Facharbeit im Grundkurs Mathematik. Fraktale Geometrie

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1 Gymnasium Norf Jgst.1 Facharbeit im Grundkurs Mathematik Fraktale Geometrie Verfasser/in: Walter Wißdorf Kursleiter/in: Horst Fischer Abgabetermin:

2 Gliederung 1. Einleitung 1.1 Begründung der Themenwahl 1..Zielsetzung der Arbeit 1.3.Überblick über den Aufbau der Arbeit Was ist ein Fraktal?.1.Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen.1.1. Entstehung durch Iteration.1.. Selbstähnlichkeit.1.3. Komplexität.1.4. Gebrochene Dimension.1.5.Empfindlichkeit auf die Startbedingungen..Erläuterung der Eigenschaften am Beispiel der Kochschen Kurve.3.Die fraktale Dimension und ihre Berechnung 3. Erzeugung von Fraktalen 3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume) Der Mangel der Menge Doppelstrich R die Imaginäre Zahl Operationsregeln komplexer Zahlen Doppelstrich C, die Komplexe Ebene Iterationen in der Komplexen Ebene 3..Julia- und Mandelbrotmengen Die Julia Mengen 3... Die Mandelbrotmengen (Parameterräume) 4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht? 4.1.Die Menschen hinter den Bildern Gaston Julia Benoit Mandelbrot 4..Computer, essentielles Werkzeug Ohne Computer keine Fraktale 4... Entwicklung der Computertechnologie 5. Anwendung von Fraktalen 5.1. Fraktale in der Graphik Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung natürlicher Fraktale Fraktale in der Bildkompression 5. Physikalische Anwendungen 6. Einordnung der Fraktalen Geometrie in der klassischen Mathematik 7. Schluß 8. Anhang 8.1. Literatur und Quellenverzeichnis 8.. Bildverzeichnis 8.3 Sonstige Hilfsmittel 8.4 Erklärung

3 -3-1. Einleitung 1.1 Begründung der Themen Wahl Fraktale sind faszinierende Objekte, die einen schon fast mystischen Charakter haben. Sie sehen kompliziert und unbegreiflich aus, entstehen aber mit Hilfe einfacher mathematischer Verfahren. Diese einfache Erzeugung, die hoch komplexe Ergebnisse hervorbringt ist das, was die fraktale Geometrie von der klassischen Mathematik abhebt. Objekte wie die Mandelbrotmenge kennen viele Menschen, doch nur wenige wissen wie sie entsteht. Dieser Umstand reizt mich und ist der Grund für meine Themenwahl 1. Zielsetzung der Arbeit Die vorliegende Facharbeit soll eine Einführung in die Welt der Fraktale und der fraktalen Geometrie ermöglichen. Auf Grund des gegebenen Umfangs der Arbeit ist es nicht möglich, auf alle mathematischen Einzelheiten gezielt einzugehen. Einige Zusammenhänge würden den Umfang deutlich sprengen, wie zum Beispiel die genaue Herleitung des Hausdorffschen Dimensionsbegriffs. In solchen Fällen muß eine vereinfachte Schilderung zur Verständnissicherung genügen. Die Arbeit soll und kann nur eine oberflächliche Einführung in die fraktale Geometrie darstellen, die allerdings das Interesse an der Thematik wecken soll. 1.3 Überblick über den Aufbau der Arbeit Die Arbeit ist thematisch in vier Kapitel gegliedert: die Definition eines Fraktals, die Erzeugung von Fraktalen, ein Exkurs über die Voraussetzungen, die die fraktale Geometrie möglich gemacht hat, und die Anwendung der fraktalen Geometrie.

4 -4-. Was ist ein Fraktal?.1 Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen Das Wort Fraktal wurde von Benoit Mandelbrot geprägt und stammt von fractus, was aus dem Lateinischen kommt und gebrochen bedeutet. Fraktale sind Kurven, Körper oder Mengen, die mit ihren besonderen Eigenschaften Zusammenhänge beschreiben, die mit Hilfe der klassischen Geometrie nicht, oder nur mit großen Schwierigkeiten beschrieben werden können. Fraktale findet man vor allem in der Natur. Benoit Mandelbrot eröffnet sein berühmtes Buch: Die fraktale Geometrie der Natur, mit der Feststellung, dass Wolken oder Berge nicht aus euklidischen Körpern bestehen. Diese Strukturen sind gebrochen, eben Fraktale. Im folgenden werden die typischen Eigenschaften von Fraktalen näher erläutert:.1.1 Iterative Erzeugung Fraktale entstehen durch Iteration. Iterieren bedeutet wiederholen, was sich auf eine normalerweise recht einfache Rechenvorschrift bezieht, die wiederholt durchgeführt wird. Beispielsweise: x = x + c. Bei dieser Gleichung wird eine n n 1 Zahl X mit einer positiven Konstante C addiert und dann das Ergebnis wieder in die Gleichung eingesetzt. Bei jedem Iterationsschritt steigt X um C. Um die Vorgabe der unendlichen Komplexität zu erfüllen, müßten bei der Generierung eines Fraktals unendlich viele Iterationen durchgeführt werden, was praktisch unmöglich ist. Folglich ist jedes Fraktal nur eine näherungsweise Darstellung des theoretischen Fraktals, die durch mehr Iterationen genauer gemacht werden kann.

5 Selbstähnlichkeit Fraktale sind selbstähnlich. Selbstähnlichkeit bedeutet, dass, egal in welcher Vergrößerung man ein Fraktal betrachtet, es immer gleich oder wenigstens ähnlich aussieht. Dieses wichtige Phänomen entsteht durch die iterative Generierung von Fraktalen. Ein und dieselbe Vorschrift wird im Idealfall unendlich oft, ansonsten mehrmals, durchgeführt. Dieses einfache Prinzip erzeugt oft gleiche oder ähnliche Ergebnisse, auch dann, wenn der Betrachtungsausschnitt kleiner wird..1.3 Komplexität Fraktale sind unendlich komplex. Ein Kreis wird bei Betrachtung eines unendlich kleinen Ausschnittes zu einer Geraden. Ein Fraktal hingegen mündet nie in eine euklidische Figur wie beispielsweise eine Gerade. Egal wie klein der Betrachtungsausschnitt auch wird, ein Fraktal behält seine Komplexität bei. Auch hier liegt die Begründung im iterativen Charakter verborgen: Ein ideales Fraktal ist unendlich oft iteriert. Jede einzelne Iteration erzeugt ein komplexeres Bild. Folglich wird man immer, auch wenn der Ausschnitt unendlich klein ist, noch ein iteratives also ein komplexes Bild erhalten. Ein weiteres Phänomen von Fraktalen ist die unendliche Länge dieser Figuren. Fraktale werden durch Iteration immer komplexer, das ist allerdings auch zwangsläufig mit einer Längenzunahme verbunden. Fast alle Fraktale werden mit jedem Iterationsschritt um einen bestimmten Betrag länger. Iterieren wir ein Fraktal unendlich oft wird es auch unendlich lang..1.4 Fraktale sind stark abhängig von den Startbedingungen

6 -6- Durch Iteration gewinnt nach wenigen Schritten auch schon eine minimale Änderung der Startbedingungen schnell an Bedeutung. Durch diesen Effekt sind Fraktale enorm abhängig von den Startbedingungen. Diese starke Abhängigkeit, die mit dem sogenannten Schmetterlingseffekt verwandt ist, hat eine tragende Rolle bei der Verknüpfung von Chaostheorie und fraktaler Geometrie..1.5 Gebrochene Dimension Der topologische Dimensionsbegriff ist in der Mathematik und auch im alltäglichen Leben weit verbreitet. Die topologischen Dimensionen sind geradzahlig. Eine Gerade besitzt die topologische Dimension 1, weil sie sich nur in einer Richtung ausbreitet. Eine theoretische ideale Gerade hat keine Breite. Eine Ebene ist zweidimensional, da sie sich in zwei Richtungen ausbreitet. Punkte werden auf ihr durch zwei Koordinaten lokalisiert, bei einer Geraden hingegen reicht eine einzige. Ein dreidimensionaler Körper, beispielsweise ein Würfel, besitzt eine weitere Ausbreitungsrichtung. Punkte haben infolgedessen drei Koordinaten. Fraktale zeichnen sich nun dadurch aus, das sie keine gerade, topologische sondern eine gebrochene, fraktale Dimension besitzen. Die Idee und die mathematischen Grundlagen einer gebrochenen Dimension stammen von Felix Hausdorff. Die fraktale Dimension ist ein Maß dafür wie zerklüftet oder gebrochen eine Figur oder ein Körper ist. Fraktale Dimensionen liegen zwischen Gerade und Würfel, also zwischen 1 und 3. Besitzt eine Figur eine Dimension die nahe bei 1 liegt, ist sie fast eine Gerade. Je zerklüfteter sie wird desto höher wird ihre Dimension, bis sie bei schließlich unendlich verwinkelt ist und zu einer Ebene wird. Besitzt eine Figur eine Dimension die zwischen und 3 liegt geht sie in einen Raum über. Beispielsweise besitzen Wolken eine durchschnittliche Dimension von,35, also befinden sie sich zwischen einer Ebene und einem Raum.

7 -7-. Erläuterung der Eigenschaften an der Kochschen Kurve Die Kochsche Kurve geht auf den Mathematiker Helge von Koch zurück, der sie 1904 entwickelte. Sie entsteht in drei Schritten: Der erste Schritt ist eine Strecke, die die willkürliche Länge l besitzt. Diese Strecke, trägt den Namen Initiator. Dann wird ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge l 3 in der Mitte angefügt, das das ursprüngliche Teilstück der Strecke ersetzt. Dieser Schritt heißt Erzeuger oder Konstruktor. Bei jedem Iterationsschritt werden die Strecken der vorangegangenen Figur durch den jeweils verkleinerten Konstruktor ersetzt. Das Ergebnis ist die Kochsche Kurve. Bei jeder Iteration wird sie um ein Drittel länger als sie bei der vorhergegangenen Iterationsstufe war. Durch eine Änderung am Initiator, indem man ihn durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt, entsteht die Kochsche Schneeflocke. Sie ist geschlossen und schließt eine definierte Fläche ein. Trotzdem ist sie unendlich lang, da sie bei jeder Iteration länger wird und im Idealfall unendlich oft iteriert wurde. Weiterhin ist sie selbstähnlich

8 -8- und komplex. Betrachtet man nur einen Ausschnitt, egal wie klein, so ist er komplex und nicht von anderen Vergrösserungsstufen zu unterscheiden. Durch die Komplexität ist auch zu erklären, warum die Koch-Kurve an keiner Stelle eine Ableitung besitzt. Man kann an keiner Stelle eine Tangente anlegen, da sie an jeder Stelle gebrochen ist. Initiator Nach Iterationen Nach 5 Iterationen (Bild,3,4: Die Kochsche Schneeflocke in verschiedenen Iterationsstufen ).3. Die fraktale Dimension und ihre Berechnung Es gibt viele Methoden zur Berechnung der fraktalen Dimension, doch sind sie oft hoch kompliziert und nur auf ein bestimmtes Fraktal anwendbar. Eine der einfachsten Varianten basiert auf der sogenannten Hausdorff Dimension. Die genaue Einführung in diese Theorie allerdings würde den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Man betrachtet zunächst bekannte Objekte der topologischen Dimension 1, und 3, zum Beispiel Strecke, Ebene oder Kubus. Nun teilt man diese Objekte regelmäßig in N gleichgroße Teile. Um einen der N gleichen Teile einer Strecke zu erhalten, muß man sie selbst mit r = 1 N skalieren. Analog dazu muß man um eins von N Teilquadraten zu 1 1 erhalten das Ausgangsquadrat mit r = und Quadrate mit r = N N skalieren. Daraus ergibt sich ein Potenzgesetz: N = 1 r D Bei diesem Ausdruck ist D die Dimension des Objekts.

9 -9- Formt man den Ausdruck um, so kann man D durch N D = log log 1 r berechnen. Auch für die Kochsche Kurve gilt dieses Potenzgesetz. Jedes Segment der Kurve besteht aus 4 Teilsegmenten, die durch eine 1 Skalierung mit dem Faktor aus einem vorhergegangenen 3 Segment entsteht. Die Dimension der Kochschen Kurve berechnet log 4 sich daher folgendermaßen: D = = 16,. Diese Dimension log 3 deutet auf die relative Nähe zu einer Geraden hin. Die Kochsche Kurve ist im Vergleich zu anderen Fraktalen wenig verzweigt. 3. Erzeugung von Fraktalen Im folgenden möchte ich auf die Erzeugung der beiden bekanntesten Fraktale, die Julia- und Mandelbrotmengen, eingehen. 3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume) Der Mangel der Menge Doppelstrich R Eine quadratische Gleichung vom Typ ax + bx + c = 0 (mit a,b Element aus Doppelstrich R und a ungleich 0), ist in Doppelstrich R, also der Menge der reellen Zahlen, normalerweise lösbar. Es gibt jedoch auch quadratische Gleichungen, die nicht lösbar sind, wie z.b. x = 1, weil Quadrate reeller Zahlen nie negativ sind. Allerdings besitzt 4x = 5 in der Menge der ganzen Zahlen auch keine Lösung. Durch die Erweiterung von den ganzen auf die rationalen Zahlen wird die Gleichung lösbar. Die Frage liegt nahe, ob Doppelstrich R nicht auch derart erweitert werden kann, dass sämtliche quadratische Gleichungen lösbar werden.

10 Die imaginäre Einheit und Imaginärzahlen Leonard Euler ( ) war einer der Ersten, der sich mit dem Problem der nicht definierten quadratischen Gleichungen befasste. Er führte eine neue Zahl ein: i. Diese Zahl sollte die Lösung für die Gleichung x = 1 sein, folglich gilt: i = 1. I wird als imaginäre Einheit bezeichnet. Durch Verknüpfung mittels Multiplikation entstehen aus reellen Zahlen b und der imaginären Einheit i Imaginärzahlen bi. Die Operationsregeln sind sie gleichen, als ob i eine durch eine Variable vertretene reelle Zahl wäre. Zum Beispiel: i + 3i = 5i. Die imaginäre Zahl hat es möglich gemacht, dass die Gleichung x = a lösbar wird Komplexe Zahlen Löst man mit Hilfe der imaginären Zahl gemischte quadratische Gleichungen, kommt es zu Summen aus reellen und imaginären Zahlen. Beispielsweise: x 1x+ 5 = 0 ( x 6) = 36 5 ( x 6) = 16 x 6= ± 4i x = 6+ 4i x = 6 4i Die beiden Lösungen setzen sich jeweils aus einem reellen und einem imaginären Teil zusammen. Zahlen der Form a+bi mit a,b Element aus Doppelstrich R werden als komplexe Zahlen (Doppelstrich C ) bezeichnet. Dabei nennt man a Realteil und b Imaginärteil. Sie werden entweder in der Form (a,b) oder in der Form a+bi geschrieben. Komplexe Zahlen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, nennt man konjugiert zueinander.

11 -11- Die Konjugierte von z=a+bi wird als z = a bi bezeichnet. ( z wird als z quer gelesen.) Manchmal findet man auch z* (z Stern) anstatt z Operationsregeln komplexer Zahlen Komplexe Zahlen folgen den der reellen Zahlen ähnlichen aber nicht gleichen Rechenregeln. Bei der Addition und Subtraktion werden der reelle Anteil und der imaginäre Anteil getrennt addiert oder subtrahiert. Als allgemeiner Ausdruck formuliert: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Beispiel: (,5) + (1,-7) = (3,-). Die Subtraktion erfolgt analog. Wenn wir die komplexen Zahlen (3,4) und (1,-5) multiplizieren wollen, bedienen wir uns des Distributivgesetzes: ( 3+ 4i)*( 1 5i) = 3*( 1 5i) + 4i*( 1 5i) = 3 15i+ 4i 0i = 3 11i+ 0= 3* 11i Hinweis: i = 1 Als allgemeiner Ausdruck formuliert lautet die Multiplikationsregel: ( a + bi)*( c + di) = a *( c + di) + bi *( c + di) = ac + adi + cbi bd = ac bd + adi + cbi oder ( a, b)*( c, d) = ( ac bd, ad + cb) Die Quadrierung funktioniert analog zur Multiplikation: ( a, b)*( a, b) = ( aa bb, ab + ab) = ( a b, ab) Die Gausssche Zahlenebene Reelle Zahlen kann man auf einer Geraden, dem Zahlenstrahl, anordnen, somit sind reelle Zahlen eindimensional. Zwischen

12 -1- zwei reellen Zahlen liegen jeweils unendlich viele weitere Zahlen. Komplexe Zahlen hingegen können nicht auf einer Geraden angeordnet werden. Sie bestehen aus zwei Komponenten, sie sind zweidimensional, folglich kann man komplexe Zahlen auf einer Ebene anordnen. Auf dieser sogenannten Gaussschen Zahlenebene erhält der Imaginärteil die X-Achse und der Realanteil wird auf der Y-Achse aufgetragen. Eine komplexe Zahl kann nun als Punkt in diesem Koordinatensystem dargestellt werden. Rechts ist die komplexe Zahl 1+3i (1;3) in der Gaussschen Zahlenebene dargestellt. Bild Iterationen in der Zahlenebene Um die bekannten Fraktale, die Mandelbrot und Juliamengen, zu verstehen, muß man betrachten was passiert, wenn man komplexe Zahlen quadratisch iteriert. Zunächst möchte ich die Iteration reeller Zahlen betrachten: In die Iterationsvorschrift, Ein Element der Folge (a n+1 ) wird gebildet, indem man das vorangegangene Element (a n ) quadriert, also kurz: a n+ 1 = wird eingesetzt. Als Ergebnis kommt schon nach wenigen Iterationen ein sehr hoher Wert heraus, die Folge läuft schnell gegen +unendlich. Setzen wir in die gleiche Vorschrift 0,5 ein, so strebt sie gegen 0. Bei 1 bleibt das Ergebnis konstant. Zahlen, die diese Bedingung erfüllen, nennt man Fixzahlen. Weiterhin existieren Vorfixzahlen, also Werte welche schon nach einigen Iterationen einen Fixpunkt liefern, etwa -1. Schon nach einer Quadrierung erhält man 1, a n

13 -13- also einen Fixpunkt. Wenn man nun die eindimensionale Menge der reellen Zahlen verläßt und sich die Zahlenebene ansieht, so fallen einige Analogien auf. Die Zahl +3i wird fortlaufend quadriert: Element Wert (;3) (-5;1) (-119;-10) (-39;8560) Die Folge wächst rapide an, sie strebt gegen unendlich. Als zweites Beispiel wird die komplexe Zahl 0,+0,3i iteriert Element 1 3 Wert (0,;0,3) (-0,05;0,1) (-0,0119;-0,01) Diese Folge strebt gegen Null. Als letztes Beispiel wird 0,707+0,707i betrachtet Element n Wert (0,707;0,707) (0;1) (-1;0) (1;0) (1;0) Diese Zahl ist eine Vorfixzahl, die scheinbar zufällig ausgewählt wurde. Man kann jedoch eine Begründung finden, warum gerade diese Zahl eine Vorfixzahl ist. Komplexe Zahlen kann man in der Zahlenebene auch als Vektor auffassen. Die Länge dieses Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln. Die Länge beträgt: L = dx + dy, L ist die Länge des Vektors, dx und dy die Komponenten in x bzw. y Richtung. Diese Komponenten stellen in der Zahlenebene aber die reellen und imaginären Anteile dar. Also ergibt sich: L = 0, , 707 0, 5 + 0, 5 = 1 und damit L=1. Alle Zahlen deren Betrag, welcher der Vektorenlänge entspricht, größer 1 ist, streben bei Iteration gegen unendlich. Zahlen mit einem Betrag kleiner 1 ergeben eine Folge gegen 0 und Zahlen mit einem Betrag von genau 1 sind Fix oder Vorfixpunkte. Wenn man dieses Ergebnis graphisch aufbereitet ergibt sich folgendes Bild:

14 -14- Bild 6 Grafische Zusammenfassung Die Darstellung nennt sich Fluchtzeitalgorhytmus. Sämtliche Punkte des Bildes wurden in die Iterationsvorschrift eingesetzt. Die Farbmarkierungen werden in dieser Darstellung nach dem Verhalten der Punkte gewählt. Die Punkte deren Iteration gegen 0 strebt und sämtliche Fix- und Vorfixpunkte werden schwarz markiert. Alle anderen hier in verschiedenen Blautönen markierten Punkte streben mit verschiedenen Geschwindigkeiten gegen unendlich, wobei die Farbe für die Geschwindigkeit steht mit der sie sich gegen unendlich bewegen. Der Ursprung der Zahlenebene liegt im Mittelpunkt des Kreises. Der Kreis hat einen Radius von Julia und Mandelbrotmengen (Parameterräume) 3..1 Die Juliamengen Im Allgemeinen folgen Juliamengen der Iterationsvorschrift an+ 1 = an + c. C ist eine komplexe Konstante, die bei jeder Iteration addiert wird. Im vorangegangenen Kapitel war diese Konstante 0 und das Ergebnis war die einfachste aller denkbaren Juliamengen. Verändert man c so erhält man verschiedenste Gebilde. Diese sehr viel komplexeren Mengen haben alle typischen fraktalen Eigenschaften. Sie sind selbstähnlich, haben eine fraktale Dimension, sind unendlich komplex und stark abhängig von den Startbedingungen. Zur

15 -15- Veranschaulichung zwei Beispiele: Bild 7: Juliamenge C=-0,7+0,15i Bild 8: Juliamenge C=-0,85+0,5i 3.3. Mandelbrotmengen (Parameterräume) Die Mandelbrotmenge 1 wird nach der gleichen Iterationsvorschrift erzeugt wie ihre Juliamenge: a a c. = + n+ 1 n Der Unterschied besteht in den Startwerten a 1 und der Additionskonstante c. Bei der Juliamenge wird als Startwert ein Punkt in der Zahlenebene eingesetzt und c ist eine Konstante, die vor der Berechnung der Juliamenge bestimmt wird. Bei der Mandelbrotmenge ist der Startwert immer 0+0i. C ist keine Konstante, sondern die Koordinate des aktuellen Punktes, an dem sich die Berechnung befindet. Eine Beispielrechnung, um den Unterschied zwischen Julia und Mandelbrotmenge zu visualisieren: (die Additionskonstante ist jeweils in spitze Klammern gesetzt) Mandelbrot - Menge a a a a a n = 0 = i = + 3i = 3 + * * 3i+ + 3i = 3+ 15i = 16 90i+ + 3i = 14 87i = Julia - Menge mit c = -0,3-0,043i a a a a a n = + 3i = 5 + 1i 0, 3 0, 043i = 5, , 957i = 114, , 66i = 974, , 83i = 1 Nach ihrem Entdecker: Benoit Mandelbrot

16 -16- Führen wir den Fluchtzeitalgorhytmus fü r die Rechenvorschrift der Mandelbrotmenge aus, so erhalten wir folgendes Bild: Bild 9: Mandelbrotmenge Diese allgemein auch Apfelmännchen genannte Figur ist die Mandelbrotmenge der Juliamenge mit der Vorschrift: a a c. n 1 + = + Man kann auch andere Polynome als Vorschrift für die Erzeugung solcher Mengen benutzen. Mit dem Begriff Mandelbrotmenge ist strenggenommen nur das Iterationsverfahren gemeint, also dass der Startwert immer 0 und der jeweilige Punkt die Additionskonstante ist. Meistens findet man den Begriff Mandelbrotmenge aber für die häufigste ihrer Art, nämlich dem Apfelmännchen. Im folgenden wird der Begriff auch so verwendet werden. Es gibt enge Zusammenhänge zwischen Julia- und Mandelbrotmengen. Die Mandelbrotmenge ist der Parameterraum der Juliamengen. In der Vorschrift für Mandelbrotmengen fließt der aktuelle Punkt als Additionsparameter in die Berechnung mit ein, folglich stellt die Mandelbrotmenge (M) dar was passiert, wenn C über die Zahlenebene wandert. Für jeden Punkt der Mandelbrotmenge lässt sich eine zugehörige Juliamenge (J) berechnen, die immer anders aussehen wird. Weiterhin kann man anhand der Position des Punktes in M auf das Aussehen von J schließen. Liegt der betrachtete Punkt innerhalb der Mandelbrotmenge, so ist die Juliamenge immer zusammenhängend. Liegt er in einem der Haare von M, so wird auch J eine Dendritenform, also eine n

17 -17- baumähnliche Form, besitzen. Liegt c in einer der Miniaturkopien von M in den Haaren von M, so wird J eine Dendritenform haben, allerdings mit Kopien derjenigen Juliamengen aus dem korrespondierenden Hauptteil von M behaftet. In dieser Art und Weise ließen sich noch viele Beziehungen zwischen der Mandelbrotmenge und Juliamengen aufzeigen. 4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht? Die fraktale Geometrie ist ein im Vergleich sehr junger Zweig der Mathematik. Dafür lassen sich eine Reihe von Gründen aufzeigen. 4.1 Die Menschen hinter den Fraktalen Gaston Julia Gaston Maurice Julia wurde am 3. Februar 1893 in Algerien geboren. Als Soldat im I. Weltkrieg verlor er seine Nase bei einem Vorstoß der französischen Front. Er unterzog sich mehrmals schmerzhaften Operationen, dennoch mußte er sein ganzes Leben einen Lederstreifen über dem Gesicht tragen. Während seiner langen Lazarettaufenthalte trieb er seine mathematischen Arbeiten voran. Im Alter von 5 Jahren veröffentlichte er seine bekannteste Arbeit, die Abhandlung über die Iteration von Funktionen, welche heute eine Grundlage des Wissens über Fraktale darstellt. Julia wurde mit dem Preis der französischen Wissenschaftsakademie ausgezeichnet und in Berlin wurden 195 wissenschaftliche Seminare zu seinem Werk abgehalten. Dennoch gerieten Julia und seine Arbeiten in Vergessenheit, bis sie von Benoit Mandelbrot in den siebziger Jahren wiederentdeckt wurden Benoit Mandelbrot Benoit B. Mandelbrot wurde 194 in Warschau geboren und

18 -18- emigrierte nach Frankreich, wo ihn sein Onkel Szolem Mandelbrot, der Mathematikprofessor am College de France war, unterrichtete erwarb Benoit ein Diplom an der Ecole Polytechnique in Paris, 1948 wechselte er zum California Institute of Technology, wo er an Luftturbulenzen hinter Jets arbeitete. In der Folgezeit war er bei einigen Instituten angestellt, darunter die Yale Fakultät und die Natural Academy of Science. Er erhielt viele Ehrendoktorate und Auszeichnungen. Er arbeitete in den siebziger Jahren bei IBM und danach im T.J. Watson Research Center, wo er Leiter der Computergraphikabteilung war. Dort kam ihm zufällig die Idee der natürlichen Fraktale als er eine Hügelkette betrachtete. Er untersuchte iterative Prozesse und Julias Ergebnisse auf Computern und entdeckte wiederum zufällig die nach ihm benannte fraktale Menge, die Mandelbrotmenge schrieb er sein erstes Buch: Die fraktale Geometrie der Natur. Benoit Mandelbrot und Gaston Julia verdanken wir heute den größten Teil unseres Wissens über Fraktale. 4. Der Computer, essentielles Werkzeug Ohne den Computer gäbe es keine fraktale Geometrie in der heutigen Form. Im folgenden möchte ich aufzeigen warum dies so ist Ohne Computer keine Fraktale Der Computer ist das Werkzeug, das Fraktale Geometrie ermöglicht hat. Gaston Julia entwickelte zwar schon zu Anfang des 0. Jahrhunderts Theorien über iterative Funktionen, jedoch hat er nie eine Juliamenge gesehen. Um eine verwertbare Juliamenge zu erzeugen, sind eine Vielzahl von Berechnungen notwendig. Ein Beispiel: Man möchte eine willkürliche Juliamenge berechnen. Um eine hinreichende Genauigkeit zu gewährleisten, führt man 100 Iterationen

19 -19- durch. Das heißt also 100 mal die gleiche Rechnung ( a a c) + = + und das mit Zahlen, die bei jedem Schritt extremer werden. Aber dann wurde nur ein Punkt der Juliamenge errechnet. Das Ziel ist allerdings eine vollständige Juliamenge. Bei der noch relativ geringen Auflösung von 300*00 Bildpunkten kommt man so auf 6 Millionen Rechenschritte. Diese Flut an nötigen Rechnungen kann kein Mensch im Kopf lösen, auch dann nicht, wenn ein Mensch in bestimmten Fällen, z.b. bei einem Fixpunkt, die Berechnung vorzeitig abbrechen kann. Die einzige Möglichkeit, solch eine Aufgabe zu lösen, ist der Computer. Hier ist dies mit einem im Vergleich geringen Aufwand verbunden, denn programmtechnisch ist die Berechnung einer Juliamenge kein schwieriges Problem denn die Rechenvorschrift ist ja immer die gleiche. Die Entwicklung programmgesteuerter Rechenmaschinen, nämlich der Computer, war nötig, denn ohne sie wäre die heutige fraktale Geometrie nicht möglich. n 1 n 4.. Entwicklung der Computertechnologie Die Computertechnologie macht enorme Fortschritte. Jedes halbe Jahr wird eine neue Prozessorgeneration für Personal Computer entwickelt. Durchschnittlich alle zwei Jahre verdoppelt sich die Rechenleistung von PC s. Für die Mathematik und speziell für die fraktale Geometrie bedeutet das, dass immer komplizierte und aufwendigere Aufgaben gelöst werden können. Immer genauere Fraktale in immer größeren Auflösungen können berechnet werden. Auch kann man komplexere Iterationsvorschriften verwenden, die einen enormen Rechenaufwand erfordern, was die Berechnung früher nicht im vernünftigen zeitlichen Rahmen ermöglichte. 5 Anwendung von Fraktalen Fraktale sind rein theoretische Figuren, doch das ist ein

20 -0- idealer Kreis auch. Diesen benötigt man jedoch für eine ganze Reihe von Anwendungen. Die fraktale Geometrie setzt dort an wo die klassische Geometrie versagt und zwar im Bereich des irregulären und gebrochenen. Im folgenden möchte ich auf die Anwendungen der fraktalen Geometrie eingehen. 5.1 Fraktale in der Graphik Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung natürlicher Fraktale Ein Großteil natürlicher Strukturen sind Fraktale, zum Beispiel: Bäume, Wolken oder Berge. Möchte man solche Strukturen graphisch darstellen, bieten sich künstliche Fraktale, also die fraktale Geometrie, an. Es ist fast unmöglich die Form einer Wolke mit herkömmlichem Mitteln zu beschreiben. Bedient man sich jedoch der fraktalen Geometrie und kennt man die ungefähre fraktale Dimension, so ist es ein leichtes Strukturen zu erzeugen, die den natürlichen sehr ähnlich sind. Die Wolken auf der Fernsehwetterkarte beispielsweise werden fraktal modelliert Fraktale in der Bildkompression Die Kompression, also die Datenreduktion, von Bilddaten ist ein weiteres Anwendungsfeld in dem Fraktale zum Einsatz kommen. Betrachtet man ein Bild als regelmäßige Anordnung von Pixeln (Bildpunkte), so muß man sie alle auch speichern um das Bild wiedergeben zu können. Um Speicher zu sparen, muß man sich lokale Bildzusammenhänge zu Nutze machen. Oftmals sind benachbarte Pixel in Farbe und Sättigung ähnlich, was genutzt werden kann, um das Bild zu komprimieren. Man teilt das Bild in rechteckige Abschnitte (regions) auf, überprüft ob Ähnlichkeiten bestehen und nutzt diese gegebenenfalls zur Kompression. Ein großer schwarzer Bereich, der aus vielen Pixeln besteht, kann man beispielsweise auch als eine

21 -1- zusammenhängende Fläche beschreiben. Es gibt aber auch eine völlig andere Möglichkeit die auf fraktaler Geometrie beruht. Oft bestehen zwischen verschiedenen Teilen des Bildes Ähnlichkeitszusammenhänge. Ein Wandteil kommt an verschiedenen Stellen mehrmals vor, ein Felsstück gleicht einem anderen an anderer Stelle. Die fraktale Bildkompression setzt diese Beziehungen nun in eine mathematische Beschreibung des Bildes durch Transformationen um. Dazu teilt man das Bild zweimal in Segmente auf, in sogenannte Range Regions die dem Bildinhalt angepasst werden und sich auch überlappen dürfen, und in regelmäßige, recheckige Domain Regions in der gewünschten Auflösung. Nun sucht man für jede Domain Region eine Range Region die größer ist und durch affine Transformation in die Domain Region abgebildet werden kann (kontraktive Transformation). Der Inhalt muß gleich oder sehr ähnlich sein. Hat man dies für alle Domain Regions durchgeführt, ist das Bild fraktal beschrieben. Die wenigen Parameter, die dann noch zur Rekonstruktion des Bildes nötig sind, ergeben die Informationsersparnis im vergleich zum unkomprimierten Bild. 5. Physikalische Anwendungen Die fraktale Geometrie kann auch für physikalische Anwendungen genutzt werden. Viele Systeme wachsen in einer fraktalen Art und Weise: Kupfer in einer Kupfersulfat Elektrolyse, Bäume oder Gewitterblitze, sie sind alle stark verzweigt und selbstähnlich. Sie sind Fraktale und lassen sich durch die fraktale Geometrie ideal beschreiben. Turbulente, hydrodynamische Systeme sind ein weiteres typisches Einsatzfeld der fraktalen Geometrie. 6 Einordnung der Fraktalen Geometrie in die klassische Mathematik Die fraktale Geometrie ist ein noch sehr junger Zweig der

22 -- Mathematik. Sie kann nicht auf Jahrhunderte voller Entwicklung und neuen Theorien zurückblicken, daher gibt es in ihr noch viel zu entdecken. Sie setzt Computer als wichtigstes Werkzeug ein, folglich wirkt sich jede Weiterentwicklung in der Computertechnologie auch auf die fraktale Geometrie aus. Sie deckt Zusammenhänge ab und ermöglicht Problemlösungen, die mit klassischen Mitteln kaum realisierbar waren. Früher nicht beschreibbare natürliche Strukturen wurden mathematisch fassbar. Fraktale Geometrie ersetzt die klassische Mathematik nicht, aber sie ergänzt sie an den Stellen wo die klassischen Ansätze versagen. 7. Schluß Die fraktale Geometrie eröffnet neue Wege um Problemstellungen zu lösen. Sie ist zu einem wichtigen Instrument geworden um Zusammenhänge die sonst nicht, oder nur mit allergrößten Schwierigkeiten beschrieben werden könnten greifbar zu machen. Es wäre sinnvoll diesen faszinierenden Zweig der Mathematik auch in der Sekundarstufe II einzuführen und zu erläutern. Die Möglichkeiten der fraktalen Geometrie sind enorm und wurden erst ansatzweise ausgeschöpft. Die fraktale Geometrie ist eine ideale Möglichkeit, um Informatik, Mathematik und die klassischen Naturwissenschaften zu verknüpfen. 8. Anhang 8.1 Literatur und Quellenverzeichnis Halling H. / Möller R. (1995):Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale, Heidelberg, Berlin, Spektrum, Akad. Verl. Herford P. / Klotz A.(1997): Ornamente und Fraktale, Wiesbaden, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsges. Kenneth J. Falconer (1990): Fraktale Geometrie - Mathematische Grundlagen und Anwendungen, Oxford, Spektrum, Akad. Verl. Fernkurs Fraktale Geometrie

23 -3- Komplexe Zahlen - Iteration Komplexe Zahlen - Was ist das? Was sind komplexe Zahlen? 8. Bildverzeichnis Bild 1: fraktale/koch.jpg Bild,3,4: uforum/physik-lk /fraktale/kochkur_1,,3.jpg Bild 5: Corel Qattro Pro Bild 6,7,8: Fractal Extreme v.1.0 Bild 9: Fractal Explorer v Verzeichnis sonstiger Hilfsmittel Fraktalprogramme: Fractal extreme v.1.0, Cygnus Software 1997, Fractal Explorer v.1.1, A. Sirotinsky, O. Fedorenko, , Kiev, Sonstiges: Bertelsmann Lexikodisc, Disc, Technik und Natur, Bertelsmann Lexikon Verlag GmbH, Gütersloh Erklärung Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und nur die im Literatur- und Quellenverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Ort, Datum Unterschrift