Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Transkript

1 Kapitel Größen & Messen 2.1 die Größenbereiche in der Grundschule 2.2 der Größenbegriff 2.3 dreimal Handeln: Vergleichen, Rechnen, Messen 2.4 Unterricht mit Größen Maximilian Geier Institut für Mathematik, Landau Universität Koblenz-Landau

2 2.1 die Größenbereiche in der Grundschule

3 eine erste Definition Zu Größen gelangt man ausgehend von realen Gegenständen durch einen Abstraktionsvorgang. Man geht dazu über, gleichwertige Gegenstände (je nach dem Vergleichsaspekt) nicht mehr zu unterscheiden, und spricht dann nur noch von Größen der betreffenden Art (Längen, Gewichten, Volumina usw.). Der Abstraktionsvorgang wird oft als Messvorgang realisiert. Das Ergebnis der Messung ist dann eine Größe, geschrieben mittels Maßzahl und Maßeinheit. (Arnold Kirsch: Mathematik wirklich verstehen, 1987) Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts, Vorgangs oder Zustands. Ihr Größenwert wird als Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit angegeben. 3

4 Basisgrößen des internationalen Einheitensystems (SI) Sachrechnen/Größen WS 14/

5 Präfixe Vielfache oder Teile von Maßeinheiten Sachrechnen/Größen WS 14/15-5

6 Die sechs Größenbereiche in der Grundschule Sachrechnen/Größen WS 14/15- Längen Geldwerte Massen (Gewichte) Zeitspannen Flächeninhalte Rauminhalte/Volumina zwei weitere Größenbereiche in der GS Temperaturen Anzahlen 6

7 Temperatur Kelvin 0 absoluter Nullpunkt 273,16 Trippelpunkt (Wasser) Celsius 0 Gefrierpunkt (Wasser) 100 Siedepunkt (Wasser) Fahrenheit (ursprünglich) alle Temperaturwerte positiv 273,15 K = 0 Celsius auch negative Temperaturwerte Wiederspruch zur Definition 0 Winter in Danzig, 1708/ Körpertemperatur(Mensch) Fahrenheit (modern) 32 Gefrierpunkt (Wasser) 212 Siedepunkt (Wasser) 7

8 Temperatur ein weiterer Unterschied zu anderen üblichen Größen: Das Auto ist 4m lang. Der Anhänger ist 2m lang. Zusammen sind sie 6m lang. Anton wiegt 32kg. Berta wiegt 29kg. Zusammen wiegen sie 61kg. Das Hemd kostet 50. Die Hose kostet 40. Zusammen kosten sie 90. Die Sendung dauert 25min. Die Werbung dauert 15min. Insgesamt dauert das 40min. Im Schwimmbecken ist eine Wassertemperatur von 295K (~22 C), der Schwimmer hat 310K (~36.8 C). Zusammen haben sie 605K. 8

9 Anzahl Eine physikalische Größe ist eine quantitativ bestimmbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts Objekt: eine Menge Der Abstraktionsvorgang wird oft als Messvorgang realisiert Messen: Zählen das Ergebnis der Messung ist dann eine Größe, geschrieben mittels Maßzahl und Maßeinheit Maßzahl = Anzahl Maßeinheit = 1 Kardinahlzahlsaspekt: Zahl als Anzahl 9

10 Längen der Meter ursprüngliche Definition (1793): der 10-millionste Teil der Strecke vom Nordpol zum Äquator auf dem Meridian von Paris weitere Längenmaßeinheiten Zoll (inch) 1 in. (1 ) 0,0254 m Fuß (=12 ) 1 ft (1 ) 0,305 m Yard (=3 ft) 1 yd. 0,914 m Meile (=1760 yd) 1 stat.mi. 1609,344 m Seemeile 1 sm 1852 m 10

11 Längen sind Kindern vertrauter als andere Größen sind Grundlage für das Verständnis von Zahlbeziehungen 99 und 100 sind nah Hälfte einer Zahl => halbierte Strecke auch Zeitspannen werden als Längen gedacht Zeiträume, Wie lange noch? Zeitleiste => Zahlenstrahl => Maßstab sind Grundlage für die Skalierung von Messgeräten anderer Größenbereiche 11

12 Geldwerte Vorerfahrungen bei Schulanfängern werden wie Zahlen gebündelt sind damit ein strukturiertes didaktisches Anschauungsmittel! Geld wird behandelt wie eine Größe, ist aber keine Messgröße 1 Cent ist minimale Einheit Maßeinheiten sind nicht standardisiert Preise sind nicht stabil Preis ist oft nicht proportional zu Stückzahl/Gewicht/Zeit etc Preis ist nicht objektiv messbar 12

13 Massen (Gewichte) das Kilogramm ursprünglich: gramma (lat.) bezeichnete ein kleines Gewicht (1/24 Unze) 1793: 1 Grave wird als die Masse von einem Liter Wasser bei 4 C definiert heute: Der Kilogrammprototyp ist (geringfügig) schwerer als 1l Wasser. Weitere Maßeinheiten der Masse Karat 1 Kt (ct) = 0,2 g Unze 1 oz. 28,35 g Feinunze 1 oz.tr. 31,10 g Englisches Pfund (16 Unzen) 1 lb 453,59 g Stone (14 Pfund) 1 st. 6,35 kg Amerikanische Tonne (2000 Pfund) 1 tn. sh. 907,18 kg Britische Tonne (160 Stone) 1 tn.l.ts. 1016,05 kg 13

14 Massen (Gewichte) Alltagssprache: man spricht von Gewichten mit Ausnahme des eigenen Körpergewichts wenig Vorerfahrung bei Schulanfängern visuelle Wahrnehmung z.t. irreführend echte Wahrnehmung von Gewichten von Objekten ist nur durch Anheben möglich. Gewichtsunterschiede von mehr als 2% können wahrgenommen werden im Alltag genutzte Einheiten: t, kg, g, mg =>Umwandlungszahl immer

15 Zeitspannen Themen in der Grundschule: Alter Kalender Datum Uhren Uhrzeiten Zeitleisten Zeitberechnungen! Deutliche Unterscheidung zwischen Zeitpunkt und Zeitspanne nötig 15

16 Zeitspannen Abkürzungen für Einheiten (s, min, h, d, m, a) gehen auf lateinische Bezeichnungen zurück. Umwandlungszahlen sind verschieden und basieren nicht auf dem Dezimalsystem Eine Zeitspanne ist keine Größe eines Objektes, sondern eines Vorgangs! gleichzeitig zwei Vorstellungen von Zeit: linear: Vergangenheit Gegenwart Zukunft (Zeitstrahl) zyklisch: analoge Uhren, Tagesablauf, Jahresverlauf 16

17 Flächeninhalte Quadratmeter 1 m² = 1 m x 1 m Ar Hektar 1 a = 1 dam² = 1 dam x 1 dam = 10 m x 10 m 1 ha = 1 hm² = 1 hm x 1 hm = 100 m x 100 m Grundschule: nur Vorbereitung auf diesen Größenbereich Maßeinheiten werden nicht als zusammengesetzte Größen eingeführt Flächenvergleiche durch Übereinanderlegen, Orientierung an Rechenkästchen ( Geometrie) 17

18 Rauminhalte Der Liter Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 10 cm hat ein Volumen von einem Liter: 1 l = dm 3 Grundschule: Maßeinheiten werden nicht als zusammengesetzte Größen eingeführt Im Unterricht werden nur die Einheiten Liter und Milliliter genutzt Messbecher geben Anlass Bruchzahlen kennenzulernen unproportionale Skalierung bei trichterförmigen Messbecher 18