ERWARTUNGSWERT. ABSOLUT STETIGE VERTEILUNGEN

Transkript

1 KAPITEL 11 EWATUNGSWET. ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN In diesem Kapitel werden wir den Begriff des Erwartungswertes einer reellen Zufallsvariablen bezüglich eines beliebigen Wahrscheinlichkeitsmasses definieren und dabei den Zusammenhang mit dem früher definierten Erwartungwert für diskrete Zufallsvariablen herstellen. Die im vorigen Kapitel behandelte Integrationstheorie stellt uns die dafür notwendigen Hilfsmittel zur Verfügung. Wie wir sehen werden, gibt es im wesentlichen zwei Familien von Zufallsvariablen, nämlich solche mit diskreter Verteilung und solche mit absolut stetiger Verteilung. In diesem Kapitel werden wir die Techniken zur Berechnung des Erwartungswertes von Zufallsvariablen für diese zweite Familie behandeln. 1. Erwartungswert einer Zufallsvariablen. Esseien(Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine darauf definierte reelle Zufallsvariable. Entsprechend der im vorhergehenden Kapitel entwickelten Theorie kann man das Integral von X bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmasses Pbetrachten. Definition. IstX nicht negativ oder P-integrierbar, so bezeichne (1.1) E[X] = XdP den Erwartungswert von X. Gilt dabei E[X], so sagt man, dass X einen endlichen Erwartungswert habe. Alle im vorigen Kapitel behandelten Eigenschaften der Integrale, wie Linearität, Monotonie, Integrierbarkeit, Majorisierung, sowie die Konvergenzsätze, bleiben gültig. Dabei ist zu beachten, dass die ersten vier Gruppen von Eigenschaften praktisch wörtliche Wiederholungen dessen sind, was in Kapitel 8 über diskrete Zufallsvariable ausgeführt wurde. Falls das Mass, mit dem man es zu tun hat, ein Wahrscheinlichkeitsmass ist, spricht man vorzugsweise von Eigenschaften, die P-fast sicher (statt P- fast überall) gelten. In den folgenden Kapiteln wird insbesondere die fast sichere Konvergenz von Folgen reeller Zufallsvariablen Gegenstand detaillierter Untersuchungen sein.

2 156 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN Ebenso wie für diskrete Zufallsvariable kann man nun die Begriffe der Momente, der Varianz, usw. definieren. Ist E[X] =, so bezeichnet man X als zentriert. IstE[X] endlich, so kann man die Zufallsvariable X zentrieren, indem man zu X E[X] übergeht. Das Moment k-ter Ordnung (k >) ist die Zahl E[X k ], falls diese existiert. Wenn E[X 2 ] endlich ist, wird die Varianz von X durch E[(X E[X]) 2 ] definiert. Schliesslich bezeichnet man als absolutes Moment k-ter Ordnung die Zahl E[ X k ]. Eine der grundlegenden Aussagen über die Integration von reellen Zufallsvariablen und vor allem auch über deren effektive Berechnung ist der Transportsatz, dessen diskreter Version wir schon in Kapitel 8, Theorem 4.1, begegnet sind. Theorem 1.1 (Transportsatz). Es seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine auf diesem aum definierte reellwertige Zufallsvariable mit der Verteilung P X. Ferner sei g eine messbare reelle Funktion. Schematisch dargestellt: (Ω, A, P) X (, B 1, P X ) g g X (, B 1 ) Falls einer der Ausdrücke Ω (g X) dp, gdp X existiert, so gilt dies auch für den anderen und es ist ) (1.2) (g X) dp = gdp X (= g(x) dp X (x). Ω Die zwei Seiten der Gleichung sind zwei Darstellungen für E[g X]. Auf der linken Seite dieser Gleichung steht das Integral der Zufallsvariablen g X :(Ω, A, P) (, B 1 )bezüglich des Masses P; die rechte Seite stellt das Integral der Zufallsvariablen g :(, B 1, P X ) (, B 1 )bezüglich des Stieltjes-Lebesgue-Masses P X auf der reellen Geraden dar. Der Transportsatz gestattet es also, die Aufgabe der Berechnung eines Integrales auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) in die Aufgabe der Berechnung eines Integrals auf (, B 1, P X ) zu transformieren. Beweis. Der Beweis des Transportsatzes geschieht schrittweise, indem man die Aussage zunächst für einfache, positive Zufallsvariable verifiziert und sie dann auf positive und schliesslich auf beliebige Zufallsvariable überträgt. Es sei also g = i x ii Ai eine einfache, positive Zufallsvariable. Dann gilt für jedes ω Ω (g X)(ω) =g(x(ω)) = i x i I Ai (X(ω)) = i x i I X 1 (A i )(ω),

3 2. PODUKTE VON WAHSCHEINLICHKEITSMASSEN 157 und daher (g X) dp = i x i P(X 1 (A i )) = i x i P X (A i )= gdp X. Ist nun (g n ) eine monoton wachsende Folge von einfachen, positiven Zufallsvariablen mit g =sup n g n, so gilt auch g X =sup n g n X. Dabeiist jedes g n X eine einfache, positive Zufallsvariable, da dies ja schon für die g n selbst gilt. Daher ist (g X) dp =sup n (g n X) dp =sup n g n dp X = gdp X. Ist schliesslich g eine beliebige Zufallsvariable, so gilt g + X =(g X) + und g X =(g X).Istdabei (g X) dp endlich, so sind auch die beiden Integrale (g X) + dp und (g X) dp endlich. Ausserdem gilt (g X) dp = (g + X) dp (g X) dp = g + dp X g dp X = gdp X. Somit ist gdp X endlich und gleich (g X) dp X. Ist umgekehrt gdp X endlich, so zeigt eine analoge Argumentation, dass (g X) dp endlich ist und gleich dem ersten Integral ist. Beispiel 1. Wir betrachten g =Id,alsog(x) =x. Wenn also eines der Integrale XdP, Id dp X = ( xdp X (x) ) existiert, so existiert auch das andere und man hat: (1.3) E[X] = XdP= xdp X (x). Beispiel 2. Es sei nun X :(Ω, A, P) (, B) einediskrete Zufallsvariable mit Verteilung P X = i α iε xi (α i >, i α i = 1). Falls X oder falls i α i x i < ist, gilt stets die Beziehung (1.3). Die rechte Seite von (1.3) ist aber das Integral der identischen Abbildung von (, B 1, P X ) in (, B 1 ). Gemäss Beispiel 2 aus Paragraph 7 von Kapitel 1 ist dies aber i α ix i. Damit hat man die elementare Definition des Erwartungswertes E[X] = i α i x i einer diskreten Zufallsvariablen X wiedergefunden. 2. Produkte von Wahrscheinlichkeitsmassen und der Satz von Fubini. In diesem Abschnitt stellen wir ohne Beweis einige Ergebnisse über Produkte von Wahrscheinlichkeitsverteilungen vor. Theorem 2.1. Es seien P 1 und P 2 zwei auf (, B 1 ) definierte Wahrscheinlichkeitsmasse. Dann existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmass auf ( 2, B 2 ), das mit P=P 1 P 2 bezeichnet wird, so dass die Gleichheit P(B 1 B 2 )=P 1 (B 1 )P 2 (B 2 ). für alle B 1,B 2 B 1 gilt.

4 158 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN Das Mass P heisst das Produkt der Masse P 1 und P 2 ; die Masse P 1 und P 2 werden als andverteilungen (oder auch als marginale Verteilungen) des Masses P bezeichnet. Das Produktmass spielt eine hervorragende olle beim Studium von unabhängigen reellen Zufallsvariablen, was im folgenden Theorem zum Ausdruck gebracht wird. Theorem 2.2. Es seien X 1, X 2 zwei auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definierte reelle Zufallsvariable mit Verteilungen P 1, P 2.Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent: a) die Verteilung des Paares (X 1,X 2 ) ist das Produktmass P=P 1 P 2 ; b) die Zufallsvariablen X 1, X 2 sind unabhängig. Theorem 2.3 (Satz von Fubini, cf. Bauer [1], 19). Es seien P 1, P 2 zwei Wahrscheinlichkeitsmasse auf (, B 1 ), P=P 1 P 2 sei das Produkt der beiden Masse und g eine messbare Funktion g :( 2, B 2 ) (, B 1 ) derart, dass gdp existiert (d.h. entweder ist g oder g dp < ). Dann existiert h(x 2 )= g(x 1,x 2 ) dp 1 (x 1 ) für P 2 -fast alle x 2 ; ausserdem existiert gdp; es ist also h(x 2) dp 2 (x 2 ) und ist gleich (2.1) g(x 1,x 2 ) dp(x 1,x 2 )= 2 ( ) dp 2 (x 2 ) g(x 1,x 2 ) dp 1 (x 1 ). Die entsprechenden Aussagen gelten natürlich auch, wenn man die ollen der Indices 1 und 2 vertauscht. In der Gleichheit (2.1) ist die linke Seite als ein Stieltjes-Lebesgue-Integral der Funktion g in zwei Variablen bezüglich des Masses P = P 1 P 2 auf ( 2, B 2 ) zu lesen (cf. Kap. 1, 4). Spezialfall. Ist g eine nichtnegative Funktion, so gilt die Gleichheit (2.1) stets (in [, + ]). Anwendung. Es seien X 1, X 2 zwei unabhängige, reelle Zufallsvariable, deren Erwartungswerte existieren. Dann existiert auch der Erwartungswert des Produktes X 1 X 2 und es gilt E[X 1 X 2 ]=E[X 1 ] E[X 2 ]. Beweis. Man hat dafür nur den Satz von Fubini auf die Verteilungen P 1,P 2 von X 1, X 2 und die Verteilung P = P 1 P 2 des Paares (X 1,X 2 ) anzuwenden. Gewisse Stieltjes-Lebesgue-Integrale lassen sich genauso berechnen, wie man es von der gewöhnlichen Integration her kennt. Im weiteren Verlauf dieses Kapitel werden wir noch einige Ausführungen dazu machen.

5 3. LEBESGUE-INTEGAL Das Lebesgue-Integral. Als Lebesgue-Mass auf der reellen Geraden (cf. Kap. 1, 2), das mit λ 1 oder mit λ notiert wird, bezeichnet man das eindeutig bestimmte Mass auf (, B 1 ), das jedem halb-offenen Intervall ]a, b] denwert (3.1) λ{ ]a, b] } = b a zuordnet. Da die identische Abbildung, die das Lebesgue-Mass auf der reellen Geraden induziert, stetig ist, gilt natürlich auch λ{ [a, b] } = λ{ [a, b[ } = λ{ ]a, b[ } = b a. Genau genommen ist das Lebesgue-Mass die Vervollständigung von λ. Für die folgenden Ausführungen genügt allerdings die gerade gegebene Definition. Es sei nun X eine auf (, B 1 ) definierte reelle Zufallsvariable. Man definiert das Lebesgue-Integral von X als das Integral von X bezüglich des Masses λ. Es wird mit (3.2) Xdλ oder X(x) dx notiert. Das Integral von X auf einer Borel-Menge A der reellen Geraden wird als Integral von I A.X definiert und als Xdλ= I A.X dλ = X(x) dx = I A (x) X(x) dx A A geschrieben. Ist speziell A ein beschränktes Intervall vom Typ [a, b],[a, b[, ]a, b] oder]a, b[, so notiert man das Integral von X auf A als (3.3) b a Xdλ= b a X(x) dx, da ja die Integrale von X auf jedem dieser Intervalle gleich sind (wenn sie existieren). Man erkennt in (3.3) die übliche formale Schreibweise für das iemann- Integral der Funktion X auf dem Intervall [a, b]. In den beiden folgenden Sätzen halten wir fest, unter welchen Bedingungen das Lebesgue-Integral und das iemann-integral miteinander in Beziehung stehen. Satz 3.1. Es sei X eine reelle, messbare und beschränkte Funktion, die auf dem beschränkten Intervall [a, b] definiert sei. Falls X iemannintegrierbar ist, so ist X auf [a, b] auch Lebesgue-integrierbar und das iemann-integral von X sowie das Lebesgue-Integral von X auf [a, b] haben

6 16 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN denselben Wert. (Für beide Integrale hat man die geläufige Schreibweise gemäss (3.3).) Wir erinnern daran, dass man für eine reelle Funktion X, dieaufder ganzen reellen Geraden definiert ist und die iemann-integrierbar ist, auf jedem beschränkten Intervall [a, b] dasuneigentliche iemann-integral von X auf durch (3.4) + X(x) dx = b lim X(x) dx a a b + definiert, sofern der Grenzwert existiert und endlich ist. Satz 3.2. Es sei X eine reelle, messbare Funktion, die auf der reellen Geraden definiert ist. Falls das uneigentliche iemann-integral von X existiert und endlich ist, so ist X Lebesgue-integrierbar und das Lebesgue- Integral von X auf ist gleich dem uneigentlichen iemann-integral von X: + X(x) dx = X(x) dx. 4. Absolut stetige Verteilungen. Man kann mittels derjenigen reellwertigen Funktionen f, die nichtnegativ und Lebesgue-integrierbar sind, und deren Integral gleich 1 ist, eine wichtige Klasse von Wahrscheinlichkeitsmassen auf der reellen Geraden definieren. Dies zeigt der folgende Satz. Satz 4.1. Ist f eine nichtnegative, Lebesgue-integrierbare reelle Funktion einer reellen Variablen mit + fdλ= f(x) dx =1, so definiert die Funktion P:B fdλein Wahrscheinlichkeitsmass auf B (, B 1 ). Beweis. Zunächst gilt P und P() = fdλ = 1. Weiter ist P(B) = B fdλ fdλ=1. Ist andererseits (B n ) eine Folge von paarweise disjunkten Borel-Mengen der reellen Geraden mit Vereinigung B, so gilt f.i B = n f.i B n und somit P(B) = f.i B dλ = n f.i B n dλ = n f.ibn dλ = n P(B n)gemäss dem Satz von der monotonen Konvergenz von Beppo-Levi. Insgesamt erweist sich P also als ein Wahrscheinlichkeitsmass. Die Wahrscheinlicheitsmasse, denen man eine Funktion f im Sinne des vorigen Satzes zuordnen kann, sind genau die absolut stetigen Verteilungen, denen wir uns nun zuwenden wollen.

7 4. ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN 161 Man weiss, dass es zu jeder Verteilungsfunktion F auf der reellen Geraden genau ein, mit F{.} bezeichnetes, Wahrscheinlichkeitsmass auf (, B 1 )gibt, so dass F{ ]a, b] } =F(b) F(a) für jedes beschränkte Intervall ]a, b] gilt. Die Vervollständigung dieses Masses F{ } wird als das von F induzierte Stieltjes- Lebesgue-Mass bezeichnet. Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (, B 1 ), so ist die Vervollständigung von P identisch mit dem Stieltjes-Lebesgue-Mass, das durch die Funktion F : x P{ ],x] } induziert wird. Das Integral einer reellen Zufallsvariablen g wird gleichwertig mit gdp oder gdf oder auch g(x) df(x) notiert und heisst Stieltjes-Lebesgue-Integral von g bezüglich F. Definition. Eine Verteilungsfunktion F heisst absolut stetig, wennes eine reelle Funktion f gibt mit (i) f ; (ii) f ist Lebesgue-integrierbar auf und es ist f(x) dx =1; (iii) F{B} ( = B df(x)) = B f(x) dx( = ) B fdλ für alle B B 1. Eine solche Funktion f wird als Dichte der Verteilungsfunktion F bezeichnet. Satz 4.2. Es sei F eine absolut stetige Verteilungsfunktion mit Dichte f. Danngiltfür jede Zufallsvariable g :(, B 1 ) (, B 1 ) die Gleichheit ( ) ( ) (4.1) g(x) df(x) = gdf = g(x) f(x) dx = gfdλ, und zwar in dem Sinne, dass genau dann, wenn eines der Integrale existiert, auch das andere existiert und beide den gleichen Wert haben. Beweis. Zunächst werden wir (4.1) für einfache, positivezufallsvariable nachweisen. Sei also g = k x k I Ak eine solche Funktion. Dann gilt: gdf= x k F{A k } = x k A k fdλ = x k IAk fdλ = ( ) x k I Ak fdλ = k k k k gfdλ. Es sei nun (g n ) eine monoton wachsende Folge von einfachen positiven Zufallsvariablen, die gegen g konvergiert. Dann ist (g n f) eine monoton wachsende Folge von positiven Zufallsvariablen, die gegen gf konvergiert. Wegen des Satzes von Beppo-Levi folgt gdf = lim n gn df = lim n gn fdλ = gfdλ. Ist schliesslich g beliebig, so hat man: g + df= g + fdλund g df= g fdλ. Die Gleichheit (4.1) gilt also gemäss der Definition des Integrals. Bemerkung. Ist F eine absolut stetige Verteilungsfunktion mit Dichte f und ist F die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen X, so spricht

8 162 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN man auch von f als der (Wahrscheinlichkeits-) Dichte von X. Man verwendet auch die Bezeichnungen F X, f X entsprechend der Bezeichnung P X für die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Ist in Gleichung (4.1) F die Verteilungsfunktion F X einer Zufallsvariablen X mit Dichte f X, so kann man entsprechend den üblichen Schreibgewohnheiten df X durch dp X ersetzen, so dass sich (4.1) auch folgendermassen ausdrücken lässt: g(x) dp X (x) = g(x) f X (x) dx. Speziell im Falle g(x) =x für alle x erhält man die wichtige Formel: (4.2) E[X] = xdp X (x) = xf X (x) dx, zur Berechnung des Erwartungswertes von solchen reellen Zufallsvariablen, die eine Dichte haben. Satz 4.3. Ist F absolut stetig, so ist F auf der ganzen reellen Geraden stetig und es gilt F{{x}} =für alle x. Ist dabei F die Verteilungsfunktion einer auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) definierten Zufallsvariablen X, sogiltp{x = x} =für jedes x. [Die Zufallsvariable X wird dann auch als diffus bezeichnet.] Beweis. Esseif die Dichte von F. Es gilt F{{x}} =F(x) F(x ) für alle x. AberesistF{{x}} = x f(u) du =,daheristf(x ) = F(x) x und F ist somit stetig. Unter den formulierten Hypothesen gilt dann auch P{X = x} =P X {x} =F{{x}} =. Die Menge D X = {x :P{X = x} > } ist bereits in Kapitel 5, 6, eingeführt worden. Der vorige Satz besagt gerade, dass D X für eine absolut stetige Zufallsvariable X leer ist (man vergleiche auch Kap. 5, Satz 6.2). Man definiert als Träger S X einer reellen Zufallsvariablen X die Menge D X selbst, wenn X diskret ist, und als die Menge S X = {x : f(x) > }, falls X absolut stetig mit Dichte f ist. Satz 4.4. Ist F absolut stetig und hat f als Dichte, so gilt F (x) =f(x) in jedem Punkt x, indemf stetig ist. Beweis. Die Stetigkeit von f im Punkt x drückt sich dadurch aus, dass für jedes ε>dieungleichung f(x) ε <f(t) <f(x)+ε in einem geeigneten Intervall t x <ηgilt. Es gilt aber ( F(x + h) F(h) ) /h = x+h( ) x f(t)/h dt, daher hat man für h <ηdie Abschätzung f(x) ε < ( F(x+h) F(x) ) /h < f(x)+ε, was aber gerade zum Ausdruck bringt, dass die Ableitung F (x) von F(x) gleich f(x) ist.

9 5. DIE DEI TYPEN VON VETEILUNGSFUNKTIONEN 163 In der speziellen Situation, wenn x nichtnegative Werte hat, kann man den Erwartungswert mit Hilfe der Überlebensfunktion r(x) (cf. Kap. 14, 5. Exponentialverteilung) ausdrücken. Theorem 4.5. Es sei X eine absolut stetige Zufallsvariable mit Werten in [, + [, mit der Dichte f und mit der Überlebensfunktion r(x) = P{X >x}. Dann gilt in der erweiterten reellen Geraden [, + ] + r(x) dx = Beweis. Tatsächlich gilt + ( + ) r(x) dx = f(t) dt dx = + x + + xf(x) dx. und gemäss dem Satz von Fubini ergibt sich + + ( + ) r(x) dx = I {t>x} (t, x) dx f(t) dt = ( + ) f(t)i {t>x} (t, x) dt dx + tf(t) dt. Dieser Beweis benützt den Satz von Fubini für zweifache Integrale, wobei hier keine Schwierigkeiten auftreten können, da die zu integrierende Funktion nichtnegativ ist. Bemerkung. Form (4.3) E[X] = schreiben. IstX und E[X] endlich, so kann man E[X] inder + r(x) dx 5. Die drei Typen von Verteilungsfunktionen. Es sei X eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F. Man unterscheidet zunächst zwei Fälle: a) F ist die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen; sie hat endlich oder abzählbar unendlich viele Unstetigkeitsstellen. b) F ist stetig; in diesem Fall ist die Zufallsvariable X diffus. Unter den diffusen Zufallsvariablen sind uns hier die absolut stetigen begegnet. Allerdings schöpfen diese die Menge der diffusen Zufallsvariablen noch nicht aus, denn es gibt diffuse Zufallsvariable, die nicht absolut stetig sind. Solche Zufallsvariablen heissen singulär. Ein typisches Beispiel wäre etwa eine Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion die der triadischen Cantor- Menge auf [, 1] ist. Wir werden diesen Fall hier nicht weiter untersuchen und beschränken uns darauf, den folgenden Satz von Lebesgue zu zitieren.

10 164 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN Theorem 5.1 (cf. Munroe [8], Kap. 6). Zu jeder Verteilungsfunktion F gibt es drei Verteilungsfunktionen F 1,F 2,F 3,wobeiF 1 diskret, F 2 absolut stetig und F 3 singulär ist und schliesslich drei (eindeutig bestimmte) reelle Zahlen α 1, α 2, α 3 mit α 1,α 2,α 3, α 1 + α 2 + α 3 =1, so dass sich F in der Form F=α 1 F 1 + α 2 F 2 + α 3 F 3 darstellen lässt. Anders gesagt: jede Verteilungsfunktion lässt sich als konvexe Kombination der drei fundamentalen Typen von Verteilungsfunktionen schreiben. 6. Faltung. Das Faltungsprodukt von diskreten Verteilungen wurde bereits in Kapitel 8, 3 untersucht. Wir behandeln hier nun die Faltung beliebiger Wahrscheinlichkeitsmasse auf der Geraden. Definition. Es seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsmasse auf der Geraden, deren jeweilige Verteilungsfunktionen mit F und G bezeichnet werden. Das Faltungsprodukt von P und Q (oder von F und G) ist das mit P Q notierte Mass, dessen Verteilungsfunktion, geschrieben F G, durch (6.1) H(z) =(F G)(z) = F(z y) dg(y) = G(z x) df(x) gegeben ist. Es ist leicht zu verifizieren, dass H in der Tat eine Verteilungsfunktion ist. Dass die beiden auf der rechten Seite von (6.1) stehenden Terme gleich sind, ist eine Folgerung aus dem folgenden Satz. Satz 6.1. Es seien X und Y zwei reelle Zufallsvariable mit Verteilungen P X bzw. P Y und Verteilungsfunktionen F bzw. G. FallsX und Y unabhängig sind, ist die Verteilung der Summe X + Y gleich dem Faltungsprodukt von P X und P Y ; das heisst, dass die Verteilung P X+Y von X +Y durch (6.2) P X+Y =P X P Y ; gegeben ist, oder gleichwertig: die Verteilungsfunktion H von X + Y ist (6.3) H(z) =(F G)(z) = F(z y) dg(y) = G(z x) df(x). Beweis. Nach Satz 2.2 ist die Verteilung des Paares (X, Y ) das Produktmass P X P Y. Wir nehmen an, dass X und Y auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) definiert sind (streng genommen müsste man beweisen, dass das immer möglich ist; wir werden dies hier als Tatsache akzeptieren) und bezeichnen mit g die Funktion g(x, y) = x + y von zwei reellen Variablen. Bezeichnet nun noch P T die Verteilung des Paares T =(X, Y ), so gilt X + Y = g T,also H(z) =P{X + Y z} =P{g T z} =P T {g z}.

11 6. FALTUNG 165 Daher ist H(z) = I {g z} (x, y) dp T (x, y), 2 oder, nach dem Satz von Fubini 2.3, auch H(z) = dp Y (y) I {g z} (x, y) dp X (x). Nun ist aber I {g z} (x, y) =1für x + y z und = sonst. Damit hat man I {g z} (x, y) =I { ],z y] } (x) und schliesslich H(z) = dp Y (y) I { ],z y] } (x) dp X (x) = F(z y) dp Y (y) = F(z y) dg(y). Die Gleichheit mit der ganz rechten Seite von (6.3) erhält man, indem man zunächst nach y integriert. Dieser Satz und insbesondere die Formel (6.2) sagen aus, dass das Faltungsprodukt kommutativ und assoziativ ist: P Q=Q P, P (Q ) = (P Q). Für absolut stetige Verteilungen kann man ausserdem noch die folgende Version formulieren: Satz 6.2. Haben die Verteilungsfunktionen F und G die Dichten f und g, so hat H=F G die Dichte h, diedurch (6.4) h(z) = f(z y) g(y) dy = g(z x) f(x) dx gegeben ist. Die Dichte h heisst Faltungsprodukt der Dichten f, g und wird mit f g notiert. Beweis. Gemäss der Definition der Dichten gilt + ( z y ) H(z) = F (z y) dg(y) = f(x) dx g(y) dy + ( z ) = f(x y) dx g(y) dy z ( + ) = f(x y)g(y) dy dx, wobei man sich auf den Satz von Fubini für zweifache Integrale auf 2 beruft. Daher ist h(z) = f(x y)g(y) dy eine Dichte für H(z).

12 166 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN EGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 1. Als Anwendung von Theorem 2.3 wurde gezeigt, dass für zwei unabhängige Zufallsvariable X 1 und X 2 der Erwartungswert ihres Produktes gleich dem Produkt ihrer Erwartungswerte ist. Der dort gegebene Beweis hat die Tatsache ausgenutzt, dass man diese Erwartungswerte in Bezug auf den Wahrscheinlichkeitsraum ( 2, B 2, P 1 P 2 ) definieren kann. Man kann diesen Beweis aber auch bezüglich eines abstrakten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, A, P) führen, auf dem die beiden Zufallsvariablen definiert sind. Man muss dann auf die Techniken der Konstruktion von Integralen aus Kapitel 1 zurückgreifen. Zunächst gilt E[X 1 X 2 ]=E[X 1 ] E[X 2 ], wenn X 1 und X 2 einfache, positive Zufallsvariable sind, da dies ja bereits in Kapitel 8, Theorem 4.2 (C), für diskrete Zufallsvariable gezeigt wurde. a) Man benütze die Zerlegung (5.4.1) aus Kapitel 1, angewandt auf zwei positive Zufallsvariable, um zu zeigen, dass die genannte elation auch im Falle von positiven Zufallsvariablen gilt. b) Man folgere unter Verwendung der üblichen Zerlegungen X i = X + i X i (i = 1, 2), dass diese elation auch für beliebige Zufallsvariable gilt (wobei allerdings die Erwartungswerte als endlich vorausgesetzt werden!). 2. Es sei X eine absolut stetige Zufallsvariable, f X bezeichne ihre Dichte und S X ihren Träger (cf. Kommentar nach Satz 4.3). Weiter sei h = eine messbare Funktion, für die h(s X ) endlich oder abzählbar ist. Man zeige, dass die Zufallsvariable Y = h X diskret ist und a) den Träger S Y h(s X )hat; b) die Punktgewichtung π Y (y) = f X (x) dx (y S Y ) hat. h 1 ({y}) 3. Es sei nun X eine absolut stetige Zufallsvariable mit stetiger Dichte f X und Träger S X. Andererseits sei h : eine stetig differenzierbare und streng monotone Funktion. Man zeige, dass die Zufallsvariable Y = ϕ X dann absolut stetig ist und a) den Träger S Y = f(s X )hat; b) die folgende Dichte hat: { ( f Y (y) = fx h 1 (y) ) ( h 1 (y) ), falls y SY ;, sonst. 4. (Ph. Artzner). Es sei X eine positive Zufallsvariable mit stetig differenzierbarer und streng monoton fallender Dichte. M bezeichne einen

13 EGÄNZUNGEN UND ÜBUNGEN 167 Median (siehe Kap. 8, 1) von X und E[X] den Erwartungswert (der auch gleich + sein kann). Dann gilt M E[X]. 5. Es seien X 1, X 2, X 3 drei unabhängige Zufallsvariable, die alle auf [, 1] gleichverteilt sind. Man berechne die Dichten der Verteilungen von X 1 + X 2,vonX 1 + X 2 + X 3 und von X 1 X Es sei X eine Zufallsvariable mit der Dichte f(x) =I [,1] (x). Dann hat die zentrierte Variable Y = X 1 2 die Dichte g(x) = f(y ) = I [ 1/2,1/2] (y); ihre Verteilung ist die Gleichverteilung auf [ 1/2, 1/2]. Seien nun wieder X 1, X 2, X 3 drei unabhängige, jeweils auf [, 1] gleichverteilte Zufallsvariable. Dann sind Y 1 = X 1 1 2, Y 2 = X 2 1 2, Y 3 = X drei unabhängige Zufallsvariable, die auf [ 1/2, 1/2] gleichverteilt sind. Man berechne die Verteilungen von Y 1 + Y 2,vonY 1 + Y 2 + Y 3 und von Y 1 Y Für n 2 sei X 1,X 2,...,X n eine Folge von n unabhängigen Zufallsvariablen, die jeweils auf [, 1] gleichverteilt sind. Es bezeichne f n die Dichte der Summe X 1 +X 2 + +X n.für jedes reelle x sei (x) + =max(,x). Dann ist die Dichte f n gegeben durch n 1 ( )( ) n (x k) ( 1) f n (x) = k + n 1 falls x n; k (n 1)! k= sonst. Man beachte, dass die direkte Berechnung von f 2 und f 3 Gegenstand der Aufgabe 5 ist.

14 168 KAPITEL 11: ABSOLUT STETIGE VETEILUNGEN

15