Digitaltechnik I Dekomposition. Gegeben: f = (dc w db w d& c&)(e w a) k = 13

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Richard Hofmann
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1 Gegeben: DEK-01 f = (dc w db w d& c&)(e w a) k = 13 Bildung der DNF f = edc w edb w ed& c& w dca w dba w d& c&a k = 24 = edcb& a& w edcb&a w edcba& w edcba w edc&ba& w edc&ba w edcba& w edcba w unterstrichene erme entfallen e&dcb&a w e&dcba w edcb&a w edcba w e&dc&ba w e&dcba w edc&ba w edcba w e& d& c& b&a w e& d& c&ba w ed& c& b&a w ed& c&ba w ed& c& b& a& w e d& c& b&a w ed& c&ba& w ed& c&ba = e& d& c& b&a w ed& c& b& a& w Gewichtsklassen werden gebildet e& d& c&ba w ed& c& b&a w ed& c&ba& w edcb& a& w edc&ba& w e&dcb&a w e&dc&ba w ed& c&ba w edcb&a w edcba& w edc&ba w e&dcba w edcba

2 DEK-01 06()11 C 07()11 ermvergleichsverfahren (QUINE) 1 e& d& c& b&a e& d& c&-a -d& c&-a p 0 16 ed& c& b& a& -d& c& b&a ed& c&-- p 1 ed& c& b&- f = (dc w db w d& c&)(e w a) ed& c&-a& liegt als DNF vor e& d& c&ba ed& c& b&a ed& c&ba& e&-c&ba -d& c&ba ed& c&-a ed& c&b- --c&ba e-c&bp 2 p edcb& a& edc&ba& e&dcb&a e&dc&ba ed& c&ba edcb&- edc-a& ed-b& a& edc&b- -dcb&a e&dc-a -dc&ba e&d-ba e-c&ba edc-- ed-b- -dc-a -b-ba p 4 p 5 p 6 p edcb&a edcba& edc&ba e&dcba edc-a edcbed-ba -dcba 31 edcba

3 MCCLUSKEY-erfahren (Implikationsverfahren) DEK-03 e& d& c& b&a ed& c& b& a& e& d& c&ba ed& c& b&a ed& c&ba& -d& c&-a p 0 W ed& c&-- p 1 W edcb& a& edc&ba& e&dcb&a e&dc&ba ed& c&ba --c&ba p 2 e-c&bp 3 edcb&a edcba& edc&ba e&dcba edc-- p 4 W ed-bp 5 -dc-a p 6 W -d-ba p 7 edcba U = p 0 p 1 p 4 p 6 (p 3 w p 5 )(p 2 w p 7 )(p 2 w p 3 w p 5 w p 7 ) = p 0 p 1 p 4 p 6 (p 3 w p 5 )(p 2 w p 7 )

4 DEK-04 Die Überdeckungsfunktion liefert also mit U = p 0 p 1 p 4 p 6 (p 3 w p 5 )(p 2 w p 7 )(p 2 w p 3 w p 5 w p 7 ) = p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 6 w p 0 p 1 p 2 p 4 p 5 p 6 w p 0 p 1 p 3 p 4 p 6 p 7 w p 0 p 1 p 4 p 5 p 6 p 7 vier gleichwertige Lösungen mit k(f)=24, wobei die letzte Überdeckung unserer Originalfunktion entspricht. Problem: Lösung: Die ereinfachung der Originalfunktion ist offenbar unzureichend, da teurer! Durchführung eines sverfahrens oder mehrerer

5 DEK-05 Faktorisierungsverfahren () Heuristische erfahren! Geeignet im Anschluß an das QMC-erfahren oder an das P-erschmelzungs-erfahren. Die Funktion f(x) liege demnach als DF (reine Disjunktion von Monomen) vor. % zergliedernd (analytisch) % aufbauend (synthetisierend) (Statt Faktorisierung müßte es korrekterweise Monomisierung heißen, da ja keine Faktoren sondern Monome vorliegen!) Zergliedernde Faktorisierung orgehensweise: Es werden erme n i (x) gesucht, die in möglichst vielen Monomen von f(x) vorkommen, und dann ausgeklammert: f(x) = n 0 (x)f 0 (x) w... n k-1 (x)f k-1 (x) w r 0 (x). Auf die eilfunktion n 0 (x)f 1 (x) w... n k-1 (x)f k-1 (x) wird das erfahren weiter angewendet, wobei weitere Restfunktionen r i (x) entstehen können, usf. Das erfahren endet, wenn keine gemeinsamen erme mehr zu finden sind.

6 f(x) = (n 0 (x) v f 0 (x)) w...(n k-1 (x) v f k-1 (x)) w r 0 (x) Beispiel DEK-06 f(a,b,c,d,e) = a c& d& v abd v bcd v bde v c& d&e v cde v a& c&d k(f)=28 Daraus wird mit n 0 =bd, n 1 =c&d& und n 2 =cd: f(a,b,c,d,e) = bd(a v e) v c& d&(a v e) v cd(b v e) v a& c&d. Hier sind r 0 = a& c&d und f 0 = bd(a v e) v c& d&(a v e) v cd(b v e). Auf die eilfunktion f 0 können wir die zergliedernde Faktorisierung erneut anwenden, indem wir den erm (a v e) ausklammern. Dabei entstehen die eilfunktion f 1 = (bd v c& d&)(a v e) sowie der Rest r 1 = cd(b v e). Also kann f(a,...e) zerlegt werden in f(a,b,c,d,e) = (bd v c& d&)(a v e) v cd(b v e) v a& c&d. k(f)=21

7 DEK-07 s- oder Faktorisierungsverfahren (heuristische erfahren) % zergliedernd (analytisch) % aufbauend (synthetisierend) Aufbauende Faktorisierung Prinzip: Systematisches Ausklammern einzelner ariabler, bis sog. Kerne übrigbleiben. Kerne sind die beim Ausklammern verbleibenden erme, die keine ariablen oder erme mehrfach enthalten.

8 Beispiel DEK-08 f(a,b,c,d,e) = a& c&d v abd v ac& d& v bcd v bde v c& d&e v cde k(f)=28 Daraus wird durch fortgesetztes Ausklammern: f(a,b,c,d,e) = ( a& c& v (a v e)b v (b v c)e)d v (a v e)c& d&. k(f)=20 Diese fünfstufige Lösung hat gemischt Gatter mit zwei und drei Eingängen. Durch Umstellen kann man(ebenfalls fünfstufig) Gatter mit lediglich zwei Eingängen einsetzen: f(a,b,c,d,e) = ( a& c& v (b v c)e)d v (a v e)(bd v c& d&). k(f)=22

9 DEK-09 Betrachten wir nun noch einmal unsere früher vorgestellte Funktion f = (dc w db w d& c&)(e w a), k(f)=13 für die ja das QMC-erfahren u.a. die kostenträchtigere "ereinfachung" f lieferte. = edc w edb w ed& c& w dca w dba w d& c&a (1) Zergliedernde Faktorisierung f = edc w edb w ed& c& w dca w dba w d& c&a = dc(a w e) w db(a w e) w d& c&(a w e) = dc w db w d& c& mit =a w e und k()=2 einmalig! k(f)=14 Durch Anwendung der aufbauenden Faktorisierung läßt sich dies noch weiter vereinfachen: f = (dc w db w d& c&) = ((c w b)d w d& c&), wobei sich zuletzt k(f)=12 ergibt.

10 DEK-10 (1) Aufbauende Faktorisierung f mit = edc w edb w ed& c& w dca w dba w d& c&a = (ec w eb w ca w ba)d w d& c&(e w a) = (e(c w b) w (c w b)a)d w d& c&(e w a) = ed 1 w 1 da w d& c& 2 k(f)=16 1 =c w b, k( 1 )=2 einmalig, und 1 =e w a, k( 2 )=2 einmalig. Durch Anwendung der zergliedernden Faktorisierung läßt sich dies noch weiter vereinfachen: f = (e w a)d 1 w d& c& 2 = 2 d 1 w d& c& 2 = (d 1 w d& c&) 2, wobei sich zuletzt k(f)=12 ergibt.

11 07()11 C DEK-11 Faktorisierungsverfahren () Faktorisierung nach vorgegebenen Strukturen am Beispiel Multiplexer (MUX) orgehensweise: Die DF von f(x) über B n wird als "Problemgleichung" auf die "charakteristische Gleichung" eines geeigneten Multiplexers abgebildet. Sollte das nicht möglich sein, muß f(x) geeignet so lange nach Monomen über B n entwickelt werden, bis f(x) vollständig mit Multiplexern realisiert werden kann. Aus dem ergleich der Problemgleichung mit der charakteristischen Gleichung lassen sich die "Ansteuergleichungen" ermitteln. Beispiel: f(a,b,c,d) = ab&d w abc& w a& b&c Problemgleichung (a) erwendung eines 4-auf-1-Multiplexers charakteristische Gleichung: Y = x 3 S 1 S 0 w x 2 S 1 S& 0 w x 1 S& 1 S 0 w x 0 S& 1 S& 0 In f treten ab, ab& und a& b&, nicht aber a&b auf. Demnach sind beim MUX zu setzen: S 0 :=a und S 1 :=b x 3 := c&; x 2 := 0; x 1 := d; x 0 := c. } Ansteuergleichungen

12 07()11 C Faktorisierungsverfahren () Faktorisierung nach vorgegebenen Strukturen am Beispiel Multiplexer (MUX) Beispiel: f(a,b,c,d) = a b&d w abc& w a& b&c DEK-12 (b) erwendung von 2-auf-1-Multiplexern charakteristische Gleichung: Y = x 1 S w x 0 S& Wir entwickeln f zunächst nach a: f = af(a=1,b,c,d) w a&f(a=0,b,c,d) = a(b&d w bc&) w a& b&c. Der erste MUX wird daher so belegt: S 0 :=a, x 00 :=b&c und x 01 :=b&d w bc&. Für x 00 benötigen wir einen weiteren MUX. Dazu entwickeln wir weiter nach b, was sich schon optisch anbietet. Seine Belegung ist daher: S 1 :=b, x 11 := c& und x 10 :=d. Die eilfunktion x 00 kann mit einem UND2-Gatter realisiert werden; wir verwenden aber hierfür konsequenterweise einen weiteren MUX mit den Belegungen S 2 :=b, x 21 :=0 und x 20 :=c.

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