Einführung in die Didaktik der Mathematik

Transkript

1 Einführung in die Didaktik der Mathematik Andrea Hoffkamp WS 2016/17 1

2 5. Vorlesung: Wie funktioniert Lehren? Spiralprinzip Teil II 2 aus: Büchter, mathematik lehren, Heft 182, 2014

3 Stellenwertdarstellung von Zahlen als fundamentale Idee im Spiralcurriculum 1. Klasse: Zahlenraum bis 20 Arbeiten mit dem Zwanzigerfeld und der Macht der Fünf, Idee des Bündelns 2. Klasse: Zahlenraum bis 100 Arbeiten mit dem Hunderterfeld Idee des Bündelns und Rechnen mit Zehnern 3. Klasse: Zahlenraum bis 1000 Arbeiten mit der Stellenwerttafel, Flexibles Bündeln und Entbündeln als Grundlage für das Rechnen 4. Klasse: Zahlenraum bis Arbeiten mit der erweiterten Stellenwerttafel Idee des Bündelns und schriftliche Rechenverfahren 3

4 5./6. Klasse: Rationale Zahlen in Dezimaldarstellung Fortsetzung des Stellenwertsystems nach rechts Idee und Umsetzung: Ulrich Kortenkamp und Silke Ladel 4

5 5./6. Klasse: Rationale Zahlen in Dezimaldarstellung Fortsetzung des Stellenwertsystems nach rechts Abb. aus Klick 8, Arbeitsheft Basis für das Rechnen mit Größen! 5

6 Schwierigkeiten diagnostizieren basierend auf einem spiraligen Aufbau der Inhalte Ein Spielzeug kostet 80 Wie viele 10- -Scheine benötigst du, Ein Radio kostet 270 Wie viele 10- -Scheine benötigst du, Wie viele Zehntel enthält die Zahl! 0,67 Welche Zahl ist drei Zehntel größer als 4,8 um es zu bezahlen?! C 1 um es zu bezahlen?! C 2 C 5 C 6 Ein Auto kostet Wie viele Scheine benötigst du, um es zu bezahlen?! C 3 Auf welche Zahl zeigt der Pfeil? C 4 Welche Zahl ist am größten? 0,8 0,478 0,39 C 7 Nenne eine Zahl zwischen! und! 7,59 7,6 C 8 Ministry of Education New Zeeland (2016): Diagnostisches Interview KIWIS. Ein Arithmetik-Interview zu Wissen und Strategien. Deutsche Fassung der englischen Originalausgabe The Diagnostic Interview, übersetzt und ergänzt von N. Leufer, F. Link, J. Cramer, M. Katzenbach. Friedrich Verlag, Seelze Hoffkamp, A., Löhr, S. (erscheint 2017): Ein alltagstauglicher Diagnosetest basierend auf dem diagnostischen Interview KIWIS, Erscheint in: mathematik lehren (Themenheft "Inklusion"). 6

7 Schwierigkeiten diagnostizieren basierend auf einem spiraligen Aufbau der Inhalte Ein Spielzeug kostet 80 Wie viele 10- -Scheine benötigst du, Ein Radio kostet 270 Wie viele 10- -Scheine benötigst du, um es zu bezahlen?! C 1 um es zu bezahlen?! C 2 Ein Auto kostet Wie viele Scheine benötigst du, Auf welche Zahl zeigt der Pfeil? um es zu bezahlen?! C 3 C 4 Wie viele Zehntel enthält die Zahl! 0,67 Welche Zahl ist drei Zehntel größer als 4,8 C 5 C 6 Welche Zahl ist am größten? 0,8 0,478 0,39 C 7 Nenne eine Zahl zwischen! und! 7,59 7,6 C 8 Ergebnisse zweier Kinder einer 7. Klasse, Schuljahr 2015/16 7

8 5./6. Klasse: Rationale Zahlen in Dezimaldarstellung Periodische Dezimalzahlen und der Verlust der Eindeutigkeit Aufgabe: Wandeln Sie 0, 23 in einen Bruch um. Wie wandelt man periodische Dezimalzahlen in Bruchschreibweise um? 0, 9=1 Wie erklärt man dies in der 6. Klasse? 8

9 9. Klasse: Irrationale Zahlen in Dezimaldarstellung Grenzwerte Charakterisierung irrationaler Zahlen in der Schule: Zahlen mit unendlicher und nicht-periodischer Dezimalbruchentwicklung Unendlicher nicht periodischer Dezimalbruch Abb. aus: Padberg, Dankwerts, Stein (1995): Zahlbereiche - Eine elementare Einführung Operationalisiert können wir uns die Folge der Nachkommaziffern als immer genauere Angabe der Zahl denken. Jede dabei entstehende Zahl ist selbst wieder rational der Grenzwert aber nicht unbedingt. 9

10 Funktionaler Zusammenhang als fundamentale Idee im Spiralcurriculum Wann tauchen Ihrer Meinung nach zum ersten Mal funktionale Zusammenhänge (implizit oder explizit) im Mathematikunterricht auf? (Anfänge der Entwicklung der fundamentalen Idee) Inwiefern spielt das Denken in funktionalen Zusammenhängen eine Rolle im Alltag? (Sinnkriterium) 10

11 Funktionaler Zusammenhang als fundamentale Was ist eine Funktion? Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element x einer Menge genau ein Element y einer (nicht notwendig anderen) Menge zuordnet. Zuordnung kann willkürlich festgelegt werden, durch Zufall gesteuert werden oder durch eine gesetzmäßige Bindung gestiftet werden Beispiele: Idee im Spiralcurriculum Jedem Wurf einer Serie mit zwei Würfeln wird die Augensumme zugeordnet Jeder Zahl wird ihr Doppeltes oder ihr Nachfolger oder ihre Quersumme zugeordnet Jedem Quadrat wird sein Flächeninhalt oder sein Umfang zugeordnet Jeder Ware wird ihr Preis zugeordnet (Auszeichnungspflicht!) Der Geschwindigkeit eines PKWs die Länge des Bremsweges 11

12 Funktionaler Zusammenhang in der Grundschule Arithmetik: Zahlenfolgen in Doppellisten notieren Sachrechnen: Funktionale Sicht offenbart Gesetzmäßigkeiten aus: H. Winter: Inhalte mathematischen Lernens Zuordnungen zwischen Größen (proportional!): Menge Preis Menge Gewicht Keine Begriffsklärung von Funktion, aber Durchdringung des Unterrichts von der Idee des funktionalen Zusammenhanges Betonung des Zuordnungsaspektes 12

13 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Darstellungsformen und deren Verbindung, erste Funktionsklassen. Zuordnungen selbst als Untersuchungsgegenstand: z.b. Eigenschaften proportionaler/antiproportionale Zuordnungen u.a. Funktionen als eindeutige Zuordnungen. 13

14 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Eine qualitative Annäherung... 14

15 Schüler/in, 7. Klasse 15

16 Schüler/in, 7. Klasse 16

17 Schüler/in, 7. Klasse 17

18 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Abb. aus Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 2, 2005, S. 4 18

19 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I 19 Abb. aus Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 2, 2005, S. 6

20 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Finden Sie die (zahlreichen) Fehler! Abb. aus Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 2, 2005, S. 6 20

21 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Wichtiger Anknüpfungspunkt: Formeln unter funktionalen Gesichtspunkten entwickeln und betrachten. Hinzunahme des Kovariationssaspektes Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere in bestimmter Weise verändert? (Malle, G.: Didaktische Probleme der elementaren Algebra, 2000) 21

22 Funktionaler Zusammenhang in der Sekundarstufe I Wie wirken sich Veränderungen am Funktionsterm auf den Graphen aus - und umgekehrt? Hinzunahme des Kovariationssaspektes Wie ändert sich eine Größe, wenn sich eine andere in bestimmter Weise verändert? Nutzung von GeoGebra 22

23 Funktionaler Zusammenhang in der gymnasialen Oberstufe Hinzunahme des Objektsaspektes: Funktionen werden systematisch als Objekte betrachtet, die transformiert oder verknüpft werden können. Hinzu kommen Differentialoperator und Integraloperator (beide nur implizit) Erweiterung des Abbildungsbegriffs: Abbildungen nicht nur zwischen Größen, sondern z.b. im Falle des Wahrscheinlichkeitsmaßes zwischen einer Teilmenge (i.d.r. endliche bzw. diskrete W-Räume) und einer reellen Zahl zwischen 0 und 1. Aspekte von funktionalen Zusammenhängen im Spiralcurriculum: Zuordnungsaspekt Kovariationsaspekt Objektaspekt 23

24 Die fundamentale Idee der Zahl - Das prominenteste Beispiel für das Spiralprinzip 24

25 Lerntheorie von J. S. BRUNER: Spiralprinzip Das Spiralprinzip Beispiel: Zahlbegriffsentwicklung 0. Vorschulische Erfahrungen mit Zahlen 1. Zahlbegriff in der Grundschule: N 2. Sekundarstufe I: N! Q Sekundarstufe I: Q +! Q 4 4. Sekundarstufe I: Q! R 5. Sekundarstufe II: evtl. R! C 6. Mathematikstudium, Lehre, A. Filler, Humboldt-Universität Einführung in die Mathematikdidaktik, Teil 2: Lerntheor. Grundlagen Wintersemester 2015/16 25

26 Die fundamentale Idee der Zahl - Kontinuitäten und Diskontinuitäten Natürliche Zahlen (Grundschule) Vorstellungen zu natürlichen Zahlen Zahldarstellung Ordnungsrelation Vorstellungen für Operationen Anzahlen, Ordnungszahlen Rechenzahlen (Stellenwertsystem!) Größen (Wie lang? Wie groß?) Codierung (Telefonnummer, PLZ) Stellenwertsystem und Zehnerbündelung eindeutige Darstellung es gibt eine kleinste Zahl (Wohlordnung) jede Zahl hat einen eindeutigen Nachfolger weniger als (Anzahlen), früher als (Ordnungszahlen) Addition/Subtraktion: Hinzufügen/Wegnehmen Multiplikation: fortgesetztes Hinzufügen, multiplikativer Vergleich Division: Verteilen, Aufteilen adaptiert nach Hefendehl, Prediger: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvorstellungen wandeln, PM, Heft 48,

27 Die fundamentale Idee der Zahl - Kontinuitäten und Diskontinuitäten Positive rationale Zahlen bzw. Bruchzahlen (Klasse 5/6) Vorstellungen zu Bruchzahlen Zahldarstellung Anteile vom Ganzen, Verteilsituationen multiplikativer Vergleich Verhältnisse genaueres Messen nicht eindeutig: Bruchzahl kann durch unendlich viele Brüche, als Dezimalzahl oder Prozentzahl dargestellt werden Ordnungsrelation Vorstellungen für Operationen weniger als -Deutung unproblematisch rechnerisch schwieriger kein eindeutiger Nachfolger (liegen dicht) Addition/Subtraktion: gleiche Vorstellung, aber schwierigere Durchführung Multiplikation/Division: modifizierte Interpretationen rechnerisch einfacher neue Ordnungseigenschaften (Mult./Div.)! adaptiert nach Hefendehl, Prediger: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvorstellungen wandeln, PM, Heft 48,

28 Die fundamentale Idee der Zahl - Kontinuitäten und Diskontinuitäten Rationale Zahlen (negative Zahlen hinzunehmen) (Klasse 7) Vorstellungen zu rationalen Zahlen 0 als Vergleichsmarke relative Zahlen bzgl. dieser Vergleichsmarke Zahldarstellung Ordnungsrelation mit bekannten Zahlsymbolen und mit Vorzeichen drei Bedeutungen des Minuszeichens: Vor-, Rechen-, Inversionszeichen weniger als -Deutung ist neu Orientierung an der Zahlengeraden Vorstellungen für Operationen Verständnishürde: Operationen werden nach Permanenzprinzip festgelegt Multiplikation als gerichtetes Skalieren adaptiert nach Hefendehl, Prediger: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvorstellungen wandeln, PM, Heft 48,

29 Permanenzreihen sorgen für konsistente Fortsetzung aus einem Skript von A. Filler 29

30 Reelle Zahlen (erstmals in Klasse 9) Vorstellungen zu reellen Zahlen Zahldarstellung Ordnungsrelation beliebig genaue Näherung (Konstruktion durch Intervallschachtelung) keine Lücken auf der Zahlengerade (Vollständigkeit) irrationale Zahlen: nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimalzahlen endlich viele Zeichen reichen nicht aus indirekte Beschreibung: Lösung einer Gleichung, Grenzwert einer Folge neue Zahldarstellungen Deutung der Ordnungrelation keine neue Hürde Vorstellungen für Operationen keine neuen Vorstellungen nötig grundlegende Fragen wären aber z.b.: Wie addiert man nicht abbrechende, nicht-periodische Dezimalzahlen? adaptiert nach Hefendehl, Prediger: Unzählig viele Zahlen: Zahlbereiche erweitern - Zahlvorstellungen wandeln, PM, Heft 48,

31 31

32 Zusammenfassende Bemerkungen: Das Spiralprinzip - ein bedeutendes Prinzip für das fachlich aufbauende Lernen Spiralprinzip und genetisches Prinzip sind eng verbunden: einfach und global beginnen und schrittweise vertiefen und ausdifferenzieren, neue Stufen bauen auf vorhergehenden auf und ermöglichen integriertes Vertiefen Fundamentale Ideen dienen als Gerüst und Orientierung und vernetzen Inhalte Das EIS-Prinzip dient als methodische Orientierung für die Gestaltung des fachlichen Aufbaus Unterricht muss langfristig gedacht und geplant werden. Inhalte sollen etappenweise durch ständiges Begegnen, Wiederholen und Vertiefen gelehrt werden. Wissen um Grundschulinhalte und kommende Inhalte unabdingbar! 32

33 Das Spiralprinzip - ein bedeutendes Prinzip für das fachlich aufbauende Lernen Spiralprinzip und genetisches Prinzip sind eng verbunden: einfach und global beginnen und schrittweise vertiefen und ausdifferenzieren, neue Stufen bauen auf vorhergehenden auf und ermöglichen integriertes Vertiefen Fundamentale Ideen dienen als Gerüst und Orientierung und vernetzen Inhalte Das EIS-Prinzip dient als methodische Orientierung für die Gestaltung des fachlichen Aufbaus Unterricht muss langfristig gedacht und geplant werden. Inhalte sollen etappenweise durch ständiges Begegnen, Wiederholen und Vertiefen gelehrt werden. Wissen um Grundschulinhalte und kommende Inhalte unabdingbar! 33 Effektstärken Hattie Studie, Studienseminar Koblenz

34 6. Vorlesung: Allgemeine Lern- und Bildungsziele des Mathematikunterrichts 34