Theoretische Physik: Elektrodynamik

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1 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Ferienkurs Theoretische Physik: Elektrodynamik Probeklausur - Lösung Technische Universität München Fakultät für Physik

2 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Aufgabe (8 Punkte) Auf der z - Achse liegt ein (unendlich langer) gerader Draht mit der konstanten Ladungsdichte λ.. Berechnen Sie das von dieser Anordnung erzeugte elektrostatische Feld E( r). (3 Punkte) 2. Der geladene Draht wird nun in die x - Richtung um den Abstand x > parallel verschoben. Desweiteren befindet sind in der yz - Ebene (bei x ) eine (unendlich ausgedehnte) geerdete Metallplatte. Lösung: (a) Bestimmen Sie mit der Methode der Spiegelladungen das elektrische Feld E( r) im Halbraum x > zu der vorgegebenen Randbedingung. Überprüfen Sie, dass E( r) auf der Metallplatte nur eine Normalkomponente besitzt. (3 Punkte) (b) Geben Sie die auf der Metallplatte influenzierte Flächenladungsdichte σ(y) an und berechnen Sie dyσ(y). (2 Punkte). gerader Draht mit homogener Linienladungsdichte λ auf z - Achse. Wegen der Zylindersymmetrie ist das elektrische Feld: ρ( r) λδ(x)δ(y) () x/ρ E( r) E(ρ) e ρ E(ρ) y/ρ, ρ x 2 + y 2 (2) Benutze nun den Gauß schen Satz: d F E( r) ε d 3 r ρ( r ) ε dzλ (3) V V und als Volumen V einen Zylinder der Höhe l und Radius ρ. Für die Stirnflächen ist d F e z : d F E( r) (4) S tirn f l. Für die Mantelfläche ist d F rdϕdz e ρ : Mantel f l Nach dem Satz von Gauß folgt: d F E( r) l dz dϕρe(ρ) e ρ e ρ ρle(ρ) (5) Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 ρle(ρ) ε l dzλ λl ε (6) E( r) E(ρ) λ ε ρ λ ε (x 2 + y 2 ) x y (7) (8) 2. Draht vor geerdeter Metallplatte Aufgrund der Methode der Spiegelladungen platziert man einen Spiegeldraht parallel zur z Achse bei y und x x mit der Linienladungsdichte λ. Damit folgt für das elektrische Feld im Halbraum x > : E( r) λ ε [(x x ) 2 + y 2 ] auf der Metallplatte bei x folgt: E(, y) λ ε [x 2 + y2 ] x x y x x y y Das elektrische Feld hat also nur eine Normalkomponente: λ ε [(x + x ) 2 + y 2 ] x + x y (9) λx πε (x 2 + y2 ) e x () E(, y) n e x () 3. Die induzierte Flächenladungsdichte folgt aus dem Sprung der Normalkomponente von E: σ ε n E Fläche ε e x e x 2λx πε (x 2 + y2 ) λx σ y π(x 2 + y2 ) (2) (3) Für das Integral folgt: dyσ y λx dy π(x 2 + y2 ) λx π x 2 Durch Substitution von µ y/x lässt sich das Integral leicht lösen: λ π arctanµ µ µ λ π dy + ( y x ) 2 (4) ( π 2 π ) λ (5) 2 Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Aufgabe 2 (5 Punkte) Eine homogen geladene Kreisscheibe vom Radius R und vernachlässigbarer Dicke trägt die Gesamtladung Q und rotiert starr mit der (konstanten) Winkelgeschwindigkeit ω ω e z um eine Achse senkrecht durch den Kreismittelpunkt. Berechnen Sie das magnetische Moment m dieser Anordnung. Lösung: Homogen geladene, rotierende Kreisscheibe. Die Ladungsdichte der homogen geladenen Kreisscheibe ist: ρ( r) Mit der Geschwindigkeit v ω r folgt für die Stromdichte: Q πr 2 Θ(R2 x 2 y 2 )δ(z) (6) x j( r) ρ( r) v( r) ρ( r)ω y Qω y z πr 2 Θ(R2 x 2 y 2 )δ(z) x (7) Damit ist das magnetische Moment der Anordnung: m d 3 r r j( r) 2 Qω x y d 3 r y R 2 x Θ(R2 x 2 y 2 )δ(z) z Qω xz d 3 r yz R 2 Θ(R2 x 2 y 2 )δ(z) x 2 + y 2 Qω R 2 dϕ }{{} R dρρρ 2 e z m Q 4 R2 ω e z } {{ } R 4 4 (8) Aufgabe 3 (2 Punkte) Ein (sehr langes) gerades Koaxialkabel besteht aus einem inneren, leitenden Vollzylinder vom Radius R und konzentrische dazu einem leitenden Zylindermantel mit Radius R 2 > R und vernachlässigbarer Dicke, welcher als Rückleitung dient. Die Zylinderachse liegt auf der z - Achse.. Geben Sie die Stromdichte j( r) e z im Koaxialkabel an, wenn der hin- und rückfließende Strom I jeweils gleichmäßig über den Leiterquerschnitt verteilt ist. (Punkte 3) Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Berechnen Sie das zugehörige (stetige) Vektorpotential A( r) A(ρ) e z im ganzen Raum. (6 Punkte) Hinweis: Da die Funktion A(ρ) nur vom Radius ρ abhängt, gilt für den Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten A(ρ) A (ρ) + ρ A (ρ) d ρ dρ [ρa (ρ)]. 3. Berechnen Sie die Selbstinduktivität pro Längeneinheit L l des Koaxialkabels. (3 Punkte) Lösung:. Stromdichte: j( r) I Θ(R πr 2 ρ) I δ(ρ R 2 ) e z (9) R 2 Test durch Flächenintegral (erfüllt): 2. Vektorpotential: Querschnitt d F j I πr 2 πr 2 I R 2 R 2 (2) j e z A( r) µ j( r d 3 r ) 4π r r e z (2) A( r) e z Wegen der Zylindersymmetrie gilt A( r)a(ρ) e z. Aus der Maxwellgleichung rot B µ j folgt in Coulomb-Eichung ( div A ): µ j rot B rotrot A graddiv A A A (22) Das Vektorpotential erfüllt also die Poissongleichung: A( r) µ j( r) mit A( r) A(ρ) e z (23) Da A(ρ) nur vom Abstand zur z - Achse abhängt, folgt: A(ρ) ρ ρ [ρa (ρ)] µ I Θ(R ρ) π R 2 Lösung der homogenen Differentialgleichung: :ρ, dρ A(ρ) δ(ρ R 2) 2R 2 (24) ρ ρ [ρa (ρ)] ρ,dρ ρa (ρ)a (25) dρ a alnρ + b, a, bkonstant (26) ρ Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Lösung im Bereich ρ < R : ρ ρ [ρa (ρ)] µ I πr 2 (27) ρa (ρ) µ I ρ 2 + a (28) R 2 A(ρ) µ I + alnρ + b, a, bkonstant (29) 4πR 2 Ansatz: Für ρ < R : A(ρ) µ I ρ 2 + a 4πR 2 lnρ + b (3) Für R < ρ < R 2 : a 2 lnρ + b 2 (3) Für ρ > R 2 : Damit A() endlich ist, muss a sein. Wir wählen b (unbedeutende additive Konstante). Stetige Differenzierbarkeit bei ρ R liefert dann: a 3 lnρ + b 3 (32) µ I R 2 4πR 2 a 2lnR + b 2, µ I R R 2 a 2 (33) R a 2 µ I (34) b 2 µ I 4π + µ I lnr µ I 4π ( 2lnR ) (35) Aus A( r) A(ρ) e z folgt mit Rotation in Zylinderkoordinaten B rot A A(ρ) ρ e ϕ B(ρ) e ϕ. Wendet man das Ampere sche Durchflutungsgesetz auf eine Kreisscheibe mit Radius ρ > R 2 an, folgt mit r ρ e ρ und d r ρ e ϕ : F d r B( r) dϕρb(ρ) e ϕ e ϕ B(ρ) (I I)µ (36) B(ρ) A(ρ) ist konstant für ρ > R 2, da B(ρ) A (ρ) (37) a 3 (38) Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Stetigkeit bei ρ R 2 liefert damit: b 3 a 2 lnr 2 + b 2 µ ( I + 2ln R ) 4π R 2 (39) Insgesamt erhält man für das Vektorpotential: Für ρ < R : Für R < ρ < R 2 : Für ρ > R 2 : A(ρ) µ I 4π ρ2 R 2 A(ρ) µ ) I ( 4π + 2ln ρr A(ρ) µ ( I 4π + 2ln R ) 2 R (4) (4) (42) 3. Für die Selbstinduktivität gilt allgemein: L I 2 V d 3 r j( r) A( r) (43) Bei Translationsinvarianz folgt für die Selbstinduktivität pro Längeneinheit: L l df j( r) A( r) (44) I 2 Querschnitt L l dϕ I 2 I 2 µ I 4π dρρ j( r) A( r) dρρ{ I δ(ρ R 2 ) e z R 2 µ R I πr 2 ( + 2ln R 2 dρ ρ3 R 2 R 4 2R 2 Θ(R ρ) e z ρ2 e z R L l µ ( ln R 2 + ) R 4 ) e z } ( + 2ln R 2 R ) R 2 (45) (46) Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Aufgabe 4 (4 Punkte) Eine dünne Linearantenne der Länge 2d liegt auf der z - Achse und wird über einen schmalen Spalt in der Mitte mit Wechselstrom der Frequenz ω gespeist. Die auf den Bereich z < d begrenzte, zeitlich periodische (komplexe) Stromdichte hat die folgende Form: j( r, t) I sin(kd k z )δ(x)δ(y)e iωt e z, k ω c (47). Füren Sie für das (komplexe) retardierte Vektorpotential A( r, t) A z ( r)e iωt e z die Fernwfeldentwicklung bis zur Ordnung r durch und zeigen Sie, dass der räumliche Anteil durch folgenden Ausdruck gegeben ist: A z ( r) µ I 4π e ikr r d d dz sin(kd k z )exp( ikz cosϑ) µ I e ikr F(k, ϑ) (48) kr Das Ergebnis F(k, ϑ) cos(kdcosϑ) cos(kd) für obiges Integral können Sie ohne Beweis und sin 2 ϑ Herleitung verwenden. (4 Punkte) 2. Berechnen Sie die zugehörigen räumlichen Anteile proportional zu r und elektrischen Fernfelder vecb( r) und E( r). (6 Punkte) der magnetischen 3. Bestimmen Sie den zeitlich gemittelten Poynting-Vektro S av ( r) Re[ E( r) B ( r)] 2µ und geben Sie die differentielle Strahlungsleistung dp dω der Linearantenne an. (4 Punkte) Lösung: Mit Wechselstrom gespeiste Linearantenne. zeitlich periodische komplexe Stromdichte: im Bereich z < d, mit k ω c. j( r, t) I sind(kd k z )δ(x)δ(y)e iωt e z (49). Das komplexe retardierte Vektorpotential ist: A( r, t) µ 4π µ 4π d 3 r j( r, A c r r ) r r d 3 r I sin(kd k z )δ(x )δ(y ) e iωt e iω c r r r r e z (5) Nun führt man eine Fernfeldentwickling (r r ) durch: Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 r r (r2 2 r r + r 2 ) /2 ( )] [ 2 r r r 2 /2 2 r + O (5) 2 r 2 Nun führen wir für den Term der Form ( + x) 2 -Term eine Taylorentwicklung durch. ( )] [ + r r r 2 r r + O r ( ) r 2 r + O (52) 2 r 2 ( ) k r r kr 2 r r r r + O 2 2 r 2 ( )] ( ) (53) kr r r r 2 r + O k(r e r r 2 ) + O r r 2 r 2 [ ( )] exp(ik r r ) exp ik(r e r r ) + O r (54) Wegen δ(x )δ(y ) ist x y und es folgt: sinϑcosϕ e r r sinϑsindϕ z cosϑ (55) cosϑ z Damit folgt für den räumlichen Anteil des retardierten Vektorpotentials A( r, t) A( r)e iωt e z in führender Ordnung der Fernfeldentwicklung: A( r) µ 4π d dx dy dz I sin(kd k z )δ(x )δ(y ) exp(ikr ikz cosϑ) r d (56) µ I 4π e ikr r d d dz sin(kd k z )exp( ikz cosϑ) Die Integration liefert: A( r) µ I e ikr F(k, ϑ) (57) kr F(k, ϑ) k 2 d d dz in(kd k z )exp( ikz cosϑ) cos(kdcosϑ) cos(kd) sin 2 ϑ (58) Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Der räumliche Anteil des magnetischen Fernfeldes ist: B( r) rot A( r) µ I [ e rot e ikr ] z F(k, ϑ) kr µ [ ] (59) I e ikr grad F(k, ϑ) e z kr Für den führenden Term in Fernfeld-Entwicklung darf grad nur auf e ikr wirken, da: Damit erhält man: e ikr e r r eikr ike ikr e r (6) ( ) r e r r r O r 2 F(k, ϑ) F r e r + F r ϑ e ϑ + ( ) F rsinϑ ϕ e ϕ O r B( r) iµ I (6) (62) e ikr r F(k, ϑ) e r e z (63) Mit B( r, t) B( r)e iωt, E( r, t) E( r)e iωt folgt aus rot B( r, t) E c 2 t Koordinanten: für die räumlichen E( r) ic2 ω rot B( r) (64) Es folgt also für den räumlichen Anteil des elektrischen Fernfeldes: E( r) ic2 ω [ ] iµ I e ikr rot r F(k, ϑ) e r e z (65) Wieder darf nur auf e ikr wirken, da: e ikr ike ikr e r, r O ( r 2 ) ( e r e z ) O, F(k, ϑ) O ( ) r ( ) da δ(i j) ( e r ) j x ( ) ix j O r x i r r 3 (66) (67) Man bekommt also für den führenden Term: e( r) icµ I e ikr r F(k, ϑ) e r ( e r e z ) (68) Technische Universität München Fakultät für Physik

11 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor erhält man durch Einsetzen der vorher bestimmten Felder: Dabei ist der vektorielle Anteil: S av ( r) 2µ Re[ E( r) B ( r)] (69) [ e r ( e r e z )] ( e r e z ) [ e r e r e z e z e r e r ] ( e t e z ) Es folgt also: cosϑ e r ( e r e z ) e z ( e r e z ) cosϑ( e r cosϑ e z ) ( e r e z e z e z e z e r ) e r (cos 2 ϑ ) e r sin 2 ϑ (7) S av Re[ icµ I e ikr 2µ r F(k, ϑ)[ e r ( e r e z )] iµ I e ikr r F(k, ϑ)( e r e z )] (7) S av µ ci 2 8π 2 r 2 F(k, ϑ)2 sin 2 ϑ e r (72) Damit ist die differentielle Strahlungsleistung der Linearantenne: dp dω r2 e r S av ( r) µ ci 2 8π 2 [sinϑf(k, ϑ)]2 (73) dp dω µ ci 2 8π 2 [ ] 2 cos(kdcosϑ) cos(kd) (74) sinϑ Aufgabe 5 (3 Punkte) In großer Entfernung von einem Streukörper mit induziertem magnetischen Dipolmoment m hat das gestreute Strahlungsfeld die Form: E S treu ( r, t) µ ω 2 4πrc ei(kr ωt) ( m e r ) (75) Für einen Streukörper mit der magnetischen Polarisierbarkeit β gilt die Beziehung m β B µ, wobei B der magnetische Amplitudenvektor der in z - Richtung einlaufenden ebenen elektromagnetischen Welle ( E ein, B ein ) ist. Technische Universität München Fakultät für Physik

12 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Geben Sie den allgemeinen Ausdruck für den Wirkungsquerschnitt ( ) dσ dω in Abhängigkeit von den Polarisationen ε und ε der einfallenden und gestreuten Strahlung an und pol vereinfachen Sie diesen Ausdruck für das gegebene Problem. 2. Berechnen Sie für die Streuung unpolarisiert einfallender Strahlung. Hinweis: Die richtungsabhängige Größe e ( m e r ) 2 ist über die Polarisationsvektoren ε e z cosϑ e r sinϑ und ε e r e z sinϑ der gestreuten Strahlung zu summieren. Lösung: Streuung elektromagnetischer Wellen an einem magnetisch polarisierbaren Streuköroer. Die gestreute Welle hat die Form: E S treu µ ω 2 4πrc ei(kr ωt) m e r (76) mit dem induzierten magnetischen Dipolmoment m β µ B und der magnetischen Polarisierbarkeit β.. Die Felder der einlaufenden ebenen Welle in z - Richtung sind: E ein E e i(kz ωt), B ein ω k E ein c e z E ein (77) Der differentielle polarisationsabhängige Wirkungsquerschnitt ist: dσ dω r2 ε E streu 2 pol ε (78) E ein 2 mit den Polarisationsvektoren ε, ε der einfallenden / gestreuten Strahlung. Mit E E ε folgt: E ε 2 E ε ε 2 E 2 (79) und damit: dσ dω pol r2 E 2 ( µ ω 2 ) 2 ( β 4πrc cµ β2 k 4 6π 2 ( e z ε ) ( e r ε ) 2 ) [( e z ε E ) e r ] ε 2 (8) dσ dω pol β2 k 4 6π ε 2 ( ε cosϑ e r ε e z ) 2 (8) Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

13 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Da die einfallende Strahlung unpolarisiiert ist, wird die Anfangspolarisation ε e x, e y gemittelt. Allgemein gilt: Es folgt für den gemittelten Wirkungsquerschnitt: 2 ε e x, e y ε v 2 v x 2 + v y 2 v e z 2 (82) ε e x, e y dσ dω pol β2 k ( ε cosϑ e r ε e z ) e z 2 (83) Polarisation der gestreuten Strahlung parallel zur Streuebene. Der Polarisationsvektor ist: ε e z cosϑ e r sinϑ Der gemittelte Wirkungsquerschnitt ist:, ε 2, ε ε (84) dσ dω β2 k 4 3 ( ε cosϑ e 2 r ε e z ) e z 2 β 2 k sin 2 ϑ [( e z cosϑ e r )cosϑ e r ( e z cosϑ e r ) e z ] e z 2 β 2 k sin 2 ϑ [ cos2 ϑ( cos 2 ϑ)] e r e z 2 (85) dσ dω β2 k (86) Polarisation der gestreuten Strahlung senkrecht zur Streuebene. Der Polarisationsvektor ist: ε e r e z sinϑ Der gemittelte Wirkungsquerschnitt ist:, ε 2 2, ε ε (87) dσ dω β2 k 4 3 ( ε cosϑ e 2 r ε e z ) e z 2 β 2 k sin 2 ϑ [( e r e z )cosϑ e r ( e r e z ) e z ] e z 2 β 2 k sin 2 ϑ ( e r e z ) e z 2 β 2 k sin 2 ϑ e zcosϑ e r 2 (88) dσ dω β2 k cos2 ϑ (89) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

14 Ferienkurs Merlin Mitschek, Verena Walbrecht.3.25 Der gesamte gemittelte unpolarisierte Wirkungsquerschnitt ist: dσ dω dσ dω + dσ dω β2 k ( + cos2 ϑ) (9) Technische Universität München 4 Fakultät für Physik