Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung

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1 Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung Hochschule Niederrhein Fourier-Transformation Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 1 Einordnung in die Inhalte der Vorlesung Einführung mathematische und allgemeine Grundlagen Hardware für Graphik und Bildverarbeitung Graphische Grundalgorithmen (Zeichnen graphischer Primitive, Methoden für Antialaising, Füllalgorithmen) Bildaufnahme (Koordinatensysteme, Transformation) Durchführung der Bildverarbeitung und -analyse Fourier-Transformation Bildrestauration Bildverbesserung (Grauwertmodifikation, Filterverfahren) Segmentierung Morphologische Operationen Merkmalsermittlung und Klassifikation Erzeugung von Bildern in der Computergraphik Geometrierepräsentationen Clipping in 2D und 3D Hidden Surface Removal Beleuchtungsberechnung Shading Schattenberechnung Volumenrendering als Beispiel für die Nutzung beider Gebiete Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 2

2 Wiederholung wichtiger Begriffe Homogene Koordinaten Transformationen Projektion Abtastung Deterministische Veränderungen bei der Bildaufnahme Stochastische Veränderungen bei der Bildaufnahme Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 3 8. Fouriertransformation Fouriertransformation: Beschreibung einer beliebige Funktion als Summe von gewichteten periodischen Funktionen (Basisfunktionen) mit unterschiedlicher Frequenz (Frequenzraumrepräsentation). Anwendungen Beschreibung des Informationsverlusts bei Digitalisierung Restauration von linearen Störungen Rekonstruktion von Bildern aus Projektionen Schnelle Filterung Transformation muss invertierbar sein Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 4

3 8.1 Basisfunktionen Bilder können als zweidimensionale Funktion f(m,n) aufgefasst werden. Jede Funktion kann als Summe von N gewichteten Basisfunktionen b u aufgefasst werden: N 1 f n = w b n u= 0 ( ) ( ) Die Wichtungen w u bilden eine neue Funktion w(u), die f(n) zusammen mit den Basisfunktionen genau beschreibt. Die Auswirkung von Veränderungen auf die Wichtungen (z.b. Filterung) hängen von den Basisfunktionen ab. u Die Fouriertransformation ist die Transformation von einer Ortsbasis in eine Frequenzbasis. u Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Ortsbasisfunktion Ein Bild kann durch Summation gewichteter Basisfunktionen repräsentiert werden. Funktionen und ihre Basis können wie Vektoren und ihre Basis aufgefaßt werden! d.h.: Eine Funktion einer gegebenen Dimension wird durch jede beliebige, orthogonale Basis dieser Dimension eindeutig repräsentiert. Bild E(i,j) Basisfunktionen Wichtung = b(i,j) X X X X X X X X w n E = w n bn Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 6

4 8.1.2 Frequenzbasis 255 Bildzeile Grauwert Repräsentation eines Bildes durch eine Summe (ein Integral) von gewichteten, periodischen Funktionen. Eine Operation zur Generierung einer solchen Repräsentation heißt Fouriertransformation = x Frequenz 3T Frequenz 2T Warum? Manche Operationen (Filterung und inverse Filterung, Rekonstruktion aus Projektionen,...) sind einfacher auszuführen. Frequenz 1T := 1T 2T 3T Frequenz Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 7 Ein erstes Beispiel Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 8

5 Ein erstes Beispiel Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 9 Ein erstes Beispiel...= Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 10

6 8.2 Invertierbarkeit Die Transformation ist invertierbar, wenn die Basisfunktionen eine orthogonale Basis bilden. Was ist Orthogonalität für Funktionen? Wann bilden Basisfunktionen eine orthogonale Basis? Transformation: Projektion der Funktion auf die neue Basis. Inverse Transformation: Projektion auf die alte Basis. Orthogonalität, Projektion, Transformation etc. sind Begriffe aus der Vektoralgebra und können auch für Funktionen genutzt werden. Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Bildzeile (ziemlich kurz): entspricht ( 30, 211) Repräsentation der Bildzeile (der Bildfunktion) 8.3 Orthogonalität d.h., (30, 211) = 30*(1,0) 211*(0,1) Vektoren der orthogonalen Basis Orthogonalität von zwei Vektoren (Funktionen) a und b: Bsp. Rotation: a = a cos α sin α -sin α cos α Skalarprodukt <a,b>=0, d.h., Σ aibi = 0 Abbildung F eines Vektors (einer Funktion) a auf eine orthogonale Basis: F (a) = ab, mit B als Matrix der Basisvektoren Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 12

7 Orthogonale periodische Funktionen Basis: (1, 1) (1, -1) (30,211) Transformation: Anmerkungen: (30,211) * 1 1 = (241, -181) 1-1 Rücktransformation: T (241,-181) * 1 1 = (60, 422) 1-1 Das Resultat der Rücktransformation muß skaliert werden, weil die Basis nicht normiert ist. Es gibt immer so viele Basisfunktionen, wie der Definitionsbereich der diskreten Funktion Werte hat. Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 13 Größere Funktionen Sinuskurven: (1, 1, 1, 1) (1, 0, -1, 0) (0, 0, 0, 0) (-1, 0, 1, 0) Cosinuskurven: (1, 1, 1, 1) (0, -1, 0, 1) (-1, 1, -1, 1) (0, -1, 0, 1) Weder Sinus- noch Cosinusfunktionen bilden eine orthogonale Basis Aber: Komplexe Basisfunktionen cos(x)i sin(x) bilden eine Basis! (Anmerkung: Skalarprodukt für komplexe Vektoren <a,b> = Σ a i b i * ) Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 14

8 Komplexe, periodische Funktionen Imaginärteil e ix 1.0 Realteil cos(x) sin(x) e ix =cos(x)i*sin(x) Repräsentation einer Phasenverschiebung: cos(xα)isin(xα) = e i[xα] = e ix e iα Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Basisfunktionen für die (eindimensionale) Fourier-Transformation Bildfunktion: f(m), m=0,255; N=256 also: 256 Basisfunktionen B(u) = e i 2π/N m u, mit Frequenzen u=0,n-1 z.b. B(0) = [ (1,1), (1,1),..., (1,1) ] Transformation : F = f B N 1 mu F( u) = f ( m) exp( 2πi ) m = 0 N Rücktransformation : f = F B T N 1 1 mu f ( m) = F( u) exp(2πi ) N u = 0 N, für alle u=0,n-1, für alle m=0,n-1 Skalierungsfaktor, weil die Basisfunktionen nicht normiert sind. Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 16

9 Fourier-Basisfunktionen für N=16 Wellenzahl Cosinus -Komponenten Sinus -Komponenten Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Phase und Das Resultat der Fouriertransformation erzeugt eine komplexe Funktion F(u). Der Betrag eines Funktionswerts ist die und der Winkel zur reellen Achse ist die Phase zur Gewichtung der betreffenden Basisfunktion Re Frequenzraum f(m) Im Phasenwinkel u Phase m Ortsraum Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 18

10 8.6 Zweidimensionale Fourier-Transformation F( u, v) = f ( m, n) = M 1 N 1 m= 0 n= 0 1 MN f mu ( m, n)exp 2πi M M 1 N 1 u= 0 v= 0 F( u, v)exp 2πi mu M nv N nv N Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 19 Zweidimensionale Basisfunktionen Die Basisfunktionen der Fouriertransformation sind zerlegbar. F(u,v) v Zweidimensionale Basisfunktionen der Fouriertransformation sind daher Wellen der Form: exp(i2π/nmu)exp(i2π/nnv) = exp(i2π/n(munv)) u Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 20

11 Bild f(m,n) Jähne, Digitale Bildverarbeitung = 1 MN M 1N 1 u= 0 v= 0 F ( u, v) e um vn i2π M N Zweidimensionale Fourier-Transformation... X = F(4,0) Beispiel einer Basisfunktion: Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Darstellung der original Spektrum zentriert logarithmiertes Spektrum logarithmiertes Spektrum, zentriert Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 22

12 Beispiele für Bilder im Orts- und Frequenzraum Block im Ortsbereich Spektrum () im Frequenzbereich Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 23 Beispiele für Bilder im Ortsund Frequenzraum Phase Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 24

13 8.8 Einfluss der Phaseninformation Rekonstruktion aus allein Phase von normalverteiltem Rauschen Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Mittelwert der Funktion F(0,0) = 1/N2 Σ Σ f(m,n) exp(- i 2π (0m0n)/N) = 1/N2 Σ = favg Σ f(m,n) exp(0) abs(f (f)) F -1 F(0,0) = (123.5, 0.0) Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 26

14 Eigenschaften der Fourier-Transformation Linearität B 1 (x,y) F 1 (u,v) B 1 (x,y)b 2 (x,y) F 1 (u,v)f 2 (u,v) B 2 (x,y) F 2 (u,v) Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 27 Eigenschaften der Fourier-Transformation Verschiebung Translation verursacht die Verschiebung der Phase, aber keine Änderung des Spektrums. Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 28

15 Beispiel - Translation Translation um ( m, n) führt zu einer Phasenverschiebung F (u,v) = F(u,v) exp[-i 2π/N (u mv n)] Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 29 Eigenschaften der Fourier-Transformation Ähnlichkeit Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 30

16 Eigenschaften der Fourier-Transformation Rotation F(u,v) wird in gleicher Weise rotiert wie f(m,n). Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 31 Separabilität Die Fouriertransformation ist separabel, d.h., sie kann zunächst in M-Richtung und anschließend auf diesen Zwischenergebnissen in N-Richtung ausgeführt werden. F(u,v) = 1/N 2 Σ n Σ m f(m,n)exp(- i2π(umvn)/n) = 1/N 2 Σ n Σ m f(m,n)exp(- i2πum/n)exp(-i2πvn/n) = 1/N 2 Σ n [Σ m f(m,n)exp(- i2πum/n)]exp(-i2πvn/n) = 1/N 2 Σ n F u (m,n)exp(-i2πvn/n) kann aus der inneren Summe ausgeklammert werden m n f(m,n) F (u,n) u F(u,v) Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 32

17 8.10 Filterung Was geschieht, wenn ich nur einen Teil der Werte im Frequenzbereich nutze? F (u,v) = F(u,v), wenn SQRT(u 2 v 2 ) < 16 0, sonst Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Tiefpassfilter Kompressionsfaktor: ca. 1:81 F (u,v) = F(u,v), wenn SQRT(u 2 v 2 ) < 32 0, sonst Ringing -Artefakt Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 34

18 Tiefpassfilter Kompressionsfaktor: ca. 1:9 F (u,v) = F(u,v), wenn SQRT(u 2 v 2 ) < 100 0, sonst Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Hochpassfilter F (u,v) = F(u,v), wenn SQRT(u 2 v 2 ) > 32 0, sonst Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 36

19 Rauschen Weisses Rauschen (gleichverteilt mit Mittelwert 0) enthält gleichverteilt alle Frequenzen mit durchschnittlich gleicher. -> Rauschunterdrückung = Unterdrückung der hohen Frequenzanteile Signal Rauschen Frequenz Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 37 Filterung im Frequenzraum Funktion F Signal Rauschen Frequenz Frequenz G(u,v) = F(u,v) H(u,v) mit F(u,v) H(u,v) G(u,v) - Originalfunktion - Filterfunktion - Filterungsresultat Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 38

20 Filterung mit Richtungsfiltern Ortsbereich Frequenzbereich Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation Zusammenhang zwischen Ortsbereich und Frequenzbereich Originalbild S(x,y) FT Fourier-transformiertes Bild F(u,v) Faltung mit der Maske S(x,y)*M(x,y) M M FT FT -1 H H Multiplikation mit der Filterfunktion F(u,v) H(u,v) Ergebnis der Filterung S (x,y) FT -1 Gefilterte Fouriertransformierte G(u,v) Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 40

21 Transformation zwischen Basen Zusammenfassung Invertierbarkeit von Transformationen Basisfunktionen der Fourier-Transformation Bedeutung von Frequenz,, Phase und Wellenrichtung Darstellung der Fouriertransformierten Nutzung der Eigenschaften der Fouriertransformation im Bereich der Merkmalsermittlung Filterung im Frequenzraum Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 41