Bildkorrektur und -verbesserung

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1 Bildkorrektur und -verbesserung Seminararbeit im Fach Informatik vorgelegt von Enkelejda Tafaj geb. am 18. Juli 1981 in Diber, Albanien angefertigt am Fakultät Informatik, Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme Universität Stuttgart Betreuer: Dr. Andreas Hub, Sabine Iserhardt-Bauer Beginn der Arbeit: 17. April 2004 Abgabe der Arbeit: 24. Mai 2004

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Interpolation Interpolation Nearest-Neighbor-Interpolation Lineare Interpolation Interpolation mit n Stützstellen B-Splines Beurteilung der Interpolationsverfahren Bildoperationen Punktoperationen Grauwertspreizung Histogrammausgleich Filter Lineare Filter Mittelwertfilter Gauß-Filter Lineare Filter für spezielle Anwendungen Differenzfilter Prewitt-Filter Sobel-Filter ii

4 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Nichtlineare Filter Rangordnungsfilter Sigma-Filter Zusammenfassung 25 Literaturverzeichnis 26 iii

5 Kapitel 1 Einleitung Medizinische Bilder sind ein wichtiger Teil eines komplexen medizinischen Entscheidungsprozesses, sie liefern dem Arzt wichtige Informationen und ermöglichen eine bessere Diagnose und Therapie. Während der Bildaufnahme können verschiedene Arten von Störungen auftreten, nicht nur durch inkorrekte Fokussierung, Kratzer auf dem Linsensystem, Verwackelungen während der Bildaufnahme und Unterabtastung 1, sondern auch durch geometrische Entzerrungen und Rauschen. Ziel der Bildkorrektur ist es solche systematische Fehler zu kompensieren und so gut wie möglich das Original zu rekonstruieren. Bei der Bildverbesserung wird dagegen versucht, die subjektiv empfundene Qualität eines Bildes zu erhöhen [5]. In den folgenden Kapiteln werden verschiedene Verfahren zur Bildkorrektur und -verbesserung vorgestellt. In Kapitel 2 werden die in der medizinischen Bildkorrektur am häufigsten verwendeten Interpolationsverfahren näher erläutert. Des Weiteren wird in Kapitel 3 auf die wichtigsten Bildoperationen zur Rauschunterdrückung und Glättung des Bildes eingegangen. Auch Verfahren zur Bildverbesserung wie z.b. die Kontrastverbesserung werden anhand von medizinischen Bildern erläutert. 1 Verletzung des Abtasttheorems (vgl. Abschnitt 2.1.2) 1

6 Kapitel 2 Interpolation 2.1 Interpolation Interpolationen spielen bei geometrischen Transformationen eines Bildes eine sehr wichtige Rolle. So verändern sich z.b. bei einer Rotation um Vielfache von 90 oder bei einer Verschiebung lediglich die Koordinaten der Bildpunkte. Durch solche Koordinatentransformationen werden die existierenden Bildpunkte in neue Bildpunkte abgebildet. Die neuen Bildpunkte haben zwar neue Koordinaten, die Grauwerte bleiben dabei unverändert. Dagegen landen bei einer Rotation um z.b. 20 die neuen Bildpunkte im Allgemeinen nicht auf einem diskreten Rasterpunkt (Abbildung 2.1). Bei solchen Bildmanipulationen ist es wichtig, nicht nur die Koordinaten neuer Bildpunke, die nicht auf einem diskreten Raster landen, zu bestimmen, sondern auch ihre Grauwerte. Diese Grauwerte werden aus den Nachbarbildpunkten interpoliert. Abbildung 2.1: Transformation der Koordinaten (u, v) eines Beispielpunktes im Eingabebild in die Koordinaten (x, y) im Ausgabebild mittels einer geometrischen Transformation T Bei der geometrischen Transformation von Rasterbildern wird meist eine Ziel-zu-Quelle (target-to-source) Abbildung implementiert. Ausgehend von einem Raster im Ausgabebild werden durch die inverse geometrische Transformation T 1 die Koordinaten der Rasterpunkte im Eingabebild berechnet (Abbildung 2.2). Im 2

7 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.1. INTERPOLATION Ausgabebild wird jedes Pixel mit einem Wert besetzt, der durch Interpolation aus einer Pixelnachbarschaft im Eingabebild errechnet wird. Formal kann die Interpolation als Faltung 1 des Bildes mit einer Filtermaske beschrieben werden. Im Folgenden handelt es sich um separierbare zweidimensionale Interpolationsmasken h 2D. Es gilt also h 2D (x m, y n) = h(x) h(y). Abbildung 2.2: Target-to-Source Mapping Falls bei der Abtastung des Bildes das Abtasttheorem 2 erfüllt wird, kann das Originalsignal durch Überlagerung einzelner sinc-funktionen (auch si-funktion genannt sin(x) x, Abbildung 2.3 links) rekonstruiert werden (Abbildung 2.3 rechts). (a) si-funktion (b) Überlagerung einzelner si-funktionen Abbildung 2.3: Rekonstruktion des Originalsignals [5] Die ideale Interpolationsmaske ist daher die si-funktion. Da die si-funktion örtlich nicht begrenzt ist, muss 1 Für zwei auf dem reellen Intervall D definierte Funktionen f, g : D C wird die Faltung von f mit g als f g notiert und ist definiert als das Integral über das Produkt von f mit einer gespiegelten verschobenen Version von g: (f g)(t) = f(τ)g(t τ)dτ. Die diskrete Faltung ist definiert als: (f g)(n) = f(k)g(n k) [11] 2 Das Abtasttheorem besagt, dass ein kontinuierliches Signal mit einer Maximalfrequenz f max mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden muss, damit man aus dem so erhaltenen diskreten Signal das Ursprugssignal ohne Informationsverlust wieder rekonstuieren kann [12] 3

8 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.1. INTERPOLATION zur Interpolation eine Funktion, die die si-funktion möglichst gut approximiert, herangezogen werden. Im Folgenden werden verschiedene Verfahren zur Interpolation der Grauwerte sowie zwei Verfahren zur Beurteilung der Genauigkeit der Interpolationsverfahren vorgestellt Nearest-Neighbor-Interpolation Die einfachste endliche Interpolation ist die Nearest-Neighbor-Interpolation. Dies ist auch die einfachste Approximation der si-funktion. Dem unbekannten Grauwert f(x, y) ordnet man den nächsten bekannten Grauwert aus der Nachbarschaft zu (Abbildung 2.4). Abbildung 2.4: Nearest-Neighbor Interpolation Zur Interpolation wird somit nur eine Stützstelle herangezogen. Daraus ergibt sich die Faltungsmaske h 1 (x) [5]: h 1 (x) = { 1 0 x < 0, 5 0 sonst (2.1) Diese Interpolationsmaske entspricht der Rechteckfunktion (Abbildung 2.5 rechts). In Abbildung 2.5 wird die Nearest-Neighbor Interpolation im eindimensionalen Fall verdeutlicht. In a) ist die rekonstruierte Originalfunktion aus der Überlagerung einzelner si-funktionen, in b) ist das rekonstruierte Originalsignal durch Überlagerung einzelner Recheckfunktionen dargestellt. Die Nearest-Neighbor Interpolation ist einfach zu beschreiben und die gesuchten Grauwerte sind schnell zu berechnen. Dieses Interpolationsverfahren führt aber zu einer schlechten Bildqualität. 4

9 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.1. INTERPOLATION (a) Rekonstruiertes Originalsignal aus si- Funktionen (b) Rekonstruktion des Originalsignals aus Rechteckfunktionen Abbildung 2.5: Nearest-Neighbor Interpolation für den eindimensionalen Fall [5] 5

10 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.1. INTERPOLATION Lineare Interpolation Die lineare Interpolation ist das am häufigsten verwendete Interpolationsverfahren. Hier gehen alle 4 Grauwerte der umgebenden Pixel in Abhängigkeit vom Abstand in die Berechnung bzw. Interpolation des gesuchten Grauwertes ein (Abbildung 2.6). Abbildung 2.6: Lineare Interpolation Die lineare Interpolation entspricht der Approximation der si-funktion durch die Dreiecksfunktion [5]: h 2 (x) = { 1 x 0 x 1 0 sonst (2.2) In der Abbildung 2.7 ist die Interpolationsmaske für die lineare Interpolation im eindimensionalen Fall dargestellt. In a) ist die rekonstruierte Originalfunktion durch Überlagerung einzelner si-funktionen dargestellt, in b) wird die Originalfunktion durch Überlagerung einzelner Dreieckfunktionen rekonstruiert. Die Dreieckfunktion ist eine bessere Approximation der si-funktion als die Rechteckfunktion. Aus diesem Grund liefert die Lineare Interpolation eine niedrigere Interpolationsfehlerrate als die Nearest Neighbor Interpolation (a) Originalsignal (b) Rekonstruktions des Originalsignals aus Dreieckfunktionen Abbildung 2.7: Lineare Interpolation für den eindimensionalen Fall [5] 6

11 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.1. INTERPOLATION Interpolation mit n Stützstellen B-Splines Von der Mathematik sind Interpolationsverfahren wie die von Newton und Langrage bekannt. Diese Verfahren beruhen darauf, ein einziges Polynom zu ermitteln, das alle Stützstellen enthält [10]. Bei vielen Stützstellen erhält man Polynome höheren Grades, die nicht so leicht zu handhaben sind. Bei der Interpolation mit Basis (B)-Splines der Ordnung N (wobei N die Anzahl der Stützstellen ist) ist die Interpolationsfunktion eine abschnittsweise definierte Funktion. Der Abschnitt zwischen zwei Stützstellen wird durch Polynome des Grades M = N 1 interpoliert, die zweimal stetig differenzierbar sein müssen [7]. Die Funktionswerte zweier benachbarten Polynomen und ihre ersten Ableitungen sind an der Stützstelle, wo sie zusammenstoßen, gleich. So wird ein glatter Kurvenverlauf gewährleistet [10]. (a) si-funktion (b) Kubische B-Spline Abbildung 2.8: Approximation der si-funktion durch die kubische B-Spline [6] In Abbildung 2.8 b) ist eine kubische B-Spline dargestellt. Zwischen den Stützstellen liegen Polynome 5.Grades vor. Diese Approximation der si-funktion durch kubische B-Splines ist eine genauere als durch die Rechteck- oder Dreieckfunktion. 7

12 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.2. BEURTEILUNG DER INTERPOLATIONSVERFAHREN 2.2 Beurteilung der Interpolationsverfahren Zur Beurteilung der Genauigkeit und Rechenzeit verschiedener Interpolationsverfahren werden im Folgenden zwei Verfahren vorgestellt. Das erste Verfahren wurde von Lehmann et. al. entwickelt und als Studie im Jahr 1999 [6] und Addendum im Jahr 2001 [7] veröffentlicht, das zweite Verfahen wurde von Meijering entwickelt [9]. Verfahren nach Lehmann Die Genauigkeit verschiedener Interpolationsverfahren wird bei diesem Verfahren anhand von sog. Differenzbildern gemessen. Differenzbilder werden wie folgt erhalten: Ein Eingabegraustufenbild f wird mittels einer geometrischen Transformation T in ein Ausgabebild f transformiert. Die Grauwerte des Ausgabebildes f werden nach einem Interpolationsverfahren V interpoliert. Durch Anwenden der inversen geometischen Transformation T 1 auf das Bild f erhält man das Bild f. Zur Interpolation der Grauwerte wird das gleiche Interpolationsverfahren V herangezogen. Anschließend wird die absolute pixelweise Grauwertdifferenz d zwischen f und f gebildet. Alle Pixel von f deren Grauwertdifferenz d (zu den entsprechenden Grauwerten im Originalbild f) größer als 1 ist werden in schwarz dargestellt, alle anderen in weiß. In Abbildung 2.9 sind ein Graustufenbild (Farbtiefe = 8 Bit) eines menschlichen Auges und die Differenzbilder bei verschiedenen Interpolationsverfahren dargestellt. Das Originalbild wurde in horizontaler Richtung vergrößert um das Seitenverhältnis des Bildes zu verbesseren. Anschließend wurde das Bild mittels der inversen Transformation auf die ursprüngliche Seitengröße gebracht. Zur Interpolation wurde beidesmal dasselbe Interpolationsverfahren herangezogen. Aus den Differenzbildern in Abbildung 2.9 ist zu sehen, dass die Interpolationsfehlerrate bei der linearen Interpolation (Abbildung 2.9 b) am größten ist. Bei der Spline Interpolation der 5. und 6. Ordnung ist die Interpolationsfehlerrate sehr gering, dies ist aber mit einer zusätzlichen Erhöhung der Rechenzeit verbunden. Verfahren nach Meijering Bei diesem Verfahren wird ein anderer Ansatz zur Beurteilung der Genauigkeit verschiedener Interpolationsverfahren verfolgt. Nach einer geometrischen Transformation werden verscheidene Interpolationsverfahren angewandt. Die Ergebnisse bzw. die Ausgabebilder werden anschließend miteinander verglichen. 8

13 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.2. BEURTEILUNG DER INTERPOLATIONSVERFAHREN (a) Originalbild (b) Lineare Interpolation (c) B-Spline 3. Ordnung (d) B-Spline 4. Ordnung (e) B-Spline 5. Ordnung (f) B-Spline 6. Ordnung Abbildung 2.9: Differenzbilder bei verschiedenen Interpolationsverfahren [7] Meijering untersuchte 126 Interpolationsverfahren, u.a. die Nearest Neighbor Interpolation, die lineare Interpolation und die B-Spline Interpolation der 3., 4., 5., 6., 7., 8. und 9. Ordnung, anhand von CT, MRI, PET, SPECT, 3DRA, und XRA Bildern hinsichtlich der Genauigkeit und Rechenzeit. Die Referenzbilder waren unterschiedlich groß und wurden um verschiedene Winkeln gedreht und verschoben. Für jede Kombination von Bild, geometrischer Transformation (Translation und Rotation) und Interpolationsverfahren wurden die Interpolationsfehler ermittelt und die Ergebnisse als Scatter Plots dargestellt. In Abbildung 2.10 sind MR-Bilder dargestellt. Das Originalbild (a) wurde erst um 0.7 gedreht, anschließend um 3.2, 6.5, 9.3, 12.1, 15.2, 18.4, 21.3, 23.7, 26.6, 29.8, 32.9, 35.7, 38.5, 41.8 und 44.3, was in der Summe einer Rotation um 360 enspricht. In den Bildern (b)-(e) sind die Ergebnisse nach Anwendung verschiedener Interpolationsverfahren dargestellt. Die Interpolationsfehler sind kumuliert. Aus dieser Abbildung ist zu erkennen, dass die B-Spline Interpolation bessere Ergebnisse als die einfachen Verfahren Nearest-Neighbor und lineare Interpolation liefert. 9

14 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.2. BEURTEILUNG DER INTERPOLATIONSVERFAHREN (a) Original (b) Nearest Neighbor (c) Lineare Interpolation (d) Kubische Spline (e) Quinitc Spline Abbildung 2.10: Interpolationsfehler [9] Ein Scatter-Plot zur Darstellung des Zusammenhangs zwischen Interpolationsfehlerrate und Rechenzeit ist in Abbildung 2.11 dargestellt. Die Fehler wurden als Largest-Absolute-Error (LEA) erfasst. In diesem Beispiel wurde ein Transversalbild (Tr) um die Winkel wie in Abbildung 2.10 gedreht (Rot). Abbildung 2.11: Scatter-Plot zur Darstellung der Interpolationfehlerrate vs. Rechenzeit bei verschiedenen Interpolationsverfahren [9] Einfache Verfahren wie Nearest-Neighbor oder lineare Interpolation sind nicht rechenzeitaufwendig, liefern aber im Vergleich zur B-Spline Interpolation eine hohe Interpolationsfehlerrate. Die B-Spline Interpolation mit kubischen Polynomen liefert eine geringe Interpolationsfehlerrate und ist zugleich nicht sehr rechenauf- 10

15 KAPITEL 2. INTERPOLATION 2.2. BEURTEILUNG DER INTERPOLATIONSVERFAHREN wendig. B-Spline Interpolationen mit Polynomen höherer Ordnungen liefern zwar noch bessere Ergebnisse, benötigen dafür aber längere Rechenzeit (Abbildung 2.11). Beide im diesem Abschnitt vorgestellten Verfahren zur Interpolation der Grauwerte zeigten, dass die B- Spline Interpolation die geringere Interpolationsfehlerrate liefert. Auch Untersuchungen der Rechenzeit ergaben, dass die B-Spline Interpolation mit Polynomen der Ordnung 3 bei relativ geringer Rechenzeit schon eine sehr niedrige Interpolationsfehlerrate liefert. Dieses Interpolationsverfahren sollte für Anwendungen in der Medizin bevorzugt werden. 11

16 Kapitel 3 Bildoperationen Bei einer Bildoperation handelt es sich um eine Transformation des Eingabebildes in ein Ausgabebild. Man unterscheidet folgende Arten von Bildoperationen: globale Bildoperationen: Hier beeinflussen alle Bildpunkte die Änderung eines Bildpunktes (z.b. Fourier-Transformation). lokale Bildoperationen (Filter): Nur unmittelbare Nachbarn beeinflussen die Änderung eines Bildpunktes. Die praktische Durchführung lokaler Bildoperationen gelingt mit Hilfe von Filtermasken. Eine Maske (Kernel, Fenster) ist eine quadratische Matrix mit ungerader Spalten- bzw. Zeilenanzahl. Der Bildpunkt, dessen Grauwert verändert wird, ist der Bildpunkt, der unter dem Zentrum der quadratischen Maske liegt. Die Größe der Maske definiert die Anzahl der zu betrachtenden Nachbarbildpunkte. Für eine Maske der Größe 3x3 werden für die Berechnung des Grauwertes eine Bildpunktes die Grauwerte seiner 8 Nachbarpunkte mitberücksichtigt. Jedes Feld der Maske beinhaltet Zahlen, die der Gewichtung der Nachbarpunkten entsprechen. Wenn die Berechnung abgeschlossen ist, dann wird die Maske über das gesamte Bild bzw. über die Bildmatrix pixelweise verschoben. Punktoperationen: Der betrachtete Bildpunkt wird ohne Einfluss anderer Bildpunkte verändert. Das Ergebnispixel f (k, l) hängt nur von seiner Position (k, l) im Bild und von dem Grauwert f(k, l). Hängt das Ergebnispixel f (k, l) nur vom Grauwert f(k, l) des betrachteten Bildpunktes ab, so spricht man von homogenen Punktoperationen [5]. In diesem Kapitel werden nur einige für die Bildbearbeitung häufig benötigte Punktoperationen und Filter näher erläutert. Auf globale Bildoperationen wie die Fourier-Transformation, die Wavelet-Transformation und die Radon-Transformation wird im Rahmen dieser kurzen Seminararbeit nicht eingegangen. Hier sei nur auf [5] (Kapitel 8, 9 und 10), [3] und [2] verwiesen. 12

17 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.1. PUNKTOPERATIONEN 3.1 Punktoperationen Im Folgenden werden verschiedene Grauwerttransformationen vorgestellt. Grauwerttransformationen werden über Transformationskennlinien, die zu jedem Grauwert g G = {0, 1,..., G 1} einen neuen Grauwert g G liefern, berechnet. Obwohl homogene Punktoperationen mathematisch sehr einfach sind, kann die Berechnung doch sehr rechenaufwendig sein. Daher implementiert man die Transformationskennlinien als Look-Up-Tables (LUTs), in denen zu jedem Grauwert g der zugehörige Grauwert g abgelegt wird. Da man meistens mit einer Farbtiefe von 8 Bit (entspricht G = 256 Grauwertstufen) arbeitet, benötigen LUTs nicht viel Speicherplatz. Im Abschnitt wird am Beispiel einer Grauwertspreizung eine Kennlinie und die entsprechende LUT dargestellt Grauwertspreizung Oft liegen in dem für die Diagnostik interessanten Bereich des Bildes die Helligkeitswerte der Pixel dicht beieinander. Der Grauwertbereich ist nicht ausgeschöpft, sehr helle und sehr dunkle Bereiche fehlen. Deshalb wird der vorhandene Grauwertbereich gespreizt (engl. stretching), z.b. von auf Durch eine stückweise lineare Transformation wird der verfügbare Grauwertbereich optimal ausgenutzt. Falls das Eingabebild auf den Grauwertbereich G = {g min,..., g max } begrenzt ist, so kann man die Grauwertspreizung bzw. das Stretching mit der Gleichung 3.1 beschreiben: [ ] (g gmin ) (G 1) T stretch (g) = g max g min (3.1) Die eckigen Klammern stehen für die Gauss-Klammern 1. Abbildung 3.1 verdeutlicht die Grauwertspreizung anhand eines Mamographiebildes. Man kann eine Begrenzung des Grauwertbereichs auch durch ein sog. Clipping erzwingen. Hier werden die Grauwerte unterhalb (g < g min ) und oberhalb (g > g max ) der Grauwertgrenzen des erwünschten Grauwertbereichs auf 0 bzw. G 1 gesetzt. Die anderen Grauwerte werden linear nach der Gleichung 3.1 transformiert. Für das Clipping gilt dann Gleichung 3.2: 0 0 g < g min T clip (g) = T stretch (g) g min g g max G 1 g max < g G 1 (3.2) In Abbildung 3.2 a) ist die Transformationskennlinie der Grauwertspreizung, wie in Gleichung 3.1 beschrieben, dargestellt. Falls die Grauwertgrenzen g min und g max nicht den im Eingabebild vorhandenen Grauwertgrenzen entsprechen, so entspricht die Transformationskennlinie dem Clipping der Grauwerte wie 1 [x] bedeutet die nächste bei x liegende ganze Zahl. 13

18 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.1. PUNKTOPERATIONEN (a) Originalbild (b) Nach Grauwertspreizung Abbildung 3.1: Grauwertspreizung [4] in Gleichung 3.2 beschrieben. In Abbildung 3.2 b) ist eine Look-Up-Table dargestellt, die Gleichung 3.2 an einem Zahlenbeispiel verdeutlicht. Für G = 256, g min = 26 und g max = 229 gilt: Alle Grauwerte g < g min = 26 werden auf 0 abgebildet, die Grauwerte 0 bis 26 werden also auf 0 abgebildet. Alle Grauwerte zwischen g min und g max werden nach T stretch (g) (3.1) auf neue [ Grauwerte abgebildet. Für g = 100 (siehe LUT in Abbildung 3.2) gilt: g = T stretch (100) = (100 26) (256 1) ] = ] = [92, 9556] = 93. [ Alle Grauwerte g > g max werden auf G 1 = 255 abgebildet. (a) Transformationskennlinie der Grauwertspreizung (b) Beispiel einer LUT Abbildung 3.2: Grauwertspreizung [5] 14

19 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.1. PUNKTOPERATIONEN Histogrammausgleich Als Histogramm wird allgemein die Häufigkeitsverteilung einer interessierenden Größe bezeichnet. In der Bildverarbeitung wird die Häufigkeitverteilung der Grauwerte auch als Grauwerthistogramm bezeichnet. Da wir quantisierte Grauwerte vorliegen haben, erhalten wir nur diskrete Histogrammwerte. Die Grauwertverteilung in Bildern kann sehr unregelmäßig sein. Demnach wird versucht das Bild so zu bearbeiten, dass alle Grauwerte ähnlich häufig vorkommen und dass die volle Grauwertskala ausgenutzt wird. Die Histogrammäquilisation wird durch folgende Gleichung beschrieben, wobei M N die Anzahl der Pixel im Bild beschreibt: T equal (g) = g = (g max g min ) M N mit g min = 0 und g max = G 1 vereinfacht sich die Gleichung 3.3 zu: g ξ=g min h(ξ) (3.3) T equal (g) = (G 1) M N g ξ=g min h(ξ) (3.4) Das Verfahren wird anhand eines Beispiels näher erläutert. Im Folgenden gehen wir von einer 4 Bit Farbtiefe (16 Graustufen G) und von einem Histogramm h(g), wie in der Tabelle 3.3 dargestellt, aus. T (g) ist das transformierte Bild und h(t (g)) gibt die Häufigeitsverteilung der Grauwerte im transformierten Bild an. Bis zu jedem Grauwert g werden die relativen Häufigkeiten aufsummiert. Diese Summe wird mit dem maximalen Grauwert multipliziert, dann normiert, d.h. durch die Anzahl der Pixel geteilt. Das Ergebnis wird gerundet und dem Grauwert zugeordnet. Beispielrechnung für g = 3 und M N = 128: Der resultierende Grauwert T (g) = 2 ergibt sich nach folgender Rechnung: round( 15 (h(0)+h(1)+h(2)+h(3)) 128 = 15 ( ) 128 ) = round(2, ) = 2 Abbildung 3.3: Beispiel für eine Histogrammäqualisation [5] Im neuen Histogramm (letzte Zeile der Tabelle 3.3) können Lücken entstehen, da einige Grauwerte im neuen Bild nicht mehr vorkommen. Auch in Abbildung 3.4 ist eine Histogrammäqualisation mit G = 256 zu sehen. 15

20 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.1. PUNKTOPERATIONEN (a) Originalbild mit Histogramm (b) Bild und dessen Histogramm nach Anwendung der Histogrammäqualisation Abbildung 3.4: Bild nach Anwendung der Histogrammäqualisation (rechts), Originalbild (links) [1] In der Abbildung 3.4 ist zu erkennen, dass die Äqualisation zum Verschmieren klarer Histogrammspitzen tendiert. Die Histogrammäqualisation ist ein einfach zu realisierendes Verfahren und führt zur optimalen Ausnutzung des gesamten Grauwertbereichs. Der Bildinhalt bleibt aber dabei unberücksichtigt, es interessieren nur die Häufigkeitsverteilungen der Grauwerte. Das kann oft zur Reduzierung der im Bild enthaltenen Information führen. 16

21 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER 3.2 Filter Filter gehören zur Klasse der lokalen Bildoperationen: für jeden Bildpunkt wird eine nur auf seine lokale Nachbarschaft beschränkte Transformation durchgeführt. Die Anzahl der Nachbarn ist von der Größe der Filter-Maske abhängig. Die prinzipielle Vorgehensweise wurde schon bei der Einführung der Bildoperationen am Anfang dieses Kapitels skizziert. Es wird deutlich, dass die Bildpunkte an den Rändern des Bildes gesondert behandelt werden müssen, da nicht alle Elemente in der Maske einem Bildpunkt zugeordnet werden können. Zur Lösung dieses Problems werden in der Literatur folgende Möglichkeiten vorgestellt [5]: Die Randpunkte werden nicht behandelt, das Ausgangsbild schrumpft aber bei jeder Transformation immer weiter. Die Maske wird derart eingeschränkt, dass sie nicht über den Rand hinausgeht. Das Bild kann in eine größere Bildmatrix kopiert werden und der Rand geeignet vorbesetzt werden. Hier kann aber eine Fehlbelegung der Bildpunkte am Rand zu Fehlern, die sich bis ins Innere des Bildes fortsetzen können, führen. Das Bild kann periodisch fortgesetzt werden (sog. wrap-around). Filter werden nicht nur zur Rauschunterdrückung und Glättung des Bildes eingesetzt, sondern auch zur Hervorhebung der Kanten, Auffinden von Objekten, Detektion periodischer Strukturen im Bild und ermöglichen damit die Erhöhung der Qualität medizinischer Daten und ihres Informationsgehaltes im Hinblick auf nachfolgende Verarbeitungsprozesse und die Darstellung spezieller Bildstrukturen. In der Literatur sind verschiedene Klassifizierungen von Filtern zu finden. Im Folgenden werden zwei Klassen unterschieden: die linearen und die nichtlinearen Filter Lineare Filter Bei einer linearen lokalen Bildoperation berechnet sich der aktuelle Punkt im Ausgabebild als Linearkombination der Bildpunkte unter der Maske im Eingabebild. Die Transformation von einem Bild f mit der Maske M zu einem neuen Bild s ist mathematisch durch eine Faltung (engl. convolution) beschreibbar: s(k, l) = (i,j) M f(k + i, l + j) h(i, j) (3.5) s(k, l) ist der Bildinhalt an der Position (k, l), d.h. der Grauwert an der Position (k, l). Der Grauwert an der Position (k, l) im Eingabebild ist durch f(k, l) gegeben. h(i, j) ist das Gewicht an der Stelle (i, j) der Maske M. Der Mittelpunkt der Maske erhält die Koordinaten (i, j) = (0, 0) [5]. Im Folgenden wird auf einige der bekanntesten linearen Filter näher eingegangen. 17

22 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Mittelwertfilter Beim Mittelwertfilter (auch Rechteckfilter genannt) wird die Maske wie in Abbildung 3.5 verwendet. Dem Ergebnispixel wird der gerundete Mittelwert der Grauwerte der Nachbarpunkte zugeordnet. Ein Beispiel ist in der Abbildung 3.5 zu sehen. Der Ergebniswert 81 wird wie folgt berechnet: 1 9 ( ) = 80, 6(6), round(80, 66..) = 81. Abbildung 3.5: Beispiel für den Mittelwertfilter Der Mittelwertfilter unterdrückt verrauschte Bildpunkte, bewirkt aber zugleich ein Verschmieren des Bildes. Scharfe Kanten werden zu einem breiten allmählich verlaufendem Übergang abgeschwächt. Eine Störung im Bild wird über einen größeren Bereich verwischt, verschwindet aber nie. In Abbildung 3.6 rechts ist das Ergebnis einer Mittelwertfilterung dargestellt. Im Vergleich zum Originalbild im linken Teil der Abbildung wirkt das Bild nach der Filterung verschmiert und feine Strukturen sind nicht so gut zu erkennen. (a) Originalbild (b) Nach Mittelwertfilterung Abbildung 3.6: Beispiel für den Mittelwertfilter [1] 18

23 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Gauß-Filter Der Gauß-Filter ist ein linearer Filter zur Rauschreduktion. Die Einträge in der Maske entsprechen einer diskreten Version der Nomalverteilung. Damit werden die Bildpunkte im Zentrum der Maske höher gewichtet als die an den Rändern. Gauß-Filter sind sehr gut geeignet hohe Grauwertveränderungen der Pixel an den Rändern der Maske zu dämpfen [5]. In der Abbildung 3.7 wird der Aufbau eine Gauß-Filtermaske verdeutlicht. Die Werte am oberen und linken 1 Rand einer solchen Maske entsprechen Zeilen des Pascalschen Dreiecks. Der Vorfaktor der Maske ist 4 n für geradzahlige n (n steht für die n. Zeile aus dem Pascalschen Dreieck). Die Werte im Inneren einer Filtermaske ergeben sich aus dem Produkt der Zahlen am linken und oberen Rand. Abbildung 3.7: Beispiele für Gauß-Filtermasken Durch die höhere Gewichtung der Bildpunkte im Zentrum der Maske werden bessere Ergebnisse als bei einer Mittelwertfilterung erreicht (Abbildung 3.11). Dennoch kommt es auch bei diesem Filter zum Informationsverlust. In Abbildung 3.8 rechts ist ein dreidimensionales Bild nach eine Gauß-Filterung dargestellt. Besonders im rot markierten Bereich des Bildes wird die Informationsverlust im Vergleich zum Originalbild deutlich. (a) Originalbild (b) Nach Gauß-Filterung Abbildung 3.8: Gauß-Filterung eines 3D Bildes [1] 19

24 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Lineare Filter für spezielle Anwendungen Lineare Filter werden nicht nur zur Rauschunterdrückung und Glättung des Bildes, sondern auch für spezielle Anwendungen, wie z.b. die Kantendetektion, eingesetzt. Auf diese Weise können die Grenzen von Organen oder auch Tumoren in medizinischen Bildern gefunden werden. Im Folgenden werden einige typische lineare Filter zur Kantendetektion kurz vorgestellt. Da die Kantendetektion im Rahmen dieses Seminar ein eigenes Thema ist, wird hier nicht im Details auf die dahinterstehenden Konzepte eingegangen, die Filter werden nur anhand deren Masken erläutert Differenzfilter Eine Kantenrichtung in einem Bild kann man dadurch charakterisieren, dass eine Differentiation senkrecht zur Kantenrichtung einen maximalen Wert hat. Als diskrete Analogie zur Differentation stehen uns Differenzen zur Verfügung. So imitieren die Operatoren f(k, l) f(k 1, l) bzw. f(k, l) f(k, l 1) eine partielle Abbildung in x bzw. y Richtung [5]. Für die beiden orthogonalen Hauptrichtungen werden folgende Filtermasken verwendet: O x = bzw. O y = Das folgende Beispiel verdeutlicht die Funktionsweise der Maske O x. O y würde eine solche Kante nicht erkennen = Prewitt-Filter Eingangsbild Ausgangsbild nach O x Der Prewitt-Filter ermöglicht neben der Kantendetektion auch eine Rauschunterdrückung. Die Filtermasken dazu lauten: P x = bzw. P y = Eine Kombination der Operationen P x und P y ergibt den kombinierten Prewitt-Operator P = max{ P x, P y }. 20

25 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Sobel-Filter Hier wird die Differentation mit dem Gauß-Filter kombiniert. Neben den orthogonalen Masken S x und S Y gibt es auch die Richtungsvarianten S / und S : S x = bzw. S y = sowie S / = bzw. S = Auch hier gibt es den kombinierten Operator S = max{ S x, S y, S /, S }. Abbildung 3.9 zeigt das Ergebnis einer MR-Aufnahme (links) nach der Anwendung eines Differenzfilters (Mitte) und nach Anwendung des kombinierten Sobel-Filters (rechts). Durch die Anwendung des Sobeloperators werden nicht nur die Kanten hervorgehoben, das Bild wird zudem noch geglättet. Dagegen ist bei der Anwendung des Differenzfilters ist das Ergebnis etwas verrauscht. Abbildung 3.9: Kantendetektion durch lineare Filter [3] 21

26 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Nichtlineare Filter Die linearen Filter können durch ihre glättende Wirkung auch zum Verschwinden der Kanten und Verschmieren des Bildes führen, damit auch in gewisser Weise zu einem Informationsverlust. Oft ist es aber erforderlich Kanten und Ecken besser zu erkennen. Nichtlineare Filter lassen die Kanten nicht verschwinden. Im Gegensatz zu den linearen Filter, die mathematisch leicht zu beschreiben sind, sind nichtlineare Nachbarschaftsoperationen im Allgemeinen mathematisch schwierig zu analysieren und algorithmisch aufwändiger. Nichtlinieare Filter können sehr leistungsfähig sein und sind für spezielle Probleme wie die Bildverbesserung und Restauration besser anwendbar. Im Folgenden werden einige in der medizinischen Bldverarbeitung oft verwendete nichtlineare Filter näher erläutert Rangordnungsfilter Bei den sog. Rangornungsfilter werden die Grauwerte aller Punkte unter der Filtermaske der Größe nach sortiert. Dann wird dem Ergebnispixel ein Grauwert dieser Randordnung zugeordnet. In der Abbildung 3.10 wird anhand eines Beispiels die Funktionsweise des Maximum-, Minimum und Median-Filters verdeutlicht. Der Maximum-Filter Dem Ergebnispixel wird hier der größte Grauwert in der Rangordnung zugeordnet (Abbildung 3.10 links). Dadurch wird das gesamte Bild heller. Der Minimum-Filter Im Gegenteil zum Maximumfilter wird hier das Ergebnispixel den minimalen Grauwert in der Rangordnung erhalten (Abbildung 3.10 Mitte). Das gesamte Ausgangsbild wird dadurch dunkler. Der Median-Filter Bei dieser Filterung wird dem Ergebnispixel der Grauwert in der mittleren Position (Median) der Rangordnung zugeordnet. Bei einer Maske mit k = n n Felder wird dem Ergebnispixel der Grauwert des Bildpunktes an der Position (k + 1)/2 der Rangordnung (Abbildung 3.10 rechts). Der Median-Filter unterdrückt das Rauschen, die Kantenschärfe leidet aber kaum. In der Abbildung 3.11 ist ein MR-Bild vor der Filterung (erstes von links) und nach der Filterung mit dem Mittelwertfilter, Gauß-Filter und Median-Filter dargestellt. Das mit dem Mittelwert-Filter gefilterte Bild ist etwas verschmiert und die Kanten sind nicht deutlich zu erkennen. Der Grauß-Filter erzeugt ein etwas 22

27 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER Abbildung 3.10: Rangordnungsfilter besseres Bild, während bei dem mit dem Median-Filter gefilterten Bild die Kanten weitgehend erhalten bleiben. Abbildung 3.11: (von links nach rechts) MR-Bild vor (erstes Bild links) und nach der Glättung mit dem Mittelwert-, Gauß-, und Median-Filter [3] Sigma-Filter Bei einer Filterung mit dem Sigma-Filter wird dem Ergebnispixel der Mittelwert der Nachbarschaft zugeordnet. Im Unterschied zu dem Mittelwertfilter gehen hier in die Berechnung des Mittelwerts nur die Grauwerte jener Nachbarpunkte, deren Grauwerte von dem Grauwert des betrachten Bildpunktes nicht zu sehr abweichen. Zuerst wird in der von der Maskengröße definierten Nachbarschaft die Grauwertstandardabweichung σ berechnet: 23

28 KAPITEL 3. BILDOPERATIONEN 3.2. FILTER σ(x) = N 1 i=0 [f i(x) f(x)] 2 wobei N die Anzahl der Nachbarbildpunkte, f i (x) der Grauwert des Nachbarpunktes i und f(x) der Grauwert des zu betrachtenden Bildpunktes ist. Dann wird die absolute Differenz jedes Nachbarpunktes von dem zu betrachtenden Bildpunkt f i (x) f(x) berechnet. So kann man von der Berechnung des Mittelwertes, solche Nachbarbildpunkte ausschließen deren absolute Differenz eine bestimmte Grenze überschreitet (z.b 2 σ). In der Abbildung 3.12 ist ein Beispiel zum Sigma-Filter dargestellt. N Abbildung 3.12: Sigma Filterung. Originalbild (links) und σ = 25 (rechts) [8] Der Sigma-Filter hat nicht nur ein glättende Wirkung, sondern ist auch kantenbewahrend. 24

29 Kapitel 4 Zusammenfassung Im Rahmen dieser Seminararbeit wurde ein erster Überblick über große Themen wie die Interpolation, Kontrastverbesserung durch Histogrammäqualisation und Stretching der Grauwerte und Rauschunterdrückung und Glättung medizinischer Bilder gegeben. Die Interpolation ist für viele Bildverarbeitungsprozesse nötig. Daher ist es sehr wichtig die Grauwertefehlerrate, die durch Interpolation zustande kommt, zu reduzieren. In letzter Zeit wird zunehmend an morphologisch und Fourier basierten Interpolationverfahren geforscht. Für medizinische Anwendungen werden, trotz dieser neuesten Verfahren, meistens die in Abschnitt 2.1 vorgestellten Interpolationsverfahren, besonders die Interpolation mit kubischen B-Splines, verwendet. Diese Verfahren sind im Vergleich zu morphologisch und Fourier basierten Interpolationsverfahren einfacher zu implementieren und weniger rechenzeitaufwändig, daher für die Praxis und Echtzeitanwendungen zu bevorzugen. Durch eine Verbesserung des Kontrastes, die Unterdrückung des Rauschens und Glättung der Bilder mit den im Rahmen dieser Seminararbeit vorgestellten Filter wird die Qualität medizinischer Daten erheblich verbessert. Eine bessere Bildqualität ermöglicht nicht nur eine bessere Diagnostik, bessere Therapie und Verlaufskontrolle, sondern auch die Reduzierung der Strahlendosis und der Menge des verabreichten Kontrastmittels. 25

30 Literaturverzeichnis [1] Dirk Bartz. Bildaufbereitung und Computer Graphik für die Medizin - Vorlesung. Universität Tübingen. [2] Olaf Doessel. Bildgebende Verfahren in der Medizin. Springer Verlag, [3] Heinz Handels. Medizinische Bildverarbeitung. B.G.Teubner Stuttgart-Leipzig, [4] W. Hillen. Medical Informatics - Vorlesung. Fachhochschule Aachen. [5] Thomas Lehmann, Walter Oberschelp, Erich Pelikan, and Rudolf Repges. Bildverarbeitung für die Medizin. Springer Verlag, [6] Thomas M. Lehmann, Claudia Gönner, and Spitzer Klaus. Survey: Interpolation Methods in Medical Image Processing. In IEEE Transaction on Medical Imaging, volume 18, pages , November [7] Thomas M. Lehmann, Claudia Gönner, and Spitzer Klaus. Addendum: B-Spline Interpolation in Medical Image Processing. In IEEE Transaction on Medical Imaging, volume 20, pages , July [8] Gabriele Lohmann. Volumetric Image Analysis. Wiley and Teubner, [9] Erik H. W. Meijering. Spline Interpolation in Medical Imaging: Comparison With Other Convolution- Based Approches. In SignalProcessing X: Theories ans Applications-Proceedings of EUSIPCO 2000, volume IV, pages , [10] Gerhard Opfer. Numerische Mathematik für Anfänger. Vieweg Verlag, 4 edition, [11] Wikimedia Foundation Inc. Faltung (Mathematik). [12] Wikimedia Foundation Inc. Nyquist-Shannon Abtasttheorem. 26

31 Erklärung Ich versichere, daß ich die Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benutzung anderer als der angegebenen Quellen angefertigt habe und daß die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen hat und von dieser als Teil einer Prüfungsleistung angenommen wurde. Alle Ausführungen, die wörtlich oder sinngemäß übernommen wurden, sind als solche gekennzeichnet. Ich bin damit einverstanden, daß die Arbeit veröffentlicht wird und daß in wissenschaftlichen Veröffentlichungen auf sie Bezug genommen wird. Das ausschließliche Nutzungsrecht an dieser Arbeit, sowie an den, im Zusammenhang mit ihr erstellten Programmen, liegt bei der Universität Stuttgart, vertreten durch die Abteilung für Visualisierung und Interaktive Systeme. Stuttgart, den 24. Mai 2004 (Enkelejda Tafaj)