Pflichtmodul Stahlbau - Bachelor

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1 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Stabilitätsnachweise nach EN Einleitung Die im Abschnitt 5.7 abgeleiteten Eulerfälle beschreiben das sogenannten Knicken. Bauteile mit entrischem Druck sind grundsätlich knickgefährdet. In der Stahlbaupraxis sind das beispielsweise: a) Gurtstäbe von Fachwerkobergurten b) Druckstäbe in aussteifenden Verbänden c) Stüten jeglicher Art Es müssen jedoch noch weitere Stabilitätsfälle betrachtet werden, die sich im Grundsat analog als homogene Lösungen von Differentialgleichungen herleiten lassen, wie die Eulerfälle. An dieser Stelle soll es genügen, das Versagen dieser weiteren Stabilitätsfälle darulegen, bevor die Nachweise nach EN erklärt werden. O.a. Fälle für das Biegeknicken sind sämtlich an stabförmige Bauteile geknüpft, die in der Hauptsache durch entrische Druckkräfte in ihrer Stabachse belastet sind. Dafür konnten die Eulerfälle aufgeschrieben werden. Ein weiterer tpischer Stabilitäsfall ist bei Biegebauteilen u finden, wenn nur der gedrückte Teil des Obergurtes ausweicht. Dieser Fall, der sogar ohne Druckkraft auskommt, tritt oft bei Rahmenriegeln auf und wurde früher als Kippen beeichnet. Dabei wirkt der geogene Untergurt stabilisierend (Bild 5-34). Bild 5-34: seitliches Ausweichen der Druckone (früher Kippen), rote Linien kenneichnen das unverformte Bauteil links : Biegeträger, der gedrückte Obergurt weicht aus, die unten liegende Zugone stabilisiert den Träger rechts : Kragarm, der gedrückte Untergurt weicht aus, die oben liegende Zugone stabilisiert das Bauteil Diese Versagensform, oft mit einer Druckkraft überlagert, wird als Biegedrillknicken beeichnet. Eine Sonderform des Biegedrillknickens ist das Drillknicken, bei dem die Stabachse nicht seitlich ausweicht, sondern nur tordiert (verdrillt) wird. Dieser Fall kann bei offenen Profilen früher eintreten, als das Biegeknicken.

2 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 267 Für die Nachweisführung nach der EN gibt es nun drei grundsätliche Möglichkeiten (s. Merksat auf folgender Seite). Bei den Ausführungen ur Theorie II. Ordnung wurde dau bereits das Abgrenungskriterium genannt, nach dem eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung wingend erforderlich ist. Wie erläutert, sind baupraktische Fälle stets Spannungsprobleme, da es beispielsweise die ideale entrische Druckkraft nicht gibt. Es gibt folglich immer mehr oder minder große Störeinflüsse. Somit ist es im Grunde ausreichend, einen Nachweis am Gesamtsstem nach Theorie II. Ordnung u führen. Das entsprechende Modell muss dann allerdings das Tragwerk sehr exakt nachbilden. Das heißt im Besonderen, dass alle diese Störeinflüsse u erfassen sind. Darin ist das größte Problem u sehen. Ebene Tragwerke können NIE alle Störeinflüsse enthalten. Wird beispielsweise der Biegeträger aus Bild 5-34 (links) als Rahmenriegel betrachtet, findet das Biegedrillknicken quer ur Rahmenebene statt. Analog wird eine Rahmenstüte, deren starke Achse sinnvoll in der Rahmenebene liegt, unter Druckbeanspruchung in der schwachen Achse knicken. Also auch hier findet das Stabilitätsversagen senkrecht ur Berechnungsebene statt. EDV-Nachweise anhand ebener Ssteme sind stets durch weitere Nachweise u ergänen. Der Modellierungsaufwand für räumliche Ssteme ist gegenüber dem von ebenen Sstemen ungleich höher und fehleranfälliger. Auf die Schwierigkeiten des Abgrenungskriteriums für Berechnungen nach Theorie II. Ordnung wurde im Abschnitt 5.9 bereits hingewiesen. Für einfache Rahmentragwerke, wie Hallentragwerke mit geringer Dachneigung (bis 26 ) und Stockwerkrahmen wird in der Norm daher ein vereinfachtes Abgrenungskriterium angegeben, wobei die Beeichnungen dem Bild 5-35 u entnehmen sind. δ H, Ed h V Ed H Ed Bild 5-35: Beeichnungen für die vereinfachte Ermittlung von α cr als Nachweis der Zulässigkeit des Verichts auf Berechnungen nach Theorie II. Ordnung für Rahmen gegen seitliches Ausweichen EC3-1-1, Pkt α cr ( H V Ed) ( h δ H, Ed) (5-145) Die vereinfachte Ermittlung von α cr ist mit Bemessungswerten durchuführen. Das sind

3 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 268 der Bemessungswert der gesamten oberhalb der Stütenfüße anfallenden vertikalen Lasten, der Bemessungswert der gesamten oberhalb der Stütenfüße anfallenden horiontalen Lasten und die ugehörige Differen der horiontalen Verschiebungen am Stütenfuß und am Stütenkopf. Unabhängig davon ist die Auswirkung der Druckkraft (also doch nach Theorie II. Ordnung ODER im Ersatstabverfahren) nachuweisen, wenn λ 0,3 A f N Ed (5-146) gilt. λ ist dabei der (beogene) Schlankheitsgrad in der Ebene, wobei Träger und Riegel in der Ebene als in der Sstemlänge gelenkig angeschlossen betrachtet werden (s.a. folg. Abschnitte). Einflüsse aus Theorie II. Ordnung auf die seitliche Verformung eingeschossiger Rahmen dürfen wiederum vereinfacht durch einen Lasterhöhungsfaktor erfasst werden, wobei α cr nach (5-145) berechnet werden darf. Der Faktor ist dann: f α cr solange α cr 3,0 (5-147) Das Verfahren kann auch für mehrgeschossige Rahmentragwerke eingesett werden, wenn alle Geschosse ähnliche Verteilungen der vertikalen Einwirkungen, der horiontalen Einwirkungen und der Rahmensteifigkeiten hinsichtlich der Stockwerksschubkräfte aufweisen. Für den Nachweis der Stabilität ist neben einer Berechnung am Gesamttragwerk bei Berücksichtigung des Einflusses aus Theorie II. Ordnung und Tragwerksimperfektionen auch eine teilweise Gesamtberechnung möglich, die durch Stabilitätsnachweise ergänt wird bw. ein Stabilitätsnachweis an Ersatstäben (Ersatstabnachweis). Um die lettgenannten Nachweise wird es in den folgenden Abschnitte gehen. Nicht betrachtet werden an dieser Stelle das Beulen und lokale Beulen. Dabei handelt es sich ebenfalls um klassische Stabilitätsfälle, hier allerdings an Bauteilen, die in ihrer Ebene beansprucht werden (Flächentragwerke). Beulen kann bei hohen Stegen geschweißter Träger, in hoch beanspruchten Rahmenecken oder vergleichbaren Bauteilen auftreten. Insbesondere das lokale Beulen ist bei bestimmten Nachweisen aususchließen. Darauf wurde insbesondere bei der Klassifiierung der Querschnitte und im Abschnitt 4 bei den plastischen Nachweisen hingewiesen. Das Beulen wird mit EN in einer eigenen Norm behandelt.

4 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Biegeknicken nach EN Der folgende Nachweis ist ein Ersatstabnachweis. Er erfordert mindestens eine Tragwerksberechnung nach Theorie I. Ordnung in deren Ergebnis die Beanspruchungen des Stabes bekannt sind. Möglich ist auch ein Nachweis nach Theorie II. Ordnung in einer Ebene und eine Ergänung der Nachweise gegen Biegeknicken durch Nachweise am Ersatstab senkrecht ur Ebene. Entscheidend für einen richtigen Nachweis ist die Bestimmung der Knicklänge bw. des Knicklängenbeiwertes, was bereits umfassend erläutert wurde: L cr β l (5-148) Das Nachweisformat lautet: N Ed N b, Rd 1,0 (5-149) Dabei steht der Index b für buckling, dem englischen Begriff für Knicken. Der Nachweis kann eingesett werden für (i.d.r.) konstante Querschnitte. Soll er für veränderliche Querschnitte eingesett werden, sind usätliche Bestimmungen im Nationalen Anhang ur EN u beachten. In Gleichung (5-149) steht N Ed für den Designwert der entrischen Druckkraft und für die Biegeknickbeanspruchbarkeit. Diese wird wie folgt berechnet: N b, Rd N b, Rd χ A f γ M1 (5-150) Im Vergleich mit der Bestimmungsgleichung für die vollplastische Normalkraft wird hier also ein Abminderungsbeiwert χ ermittelt und wegen der fehlenden Vorankündigung der erhöhte Sicherheitsbeiwert γ M1 verwendet. Ferner ist für Querschnitte der Querschnittsklasse 4 statt der Querschnittsfläche A die effektiv wirksame Querschnittsfläche A eff einuseten. Für den Teilsicherheitsbeiwert gilt: γ M1 1,1 bw. γ M1 1,0 (außergewöhnliche Bemessungssituation) (5-151) Lochabug an den Stütenanschlüssen (Kopf und Fuß) darf stets vernachlässigt werden, was insofern logisch ist, da das Ausknicken in der Nähe der größten rechnerischen seitlichen Verschiebung maßgebend wird, also.b. eher in Stütenmitte. Für die Berechnung des Abminderungsbeiwertes χ ist uerst eine Einteilung des nachuweisenden Profils in die sogenannten Europäischen Knickspannungslinien vorunehmen. Die heute verwendete Beeichnung Knicklinien meint dasselbe, nämlich die auf der Grundlage einer Vielahl von Versuchen mit verschiedenen Stahlsorten und Querschnitten gewonnenen Diagramme, die eine unterschiedliche Knickgefährdung einelner Querschnitte berücksichtigen. Die Einteilung erfolgt nach Tabelle 5-3.

5 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 270 Querschnitt Begrenungen Ausweichachse h t f b gewalte I Profile h b > 1,2 h b 1,2 t f 40 mm 40 < t f 100 mm t f 100 mm t f > 100 mm Knicklinie andere a b b c b c d d S460 a 0 a 0 a a a a c c t f t f t f 40 mm - - b c b c h h b b geschweißte I Profile t f > 40 mm - - c d c d warmgefertigt jede a a 0 Hohlprofile kaltgefertigt jede c c t w b t f h geschweißte Kastenprofile allgemein, sofern nicht die nächste Zeile gilt dicke Schweißnähte: a > 0,5 t f b/t f < 30 h/t w < 30 jede b b jede c c alle jede c c U,T und Vollquerschnitte h b L Querschnitte t alle jede b b Tabelle 5-3: Zuordnung der Querschnitte u den Knicklinien

6 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 271 Neu hinugekommen gegenüber den bisherigen Normengenerationen ist die Linie a 0 5. Linie für Stahlsorten S460 und besser. als Als nächstes ist der Schlankheitsgrad (lt. Norm λ ) u berechnen, der eigentlich ein auf λ 1 beogener Schlankheitsgrad ist. Für die Ermittlung des (beogenen) Schlankheitsgrades wird uerst der Materialparameter ε herausgesucht bw. berechnet: ε 235 f s.a. Tab. 3-5, S. 146 (5-152) Damit kann der Beugsschlankheitsgrad λ 1 berechnet werden: λ 1 π E f 93,9 ε (5-153) Da die Gleichung (5-153) ausschließlich Materialparameter enthält, können die Ergebnisse für λ 1 auch der Tabelle 5-4 entnommen werden: Stahlgüte S 235 S 275 S 355 S 420 S 460 λ 1 93,9 86,4 76,1 70,4 66,7 Tabelle 5-4: Beugsschlankheitsgrad λ 1 in Abhängigkeit von der Stahlgüte Nun muss der Trägheitsradius ermittelt werden. Hierbei ist wichtig, dass der Trägheitsradius für die Achse angegeben wird, die als erstes ausuweichen droht. Unter Ansat gleicher Knicklängen in den Hauptachsenrichtungen wird stets die schwache Achse maßgebend: i min[i ;i ] min[ I A ; I A] (5-154) Damit kann nun der (beogene) Schlankheitsgrad berechnet werden: λ A f N cr λ A f N cr L cr 1,0 i λ 1 für Querschnittsklassen 1 bis 3 L A eff cr A für die Querschnittsklasse 4 i λ 1 (5-155) Der Zusammenhang der Gleichungen (5-152) bis (5-155) mit den Ergebnissen bei der Ableitung der Eulerfälle wurde im Abschnitt 5.7 (S. 247) bereits geeigt. Mit Kenntnis der Knicklinie und des (beogenen) Schlankheitsgrades λ kann nun endlich der Beiwert χ ermittelt werden, entweder durch (ungenaues) Ablesen in den Diagrammen (folgende Seite) oder durch (genauere) Berechnung.

7 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 272 3,0 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8 λ 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Abminderungsfaktor χ Knicklinie a 0 a b c d Bild 5-36: Knicklinien ur Bestimmung von χ in Abhängigkeit von λ

8 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 273 Soll der Beiwert χ berechnet werden, ist anhand der Knicklinien unächst noch der Imperfektionsbeiwert α u bestimmen. Dieser kann Tabelle 5-5 entnommen werden. Knicklinie a 0 a b c d α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76 Tabelle 5-5: Imperfektionsbeiwert in Abhängigkeit von der Knicklinie Damit sind alle Werte für die Berechnung des Wertes χ bekannt und die Gleichungen (5-156) und (5-157) können ausgewertet werden. Beide Gleichungen gemeinsam sind praktisch die Funktionsgleichungen für die Knickline, deren Graphen auf der Seite 272 dargestellt sind und die sich durch den Imperfektionsbeiwert α unterscheiden. Wie erwähnt sind sie das Ergebnis einer Vielahl von Versuchen. Φ 0,5 [ 1 + α (λ 0,2) + λ 2 ] (5-156) χ 1 Φ + Φ 2 λ 2 χ 1,0 (5-157) Damit ist ein Nachweis nach den obigen Gleichungen möglich. Beispiele werden im Abschnitt 5.12 gegeben Drillknicken nach EN Drillknicken und Biegedrillknicken sind i.d.r. parallel u untersuchen. Zur Wiederholung: Drillknicken Biegedrillknicken Versagensfall durch Verdrillen der Stabachse unter Wirkung einer entrischen (idealen) Druckkraft Versagensfall bei gleicheitiger Wirkung von Biegung und Druckkraft ODER reiner Biegung λ T A f N cr L cr 1,0 i λ 1 für Querschnittsklassen 1 bis 3 λ T A f N cr L A eff cr A für die Querschnittsklasse 4 i λ 1 (5-158) Gleichung (5-158) ist mit Gleichung (5-155) für das Biegeknicken formal identisch, nur ist N cr in diesem Fall das Minimum aus den idealen Verweigungslasten für Biegedrillknicken und Drillknicken: N cr min [N cr,tf ; N cr,t ] Index TF Biegedrillknicken (5-159) Indes T Drillknicken

9 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 274 Die Knicklinien, also auch die Gleichungen (5-156) und (5-157) gelten analog um Biegeknicken, sind im Fall von Drillknicken aber stets für die Achsen der Profile ausuwählen. Der Nachweis auf Drillknicken kann gegenüber dem Nachweis auf Biegeknicken insbesondere bei offenen Profilen maßgebend werden (Bild 5-37). Der Schlankheitsgrad λ T gilt nur bei planmäßig entrischer Druckkraft. a ) offene Profile b ) geschlossene Profile Bild 5-37: Gefährdung von Profilen für Drillknicken a) links, offene Profile höheres Gefährdungspotenial b) rechts, geschlossene Profile, geringeres Gefährdungspotenial Unter Berücksichtigung des Schlankheitsgrades λ T wird entsprechend ein anderer Wert für χ bestimmt und der Nachweis ist analog den Gleichungen (5-149) und (5-150) u führen Biegedrillknicken nach EN bei Biegung um die Hauptachse Dieser Nachweis ist in der Regel parallel u den Nachweisen auf Biegeknicken und Drillknicken u führen. Gefährdet sind dabei insbesondere hohe schlanke Bauteile, die auf Biegung hoch ausgelastet sind. Regelmäßig sind Rahmentragwerke auf Biegedrillknicken u untersuchen. Im Bild 5-38 sind die gefährdeten Bereiche bei Rahmentragwerken schematisch gekenneichnet. Es ist u erkennen, dass an der Riegeloberseite bei entsprechendem Anschluss der Dachhaut eine seitliche Halterung der Riegel ereugt werden kann. Es ist im Einelfall nachuweisen, dass die entsprechenden Kräfte aufgenommen und weitergeleitet werden können. Die Innenseiten der Rahmenecken werden gegen seitliches Ausweichen in aller Regel nicht gesondert geschütt. Bei solchen Bauteilen wirkt u.u. keine Druckkraft, sondern nur Biegung. Bild 5-38: Gefährdungspotenial auf Biegedrillknicken bei Rahmentragwerken: rot: Druckonen der Biegebauteile, blau: Biegemomente (2 Gelenke)

10 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 275 Das Nachweisformat für Biegedrillknicken bei Biegung um die Hauptachse ohne Druckkraft ist mit Gleichung (5-160) gegeben: M Ed M b, Rd 1,0 (5-160) Das b im Index kommt auch hier vom englischen Begriff buckling. Die Beanspruchung steht wie gewohnt oberhalb des Bruchstriches und wird dem maßgeblichen Lastfall aus der statischen Berechnung entnommen. Der Bauteilwiderstand wird durch den Nenner beschrieben, das ulässige Biegemoment für den Versagensfall Biegedrillknicken. Das wird berechnet nach Gleichung (5-161): M b, Rd χ LT W f γ M1 (5-161) Auch diese Gleichung entspricht der Form nach der Bestimmungsgleichung für das aufnehmbare Biegemoment im Querschnitt, ergänt um den Abminderungsfaktor χ LT für das Biegedrillknicken und unter Verwendung des Sicherheitsbeiwertes γ M1. Dementsprechend ist für das Widerstandsmoment W anuseten: W W, pl bei Querschnittsklasse 1und 2 W W,el bei Querschnittsklasse 3 (5-162) W W,eff beiquerschnittsklasse 4 Der Abug von Lochschwächungen darf stets vernachlässigt werden, wenn der am stärksten beanspruchte Querschnitt keine Schwächungen infolge von Verbindungsmitteln aufweist. Das sollte bei der Konstruktion von Stahltragwerken berücksichtigt werden, wenn die Lage von Stößen festgelegt wird. Günstig sind Stöße fast immer in der Nähe der Momentennullpunkte. Ähnlich wie beim Drillknicken sind Hohlquerschnitte quasi nicht durch Biegedrillknicken gefährdet. Das größte Problem bei der Nachweisführung auf Biegedrillknicken ist stets die Berechnung des Abminderungsbeiwertes χ LT. Dau ist der (beogene) Schlankheitsgrad für das Biegedrillknicken λ LT u bestimmen. Ist dieser bekannt, können die Knicklinien aus Bild 5-36 analog genutt werden, um χ LT u ermitteln (s.a. Ausnahmen). Besser ist allerdings auch hier die Berechnung über die Funktionsgleichungen, hier in der Schreibweise des Biegedrillknickens für den allgemeinen Fall (entspricht EN , ): 2 Φ LT 0,5 [ 1 + α LT (λ LT 0,2) + λ LT ] (5-163) χ LT 1 2 Φ LT + Φ LT 2 λ LT χ LT 1,0 (5-164) Für einige Querschnitte werden noch Vereinfachungen geeigt, denn die Berechnung von λ LT kann im allgemeinen Fall aufwändig sein. Im Nationalen Anhang u EN sind ferner Alternativen ur Bestimmung von α LT angegeben, sofern diese Imperfektions-

11 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 276 beiwerte nicht nach Tabelle 5-6 bestimmt werden. Diese Zuordnung u den Knicklinien ist hier anders als beim Biegeknicken vorunehmen. So gibt es die Knicklinie a 0 nicht. Tabelle 5-6 gilt für den allgemeinen Fall und entspricht den Empfehlungen in EN Querschnitt Verhältnis h b Knicklinie α LT gewalt 2,0 a 0,21 gewalt > 2,0 b 0,34 geschweißt 2,0 c 0,49 geschweißt > 2,0 d 0,76 andere alle d 0,76 Tabelle 5-6: Knicklinien und Imperfektionsbeiwert für Biegedrillknicken für den allgemeinen Fall Der (beogene) Schlankheitsgrad λ LT ist wie folgt u berechnen ( W ebenfalls nach Gl. (5-162)): λ LT W f M cr (5-165) In Gleichung (5-165) ist M cr das ideale Biegedrillknickmoment. Es ist ein ähnlicher Kennwert, wie die ideale Knicklast N ki bw. N cr. Das ideale Biegedrillknickmoment muss berücksichtigen: a) die tatsächliche Verteilung der Biegemomente im Bauteil b) die seitliche Lagerung des Bauteils (i.d.r. quer ur Berechnungsebene.B. bei Rahmen) c) die tatsächlichen Belastungen d) Bruttoquerschnitt des Bauteils (Erleichterung) In EN wird an dieser Stelle kein weiterer Hinweis ur Bestimmung von M cr gegeben. Zur Erleichterung wird noch ein Verichtskriterium angegeben, bei dem der Nachweis nicht geführt werden muss. Wenn λ LT den Vergleichswert aus Gleichung (5-166) nicht überschreitet, muss der Nachweis nicht geführt werden bw. es sind nur Querschnittsnachweise erforderlich. Ob es sich dabei wirklich um eine Erleichterung handelt, darf beweifelt werden, da ja auch in diesem Fall λ LT bw. M cr bekannt sein müssen: λ LT λ LT,0 0,40 bw. M Ed 2 λ M LT,0 0,16 (5-166) cr Der Wert λ LT,0 gilt auch bei Verwendung der Biegedrillknicklinien nach EN , für gewalte Querschnitte oder gleichartige geschweißte Querschnitte. Die Gleichungen (5-163) und (5-164) werden dafür wie folgt angepasst:

12 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Φ LT 0,5 [ 1 + α LT (λ LT λ LT,0 ) + β λ LT ] (5-167) χ LT 1 2 Φ LT + Φ LT 2 β λ LT χ LT 1,0 und χ LT 1 2 (5-168) λ LT Es gibt Empfehlungen für λ LT,0 und β in der Norm, denen der Nationale Anhang folgt: λ LT,0 0,4 Höchstwert β 0,75 Mindestwert (5-169) Für λ LT gilt auch hier (5-165). Allerdings verhindern die Werte λ LT,0 und β in diesen Gleichungen, dass die Knickliniendiagramme eingesett werden können. Tabelle 5-7 eigt die Zuordnung u den angepassten Knicklinien, die nun als Biegedrillknicklinien beeichnet werden und deren Funktionsgraphen durch die Gleichungen (5-167) und (5-168) beschrieben werden. Querschnitt Verhältnis h b Knicklinie α LT gewalt 2,0 b 0,34 gewalt > 2,0 c 0,49 geschweißt 2,0 c 0,49 geschweißt > 2,0 d 0,76 Tabelle 5-7: Zuordnung u den Biegedrillknicklinien und Imperfektionsbeiwerte für Biegedrillknicken gewalter und gleichartiger geschweißter Querschnitte Wie im allgemeinen Fall muss das ideale Biegedrillknickmoment M cr bestimmt werden. Dort war lediglich ausgesagt, dass die Verteilung der Biegemomente dabei u berücksichtigen ist. Werden die Biegedrillknicklinien genutt, wird die Form der Momentenfunktion durch eine Modifiierung des Abminderungsfaktors χ LT wie folgt erfasst. χ LT,mod χ LT f χ LT,mod 1,0 ; χ LT,mod 1 2 (5-170) λ LT Dabei wird der Faktor f nach Gleichung (5-171) unter Verwendung der Tabelle 5-8 ur Bestimmung des Korrekturbeiwertes k c berechnet: f 1 0,5 (1 k c )[1 2,0 (λ LT 0,8) 2 ] f < 1,0 (5-171) Im Nationalen Anhang u EN sind 2 Literaturstellen benannt, die alternativ ur Tabelle 5-8 eingesett werden dürfen.

13 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 278 Momentenverteilung k c k c 1,0 hier : ψ 1 k c 1 1,33 0,33 ψ hier : 1 ψ 1 k c 0,94 k c 0,90 k c 0,91 k c 0,86 k c 0,77 k c 0,82 Tabelle 5-8: Korrekturbeiwerte k c ur Berücksichtigung der Momentenverteilung Gemäß nationalem Anhang darf der Korrekturfaktor f auch für χ LT für den allgemeinen Fall nach den Gleichungen (5-163) und (5-164) eingesett werden. Nachfolgend wird nun das vereinfachte Bemessungsverfahren für Träger mit Biegedrillknickbehinderung nach EN beschrieben. Demnach dürfen Bauteile, deren Druckflansche an einelnen Punkten seitlich gestütt sind, als nicht biegedrillknickgefährdet angesehen werden, wenn die Länge L c wischen diesen Punkten bw. der sich daraus ergebende Schlankheitsgrad λ f des druckbeanspruchten Flansches die Gleichung (5-172) erfüllt: λ f k c L c i f λ 1 λ c0 M c, Rd M, Ed (5-172) In dieser Gleichung stehen einige Formeleichen, die in dieser Form noch nicht verwendet wurden. Alle anderen Größen werden so verwendet, wie in diesem Script bereits beschrie-

14 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 279 ben, wie.b. k c, L c, λ 1 und M, Ed. Ferner werden in Gleichung (5-172) verwendet: M c, Rd W f γ M1 mit W nach Gleichung (5-162) (5-173) λ c0 λ LT,0 + 0,1 0,4+0,1 0,5 Grenschlankheitsgrad für (5-174) das betrachtete Bauteil i f Trägheitsradius des druckbeanspruchten Flansches um die (5-175) schwache Querschnittsachse unter Berücksichtigung von 1/3 der auf Druck beanspruchten Fläche des Steges ist für Querschnitte der Querschnittsklasse 4 nach (5-176) u be- Der Trägheitsradius i f rechnen: i f I eff, f A eff, f A eff, w, c (5-176) Für alle anderen Querschnittsklassen sind statt der effektiven Werte die analogen Bruttoquerschnittswerte einuseten. Insbesondere bei der Stegfläche darf nur deren druckbeanspruchter Teil angesett werden. Für das einwirkende Biegemoment M, Ed ist das größte Biegemoment wischen den betrachteten Stütpunkten maßgebend. In den Fällen, in denen das Kriterium nach Gleichung (5-172) nicht erfüllt ist, darf der Bemessungswert der Biegedrillknickbeanspruchbarkeit statt nach Gleichung (5-161) wie folgt ermittelt werden: M b, Rd k fl χ M c, Rd M b, Rd M c, Rd (5-177) Dabei ist mit χ der Abminderungsfaktor für das Biegedrillknicken beeichnet, der statt mit λ LT nunmehr mit λ f für den druckbeanspruchten Flansch ermittelt wird. k fl ist ein Anpassungsfaktor, mit dem berücksichtigt wird, dass dieses Verfahren sehr konservativ ist. Der in EN empfohlene Wert ist k fl 1,1. Die Empfehlung gilt auch in Deutschland. Für die Einordnung der Querschnitte in die Knicklinien gilt: Knicklinie d Knicklinie c für geschweißte Querschnitte mit alle anderen Profile h t f 44 ε (5-178) Dabei beeichnet h t f das Verhältnis der Querschnittshöhe ur Dicke des druckbean-

15 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 280 spruchten Flansches. Für das Biegedrillknicken seitlich gestütter Bauteile gilt analog das Verfahren im Anhang BB der EN Kombinierter Nachweis auf Biegeknicken und Biegedrillknicken In den vorstehenden Abschnitten wurden die Nachweise der Stabilitätsfälle Knicken und Biegedrillknicken unabhängig voneinander betrachtet. Reine (ideale) entrische Druckkräfte konnten u Knicken oder Drillknicken führen und reine Biegung u Biegedrillknicken. In der Praxis ist der häufigste Fall gan sicher eine Kombination aus beidem. Dabei ist es insbesondere schwer, die Anteile der Beanspruchungen u trennen. Der Nachweis wird folglich ähnlich der Interaktionen im Abschnitt 4 geführt und in der Norm auch als Interaktionsnachweis beeichnet. An den Nachweis sind einige Voraussetungen geknüpft: a) gültig für doppeltsmmetrische Querschnitte, die nicht u Querschnittsverformungen neigen (Erhaltung der Querschnittsform) b) es können verdrehsteife Bauteile (geschlossene Profile) und verdrehweiche (offene Profile) behandelt werden c) es ist stets der Querschnittsnachweis (elastisch oder plastisch) usätlich u führen d) die Randbedingungen für den herausgelösten Einelstab sind entweder durch Anpassung der Knicklänge ODER Erhöhung der Randmomente u erfassen e) nicht näher erläuterte Werte sind analog den vorhergehenden Abschnitten u bestimmen Das Nachweisformat ist: N Ed χ N Rk γ M1 + k M, Ed + M, Ed χ LT M, Rk γ 1 M1 + k M, Ed + M, Ed M, Rk γ M1 1,0 (5-179) N Ed χ N Rk γ M1 + k M, Ed + M, Ed χ LT M, Rk γ 1 M1 + k M, Ed + M, Ed M, Rk γ 1 1,0 M1 (5-180) Die Beiwerte χ i entsprechen denen der vorhergehenden Abschnitte. Über den Bruchstrichen stehen die Schnittgrößen N Ed, M, Ed und M, Ed aus äußeren Lasten. Dabei handelt es sich um die Maximalwerte am herausgelösten Einelstab. In der Querschnittsklasse 4 sind wegen der abgeminderten effektiven Querschnittswerte und der damit verbundenen Verschiebung der Schwerachse die entsprechenden Versatmomente u berechnen (s. Tabelle 5-9). Ebenfalls in dieser Tabelle wird angegeben, wie die Widerstandswerte N Rk und M i, Rk in den einelnen Querschnittsklassen u bestimmen sind. Für den Wert i ist wahlweise die Beeichnung der Querschnittsachsen (, ) einuseten. Neu in den Gleichungen (5-179) und (5-180) sind die Interaktionsfaktoren k, k,

16 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 281 k und k, deren Berechnung auf wei verschiedenen Wegen erfolgen kann. Diese Wege sind in den Anhängen A1 und B1 der EN analog enthalten. Querschnittskl N Rk f A f A f A f A eff M, Rk f W pl, f W pl, f W el, f W eff, M, Rk f W pl, f W pl, f W el, f W eff, M, Ed e N, N Ed M, Ed e N, N Ed Tabelle 5-9: Werte für N Rk, M i, Rk und M i, Ed Der nationale Anhang stimmt der Verwendung beider Verfahren ur Ermittlung der o.g. Interaktionsfaktoren u. Die Verfahren dürfen parallel angewendet, aber keinesfalls gemischt werden. In EN wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass ur Vereinfachung stets mit den elastischen Querschnittswerten gearbeitet werden darf, also mit den in der Tabelle 5-9 für die Querschnittsklasse 3 angegebenen Widerständen. Das gilt selbstredend nicht für die Querschnitte der Klasse Variante ur Ermittlung der Interaktionsfaktoren k, k, k und k Die für Handrechnungen empfohlene 1. Variante entspricht dem Alternativverfahren 2 der EN , Anhang B. Danach ist unächst das nachuweisende Tragwerksteil aus dem Sstem gedanklich herausulösen und der Verlauf der Biegemomente, getrennt nach den Querschnittsachsen - und - in die Tabelle 5-10 einuordnen. Als Ergebnis der Bearbeitung in Tabelle 5-10 stehen die Werte C m, C m und C mlt. Anschließend ist u entscheiden, ob es sich um einen verdrehsteifen oder einen verdrehweichen Stab handelt. Daraus und unter Verwendung der vorab u bestimmenden weiteren benötigten Werte können dann die Interaktionsfaktoren nach den Gleichungen in Tabelle 5-11 berechnet werden. Zu beachten sind die vielfach angegebenen Grenwerte in den Tabellen. Die weiteren benötigten Werte sind dabei i.d.r. Größen, die in den vorhergehenden Abschnitten bereits berechnet und erläutert wurden, wie.b.: - Werte nach Tabelle (beogene) Schlankheitsgrade für Knicken λ, λ - Abminderungsbeiwerte für Knicken χ, χ Das Verfahren ist gerade noch für eine Handrechnung umutbar. Die 2. Variante wird dagegen mit hoher Wahrscheinlichkeit EDV-Anwendungen vorbehalten bleiben. Ungeachtet dessen wird es anschließend noch vorgestellt.

17 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 282 Verlauf n. Bild 5-39 Gültigkeitsbereich C m, C m, C mlt Gleichlast Nr. 1 1 ψ 1 0,6+0,4 ψ 0,4 Einellast Nr. 2 0 α s 1 1 ψ 1 0,2+0,8α s 0,4 0,2+0,8α s 0,4 1 α s <0 0 ψ 1 0,1 0,8α s 0,4 0,8α s 0,4 1 ψ<0 0,1(1 ψ) 0,8α s 0,4 0,2( ψ) 0,8α s 0,4 Nr. 3 0 α h 1 1 ψ 1 0,95+0,05α h 0,90+0,10 α h 1 α h <0 0 ψ 1 0,95+0,05α h 0,90+0,10 α h 1 ψ<0 0,95+0,05α h (1+2 ψ) 0,90+0,10 α h (1+2ψ) Tabelle 5-10: Äquivalente Momentenbeiwerte C m, C m und C mlt Die Momentenverläufe, die in Tabelle 5-10 in Beug genommen werden, sind im Bild 5-39 dargestellt und die entsprechenden Größen beeichnet. ψ M M s α s M s M h M M h ψ M h M h M s ψ M h α h M h M s Bild 5-39: Momentenverläufe und Bestimmungsgrößen als Grundlage ur Anwendung der Tabelle 5-10 Verlauf Nr. 1 (oben links) mit M und ψ Verlauf Nr. 2 (oben rechts) mit M h, M s, ψ und α s Verlauf Nr. 3 (unten) mit M h, M s, ψ und α h Die gestrichelte Linie im Verlauf 1 kenneichnet einen Fall ψ<0. In den Verläufen 2 und 3 deutet die gestrichelte Linie den Verlauf bei einer Einellast an. Das Ergebnis für C m, C m und C mlt wird in Tabelle 5-11 benötigt. C mlt ist für die Biegemomente um die starke Achse u ermitteln.

18 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 283 Beiwert Querschnitt k A + B, C k A + B, C C m ( k elastische Querschnitte nach Klasse 3 und 4 1,0 + 0,6 λ N Ed χ N Rk C m ( γ M1) N 1,0 + 0,6 Ed ) χ N Rk γ 1 M1 C m ( Plastische Querschnitte nach Klasse 1 und 2 1,0 + (λ N Ed 0,2) χ N Rk C m ( 0,6 k 1,0 + 0,8 N γ M1) Ed χ N Rk γ M1) k A + B 0,8 k 0,6 k C [ 1,0 0,05 λ (C mlt 0,25) N Ed ] [ χ N Rk γ 1 1,0 M1 0,1 λ (C mlt 0,25) N Ed χ N Rk γ M1 ] [ 1,0 0,05 (C mlt 0,25) N Ed χ N Rk γ M1] [ 1,0 0,1 (C mlt 0,25) N Ed χ N Rk γ M1] wenn: λ < 0,4 0,6 + λ [ 1,0 0,1 λ (C mlt 0,25) N Ed χ N Rk γ M1] k A + C C m ( B 1,0+0,6 λ N Ed χ N Rk γ 1 M1) 1,0+0,6 N Ed χ N Rk C m ( γ M1) C m ( C m ( 1,0+(2 λ 0,6) 1,0+1,4 C m ( N Ed χ N Rk γ M1) N Ed χ N Rk γ M1) 1,0+(λ N Ed 0,2) χ N Rk C m ( 1,0 + 0,8 N γ M1) Ed χ N Rk γ M1) Bei Druck und einachsiger Biegung um die starke Achse darf für Querschnitte A und B k 0 gesett werden. A verdrehsteife I- und H- Querschnitte, B verdrehsteife rechteck. Hohlquerschnitte C analog A und B, nur verdrehweich (i.d.r. aber keine Hohlprofile) Tabelle 5-11: Interaktionsfaktoren in der Variante 1 in diesem Script

19 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner Variante ur Ermittlung der Interaktionsfaktoren k, k, k und k Die für Handrechnungen nicht empfehlenswerte 2. Variante entspricht dem Alternativverfahren 1 der EN , Anhang A. Der Formelsat ist erheblich aufwändiger gestaltet und erfordert udem die Berechnung weiterer Hilfswerte, u denen in der EN selbst nur wenige Aussagen gemacht werden. Genannt werden soll dahingehend beispielsweise N cr, T, die ideale Verweigungslast für das Drillknicken. Ähnlich wie in der Variante 1 werden unächst äquivalente Momentenbeiwerte definiert. Diese C mi,0 mit i, berücksichtigen dem Verlauf der Biegemomente nach Tabelle Momentenverlauf äquivalenter Beiwert C mi,0 M 1 ψm 1 C mi,0 0,79 + 0,21 ψ i + 0,36 (ψ i 0,33) M max mit 1,0 ψ 1,0 +( C mi,0 1,0 π2 E I i δ x L 2 M i, Ed ( x) 1,0 ) N Ed N cr,i N Ed N cr, i M max mit M i, Ed (x) max[m, Ed ; M, Ed ] (berechnet nach Theorie I. Ordnung) δ x größte Verformung am Bauteil C mi,0 1,0 0,18 N Ed N cr,i C mi,0 1,0 + 0,03 N Ed N cr, i Tabelle 5-12: äquivalente Momentenbeiwerte C mi,0 Ein weiterer häufig benötigter Hilfswert ist durch a LT 1 I T I 0 definiert. Aus der Tabelle 5.8 resultiert die Größe k c und daraus mit C 1 1 k c 2 der nächste Hilfswert. Auch hierbei spielt der Verlauf der Biegemomente eine Rolle. Ferner ist u berechnen: ε M, Ed N Ed A W el, ε M, Ed N Ed A eff W eff, (5-181) Dabei ist u unterscheiden, ob die tatsächlichen Querschnittswerte anuseten sind, oder in der Querschnittsklasse 4, die effektiven Querschnittswerte (rechte Gleichung). Unter Verwendung der idealen Biegeknicklasten N cr, und N cr, sowie der idealen Drillknick-

20 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 285 last N cr, T können nunmehr die Größen C m, C m und C mlt als weiterer Zwischenschritt berechnet werden, die NICHT mit den analog beeichneten Größen der 1. Berechnungsvariante gemischt werden dürfen. Es ist für den Fall λ 0 0,2 C 1 4 ( 1 N Ed N cr, ) ( 1 N Ed N cr,tf) C m C m,0 C m C m,0 C mlt 1,0 (5-182) und für den Fall λ 0 > 0,2 C 1 4 ( 1 N Ed N cr, ) ( 1 N Ed N cr, TF) ε C m C m,0 + (1 C m,0 ) a LT (1 + ε a LT ) (5-183) C m C m,0 C mlt C 2 m a LT ( 1 N Ed N cr, ) ( N Ed N cr,t) 1,0 Dabei ist der Vergleichsschlankheitsgrad λ 0 der Schlankheitsgrad für das Biegedrillknicken des betreffenden Bauteils unter der Annahme M (x) M konstant. Er ist also analog λ LT u berechnen, aber eben für ein konstantes Biegemoment. Unter Verwendung der Ergebnisse aus den Gleichungen (5-182) bw. (5-183) können die Hilfswerte C, C, C und C berechnet werden. Dabei werden weitere bereits bekannte Größen benötigt, die hier NICHT erneut erläutert werden. Für λ max ist der größere der beiden Werte λ und λ anuseten. Definiert werden müssen aber noch die Größen n pl, w und w : n pl N Ed N Rk γ M0 Nun kann berechnet werden: w W pl, W el, 1,50 w W pl, W el, 1,50 (5-184) 1,6 C 1 + (w 2 C 1) [( 2 w m λ max 1,6 C 2 2 w m λ max ) n pl b LT] W el, W pl, mit b LT 0,5 a LT λ 0 2 M, Ed χ LT M pl,, Rd M, Ed M pl,, Rd (5-185)

21 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 286 C 1 + (w 1) [( 2 14 C 2 2 m λ max ) 5 w n pl c LT] 0,6 w W el, w W pl, mit λ 0 2 c LT 10 a LT (5 + λ 4 ) M, Ed (5-186) C m χ LT M pl,, Rd C 1 + (w 1) [( 2 14 C 2 2 m λ max ) 5 w n pl d LT] 0,6 w W el, w W pl, mit λ 0 M, Ed d LT 2 a LT (0,1 + λ 4 ) M, Ed C m χ LT M pl,, Rd C m M (5-187) pl,, Rd 1,6 C 1 + (w 2 C 1) [ 2 w m λ max 1,6 C 2 2 w m λ max e LT] n pl W el, W pl, mit λ 0 e LT 1,7 a LT (0,1 + λ 4 ) M, Ed C m χ LT M (5-188) pl,, Rd Bevor nun abschließend auch für diese 2. Variante die Gleichungen für die Interaktionsfaktoren k, k, k und k aufgeschrieben werden können, werden im letten Zwischenschritt noch wei lette Hilfsgrößen aus bekannten Werten berechnet: µ 1 N Ed N cr, 1 χ N Ed N cr, µ 1 N Ed N cr, 1 χ N Ed N cr, (5-189) Die Gleichungen für die Interaktionsfaktoren werden in der Tabelle 5-13 (folgende Seite) usammengefasst. Dabei ist wieder anhand der Querschnittsklasse u unterscheiden, welche Querschnittswerte angesett werden dürfen. Mit den Faktoren ist dann die Interaktion nach den Gleichungen (5-179) UND (5-180) durchuführen. Bei der Beschreibung der beiden Berechnungsvarianten für den kombinierten Nachweis auf Biegeknicken und Biegedrillknicken hier im Script wurde versucht, die Reihenfolge der Gleichungen so anugeben, dass eine fortlaufende Berechnung möglich ist. In der Norm wird dagegen i.d.r. uerst das Nachweisformat aufgeschrieben und dann rücklaufend angegeben, wie die Größen im Nachweisformat ermittelt werden.

22 Prof. Dr.-Ing. Dirk Werner 287 Interaktionsfaktor Querschnittsklassen 3 und 4 (elastische Berechnung) k C m C mlt µ 1 N Ed N cr, Querschnittsklassen 1 und 3 (plastische Berechnung) C m C mlt µ 1 N Ed N cr, C k k k C m C m C mlt C m µ 1 N Ed N cr, µ 1 N Ed N cr, µ 1 N Ed N cr, C m C m C mlt µ 1 N Ed N cr, C m µ 1 N Ed N cr, µ 1 N Ed N cr, C 0,6 w w C 0,6 w w C Tabelle 5-13: Interaktionsfaktoren in der Variante 2 in diesem Script Es wird deutlich, dass die Hilfswerte der Gleichungen (5-185) bis (5-188) nur im Falle einer plastischen Berechnung der Querschnittswerte benötigt werden. Der Aufwand reduiert sich damit erheblich. Damit wird die Variante 2 als Nachweis mit elastischen Querschnittswerten auch für Querschnitte der Klassen 1 und 2 durchaus interessant. Andererseits bleiben Tragreserven und/oder Materialökonomie dabei auf der Strecke Zusammenfassung Der 5. Abschnitt im Script Stahlbau stellt einige wenige Grundgleichungen ur linearen Elastiitätstheorie II. Ordnung usammen. Die Lösung der Differentialgleichung für den geraden ebenen Stab wird angegeben und die Randbedingungen für einige Sonderfälle ausgewertet. Aus der Lösung der homogenen Differentialgleichung werden die Eulerfälle abgeleitet. Mit Hilfe von Weg- und Drehfedern wird der Übergang um allgemeinen Ersatstab erklärt. Für eine Reihe von Fällen wird die Ermittlung der Federkennwerte vorgerechnet. Der Zusammenhang mit den Bestimmungen der EN wird dargelegt. Hier im Besonderen die Abgrenungskriterien mit Hilfe des Verweigungslastfaktors. Anschließend werden die Nachweisformate der EN für das reine Biegeknicken, das reine Drillknicken, das reine Biegedrillknicken und der kombinierte Interaktionsnachweis für das Biegeknicken und Biegedrillknicken für gleichförmige Bauteile erläutert. Gegenüber der Norm werden einige Inhalte nicht behandelt. So wurde das allgemeine Verfahren für Knick- und Biegedrillknicken und das Biegedrillknicken von Bauteilen mit Fließgelenken hier nicht aufgenommen. Der o.a. kombinierte Nachweis galt für gleichförmige Bauteile mit konstantem Querschnitt. Es folgen einige Beispiele u Stabilitätsnachweisen nach EN