Zur Formulierung mathematischer Aufgaben

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1 Zur Formulierung mathematischer Aufgaben Eine kritische Betrachtung unterschiedlicher Schreibweisen Dr. Bernhard Salzger Graz, 4. Feber 2016

2 Aspekte º Die Aufgabenstellung º Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen - adäquate und inadäquate Schreibweisen - zulässige Schreibweisen º Bezeichnungen - mehrere mögliche Bezeichnungen

3 Die Aufgabenstellung Aufforderung dazu, eine Aufgabe aus einer bestimmten Perspektive zu betrachten und danach dahingehend zu bearbeiten Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an, die durch die Punkte A = (3 5) und B = (7 12) verläuft!

4 Die Aufgabenstellung Berechnen Sie! Formen Sie um! Konstruieren Sie! Ermitteln Sie! Bestimmen Sie! Stellen Sie auf! Geben Sie an! Überprüfen Sie! Zeigen Sie! Beweisen Sie! Interpretieren Sie! Deuten Sie!

5 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Unterscheidung zwischen der Bezeichnung einer Funktion und dem Funktionswert an einer bestimmten Stelle ZB: Es ist f die Bezeichnung der Funktion, dann ist f(x) der Funktionswert an der Stelle x. ZB: Es ist x² + 3 ein Funktionsterm, dann ist f(x) = x² + 3 eine Termdarstellung der Funktion f.

6 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Unterscheidung zwischen der Bezeichnung einer Funktion und dem Funktionswert an einer bestimmten Stelle Gegeben ist die Funktion f(x) = x² + 3. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² + 3.

7 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Unterscheidung zwischen einer Termdarstellung und einer Funktionsgleichung ZB: Eine reelle Funktion f hat eine Termdarstellung f(x) = 5x + 1. ZB: Eine reelle Funktion f hat eine Funktionsgleichung y = 5x + 1.

8 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Unterscheidung zwischen einer Termdarstellung und einer Funktionsgleichung Um den Funktionswert an der Stelle 2 anzugeben, schreibt man im Fall der Termdarstellung: f(2) = 11. Bei einer Funktionsgleichung ist dies in dieser Form nicht möglich. Da y eine Zahl ist, wäre zb y(2) = 11 inkorrekt.

9 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Unterscheidung zwischen einer Termdarstellung und einer Funktionsgleichung Eine Gleichung lässt sich nach bestimmten Regeln umformen: y = 5x + 1 w 5x + y = 1 w 5x y = 1 Würde man zu f(x) = 5x + 1 Funktionsgleichung sagen, sollte Folgendes sinnvoll sein: f(x) = 5x + 1 w 5x + f(x) = 1 w 5x f(x) = 1 Ist das so?

10 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Funktionen Beschriftung der Argumentachse (1. Achse), der Funktionswertachse (2. Achse) und des Graphen der Funktion Funktion f mit f(x) = x³ 1. A.: x 2. A.: f(x) Graph: f Funktion V mit V(t) = t² 1. A.: t 2. A.: V(t) Graph: V Funktion h mit h(r) = 0,2r 1. A.: r 2. A.: h(r) Graph: h Funktion s mit s(t) = t A.: x 2. A.: y Graph: s(t)

11 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Lösungen von Gleichungen Angabe der Lösungen einer quadratischen Gleichung x² 3x + 2 = 0 É x = 3 = x = 4 Dadurch wird die Äquivalenz angeschrieben. x² 3x + 2 = 0 mit x 1 = 3, x 2 = 4 Dies ist möglich, jedoch kann die Äquivalenz nicht angeschrieben werden.

12 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Lösungen von Gleichungen Angabe der Lösungen einer quadratischen Gleichung x² 3x + 2 = 0 É x = 3 = x = 4 Dadurch wird die Äquivalenz angeschrieben. x² 3x + 2 = 0 É x 1 = 3 = x 2 = 4 Dies ist inkorrekt, da sinnlos. Es werden links und rechts des Äquivalenzsymbols unterschiedliche Variablen verwendet.

13 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Vektoren Angabe von Vektoren in Zeilenform bzw. in Spaltenform Es findet sich eine weit verbreitete Vorstellung, dass Vektoren, die als Punkte gedeutet werden, in Zeilenform zu schreiben sind, und jene, die als Pfeile gedeutet werden, in Spaltenform. P = (p 1 p 2 ) a= ( a 1 a 2 a 3)

14 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Vektoren Angabe von Vektoren in Zeilenform bzw. in Spaltenform Es findet sich eine weit verbreitete Vorstellung, dass Vektoren, die als Punkte gedeutet werden, in Zeilenform zu schreiben sind, und jene, die als Pfeile gedeutet werden, in Spaltenform. Dem ist natürlich nicht so. In R² ist es gleichgültig, ob ein Vektor in Zeilen- oder Spaltenform geschrieben wird.

15 Kategorisierung von Schreibweisen - korrekte und inkorrekte Schreibweisen und Vorstellungen Mengenbezeichnungen Normativ vorgegebene Zahlenmengen wie N, Z oder R werden in eigener Schrift angegeben. Wird einerseits für die Menge der reellen Zahlen nur R angegeben, kann dies zu Missverständnissen führen, da zb die Menge R = {1, 6, 13, 20} sein könnte. Wird andererseits eine Definitions- bzw. Wertemenge mit D bzw. W angegeben, suggeriert man fälschlicherweise Normativität.

16 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Vektoren als Punkte Ein Vektor in R n ist mit A = (a 1 a 2 a 3 a n ) definiert, wobei a 1, a 2, a 3,, a n * R. Demnach ist ein Vektor in R² mit A = (a 1 a 2 ) definiert, wobei a 1, a 2 * R. Und ein Vektor in R³ ist mit A = (a 1 a 2 a 3 ) definiert, wobei a 1, a 2, a 3 * R. Vektoren in R² und R³ können als Punkte in einem Koordinatensystem gedeutet werden. So weit, so gut. Punkte werden aber gern so angegeben: A (5 8) Wo ist das Problem?

17 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Vektoren als Punkte Beide Schreibweisen, also A = (5 8) und A (5 8), sind möglich. Dazu eine Aufgabe: Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke AB mit A = (5 8) und B = (7 16)! Lösung: M = 1 2 (A + B) M = 1 2 [(5 8) + (7 16)] = 1 2 (12 24) = (6 12) M = (6 12)

18 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Vektoren als Punkte Beide Schreibweisen, also A = (5 8) und A (5 8), sind möglich. Es besteht keine Veranlassung dazu, die Transitivität der Gleichheit bei der Angabe der Lösung, etwa mit der Schreibweise M (6 12), zu ignorieren.

19 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Differentialrechnung Bei Ableitungen sollte klar erkennbar sein, dass eine Funktion abgeleitet wird, nicht eine Zahl. Ist eine Funktion f mit f(x) = x² gegeben, so schreibt man die Ableitungsfunktion von f mit f an, deren Termdarstellung f (x) = 2x lautet.

20 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Differentialrechnung Bei Ableitungen sollte klar erkennbar sein, dass eine Funktion abgeleitet wird, nicht eine Zahl. Stellt man die Funktion f mit y = x² dar, so ist die Angabe der Ableitungsfunktion problematisch. suboptimale Auswege: f : y = 2x Hybridform mit überflüssigem y

21 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Differentialrechnung Bei Ableitungen sollte klar erkennbar sein, dass eine Funktion abgeleitet wird, nicht eine Zahl. Stellt man die Funktion f mit y = x² dar, so ist die Angabe der Ableitungsfunktion problematisch. suboptimale Auswege: y = 2x Eine Zahl kann man nicht differenzieren.

22 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Differentialrechnung Bei Ableitungen sollte klar erkennbar sein, dass eine Funktion abgeleitet wird, nicht eine Zahl. Die Schreibweise [f(x)] sollte stets durch f (x) ersetzt werden.

23 Kategorisierung von Schreibweisen - adäquate und inadäquate Schreibweisen Differentialrechnung Bei Ableitungen sollte klar erkennbar sein, dass eine Funktion abgeleitet wird, nicht eine Zahl. Dies ist auch hier problematisch: [sin(x)] = cos x Es ist sin(x) eine Zahl, keine Funktion. Besser ist: sin (x) = cos x

24 Kategorisierung von Schreibweisen - zulässige Schreibweisen Für die leere Menge gibt es sowohl die Schreibweise { } als auch die Schreibweise. Beides ist ohne Abstriche möglich.

25 Zahlen und Darstellungen von Zahlen Zwischen Zahlen und diversen Darstellungsmöglichkeiten von Zahlen ist zu unterscheiden. Bruch Bruchzahl Ein Bruch ist eine mögliche Darstellung einer Zahl. Andere Möglichkeiten sind zb die Dezimaldarstellung, die Prozentdarstellung, die Kreisdarstellung etc.

26 Zahlen und Darstellungen von Zahlen Zwischen Zahlen und diversen Darstellungsmöglichkeiten von Zahlen ist zu unterscheiden. Bruch Bruchzahl So kann etwa ein Bruch gekürzt bzw. erweitert werden, eine Zahl nicht.

27 Zahlen und Darstellungen von Zahlen Zwischen Zahlen und diversen Darstellungsmöglichkeiten von Zahlen ist zu unterscheiden. Bruch Bruchzahl Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert werden, Brüche nicht.

28 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Die Oberfläche eines Körpers kann betrachtet, angemalt oder ertastet werden; berechnet werden kann hingegen die Oberfläche nicht, nur der Inhalt der Oberfläche bzw. der Oberflächeninhalt.

29 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Die Komponenten eines rechtwinkeligen Dreiecks sind zwei Katheten und eine Hypotenuse. Berechnet werden kann hingegen eine Kathete oder Hypotenuse nicht, nur die Länge der Kathete oder die Länge der Hypotenuse bzw. die Kathetenlänge oder die Hypotenusenlänge.

30 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Ein Winkel ist etwas anderes als das Maß eines Winkels bzw. das Winkelmaß. Ein Winkel besteht in der Regel aus zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Anfangspunkt, ein Winkelmaß ist eine Maßzahl mit der Maßeinheit Grad.

31 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter?

32 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort: ein spitzer Winkel

33 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort: ein stumpfer Winkel

34 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort: α

35 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort: 24

36 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort: 156

37 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Eine Aufgabe zur Verdeutlichung: Welcher Winkel entsteht zwischen Hauswand und Leiter? Antwort:???

38 Inhalt, Länge und Maß Exakte Begriffsbezeichnungen sind ein wesentliches didaktisches Fundament. Vorschlag einer Formulierung: Gib das Maß des spitzen Winkels zwischen Hauswand und Leiter an! Antwort: 24

39 Lineare Funktionen Eine Funktion f ist linear, wenn (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(k x) = k f(x) Additivität (1) und Homogenität (2) müssen erfüllt sein. Daher ist prinzipiell nur eine Funktion f mit f(x) = k x (k * R) linear.

40 Lineare Funktionen Eine Funktion f ist linear, wenn (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(k x) = k f(x) Daher bezeichnet man im Hochschulbereich Funktionen f mit º f(x) = k x (k * R) als linear º f(x) = k x + d (k, d * R) ist als affin-linear.

41 Lineare Funktionen Eine Funktion f ist linear, wenn (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(k x) = k f(x) In der Schulmathematik hingegen werden Funktionen f mit f(x) = k x + d (k, d * R) als lineare Funktionen bezeichnet. Eine Unterscheidung in homogene und inhomogene lineare Funktionen ist jedoch nicht sinnvoll.

42 Lineare Funktionen Eine Funktion f ist linear, wenn (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(k x) = k f(x) Eine lineare Funktion ist stets homogen. Eine lineare Funktion als inhomogen zu bezeichnen, ist ein Widerspruch zur Definition.

43 Lineare Funktionen Eine Funktion f ist linear, wenn (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(k x) = k f(x) In der Schulmathematik ist es aber sinnvoller, Funktionen f mit º f(x) = k x (k * R) als direkte Proportionalitätsfunktionen º f(x) = k x + d (k, d * R) ist als allgemeine lineare Funktionen zu bezeichnen.

44 Potenzfunktion Eine reelle Funktion f mit f(x) = a x z (a * R*, z * Z) nennt man Potenzfunktion. In der Grundkompetenzenliste (BIFIE Wien, September 2011, Seite 9) werden Potenzfunktionen jedoch als f(x) = a x z + b definiert. Für z * N macht die additive Konstante b daraus aber eine Polynomfunktion.

45 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen.

46 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Im Zusammenhang mit der Auflösung rechtwinkeliger Dreiecke sind der Sinus, der Cosinus und der Tangens eines Winkelmaßes jedoch Verhältniszahlen.

47 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Der Sinus eines Winkelmaßes ist das Verhältnis von Gegenkathetenlänge zu Hypotenusenlänge.

48 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Der Cosinus eines Winkelmaßes ist das Verhältnis von Ankathetenlänge zu Hypotenusenlänge.

49 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Der Tangens eines Winkelmaßes ist das Verhältnis von Gegenkathetenlänge zu Ankathetenlänge.

50 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Selbst im Zusammenhang mit dem Einheitskreis in [0 ; 360 [ und bei Polarkoordinaten ist die funktionale Vorstellung nicht nötig.

51 Winkelfunktion Die Funktionen sin: R R mit sin(x) = sin x cos: R R mit cos(x) = cos x tan: A R mit tan(x) = tan x, wobei A = R\{ ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2, } bezeichnet man als Winkelfunktionen. Die Bezeichnung Winkelfunktion sollte daher bei trigonometrischen Aufgaben nicht verwendet werden.

52 Zeit-Ort-Funktion Wird einem Zeitpunkt ein Ort (Entfernung von einem Ausgangspunkt) zugeordnet, spricht man von einer Zeit-Ort-Funktion. Die Bezeichnung Zeit-Weg-Funktion ist manchmal problematisch. Der Graph einer Funktion s im Intervall [0; 6] ist abgebildet:

53 Zeit-Ort-Funktion Wird einem Zeitpunkt ein Ort (Entfernung von einem Ausgangspunkt) zugeordnet, spricht man von einer Zeit-Ort-Funktion. Ein Radfahrer bewege sich gemäß s(t) = 6t² + 36t. s(0) = 0 s(3) = 54 s(6) = 0

54 Zeit-Ort-Funktion Wird einem Zeitpunkt ein Ort (Entfernung von einem Ausgangspunkt) zugeordnet, spricht man von einer Zeit-Ort-Funktion. s(6) = 0 Er ist nach sechs Minuten 0 m vom Ausgangspunkt entfernt. Er hat nach sechs Minuten aber nicht einen Weg der Länge 0 m zurückgelegt.

55 Zeit-Ort-Funktion Wird einem Zeitpunkt ein Ort (Entfernung von einem Ausgangspunkt) zugeordnet, spricht man von einer Zeit-Ort-Funktion. Die Bezeichnung Zeit-Ort-Funktion ist der Bezeichnung Zeit- Weg-Funktion vorzuziehen.

56 Intervalle Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist häufig von symmetrischen Intervallen zu lesen. Intuitiv ist durchaus klar, was damit gemeint ist; ein Intervall an sich kann aber nicht symmetrisch sein. Hier wäre es angemessen, von einem Intervall, das symmetrisch um einen bestimmten Wert liegt zu sprechen.

57 - mehrere mögliche Bezeichnungen Terrassenstelle Sattelstelle (Terrassenpunkt Sattelpunkt) Links-/Rechtkrümmung einer Funktion positive/negative Krümmung einer Funktion Vektorprodukt Kreuzprodukt reziprok indirekt proportional

58 Synopsis Bei der Formulierung von Aufgaben sollte auf Folgendes geachtet werden: º unmissverständliche Aufforderungen º korrekte Schreibweise mathematischer Ausdrücke º Konsistenz im didaktischen Aufbau º Achtsamkeit bei Bezeichnungen

59 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

60 Quellen: Barner M., Flohr F.: Analysis I. Berlin: de Gruyter Heuser H.: Lehrbuch der Analysis 1. Braunschweig: Vieweg Malle G.: Bemerkungen zur Notation der Reifeprüfungsaufgaben. O. O Malle G.: Ein didaktisch orientiertes Vektorkonzept, ÖMG Heft 40/2008 (S ) Malle G., Koth M., Woschitz H., Malle S., Salzger B., Ulovec A.: Mathematik verstehen 6. Wien: öbv Salzger B.: Zur Formulierung mathematischer Aufgaben eine kritische Betrachtung unterschiedlicher Schreibweisen. Beitrag zum Projekt Empirische Studien zur Vereinheitlichung der Schreibkonventionen im Rahmen der Vorbereitung einer standardisierten schriftlichen Reifeprüfung in Mathematik. O. O BIFIE: Übungsaufgaben zur Vorbereitung auf die standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS). (