Diese Folge kann beschränkt sein (etwa für c {0, 1, 2, i}, wie man leicht nachrechnet) oder unbeschränkt (etwa für c > 1/4 oder alle komplexen c

3 BENOÎT MANDELBROT ( ) 3 mit c > 2). Die Mandelbrot-Menge ist die Menge aller c C, für die diese Folge beschränkt ist. Warum ist sie interessant? Dynamische Systeme, insbesondere iterierte Funktionen, sind nicht nur ein wichtiges Forschungsgebiet der Mathematik mit viele Bezügen zu anderen Bereichen; sie liefern auch in ganz natürlicher Weise viele Beispiele mathematischer Objekte, die früher als exotisch angesehen wurden, wie eben Fraktale. Wie oft in der Mathematik liefern die einfachsten Beispiele fundamentale Einsichten, die sich später als typisch für kompliziertere Situationen herausstellen. Man fängt also mit der Iteration von Polynomen an; Grad 1 ist trivial, aber bereits ab Grad 2 entstehen sehr schwierige Fragen. Jedes quadratische Polynom lässt sich in geeigneten Koordinaten als p c (z) := z 2 +c mit c C schreiben. Dazu gehört jeweils die (gefüllte) Julia-Menge K c als Menge aller Punkte z C, die unter Iteration von p c beschränkte Orbits haben, so dass also die Folge z p c (z) p c (p c (z)) p c (p c (p c (z)))... beschränkt ist. Jede Menge K c ist entweder zusammenhängend oder ein total unzusammenhängender Cantor-Staub. Nach einem grundlegenden Satz von Fatou ist die Julia-Menge für ein Polynom p genau dann zusammenhängend, wenn alle z C mit p (z) = 0 beschränkte Orbits haben; für p = p c gibt es genau ein solches z, nämlich z = 0. Das führt auf die oben genannte Folge, und damit ist M genau die Menge aller Parameter c, für die die Julia-Menge K c zusammenhängend ist. Diese Menge M hat in vielen Bereichen universelle Eigenschaften, und sie ist geradezu zu dem Logo der fraktalen Geometrie geworden: leicht selber zu programmieren, von unglaublicher mathematischer Komplexität (in jeder Umgebung jedes Randpunktes von M gibt es unendlich viele homöomorphe Kopien von M, natürlich samt aller zugehörigen Dekorationen und aller darin enthaltenen Kopien), und von einer (zumindest damals) überraschenden Schönheit. Die grundlegende Mathematik ist aber nicht von Mandelbrot entwickelt worden, sondern ab ca von Adrien Douady und John Hubbard; diese waren es auch, die die Bezeichnung Mandelbrot-Menge eingeführt haben und die Mandelbrot zu computergraphischen Experimenten inspiriert hatten. Legendär ist ein Brief von Mandelbrot an Hubbard, der ihn um Kopien von Bildern seiner Computer-Experimente zur Dynamik von Newton-Abbildungen bittet; er (Mandelbrot) hätte seit langem überlegt, Bilder von Julia-Mengen von Polynomen anzufertigen, aber bislang sich dazu nicht aufraffen können. In diesem Sinne war Mandelbrot also eher Taufpate als Vater der Mandelbrot- Menge.

4 4 BENOÎT MANDELBROT ( ) Abb. Drei Versuche, die Mandelbrot-Menge computergraphisch darzustellen: (1) die Version von Brooks und Matelski 1978/80 mit einem Computer, den man heute nicht grafikfähig nennen würde (obendrein verzerrt); (2) eine Version ähnlich der ersten von Mandelbrot, mit einem frühen Algorithmus, der nicht klar zeigt, ob M zusammenhängend ist; die feinen Filamente sind nicht zu erkennen und zeigen nur einzelne schwarze Kleckse ; und (3) eine Version mit einem ausgefeilteren Algorithmus, der die Feinstruktur von M besser zeigt. Die Entwicklung der Computergraphik der damaligen Zeit bis heute lässt sich gut an Bildern der Mandelbrot-Menge illustrieren: zum einen die erste bekannte Veröffentlichung einer Mandelbrot-Menge (von Brooks und Matelski 1978/1980; aus einer Zeit, als die meisten Drucker nur Standardsymbole, aber keine Grafiken drucken konnten); dann eine Version aus der Zeit der ersten Bilder Mandelbrots; und schließlich eine Illustration mit neueren Mitteln (siehe auch das Video auf der DMV-Seite). Mit den damaligen Algorithmen war nicht leicht zu entscheiden, ob die Mandelbrot-Menge zusammenhängend sei, oder ob es einzelne isolierte Inseln gibt, die von dem Haupt-Körper getrennt sind. Auf frühen Bildern sieht M jedenfalls unzusammenhängend aus. Überliefert ist die Anekdote, dass in einer frühen Veröffentlichung von Mandelbrot zu diesem Thema die Drucker (wir erinnern uns: Arbeiter in blauer Montur) genau diese isolierten Inseln als Fliegendreck angesehen und sorgfältig entfernt haben. Nicht viel später haben dann Douady und Hubbard, und unabhängig Nessim Sibony, mathematisch bewiesen, dass M tatsächlich zusammenhängend ist; diese Arbeiten stellen die Grundlage der heutigen mathematischen Theorien dar. In den ca. 30 Jahren seitdem ist die Mandelbrot-Menge in ihrer Eigenschaft als Prototyp vieler wichtiger Mengen der komplexen Dynamik immer tiefer studiert worden. Nach grundlegenden Ergebnissen insbesondere von Jean- Christophe Yoccoz, Curt McMullen, Mikhail Lyubich und Coautoren sind viele offene Fragen in einer Weise geklärt, die es erlauben, die Forschung von der Mandelbrot-Menge und den protoptypischen quadratischen Polynomen auf die dynamische Theorie allgemeinerer Polynome, oder sogar rationaler Abbildungen, fortzuentwickeln. Wie sieht das Analogon zur Mandelbrot- Menge für kubische Polynome aus, und welche Eigenschaften hat es? Dass

5 BENOÎT MANDELBROT ( ) 5 M zusammenhängend ist, ist bekannt; die große offene Frage lautet Ist M lokal zusammenhängend? Etwas schwächer formuliert: kann man je zwei Punkte in M durch eine Kurve in M verbinden? Eine einfache Frage, die aber mit heutigen Methoden nicht lösbar scheint. Hier Beweise zu finden war nicht die Baustelle von Benoît Mandelbrot. Er hat Fragen formuliert, die experimentelle Mathematik pioniert, die fraktale Geometrie und ihre Bedeutung propagiert und viel intensive Forschung angeregt, und dies in unglaublicher Breite und Vielfalt. Er hat es geschafft, die Öffentlichkeit zu erreichen und in der Zeit sich entwickelnder Computergraphik neue Verbindungen zwischen Mathematik, Physik, anderen Wissenschaften und der (Computer-)Kunst zu öffnen. Er hat viele Auszeichnungen und Ehrungen erhalten, darunter den Wolf-Preis (1993) und den Lewis Fry Richardson Preis der Europäischen Geophysikalischen Gesellschaft, und er war Offizier der französischen Ehrenlegion. Benoît Mandelbrot hat seinen eigenen Lebensweg einmal mit den oben zitierten fraktalen Kurven verglichen: geboren in Polen, aufgewachsen in Frankreich, hat er an verschiedenen Stellen in Frankreich und den USA gearbeitet (vor allem an einem Forschungszentrum der IBM), bis er im Alter von 75 Jahren (!) Professor an der Yale University wurde: Wenn man nur den Anfang und das Ende vergleicht, hatte ich eine ganz gewöhnliche Karriere, so zitiert ihn die New York Times. Aber es war keine gerade Linie, sondern eine sehr zerklüftete Kurve ähnlich den von ihm studierten fraktalen Kurven. Vielleicht ist die Formulierung also ganz passend, dass sein gesamter Lebensweg fraktal war. Benoît Mandelbrot starb am 14. Oktober 2010 im Alter von 85 Jahren. Dierk Schleicher, Jacobs University Bremen Bremen, 20. Oktober 2010