Inhaltsverzeichnis. Einteilung von Quadraten in Quadrate. Das (3n + 1) Verfahren. Die Neandertalersprache. Schwarz oder weiß? Liebe MadMax Freunde,

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1 zeitung für mathematik am mpg trier / heft 31 / januar 2013

2 Inhaltsverzeichnis Seite Einteilung von Quadraten in Quadrate Das (3n + 1) Verfahren Die Neandertalersprache Schwarz oder weiß? Ben Sassenberg und Till Weber David Herres, Maximilian Kiefer und Gerrit Weist Tim de Boer, Thiviyoun Subaskaran und Pascal Trapp Zoe Harder und Moritz Ditter Liebe MadMax Freunde, seit den Sommerferien arbeiten wir in der MadMax-AG an neuen mathematischen Problemen. Einen Teil unserer Ergebnisse stellen wir euch in diesem Heft vor. Mit ausführlicheren Arbeiten haben wir auch am Wettbewerb Schüler experimentieren teilgenommen und der Beitrag von Zoe Harder und Moritz Ditter hat im Regionalwettbewerb in Bitburg den ersten Preis erhalten. Viel Spaß mit unserem Heft wünscht Euch Euer MadMax Team 2

3 Einteilung von Quadraten in Quadrate 1. Einleitung Wir haben uns mit der Frage beschäftigt, in wie viele Quadrate man ein Quadrat einteilen kann. Zum Beispiel geht es ganz einfach in vier Quadrate: In den folgenden Beispielen sind es 31 bzw. 58 Quadrate: Insbesondere wollten wir wissen, ob man ein Quadrat in jede beliebige Anzahl 1, 2, 3, 4,... von Quadraten einteilen kann. 3

4 2. Systematische Untersuchung In ein Quadrat einteilen ist einfach, weil man nichts machen muss. In zwei Quadrate geht nicht, weil man dann zwei Rechtecke bekommt, die keine Quadrate sind: Drei Quadrate kann man nur zu einem Rechteck zusammensetzen, das aber kein Quadrat ist: Dass man in vier Quadrate einteilen kann, haben wir im ersten Beispiel schon gezeichnet. Richtig spannend wurde es dann bei 5 Quadraten. Obwohl wir lange gesucht haben, haben wir nichts gefunden. Aber die folgende Reihe von Bildern hat uns geholfen, für ganz viele Zahlen Einteilungen zu finden: 4

5 Man kann also Einteilungen finden für 1, 4, 7, 10,... Quadrate usw.. Immer wenn man ein Quadrat in vier kleinere einteilt, geht dieses Quadrat verloren und man bekommt vier kleinere. Insgesamt hat man also immer 3 mehr. Hier haben wir ein Beispiel das bei sechs Quadraten anfängt: 5

6 Hier haben wir ein Beispiel mit 8 Quadraten. Wenn man dieses Beispiel weiterführt, sieht dies so aus: 6

7 Wir haben also herausgefunden, dass wir mit 4, 6, 8 Quadraten starten kann und dass man systematisch vorgehen kann, wenn man immer plus drei Quadrate rechnet. Also können wir jetzt folgende Anzahlen zeichnen: 1.) 1, 4, 7, 10, 13,... 2.) 6, 9, 12, 15,... 3.) 8, 11, 14, 17,... Also kann man ein Quadrat in fast alle Zahlen von Quadraten einteilen. Ausnahmen: 2, 3 und 5 3. Jetzt zählen wir alles Nun allerdings wollen wir alle Quadrate zählen. Da es etwas unverständlich ist, was wir wollen, haben wir ein Beispiel: Anstatt nur alle leeren Quadrate zu zählen, zählen wir nun auch die versteckten Quadrate mit. In diesem Beispiel also auch das große Quadrat und dann sind es also fünf. 7

8 Hier gibt es wieder ein Verfahren, das wir an dem nächsten Beispiel erklären: Zu allererst zählen wir das äußere Quadrat: 1 Dann zählen wir die etwas kleineren Quadrate die jeweils 4 kleine Quadrate beinhalten. Das sind hier in dem Beispiel 4. Danach zählen wir die ganz kleinen Quadrate von denen es hier 9 Stück gibt. Das heißt, das dieses Quadrat nicht aus neun Quadraten besteht sondern aus = 14 Wenn man ein 4 x 4 Quadrat hat, dann sind noch mehr Quadrate versteckt: 8

9 Hier ist es genauso, nur dass es hier mehr Quadrate gibt. 4 mal 4 Quadrate : 1 3 mal 3 Quadrate : 4 (grün) 2 mal 2 Quadrate : 9 (rot) 1 mal 1 Quadrate :16 Alle Quadrate zusammen : 30 Was uns hier aber auffällt ist, dass es immer nur Quadratzahlen sind ( 1, 4, 9,16...). Das heißt man muss immer nur die äußerste Reihe von Quadraten zählen, sie mit sich selbst multiplizieren und dann hat man die Anzahl der kleinen Quadrate (z.b. 13 *13 =169). Von den nächst größeren Quadraten gibt es dann 12 in einer Reihe und es gibt 12 in einer Spalte 4. Welche Zahlen sind möglich, wenn man alle Quadrate zählt? Wenn man nun alle Quadrate zählt, kann man auch Quadrate mit 5 Quadraten machen. Aber man kann immer noch nicht Quadrate mit 2 oder 3 Quadrate machen. Dabei kann man aber andere Quadrate nicht machen, wie zum Beispiel 4 Quadrate 9

10 Bei dem Beispiel hier kriegt man immer +4 Quadrate. Wir können ein Quadrat also einteilen in 1, 5, 9, 13,... Quadrate usw. Jetzt wollen wir gucken, was passiert, wenn man mit 7 Quadraten anfängt. Die Reihe ist nun also :7,11,15,19 hier muss man aber aufpassen,wenn man dass Quadrat rechts oben einteilt hat man ein 3 mal 3 Quadrat dass wie wir wissen 14 Quadrate besitzt. Dass heißt dass nur wenn man die kleinen Quadrate einteilt 4 neue Quadrate erhält. Da man normaler 5. Einteilung in Dreiecke Das ganze kann man auch mit Dreiecken machen. Hier kann man jeweils in die Mitte ein weiteres Dreieck setzen usw. Bis zum Wettbewerb wollen wir die Dreiecke noch weiter untersuchen. 10

11 Das (3n+1) Verfahren 1. Was ist das (3n+1)-Verfahren? Das (3n+1)-Verfahren ist ein Verfahren, bei dem man mit verschiedenen Zahlen eine Folge bildet: Beispiel: 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Wie kommt man zu dieser Folge? Man startet mit einer beliebigen Zahl, dann teilt man diese durch 2. Wenn dieses nicht möglich ist, multipliziert man die Zahl mit 3 und addiert 1. Weitere Beispiele: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20,10,5,16,8,4,2,1. Wie man sieht, gelangen wir bei allen drei Folgen zur 1. Die Wissenschaftler sind bei ihren Forschungen auch immer auf der 1 gelandet. Aber wir können das nicht beweisen, ebenso wenig wie die Wissenschaftler selbst. Bei den Zahlen 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. ist klar, dass man bei 1 landet, weil diese Zahlen immer wieder durch 2 teilbar sind. Es sind Zweierpotenzen: 32=2*2*2*2*2 = (2 5 ). 11

12 2. Wir untersuchen andere Verfahren 2.1 Das (3n-1)-Verfahren Dieses Verfahren geht genauso wie das (3n+1)- Verfahren, nur dass man 1 subtrahiert, wenn man nicht durch 2 teilen kann. Beispiele: 28,14,7,20,10,5,14,7,20, Hier bekommt man einen Kreis mit den Zahlen 7, 20, 10, 5 und , 8, 4, 2, 1 Hier geht es bis zur 1, wie beim (3n+1)- Verfahren Das untersuchen wir systematisch: 3, 8, 4, 2, 1 4, 2, 1 5, 14, 7, 20, 10, 5, 14, 7, 20 6, 3, 8, 4, 2, 1 7,20, 10, 5, 14, 7 8, 4, 2, 1 9, 26, 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 10, 5, 14 12

13 10, 5, 14, 7, 20, 10, 5, 14 11, 32, 16, 8, 4, 2,1 12, 6, 3, 8, 4, 2, 1 13, 38, 19, 56, 28, 14, 7, 20, 14, 7, 20, 10, 5, 14, 7, 20, 10, 5 17, 50, 25, 74, 37, 148, 74, 37, 148, 15, 44, 22, 11, 32, 16, 8, 4, 2, 1 Beobachtungen: Wenn man auf einer Zweierpotenz landet, dann teilt man sie durch 2, solange bis man bei der 1 ankommt. Beim (3n-1)- Verfahren gibt es immer wieder solche Kreise wie 14, 7, 20, 10, 5, 14 oder 74, 37, 148, 74 Schlüsselzahlen, nach denen man im Kreis mit der 7 landet : 28, 56, 112, Schlüsselzahlen, nach denen man im Kreis mit der 74 landet : 25, 50, 100, 200, Bisher haben wir nur zwei Kreise gefunden, aber wir versuchen bis zum Wettbewerb noch mehrere Kreise zu finden. 13

14 2.2 Das (2n+1)-Verfahren und das (2n-1)-Verfahren Beim (2n -1)- Verfahren werden die Zahlen immer größer, wenn man nicht mit einer Zweierpotenz anfängt. Beispiele: 5,9,17,33,65,139,277, 7,13,25,49,97,193,385, 12,6, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, Genauso ist es beim (2n+1)- Verfahren, wie die folgenden Beispiele zeigen: 5, 11, 23, 47,. 12, 6, 3, 7, 15, 31, Das Problem ist, wenn man zu einer ungeraden Zahl kommt und sie mit zwei multipliziert, wird sie gerade, wenn man auf sie dann wieder eins addiert oder von ihr subtrahiert, dann wird sie ungerade. Dasselbe passiert, wenn man n mit einer anderen geraden Zahl multipliziert. 14

15 Die Neandertaler Sprache 1. Einleitung Die Neandertaler Sprache ist ein System mit den Buchstaben A und U. Wenn man aus einem Wort die nacheinander folgenden Buchstaben UA wegstreicht, ändert sich die Bedeutung des Wortes nicht. Wenn man AU zu AAUU macht, ändert sich die Bedeutung des Wortes auch nicht. Ist deshalb zum Beispiel AAU = UAA? Hier wird es getestet: AAU = AAAUU = AAAAUUU =... Das Wort AAU lässt sich nur verlängern, also kommt man nicht zu UAA. Aber kommt man von UAA zu AAU? UAA = A Das Wort UAA lässt sich nur einmal kürzer machen. Also ist UUA nicht gleich wie AAU. Woran liegt das? Dafür wollen wir die Neandertaler Sprache in unserer Arbeit genauer untersuchen. 2. Wir lernen die Sprache besser kennen Zuerst versuchen wir kurze Wörter zu verlängern: AU = AAUU = AAAUUU =... 15

16 Es geht nicht kürzer, weil man AU nicht abziehen kann, sondern man kann es nur verlängern und zwar in der Mitte. UAU = UAAUU = UAAAUUU =... UAAA =AA kann man nicht verlängern sondern nur verkürzen. AUAAA = AAUUAAA = AAAUUUAAA=... AUAU=AAUUAU=AAUUAAUU=AAUAUU=AAUAAUU=.. Wir haben folgendes festgestellt: Man kann Wörter nur beliebig verlängern, wenn mindestens ein AU drin vorkommt. Jetzt machen wir lange Wörter kürzer: UUAUUAAAAUU = UUAAAUU = UAAUU = AUU AUUUAAUAUAA = AUUAA = AUA = A UUAAAUUAA = UUAAAUA = UUAAA = UAA = A UAUUAA = UAUA = UA = (verschwindet) AAUUAUUAAAUU=AAUUAAUU=AAUU UUUAAAUUAA = UUAAUUAA = UAUUAA = UUAA = UA = (verschwindet) UUAUAUA=UUAUA=UUA = U 16

17 Wir haben folgendes festgestellt: - manche Wörter verschwinden ganz - manche enden bei A manche bei U Weitere Beispiele UUAAAAAUUU = UAAAAUU =AAAUU = AAAAUUU =... UUUAA = UUA = U 3. Manche Wörter verschwinden Unsere Theorie ist, dass wenn an vorderster Stelle ein A ist, dann kann man nicht mehr zu keinem Buchstaben gelangen, weil vor dem A kein U mehr ist um das A verschwinden zu lassen. Also kann ein Wort nur verschwinden, wenn es mit einem U anfängt. Warum verschwindet aber UUAAAUUAUA nicht? Es kann nicht verschwinden, weil hinten nicht genug und vorne zu viele A s stehen. Vorne kann zweimal UA verschwinden und hinten kann auch zweimal UA verschwinden. Dadurch bleibt nur noch AU übrig. Dann kann das Wort nur noch verlängert werden. Das haben wir etwas genauer untersucht und gefragt: Welche Bedingungen muss ein Wort erfüllen, damit es verschwinden kann? 17

18 1. Es darf kein A vorne stehen und hinten darf kein U sein. 2. Es müssen gleich viele U im Wort sein wie A, weil dann genug U da sind um die A verschwinden zu lassen. 3. Am besten ist zum Beispiel: UUUUAAAA. 4. Wenn sie gemischt sind, dann ist zum Beispiel: UAUAUA am besten. 5. Wenn die Punkte 4. und 3. gemischt sind, dann kann man die Teile von Punkt 4 zu erst weg machen und dann bleibt ein Wort wie in Punkt 3 übrig, z.b. UUUA(UAUA)AA(UAUAUA) 4. Wann haben zwei Wörter die gleiche Bedeutung? Wenn das eine Wort aus dem anderen Wort entsteht, dann haben zwei Wörter die gleiche Bedeutung. Deshalb hat UUUAAAUUAAUUA auch die gleiche Bedeutung wie UUAAUUAAUUA, denn: UUUAAAUUAAUUA = UUAAUUAAUUA = UAUUAAUUA = UUAAUUA = UAUUA = UUA = U und UUAUAUAAU = UUAUAAU = UUAAU = UUA = U Bei beiden Wörtern ist jeweils ein U mehr da als ein A. Das ist auch in dem folgenden Beispiel so: UAUAUAAU hat die gleiche Bedeutung wie UUAUAAU. Wenn ein U mehr als ein A da ist, sind die Wörter dann immer gleich oder nicht? Gibt es zusätzliche Bedingungen? 18

19 AUUUAAAUU=AUUAAUU=AUU=AAUUU AAUUUAAUU=AAUUAUU=AAUUU Die Wörter haben die gleiche Bedeutung. AAAAUUUUU=AAAAAUUUUUU=... UUUUUAAAA=U Diese Wörter haben nicht die gleiche Bedeutung, weil die Bedingung ist, dass vor einem A gleich viele U stehen oder vor einem U gleich viele A stehen müssen. Können Wörter nur dann gleich sein, wenn sie beide ein U mehr haben als ein A? Oder kann es auch anders sein? UAUUUA =UU UAUAUAUUUAUA=UU Es müssen immer gleich viele U mehr da sein als ein A oder umgekehrt (also müssen die Differenzen der Anzahl der A und U immer gleich sein ). 5. Was wir erreicht haben Wir haben erreicht, dass wir jetzt die Neandertaler Sprache besser verstehen können. Wir haben gelernt, dass andere Wörter oft das gleiche bedeuten und dass ein paar Wörter auch verschwinden, doch nur wenn vorne kein A steht sondern ein U. 19

20 Schwarz oder weiß? 1. Worum geht es? Bei unserem Thema arbeiten wir mit Go-Steinen. Die Go-Steine sind wie Damesteine oder Mühlesteine entweder schwarz oder weiß. Wir legen zuerst 100 weiße Steine in eine Reihe. In der zweiten Runde tauschen wir jeden zweiten Stein um. Die dritte Runde wird so verlaufen, dass wir jeden dritten Stein umtauschen und das geht so lange weiter bis in der 100. Runde nur noch der letzte Stein umgetauscht wird. Wir wollen wissen, welche Steine am Ende schwarz sind und welche weiß. In der ersten Runde sind alle Steine weiß: Die zweite Runde wird so aussehen: Die 3. Runde: 2. Welche Steine bleiben weiß? Wir untersuchen jetzt, wie es weiter geht. Die 4. Runde: Die 5. Runde: 20

21 Die 6. Runde: Die 7. Runde: Die 8. Runde: Die 9. Runde: Die 10. Runde: Die 11. Runde: Die 12. Runde: Die 13. Runde: Die 14.Runde: Die 15. Runde: Die 16. Runde. 21

22 Ab der 16.Runde verändern die ersten 16 Steine ihre Farbe nicht mehr. Deshalb sind der erste, der vierte, der neunte und der sechzehnte Stein weiß. Alle Steine außer der erste, der vierte, der neunte und der sechzehnte sind nach der 16. Runde schwarz. Wir haben die Vermutung, dass jeder Stein mit einer Quadratzahl weiß bleibt. Die 17. Runde: Ab der 17.Runde werden alle Steine bis zum vierundzwanzigsten Stein grau umgefärbt. In der 25. Runde wird der 25. Stein weiß und bleibt dann weiß. 25 ist wieder eine Quadratzahl. Alle Steine werden grau außer die Quadratzahlen werden weiß. 3. Warum die Quadratzahlen am Ende weiß bleiben Um diese Frage zu beantworten haben wir uns den 12. Stein angesehen. In der ersten Runde ist er weiß, in der zweiten Runde wird er grau, in der dritten Runde wird er weiß, in der vierten Runde wird er grau, in der sechsten Runde wird er weiß und in der zwölften Runde wird er grau und bleibt es dann. Bei jedem Teiler wird der Stein umgefärbt. Die Teiler von der Zahl 12 sind: T 12 = {1;2;3;4;6;12} Die Zahl 12 hat sechs Teiler davon hat jeder einen Partner: 1 und 12, 2 und 6, 3 und 4 (Wenn Partnerteiler multipliziert werden ergibt das Produkt der 22

23 beiden Teiler immer die Zahl in dessen Teilermenge beide Partnerteiler sind). Ein Stein wird sooft umgedreht wie er Teiler hat. Weil jeder Teiler einen Partner hat, hat 12 eine gerade Anzahl von Teilern. So ist es auch bei jeder anderen Zahl die keine Quadratzahl ist. T 15 = {1;3;5;15} T 13 = {1;13} Bei Quadratzahlen ist das anders: T 16 = {1;2;4;8;16} T 36 = {1;2;3;4;6;9;12;18;36} Die Anzahl der Teiler von T 16 ist ungerade, weil die 4 keinen Partner hat. Sie ist ihr eigener Partner: 4*4 =16.So ist es auch bei T 36. Bei dieser Teilermenge ist die 6 die Zahl die keinen Partnerteiler hat 6*6=36. So ist das für alle Quadratzahlen. Bei n² = n*n ist n sein eigener Partner. 4. Das Arbeiten mit drei Farben Wir probieren dieses System jetzt mit drei Farben aus. In der ersten Runde sind alle Steine weiß: Die 2. Runde würde so aussehen: Das sieht genauso aus wie mit 2 Farben. 23

24 Die 3.Runde: Die 4.Runde: Die 5.Runde: Die 6.Runde: Die 7.Runde: Am Ende sind die Steine grau, die eine Teilermenge mit 2 Zahlen haben. Dies sind die Primzahlen. Grau werden auch die Steine, die eine Teilermenge mit 2 + n*3 Zahlen haben (n*3 sind die Vielfachen von drei). Am Ende sind die Steine weiß, die eine Teilermenge mit einer Zahl haben. Dies es nur die Zahl 1. Weiß werden auch die Steine die eine Teilermenge mit 1 + n*3 Zahlen haben. Rot werden die Steine die eine Teilermenge mit n*3 Zahlen 5. Weitere Ideen Bis jetzt haben wir mit zwei oder drei Farben gearbeitet. Interessant ist es sicher auch mit noch mehr Farben. 24